精品解析：广东省广州市荔湾区广东广雅中学2023-2024学年七年级下学期第一次竞赛数学试题A卷

江门市广雅中学2023—2024学年第一次数学竞赛 初一年级试卷 试卷类型：A （时间120分钟，满分120分） 一、单选题（共30分） 1. 日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的．那么，二进制中的表示的是十进制中的（ ） A. 22 B. 21 C. 13 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查乘方的运算以及二进制数转十进制数的方法：二进制转十进制，从最后一位开始算，依次列为第等位数，第位的数（或）乘以的次方，得到的结果相加即可． 【详解】解：． 故选：B． 2. 中国人很早就开始使用负数.魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图，其记录主要体现的数学思想是（ ） A. 方程思想 B. 类比思想 C. 从特殊到一般思想 D. 数形结合思想 【答案】D 【解析】 【分析】可以看出，题目中用图形表示数，即可解答．本题涉及正数和负数的意义，主要考查了数形结合思想，正确理解题意是关键． 【详解】解：根据题意，其记录主要体现的数学思想是数形结合思想． 故选：D． 3. 如图，大正方形的边长是小正方形边长的2倍，则下图阴影部分面积一样的有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每个图形中阴影部分面积，进行判断即可． 【详解】解：大正方形的边长是小正方形边长的2倍，设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为2， 所以第一个阴影部分的面积为：； 第二个阴影部分的面积为：； 第三个阴影部分的面积为：； 第四个阴影部分的面积为：； 第五个阴影部分的面积为：； 所以五个图形中的阴影部分的面积相等， 故选D． 【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握平行四边形的面积公式，正方形的面积公式，三角形的面积公式以及分割法求面积，是解题的关键． 4. 如图，（ ） A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． 根据四边形的内角和公式得，，两式相加，即可得出答案． 【详解】由四边形内角和为360°，可得：，； ∴， 故选C 5. 湖北省于年实行新高考“”方案，“”是指语文、数学、英语三门必考科目，“”是指考生在物理和历史两门中必须选一科，“”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门中选择两科，这样，新高考方案中最多出现（ ）种考试科目组． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“”是指语文、数学、英语三门必考科目，所以有种选择；“”是指考生在物理和历史两门中必须选一科，所以有种选择；“”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门中选择两科，所以有种选择；然后根据乘法原理解答即可． 【详解】解：（种）， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，乘法原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 6. 王老师昨天按时间顺序先后收到了A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下面的排列中，王老师可能回复邮件的顺序是（　　） A. B. C. D. E. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了排列与组合应用类问题，此题正向分析有很多情况，从正确的里面挑选五个选项那个正确工作量很大，如果反向去看，只需要分析5种情况，工作量大大减小，排除法时选择题的一个重要解题办法．这道题如果正向分析有很多种情况，然而选项只有5个，所以用逆向思维去分析答案，用排除法做更快． 【详解】解：A选项顺序是，王老师最先回复A，证明王老师刚开始回复邮件时只收到了A邮件，回复A时收到了B邮件，回复完A后除了B没有其他未回复的邮件，接下来回复E，证明王老师在回复B邮件时收到了三封．这样才会先回复最新收到E，既然王老师都收到了，那回复完E，应该先回复D，而不是先C后D，故不符合题意． B选项的顺序是，王老师最先回复B，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了两封邮件，回复完B后没有收到新邮件，只能回复A，接下来回复E，证明王老师在回复A邮件时收到了三封．这样才会先回复最新收到E，既然王老师都收到了，那回复完E，应该先回复D，而不是先C后D，故不符合题意． C选项的顺序是，王老师最先回复C，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了三封邮件，回复完C后，王老师没有回复B，证明他又收到了新邮件，发现王老师接下来回复E，证明王老师在回复C邮件时收到了两封．这样才会先回复最新收到E，既然王老师都收到了，那回复完E，应该先回复D，回复完D，回复，故符合题意． D选项的顺序是，王老师最先回复D，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了四封邮件，回复完D后，王老师回复，证明他没有收到新邮件，回复完后没有回复E证明王老师还没有收到邮件E，那他就应该先回复B而不是A，故不符合题意． E选项的顺序是，王老师最先回复E，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了五封邮寄邮件，按照先回复最新收到的一封电子邮件的要求，那回复完E，应该先回复D，而不是先C后D，故不符合题意． 故选：C． 7. 下列说法中正确的个数是（ ） ①当时， ②若a是有理数， ③若，，那么a、b为一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值 ④相反数等于本身的数只有一个，而绝对值等于本身的数有无数个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据绝对值的定义，有理数的意义，乘法法则和加法法则，相反数的定义判断即可． 【详解】①当时，，故错误； ②若a是有理数，，故错误； ③若，，那么a、b为一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值，故正确； ④相反数等于本身的数只有，而绝对值等于本身的数有无数个，故正确； 只有③④正确， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，有理数的意义，乘法法则和加法法则，相反数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8. 