专题01 一元二次方程（考点串讲，5个常考点+18种重难点题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

九年级人教版数学上册期中考点大串讲 专题01 一元二次方程 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理，也可用思维导图 十八大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 四大易错易混经典例题 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一： 一元二次方程的有关概念 例1 [2024马鞍山期中]下列方程是一元二次方程的是(　D　) A. x ＋ ＝1 B. x2＋3＝( x －1)2 C. ax2＋ bx ＋ c ＝0 D. x2－1＝0 D 考点透视 【变式1-1】方程(3 x －1)(2 x ＋4)＝1化为一般形式为 ⁠ ，其中二次项系数为 ，一次项为 ⁠. 6 x2＋10 x －5＝0 6 10 x 　 【变式1-2】已知关于 x 的方程 x2＋3 x ＋2 m ＝0的一个根是－1，则 m 的值是 ⁠. 1　 考点 二：一元二次方程的解法 例2用配方法解方程 x2－4 x －1＝0时，配方后正确的是(　C　) A. ( x ＋2)2＝3 B. ( x ＋2)2＝17 C. ( x －2)2＝5 D. ( x －2)2＝17 C 【变式2-1】【新视角 开放性试题】在初中阶段我们已经学习了一元二 次方程的四种解法，它们分别是直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程. (1) x2＋2 x －1＝0； 解：(1)移项，得 x2＋2 x ＝1， 配方，得 x2＋2 x ＋1＝1＋1，即( x ＋1)2＝2， 开平方，得 x ＋1＝± ， ∴ x1＝－1＋ ， x2＝－1－ . 解：(2)因式分解，得 x ( x －3)＝0， 则 x ＝0或 x －3＝0， 解得 x1＝0， x2＝3. 解：(3)配方，得 x2－4 x ＋4＝4＋4，即( x －2)2＝8， 开平方，得 x －2＝±2 ， ∴ x1＝2＋2 ， x2＝2－2 . (2) x2－3 x ＝0； (3) x2－4 x ＝4； 解：(4)∵ a ＝1， b ＝－1， c ＝－4， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－1)2－4×1×(－4)＝17， ∴ x ＝ ，∴ x1＝ ， x2＝ . (任选两个即可) (4) x2－ x －4＝0. 考点 三：一元二次方程根的判别式 例3[2023河南]关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx －8＝0的根的情况是 (　A　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 【变式3-1】[2023聊城]若一元二次方程 mx2＋2 x ＋1＝0有实数根，则 m 的取值范围是(　D　) A. m ≥－1 B. m ≤1 D 点思路：由关于 x 的一元二次方程 mx2＋2 x ＋1＝0有实数根，可知Δ≥0，且 m ≠0，据此求解即可. C. m ≥－1且 m ≠0 D. m ≤1且 m ≠0 【变式3-2】若一元二次方程 x2－ x ＋2 b ＝0没有实数根，则 b 的取值 范围是 ⁠. b ＞ 　 考点四： 一元二次方程根与系数的关系 例4若关于 x 的一元二次方程3 x2－2 x ＋ m ＝0有两个根，其中一个根为 x ＝1，则这两根之积为(　D　) A. B. C. 1 D. － D 【变式4-1】[2024宁波月考]已知关于 x 的方程 x2＋ mx －20＝0的一个 根是－4，则它的另一个根是 ⁠. 5 【变式4-2】已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋ m2－ m ＋2＝0有 两个不相等的实数根 x1， x2，且 x1＋ x2＋ x1· x2＝2，则实 数 m ＝ ⁠. 