第1章分式 单元测试卷2024-2025学年湘教版数学八年级上册

《分式》单元测试卷 考试范围：分式；考试时间：120分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题有10个小题，每个小题3分，共30分） 1．下列有理式是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．若分式的值为零，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 3．2023年9月9日，上海微电子研发的28浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右的变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如果把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的2倍 D．不变 8．已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 9．在体育课上，甲、乙两名同学进行跳绳比赛．在相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40 下．已知甲每分钟比乙多跳20下，设甲每分钟跳x 下，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 10．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 二、填空题（本大题有8个小题，每个小题3分，共24分） 11．当时， ． 12．下列式子：，，，，，分式有 个． 13．计算： 14．比较大小： ．填“>”或“<”） 15．分式和分式的最简公分母是 ． 16．琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 17．陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”，过程如下： 整个游戏过程， 负责的那一步出现了错误； 18．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 三、解答题（本大题有8个小题，第19 - 25每小题8分，第26题10分，共66分） 19．计算：（1）； （2）． 20． 先化简，再求值：，其中. 21．解下列方程： (1) (2) 22．已知关于x的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)若此分式方程无解，求的值． 23．观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 24．春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种型号的“龙辰辰”布偶．已知用元购进甲的数量是用元购进乙的数量的倍，每件甲的进价比乙多元． (1)求甲、乙两种型号每件进价分别是多少元？ (2)该超市共购进甲、乙两种布偶个，然后将甲、乙的售价分别定价为元和元，全部销售完后共获利元，求购进甲种型号布偶多少个？ 25．（1）计算：_______；______． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b的字母表示：______； （3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式． 26．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D D D B C A D 1．B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式，分母中含有字母的式子是分式，据此即可判断求解，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是分式，该选项符合题意； 、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是多项式，不是分式，该选项不合题意； 故选：． 2．C 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查分式的值为0，根据分子等于0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴； 故选C． 3．C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：0.000000028． 故选：C． 4．D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的约分化简，分式的基本性质的应用，根据分式的约分化简以及分式的基本性质，对照选项逐一验证即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故A正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C正确，不符合题意； D、和都为最简分式，不能化简，故，故D错误，符合题意， 故选：D． 5．D 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了幂的运算．熟练掌握同底数幂的乘法、除法法则，积的乘方、幂的乘方法则，是解题的关键．由同底数幂除法判断A，由积的乘方判断B，由同底数幂乘法判断C，由幂的乘方判断D． 【详解】A．∵，A不正确，不符合题意； B．∵，B不正确，不符合题意； C．∵，C不正确，不符合题意； D．∵，D正确，符合题意． 故选：D． 6．D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 7．B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的和都扩大到原来的20倍，得 ， ∴缩小到原来的． 故选B． 8．C 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式求值，由，得，然后把的两边同时除以即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 9．A 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键．设甲每分钟跳x 下，那么乙每分钟跳下，根据：“相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40 下”，据此可列出方程． 【详解】解：设甲每分钟跳x 下，那么乙每分钟跳下，根据题意得： ， 故选：A． 10．D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程无解问题，将方程转化为整式方程，求出分式的分母为0时的的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程无解， ∴整式方程无解或方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选D． 11．1 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式求值， 把代入分式中求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 12．3 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意是常数，是解题的关键． 根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：，，的分母中含有字母，属于分式，共有3个． 故答案为：3． 13． 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的法则是解题关键．根据零指数幂与负整数指数幂法则计算即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 14． 【知识点】负整数指数幂、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，负整数指数幂，先求出，比较即可． 【详解】， ∴ 故答案为：． 15． 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母的定义，解题关键是熟练掌握通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据确定最简公分母的方法逐项分析即可，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：，， 两个分式的分母分别为、， 最简公分母是， 故答案为：． 16． 【知识点】约分、最简分式 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 17．乙、丁 【知识点】分式乘法、分式除法 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据题目中的各步，依据分式运算法则写出正确的解答过程，即可判断哪一步出错了． 【详解】解：，故甲正确； ，故乙错误； ，故丙正确； ，故丁错误； 故答案为：乙、丁． 18． 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题主要考查分式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分母符合，分子的指数则符合，进而问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴第n个式子是； 故答案为：． 19．（1）；（2） 【知识点】分式加减乘除混合运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算乘方，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20．，-2 【知识点】分式乘除混合运算、分式化简求值 【分析】先根据分式的乘除混合运算法则化简，再代值计算. 【详解】解：原式 ； 当时，原式. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的乘除混合运算法则、准确计算是解题关键. 21．(1) (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 对于（1），将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到的值，代入最简公分母检验即可； 对于（2），将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到的值，代入最简公分母检验即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得：， 当时，， ∴是分式方程的解； （2）解：去分母得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得 解得： ， 当时，， ∴是原方程的解． 22．(1) (2)或 【知识点】分式方程无解问题、解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程无解的问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到前的系数为或者最简公分母为，即可求解． 【详解】（1）解：把代入分式方程得：， 整理得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是分式方程的解； （2）分式方程变形得：， 去分母，得：，即， 若，即时，此方程无解，即分式方程无解； 若，即时， 分式方程无解， ，即， 把代入整式方程得：， 综上所述，或． 23．(1) (2)，证明见解析 【知识点】数字类规律探索、整式与分式相加减 【分析】本题考查了数字的规律变化，依次观察每个等式，可以用发现规律． （1）观察式子进行仿写第5个等式即可； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边的分母为，等式右边分母为，分子为．代入再进行验证正确性即可． 【详解】（1）仔细观察每个式子，可得第5个等式：． 故答案为：． （2）猜想：． 证明如下： 左边， 右边， 左边=右边， 猜想成立． 24．(1)甲种型号每件进价是元，乙种型号每件进价是元 (2)购进甲种型号布偶个 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、分式方程的实际应用 【分析】本题考查一元一次方程，分式方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握进价、销售量、利润之间的关系． （1）甲种型号每件进价是x元，则乙种型号每件进价是元，列出方程求解即可； （2）根据利润（售价进价）数量进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种型号每件进价是x元，则乙种型号每件进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种型号每件进价是元，乙种型号每件进价是元； （2）设购进甲种型号布偶个，则购进乙种型号布偶个， 由题意得：， 解得：， 答：购进甲种型号布偶个． 25．（1）；；（2）；（3）． 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】（1）利用多项式乘法进行计算即可； （2）根据（1）中的结果确定答案； （3）逆运用新公式，把变形为，再化简分式． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：，； （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则及分式的化简等知识，掌握和理解新运算的公式，是解决本题的关键． 26．(1)假分式 (2)或 (3)27 【知识点】分式加减的实际应用、分式化简求值、整式乘法混合运算、分式的判断 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）化简，根据分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，得出，求出，代入中，得出，根据，，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得：分式是假分式， 故答案为：假分式； （2）解：， ∵的值为整数，且为整数； 的值为或； ∴的值为或． （3）解： ， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为27． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$