求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】理解范例给出的方法，再使用相同的方法进行计算． 【详解】解：设，则， 所以，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解数列的求和方法是解题的关键． 9. 已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的性质； 先根据数轴判断出，，，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，，， ∴原式， 故选：B． 10. 如图，，平分，下列结论：①；② ；③；④；⑤若，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等． 由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误： ∵，，，， ∴ ∵， ∴°，即，故④正确； ∵， ∴为定值，故⑤正确． 综上所述，正确的选项①②④⑤共4个， 故选：C． 二、填空题（共18分） 11. 如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点到直线的距离（直线外的点到直线的垂线段的长度），解题的关键是根据点到直线的距离的定义并结合等积法建立等式，即可求解． 【详解】解：∵，，，，， ∴的长是点到直线的距离 ∴， 即， ∴， ∴点到直线的距离等于， 故答案为：． 12. 一个纯循环小数……，请向这个数小数点后第100位上的数字是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了纯循环小数和循环节，数字的规律探索，首先确定……的循环节是714285，然后再根据，可得这个数小数点后第100位上的数字是经过16次循环后的第4位，即可得到答案． 【详解】解：纯循环小数……的循环节是714285，共6个数， ，即这个数小数点后第100位上的数字是经过16次循环后的第4位为2， 故答案为：2． 13. 袋子里有 10个白球、5个黑球、4个篮球，所有球除颜色外其他都相同，从中拿出n个球，为保证每种颜色的球至少有2个，n的最小值是 _______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了抽屉原理解决实际问题，抽屉原理需要考虑最差情况是解题的关键． 考虑最不利的情况，把两种颜色最多的球都拿出来，即先拿出来10个白球、5个黑球，共个，然后再拿出2个篮球，就一定能保证每种颜色的球至少有2个，据此即可解答． 【详解】解：根据分析可得，最差情况时：（个）即：n的最小值是 17． 故答案为：17 14. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数“好数”定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”例如：是“好数”，因为，，都不为，且，能被整除；不是“好数”，因为，不能被整除则百位数字比十位数字大的所有“好数”是______． 【答案】，，， 【解析】 【分析】首先设百位数字为，十位数字为，个位数字为，设为正整数，再根据题意可得出为正整数，，据此可得，据此可求出，，，的值，进而可得出答案． 【详解】解：设百位数字为，十位数字为，个位数字为， 这个三位数为正整数， 由题意得：为正整数，， ， 又为奇数， ，同时为奇数． 当时，，，则，，或，，或，， 此时“好数”有个，分别是，，； 当时，，，则，， 此时“好数”有个：． 综上所述：百位数字比十位数字大所有“好数”是：，，，． 故答案为：，，，． 【点睛】此题主要考查了列代数式，整式的加减运算，理解题意，列出相关的代数式是解答此题的关键． 15. 平面直角坐标系中，关于点，点的说法： ①当时，点A在第二象限；②当时，三角形ABO的面积为1；③当A，B两点在不同象限内时，必有；④点为x轴上一点，连接AC并延长至D，使，则D点坐标为，其中正确的结论是______． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，一元一次不等式组，象限内点的坐标特征等． ①直接代入求解即可；②当时，点，，根据三角形面积公式计算即可；③当A，B两点在不同象限内时，则或，计算即可；④设D点坐标为，根据得到，，计算即可. 【详解】解：①当时，点的坐标为， ∴点A在第二象限，说法正确； ②当时，点，， 三角形的面积为：，原说法错误； ③当A，B两点在不同象限内时， 则或 解得：或，原说法错误； ④设D点坐标为， 则，， 解得：，， 即D点坐标为，说法正确； 其中正确的结论是①④， 故答案为：①④． 16. 如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当______s时，的面积为． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，动点问题，解题的关键是读懂函数图像与动点之间的关系．由函数图象可知P在上运动了，在上运动了，在上运动了，即可求出它们的长，再结合长方形性质和的面积即可求出在边上的高，从而可求出的值． 【详解】解：由图可知：当点P在上运动时面积逐渐增加，在上运动时面积不变，在上运动时面积逐渐减小， P在上运动了，在上运动了，在上运动了， P点的运动速度为， ，，， 四边形是长方形， ，， ， 的边上的高为：， 当是，， 当时，则， ， ， 故答案为：或． 三、解答题一（3﹡6=18分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的乘方、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的乘方、二次根式的性质、绝对值的性质进行化简，再计算加减即可； （2）根据有理数的乘方、立方根、绝对值的性质进行化简，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，两直线，直线与直线相交于点平分，交直线于点，把沿着平行线向右平移得到． （1）请说明的理由； （2）若的周长是，求四边形的周长． 【答案】（1）理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线定义、平移性质、三角形周长及四边形周长等知识，数形结合，准确表示出角及线段关系是解决问题的关键． （1）由平行线性质及角平分线定义得到，再由平移性质即可得证； （2）由题中平移得到，再由的周长是，将四边形的周长表示出来代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：理由如下：， ， 平分， ， 由平移性质得：， ； 【小问2详解】 解：的周长是， ， 把沿着平行线向右平移得到，则， 四边形的周长 ． 