3 考点五：一元二次方程的应用 例5某学校组织女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，刚参加比赛的队伍的支数为(　B　) A. 8 B. 10 C. 7 D. 9 B 【变式5-1】如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽 度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2，则小路的宽是(　A　) A. 5 m B. 70 m C. 5 m或70 m D. 10 m A 【变式5-2】在国家积极研发和生产调配下，原价为 a 元的某型号医疗 器械连续两年降价，第一年下降20％，第二年下降80％，那么该医疗器械这两年的平均下降率是 ⁠. 60％　 【变式5-3】【新考法 逆向思维法】如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ BCD ＝90°， BC ＝8 cm， AB ＝ AD ＝10 cm，点 P 从点 A 出发，以3 cm/s的速度沿折线 A － B － C 方向运动，点 Q 从点 D 出发，以2 cm/s的速度沿线段 DC 向点 C 运动.已知动点 P ， Q 同时出发，当点 P 运动到点 C 时， P ， Q 运动停止，设运动时间为 t s . (1)当 t 为何值时，四边形 PBQD 为平行四边形？ 解：(1) ∵ AB ∥ CD ，∴要使四 边形 PBQD 为平行四边形，只需 BP ＝ DQ . 由题意得 DQ ＝2 t cm， AP ＝3 t cm，则 PB ＝(10－3 t ) cm. ∴10－3 t ＝2 t ，解得 t ＝2， ∴当 t 为2时，四边形 PBQD 为平行四边形. 【新考法 逆向思维法】如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ， ∠ BCD ＝90°， BC ＝8 cm， AB ＝ AD ＝10 cm，点 P 从点 A 出发，以3 cm/s的速度沿折线 A － B － C 方向运动，点 Q 从点 D 出发，以2 cm/s的速度沿线段 DC 向点 C 运动.已知动点 P ， Q 同时出发，当点 P 运动到点 C 时， P ， Q 运动停止，设运动时间为 t s . (2)在点 P 、点 Q 的运动过程中，当 t 为何值时，△ BPQ 的面积为15 cm2？ 解：(2)过点 A 作 AM ⊥ CD 于点 M ， 则易得四边形 AMCB 是矩形， ∴ AM ＝ BC ＝8 cm， MC ＝ AB ＝10 cm. ∵在Rt△ ADM 中， AM ＝8 cm， AD ＝10 cm， ∴ DM ＝ ＝ ＝6(cm)， ∴ CD ＝ DM ＋ CM ＝6＋10＝16(cm). ①当点 P 在线段 AB 上时，0≤ t ＜ ， ∵ S△ BPQ ＝ BP · BC ＝15 cm2， ∴ ×(10－3 t )×8＝15，解得 t ＝ ； ②当点 P 在线段 BC 上时， ＜ t ≤6， BP ＝(3 t －10)cm， CQ ＝(16－2 t )cm， ∵ S△ BPQ ＝ BP · CQ ＝15 cm2， ∴ ×(3 t －10)×(16－2 t )＝15， 整理得3 t2－34 t ＋95＝0，即( t －5)(3 t －19)＝0， 解得 t ＝5或 t ＝ (舍去). 综上所述，当 t ＝5或 t ＝ 时，△ BPQ 的面积为15 cm2. 题型一：直接开平方法 例6解方程 (1)( x －2)2－3＝0. (1)解：移项，得( x －2)2＝3. 直接开平方，得 x －2＝± ， 解得 x1＝2＋ ， x2＝2－ . 题型剖析 (2)4(2 y －3)2＝9( y －1)2. (2)解：方程可化为[2(2 y －3)]2＝[3( y －1)]2， 直接开平方，得2(2 y －3)＝3( y －1)或2(2 y －3)＝ －3( y －1)，解得 y1＝3， y2＝ . 题型二：配方法 例7解方程 (1) x2－2＝－2 x . (1)解：移项，得 x2＋2 x ＝2. 配方，得 x2＋2 x ＋1＝2＋1，即( x ＋1)2＝3. 开平方，得 x ＋1＝± ，∴ x ＋1＝ 或 x ＋1＝－ ， 解得 x1＝ －1， x2＝－ －1. (2) x2－6 x －9 991＝0. (2)解：移项，得 x2－6 x ＝9 991， 配方，得 x2－6 x ＋9＝9 991＋9，即( x －3)2＝10 000， 开平方，得 x －3＝±100，解得 x1＝103， x2＝－97. 