19. 先看例题，再解答后面的问题． 【例】解方程：． 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得， 所以原方程的解为或． 解法二：移项，得． 合并同类项，得． 由绝对值的意义知， 所以原方程的解为或． 问题：用两种方法解方程． 【答案】或 【解析】 【分析】方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解； 方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解． 【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为， 解得， ∴原方程的解为或． 解法二：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 由绝对值的意义知， ∴原方程的解为或． 【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键． 四、解答题二（3*8=24分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，将平移至，点A对应点，点B对应点，点C对应点． （1）画出平移后的，并写出和的坐标； （2）求的面积； （3）点P在y轴上，且的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）和的坐标分别为 （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标，利用网格求面积，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点A对应点，得出平移的方式为向右1个单位长度、向上3个单位长度，依次把其他对应点描出来，再依次连线，即可作答． （2）运用割补法进行列式，代入数值进行计算，即可作答． （3）先根据点的特征，且结合，得出再进行分类讨论，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： ∴和的坐标分别为 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：∵的面积等于的面积， ∴ ∵点P在y轴上 ∴ ∴ 则当在的上方时，，则； 则当在的下方时，，则； 综上或． 21. 阅读与探究 本学期我们在第六章《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 特征 正数有两个平方根，他们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数，0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数立方根可以用“” 表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． （1）探究定义：填写下表． 1 16 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：_________________________． （2）探究性质：①81的四次方根是_________；0的四次方根是_________；_______（填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________________________________________． （3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：______________________________． （4）拓展应用 ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：________（填“＞”、“=”或“＜”） 【答案】（1）；一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根.这就是说,如果x4=a,那么x叫做a的四次方根 （2）①；0；没有；②正数有两个四次方根，他们互为相反数；0的四次方根为0；负数没有四次方根 （3）类比思想、分类讨论思想（答案不唯一，只要合理即可） （4）①；②＜ 【解析】 【分析】（1）求出16的四次方根即可，类比平方根和立方根的定义说出四次方根的定义即可； （2）①根据四次方程的定义求出即可；②根据①中的结果得出四次方根的性质即可；③根据立方根、平方根、四次方根的定义和性质的出答案即可； （3）①根据四次方根的性质求出即可；②求出=2，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵x4=16， ∴ 一般地，如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根.这就是说，如果x4=a，那么x叫做a的四次方根. 故答案为：±2，一般地，如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根.这就是说，如果x4=a，那么x叫做a的四次方根. 【小问2详解】 ①81的四次方根是±±3，0的四次方根是0，-4没有四次方根； ②四次方根的性质是：正数有两个四次方根，他们互为相反数，0的四次方根为0，负数没有四次方根. 故答案为：①±3，0，没有；②正数有两个四次方根，他们互为相反数；0的四次方根为0；负数没有四次方根． 【小问3详解】 类比思想、分类讨论思想（答案不唯一）； 【小问4详解】 ① ②=2 故答案为：±4，＜． 【点睛】本题考查了立方根、平方根、四次方根的定义、性质和应用，实数的大小比较，数学知识，实数的运算等知识点，能运用类比思想说出四次方根的定义和性质是解此题的关键． 22. 若一个四位数的千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间隔四位数”，如，，，…等都是“间隔四位数”，若将一个“间隔四位数”的千位数字与个位数字交换位置，百位数字与十位数字交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“原间隔四位数的对应数”，如的对应数为，的对应数为． （1）任意写一个“间隔四位数”及它的“对应数”；猜想任意一个“间隔四位数”与它的“对应数”的差是否都能被整除？并说明理由； （2）一个“间隔四位数”的千位数字为，百位数字为（，且），若这个间隔四位数与它的对应数的差能被 整除，求这个“间隔四位数”． 【答案】（1）能，理由见详解； （2）或或或或或． 