题型三：因式分解法 例8解方程 (1) x (2 x ＋3)＋2 x ＋3＝0. 解：因式分解，得(2 x ＋3)( x ＋1)＝0. 于是，得2 x ＋3＝0或 x ＋1＝0. 解得 x1＝－ ， x2＝－1. (2) x2－3 x ＋2＝0. 解：因式分解，得( x －1)( x －2)＝0， 于是，得 x －1＝0或 x －2＝0，解得 x1＝1， x2＝2. (3)2( x －3)2＝ x2－9. 解：2( x －3)2＝ x2－9可以变形为2( x －3)2－( x ＋3)( x －3)＝0， 即( x －3)( x －9)＝0， 于是，得 x －3＝0或 x －9＝0， 解得 x1＝3， x2＝9. 题型四：公式法 例9解方程 (1)5 x2－2 x ＋1＝0. 解：在方程5 x2－2 x ＋1＝0中， ∵ a ＝5， b ＝－2 ， c ＝1， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－2 )2－4×5×1＝0， ∴ x1＝ x2＝ ＝ . (2)( x －2)(3 x －5)＝1. 解：原方程化为一般式为3 x2－11 x ＋9＝0， 其中 a ＝3， b ＝－11， c ＝9. ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－11)2－4×3×9＝13， ∴ x1＝ ， x2＝ . 题型五：用适当的方法解方程 例10解方程 (1)( x ＋ )( x － )＝8. 解：原方程可化为 x2－5＝8，即 x2＝13， 解得 x1＝ ， x2＝－ . (2) x2－3 x ＋1＝0. 解：∵ a ＝1， b ＝－3， c ＝1， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－3)2－4×1×1＝5， ∴ x ＝ ＝ ， ∴ x1＝ ， x2＝ . (3)(2 x ＋3)2＝(3 x ＋2)2. 解：解法一(直接开平方法)：直接开平方，得2 x ＋3＝±(3 x ＋2). 解得 x1＝－1， x2＝1. 解法二(因式分解法)：移项，得(2 x ＋3)2－(3 x ＋2)2＝0， 因式分解，得[(2 x ＋3)＋(3 x ＋2)][(2 x ＋3)－(3 x ＋2)]＝0，即(5 x ＋5)(－ x ＋1)＝0，于是－5( x ＋1)( x －1)＝0， 解得 x1＝－1， x2＝1. 题型六：含绝对值的一元二次方程 例11[2023·西安月考 新考法·阅读类比法]阅读下面的材料，解答问题. 材料：解含绝对值的方程： x2－3｜ x ｜－10＝0. 解：分两种情况： ①当 x ≥0时，原方程可化为 x2－3 x －10＝0， 解得 x1＝5， x2＝－2(舍去)； ②当 x ＜0时，原方程可化为 x2＋3 x －10＝0， 解得 x3＝－5， x4＝2(舍去). 综上所述，原方程的解是 x1＝5， x2＝－5. 请参照上述方法解方程 x2－｜ x ＋1｜－1＝0. 解：分两种情况： ①当 x ＋1≥0，即 x ≥－1时， 原方程可化为 x2－( x ＋1)－1＝0， 整理，得 x2－ x －2＝0，解得 x1＝2， x2＝－1； ②当 x ＋1＜0，即 x ＜－1时， 原方程可化为 x2＋( x ＋1)－1＝0， 整理，得 x2＋ x ＝0， 解得 x3＝－1(舍去)， x4＝0(舍去)， 综上所述，原方程的解是 x1＝2， x2＝－1. 题型七：换元法 例12【阅读】 小明同学遇到这样一个问题：已知关于 x 的方程 a ( x ＋ m )2＋ b ＝0( a ， b ， m 为常数， a ≠0)的解是 x1＝－3， x2＝2，求方程 a ( x ＋ m ＋1)2＋ b ＝0的解.他用“换元法”解决的过程如下： 解：在方程 a ( x ＋ m ＋1)2＋ b ＝0中令 y ＝ x ＋1，则方程 可变形为 a ( y ＋ m )2＋ b ＝0， 根据关于 x 的方程 a ( x ＋ m )2＋ b ＝0的解是 x1＝－3， x2＝2， 可得方程 a ( y ＋ m )2＋ b ＝0的解是 y1＝－3， y2＝2. 把 y ＝－3代入 y ＝ x ＋1得， x ＝－4；把 y ＝2代入 y ＝ x ＋1得， x ＝1.所以方程 a ( x ＋ m ＋1)2＋ b ＝0的解是 x1＝－4， x2＝1. 【理解】 已知关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0)有两个实数根 m ， n . (1)关于 x 的方程 ax ＋ b ＋ c ＝0( a ≠0)的两根分别 是 (用含有 m ， n 的代数式表示)； (2)有两个根分别是2 m ，2 n 的方程为 ⁠ .(写出一个即可) m2， n2　 ax2＋2 bx ＋4 c ＝ 0(答案不唯一)　 【猜想与证明】 观察下表中每个方程的解的特点： 方程 方程的解 ① x2＋4 x ＋3＝0 ②3 x2＋4 x ＋1＝0 ① x1＝－3， x2＝－1 ② x1＝－ ， x2＝－1 ①2 x2－7 x ＋3＝0 ②3 x2－7 x ＋2＝0 ① x1＝ ， x2＝3 ② x1＝2， x2＝ ① x2－2 x －8＝0 ②8 x2＋2 x －1＝0 ① x1＝4， x2＝－2 ② x1＝ ， x2＝－ … … (1)猜想：方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0( a ≠0， c ≠0， b2－4 ac ≥0) 的两个根与方程 的两个根互为倒数； cx2＋ bx ＋ a ＝0　 (2)仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想. 证明：由题意知 x ≠0.将方程 cx2＋ bx ＋ a ＝0两边同除以 x2， 得 ＋ ＋ c ＝0. 设 y ＝ ，方程可变形为 ay2＋ by ＋ c ＝0， 设方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的解是 x1＝ m ， x2＝ n ， 可得方程 ay2＋ by ＋ c ＝0的解是 y1＝ m ， y2＝ n ， 把 y ＝ m 代入 y ＝ ，得 x ＝ ；把 y ＝ n 代入 y ＝ ，得 x ＝ ，所以方程 cx2＋ bx ＋ a ＝0的解是 x1＝ ， x2＝ .所以方 程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个根与方程 cx2＋ bx ＋ a ＝0的两个根 互为倒数. 题型八：判断一元二次方程根的情况 例13关于 x 的一元二次方程 x2＋2 ax ＋ a2－1＝0的根的情况是 (　C　) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数 a 的取值有关 C 【变式13-1】下列一元二次方程无实数根的是(　C　) A. x2＋ x －2＝0 B. x2－2 x ＝0 C. x2＋ x ＋5＝0 D. x2－2 x ＋1＝0 C 【变式13-2】函数 y ＝ kx ＋ b 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2＋ bx ＋ k －1＝0的根的情况是(　C　) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 C 【变式13-3】[2023·内江 新视角·新定义题]对于实数 a ， b 定义运算 “⊗”为 a ⊗ b ＝ b2－ ab ，例如：3⊗2＝22－3×2＝－2，则关于 x 的方程( k －3)⊗ x ＝ k －1的根的情况，下列说法正确的是(　A　) A A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【变式13-4】已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx ＋ n ＝0.当 n ＝ m －3时，不解方程，判断方程根的情况，并说明理由. 解：方程有两个不相等的实数根.理由如下： ∵ n ＝ m －3，∴Δ＝ m2－4 n ＝ m2－4( m －3)＝( m －2)2＋8. ∵( m －2)2≥0，∴Δ＝( m －2)2＋8＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. 题型九：确定字母的取值或范围 例14[2024西安期中]若关于 x 的一元二次方程( k －1) x2＋2 x －2 ＝0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是(　A　) A. k ＞ 且 k ≠1 B. k ＞ C. k ≥ 且 k ≠1 D. k ≥ A 【变式14-1】若一元二次方程 x2＋ x － c ＝0没有实数根，则 c 的取值范围是 ⁠. c ＜－ 　 【例14-2】[2023永州模拟]先化简，再求值： ÷ ，其中 a 使一元二次方程 x2＋3 x － a ＋1＝0有两个相等的实数根. 