【解析】 【分析】（1）分别用字母m、n代表数字表示出“间隔四位数”及它的“对应数”，作差除以 即可得到答案； （2）根据（1）的两数差的关系代入整除即可得到答案． 【小问1详解】 解：设m、n分别代表个位与十位数字， 则“间隔四位数”为 ， “对应数”为， 两数差为： ∴， 即“间隔四位数”与它的“对应数”的差是能被整除； 【小问2详解】 解：由（1）得， “间隔四位数”与它的“对应数”的差是：， ， 当间隔四位数与它的对应数的差能被 整除， 即能被4整除， ∴ 或 ①当时， ∵，， ∴ ， 当时， ∵，， ∴ ，，，，， 综上所述“间隔四位数”可以是：或或或或或． 【点睛】本题考查因式分解和列代数式及整式的化简，理解题意的“间隔四位数”和“对应数”是解题的关键． 五、解答题三（3*10=30分） 23. 对于有理数m、n定义一种新运算“”：．等式右边是通常的四则运算．例如． （1）若，则______，______ （2）已知，且y为整数，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】（1）6； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的混合运算．熟练掌握新新运算法则，有理数混合运算的顺序和法则，解一元一次方程，一次不定方程，是解决问题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）根据新运算法则，列出一元一次方程，求解即可； （3）根据新运算法则，求出的关系式，再根据y、a的值为整数，给定y值求出a值即可． 【小问1详解】 ∵，且， ∴， 解得，； ∴； 故答案为：6，； 【小问2详解】 ∵，且， ∴ ∴ ∵y、a都是整数， ∴，且， ∴． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足等式，连接AM交y轴于B，C是x负半轴上的一个动点． （1）求a，b的值； （2）如图2，的平分线交于点N，当点C在x负半轴上运动时，的度数是否改变？若不改变，请求出它的值；若改变，请指出其变化的范围； （3）如图3，当点C坐标为时，过点A，作，交y轴于D，点 在直线上． ①求m，n满足的数量关系； ②若三角形的面积不超过三角形面积的，求点E横纵坐标m及纵坐标n的取值范围． 【答案】（1）， （2）的度数为，理由见解析 （3）① ②当三角形的面积不超过三角形面积的时， 点E的横坐标m的取值范围是，且， 点的横坐标n的取值范围是，且． 【解析】 【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性，列二元一次方程即可解答； （2）过点M做轴的垂线段交于点H，根据面积法求得点的坐标，证明为等腰直角三角形，即可得到，利用三角形内角和定理和角平分线的概念，即可得到 的度数； （3）①过点 E 作 轴于点 G，连接，由 ，即可解答； ②分两种情况讨论：即点在第一象限或点在第四象限，根据题意列不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 故可列方程：， 解得； 【小问2详解】 解：的度数为，理由如下： 如图，过点M做轴垂线段交于点H， 设点，则， ， ， ， 根据， 可列方程， 解得， ， 为等腰直角三角形， ， ， 的平分线交于点N， , ； 【小问3详解】 解：①如图，过点 E 作 轴于点 G，连接， ， ， ， 设， ， ， 可得方程， 解得， ， 由得： ， 即， 化简得； ②<1>当点 E 在第四象限时， ∵三角形的面积不超过三角形面积的， ∴三角形的面积不超过三角形面积的， ， ， 即， 解得， ， ， ； <2>当点 E 在第一象限时， 同理可得，， 综上所述，当三角形的面积不超过三角形面积的时， 点E的横坐标m的取值范围是，且， 点的横坐标n的取值范围是，且． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式，平面直角坐标系中三角形的面积法，角平分线的概念和三角形内角定理，作出正确的辅助线是解题的关键． 25. 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______； 深入研究： 如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线是的“巧分线”； （4）若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时t的值． 【答案】（1）是 （2）或或 （3）9或12或18 （4）或4或6 【解析】 【分析】（1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； （4）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【小问1详解】 一个角的平分线是这个角的“巧分线”；填“是”或“不是” 故答案为：是； 【小问2详解】 ， ①当是的角平分线时， ； ②当是三等分线时，较小时， ； ③当是三等分线时，较大时， ； 故答案为：或或； 【小问3详解】 依题意有： ①当时，如图所示： ， 解得； ②当时，如图所示： ， 解得； ③当时，如图所示： ， 解得． 故当t为9或12或18时，射线是的“巧分线”； 【小问4详解】 依题意有： ①当时，如图所示： ， 解得； ②当时，如图所示： ， 解得； ③当时，如图所示： ， 解得． 故当t为或4或6时，射线是的“巧分线”． 【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江门市广雅中学2023—2024学年第一次数学竞赛 初一年级试卷 试卷类型：A （时间120分钟，满分120分） 一、单选题（共30分） 1. 日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的．那么，二进制中的表示的是十进制中的（ ） A. 22 B. 21 C. 13 D. 12 2. 中国人很早就开始使用负数.魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图，其记录主要体现的数学思想是（ ） A. 方程思想 B. 类比思想 C. 从特殊到一般思想 D. 数形结合思想 3. 如图，大正方形的边长是小正方形边长的2倍，则下图阴影部分面积一样的有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4 如图，（ ） A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° 5. 湖北省于年实行新高考“”方案，“”是指语文、数学、英语三门必考科目，“”是指考生在物理和历史两门中必须选一科，“”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门中选择两科，这样，新高考方案中最多出现（ ）种考试科目组． A. B. C. D. 6. 