解：原式＝ · ＝ · ＝ a ＋1. ∵一元二次方程 x2＋3 x － a ＋1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝32－4(－ a ＋1)＝0，解得 a ＝－ ， ∴原式＝－ ＋1＝－ . 【例14-3】已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＋ m －1＝0有两 个实数根. (1)求 m 的取值范围； 解：(1)根据题意，得Δ＝ b2－4 ac ＝4－4×( m －1)≥0，解得 m ≤2. 解：(2)∵ p 是方程的一个实数根， ∴ p2－2 p ＋ m －1＝0. ∴ p2－2 p ＝1－ m . ∴( p2－2 p ＋3)( m ＋4)＝(1－ m ＋3)(4＋ m )＝7， 解得 m1＝3(舍去)， m2＝－3. 故 m 的值为－3. (2)设 p 是方程的一个实数根，且满足( p2－2 p ＋3)( m ＋4)＝7，求 m 的值. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＋ m －1＝0有两个实数根. 题型十：根与系数关系的综合应用 例15[2023北京质检]设 x1， x2是关于 x 的方程 x2－4 x ＋ k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数 k ，使得 x1 x2＞ x1＋ x2成立？请说明理由. 解：不存在.理由如下：假设存在实数 k . ∵方程 x2－4 x ＋ k ＋1＝0有实数根， ∴Δ＝(－4)2－4( k ＋1)＝12－4 k ≥0，∴ k ≤3. ∵ x1， x2是关于 x 的方程 x2－4 x ＋ k ＋1＝0的两个实数根，∴ x1＋ x2＝4， x1 x2＝ k ＋1. ∵ x1 x2＞ x1＋ x2，∴ k ＋1＞4，解得 k ＞3. ∴假设不成立. ∴不存在实数 k 使得 x1 x2＞ x1＋ x2成立. 【例15-1】[2023黄冈期末]已知关于 x 的一元二次方程 x2－4 x ＋ m ＝0. (1)若方程有两个实数根，求 m 的取值范围； 解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2－4 x ＋ m ＝0有两 个实数根，∴Δ＝(－4)2－4 m ≥0，∴ m ≤4. (2)若方程的两个实数根分别为 x1， x2，且( x1－2)2＋( x2 －2)2＋ m2＝23，求 m 的值. 解：(2)∵ x1， x2是方程 x2－4 x ＋ m ＝0的两个实数根， ∴由根与系数的关系得 x1＋ x2＝4， x1 x2＝ m . ∵( x1－2)2＋( x2－2)2＋ m2＝23， 即 －4 x1＋4＋ －4 x2＋4＋ m2＝23， ∴( x1＋ x2)2－2 x1 x2－4( x1＋ x2)＋8＋ m2＝42－2 m －4×4＋8＋ m2＝23， ∴ m2－2 m －15＝0，解得 m ＝5或 m ＝－3. 又∵ m ≤4，∴ m ＝－3. 题型十一：与几何图形的综合应用 例16设 a ， b ， c 为△ ABC 的三边，方程4 x2＋4 x ＋2 b － c ＝0有两个相等的实数根，且 a ， b ， c 满足3 a －2 c ＝ b . (1)求证：△ ABC 是等边三角形； (1)证明：∵方程4 x2＋4 x ＋2 b － c ＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(4 )2－4×4×(2 b － c )＝0，即 a ＝2 b － c . 又∵3 a －2 c ＝ b ， ∴3(2 b － c )－2 c ＝ b ，即 b ＝ c . 将 b ＝ c 代入 a ＝2 b － c 得 a ＝ c ， ∴ a ＝ b ＝ c ，∴△ ABC 是等边三角形. (2)若 a ， b 为方程 x2－2 kx ＋(－2 k ＋3)＝0的两根，求 k 的值. (2)解：∵ a ， b 为方程 x2－2 kx ＋(－2 k ＋3)＝0的两根，且 a ＝b ， ∴Δ＝(－2 k )2－4×1×(－2 k ＋3)＝0，即 k2＋2 k －3＝0，解得 k ＝1或 k ＝－3. 