王老师昨天按时间顺序先后收到了A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下面的排列中，王老师可能回复邮件的顺序是（　　） A. B. C. D. E. 7. 下列说法中正确的个数是（ ） ①当时， ②若a是有理数， ③若，，那么a、b为一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值 ④相反数等于本身的数只有一个，而绝对值等于本身的数有无数个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（　　） A. B. C. D. 9. 已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，平分，下列结论：①；② ；③；④；⑤若，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共18分） 11. 如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于________． 12. 一个纯循环小数……，请向这个数小数点后第100位上的数字是_______． 13. 袋子里有 10个白球、5个黑球、4个篮球，所有球除颜色外其他都相同，从中拿出n个球，为保证每种颜色的球至少有2个，n的最小值是 _______． 14. 在数学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数“好数”定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”例如：是“好数”，因为，，都不为，且，能被整除；不是“好数”，因为，不能被整除则百位数字比十位数字大的所有“好数”是______． 15. 平面直角坐标系中，关于点，点的说法： ①当时，点A在第二象限；②当时，三角形ABO的面积为1；③当A，B两点在不同象限内时，必有；④点为x轴上一点，连接AC并延长至D，使，则D点坐标为，其中正确的结论是______． 16. 如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当______s时，的面积为． 三、解答题一（3﹡6=18分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，两直线，直线与直线相交于点平分，交直线于点，把沿着平行线向右平移得到． （1）请说明的理由； （2）若的周长是，求四边形的周长． 19. 先看例题，再解答后面的问题． 例】解方程：． 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得， 所以原方程的解为或． 解法二：移项，得． 合并同类项，得． 由绝对值的意义知， 所以原方程的解为或． 问题：用两种方法解方程． 四、解答题二（3*8=24分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，将平移至，点A对应点，点B对应点，点C对应点． （1）画出平移后的，并写出和的坐标； （2）求的面积； （3）点P在y轴上，且的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 21. 阅读与探究 本学期我们在第六章《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 特征 正数有两个平方根，他们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数立方根是正数，0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数的立方根可以用“” 表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． （1）探究定义：填写下表． 1 16 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：_________________________． （2）探究性质：①81的四次方根是_________；0的四次方根是_________；_______（填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________________________________________． （3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：______________________________． （4）拓展应用 ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：________（填“＞”、“=”或“＜”） 22. 若一个四位数的千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间隔四位数”，如，，，…等都是“间隔四位数”，若将一个“间隔四位数”的千位数字与个位数字交换位置，百位数字与十位数字交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“原间隔四位数的对应数”，如的对应数为，的对应数为． （1）任意写一个“间隔四位数”及它的“对应数”；猜想任意一个“间隔四位数”与它的“对应数”的差是否都能被整除？并说明理由； （2）一个“间隔四位数”的千位数字为，百位数字为（，且），若这个间隔四位数与它的对应数的差能被 整除，求这个“间隔四位数”． 五、解答题三（3*10=30分） 23. 对于有理数m、n定义一种新运算“”：．等式右边是通常四则运算．例如． （1）若，则______，______ （2）已知，且y为整数，求所有满足条件的整数a的值． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足等式，连接AM交y轴于B，C是x负半轴上的一个动点． （1）求a，b的值； （2）如图2，的平分线交于点N，当点C在x负半轴上运动时，的度数是否改变？若不改变，请求出它的值；若改变，请指出其变化的范围； （3）如图3，当点C的坐标为时，过点A，作，交y轴于D，点 在直线上． ①求m，n满足的数量关系； ②若三角形的面积不超过三角形面积的，求点E横纵坐标m及纵坐标n的取值范围． 25. 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______； 深入研究： 如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线是的“巧分线”； （4）若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$