当 k ＝－3时，方程为 x2＋6 x ＋9＝0， 解得 x1＝ x2＝－3. 设 a ， b ， c 为△ ABC 的三边，方程4 x2＋4 x ＋2 b － c ＝0有两个相等的实数根，且 a ， b ， c 满足3 a －2 c ＝ b . ∵ a ， b 均为正数， ∴ x1＝ x2＝－3不合题意. 当 k ＝1时，方程为 x2－2 x ＋1＝0，解得 x1＝ x2＝1， 符合题意.∴ k ＝1. 【变式16-1】已知平行四边形 ABCD 的两边 AB ， BC 的长是关于 x 的 方程 x2－ mx ＋ － ＝0的两个实数根. (1)求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根. (1)证明：由题意，得Δ＝ m2－2 m ＋1＝( m －1)2. ∵( m －1)2≥0， ∴无论 m 取何值，方程总有两个实数根. (2)当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长. (2)解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ＝ BC ，∴( m －1)2＝0，∴ m ＝1， ∴方程为 x2－ x ＋ ＝0， ∴ x1＝ x2＝ ，即菱形的边长为 . 已知平行四边形 ABCD 的两边 AB ， BC 的长是关于 x 的方程 x2－ mx ＋ － ＝0的两个实数根. 题型十二：储蓄问题 例17[2024杭州月考]某同学将1 000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90％，这样到期后可得本金和利息共530元.求第一次存款时的年利率(不计利息税). 解：设第一次存款的年利率为 x ， 由题意，得[1 000(1＋ x )－500](1＋0.9 x )＝530， 整理，得90 x2＋145 x －3＝0. 解得 x1≈0.020 4＝2.04％， x2≈－1.63(舍去). 答：第一次存款的年利率约为2.04％. 题型十三：行程问题 例18在匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度 (初始速度与末速度的算术平均数)与路程 s ，时间 t 的关系为 s ＝ t .现有一个小球以5 m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4 s后小球停止运动. (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ 解：(1)5÷4＝1.25(m/s2). 答：小球的滚动速度平均每秒减少1.25 m/ s . (2)小球滚动5 m约用了多少秒(结果保留小数点后一位，参 考数据： ≈1.41)？ 解：(2)设小球滚动5 m用了 t s， 由题意得 t · ＝5， 整理得 t2－8 t ＋8＝0， 解得 t ＝4－2 或 t ＝4＋2 ， 当 t ＝4＋2 时，5－1.25 t ＝5－1.25×(4＋2 ) ＝－ ＜0，不符题意，舍去，∴ t ＝4－2 ≈1.2. 答：小球滚动5 m约用了1.2 s . 题型十四：工程问题 例19[2023开州一模]某工程队采用 A ， B 两种设备同时对长度为3 600米的公路进行施工改造.原计划 A 型设备每小时铺设路面比 B 型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务. (1)求 A 型设备每小时铺设的路面长度； 解：(1)设 B 型设备每小时铺设路面 x 米，则 A 型设备每小时铺设路面(2 x ＋30)米， 根据题意得，30 x ＋30(2 x ＋30)＝3 600， 解得 x ＝30.则2 x ＋30＝90. 答： A 型设备每小时铺设的路面长度为90米. [2023开州一模]某工程队采用 A ， B 两种设备同时对长度为3 600米的公路进行施工改造.原计划 A 型设备每小时铺设路面比 B 型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务. (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3 600米多了750米.在实际施工中， B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了( m ＋25)小时，同时， A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3 m 米，而使用时间增加了 m 小时，求 m 的值. 解：(2)根据题意得，30(30＋ m ＋25)＋(90－3 m )(30＋ m ) ＝3 600＋750，整理得， m2－10 m ＝0， 解得 m1＝10， m2＝0(舍去)，∴ m 的值为10. 题型十五：进制问题 例20八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本 数字.八进制数3 745换算成十进制数是3×83＋7×82＋ 4×81＋5×80＝2 021. (1)八进制数3 746换算成十进制数是 ⁠； 2 022　 点拨：3 746＝3×83＋7×82＋4×81＋6×80＝1 536＋448＋32＋6＝2 022.故八进制数3 746换算成十进制数是2 022. (2)小华设计了一个 n 进制数143，换算成十进制数是120，求 n 的值. 解：依题意有 n2＋4× n1＋3× n0＝120， 解得 n1＝9， n2＝－13(舍去).故 n 的值是9. 八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字.八进制数3 745换算成十进制数是3×83＋7×82＋4×81＋5×80＝2 021. 题型十六：整体思想 例21若 a 是一元二次方程 x2＋2 x －3＝0的一个根，则2 a2＋4 a ＝ ⁠. 6　 【变式21-1】已知α，β是一元二次方程 x2－2 023 x －2 024＝0的两个 根，则α2－2 024α－β的值等于 ⁠. 1 题型十七：降次思想 例22若实数 x 满足 x2－3 x －1＝0，则2 x3－5 x2－5 x －1＝ ⁠. 点拨：∵ x2－3 x －1＝0，∴ x2＝3 x ＋1， x2－3 x ＝1. ∴2 x3－5 x2－5 x －1＝2 x · x2－5(3 x ＋1)－5 x －1＝2 x (3 x ＋1)－5(3 x ＋1)－5 x －1＝6 x2－18 x －6＝6( x2－3 x )－ 6＝6－6＝0. 点方法：将要求的代数式逐步降次，代入求值. 0　 题型十八：分类讨论思想 例23[2024杭州期中]已知△ ABC 的两边 AB ， AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2－2( n －1) x ＋ n2－2 n ＝0的两个根，第三边 BC 的长是10. (1)求证：无论 n 取何值，此方程总有两个不相等的实数根. (1)证明：∵Δ＝[－2( n －1)]2－4( n2－2 n )＝4＞0， ∴无论 n 取何值，此方程总有两个不相等的实数根. 【变式23-1】 [2024杭州期中]已知△ ABC 的两边 AB ， AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2－2( n －1) x ＋ n2－2 n ＝0的两个根，第三边 BC 的长是10. (2)当 n 为何值时，△ ABC 为等腰三角形？并求△ ABC 的周长. (2)解：由(1)可得 AB ≠ AC ， ∴当△ ABC 为等腰三角形时， x ＝10为一元二次方程的一个根，把 x ＝10代入原方程， 得100－20( n －1)＋ n2－2 n ＝0， 解得 n ＝12或 n ＝10. ①当 n ＝12时，方程变为 x2－22 x ＋120＝0， 设等腰三角形的底边长为 m ，根据根与系数的关系， 得 m ＋10＝22，∴ m ＝12， ∴△ ABC 的周长为10＋10＋12＝32； ②当 n ＝10时，方程变为 x2－18 x ＋80＝0， 设等腰三角形的底边长为 n ， 根据根与系数的关系，得10＋ n ＝18，解得 n ＝8， ∴△ ABC 的周长为10＋10＋8＝28. 综上所述，当 n ＝12或10时，△ ABC 是等腰三角 形，此时△ ABC 的周长为32或28. (3)当 n 为何值时，△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ (3)解：由题意得 AB ＋ AC ＝2( n －1)， AB · AC ＝ n2－2 n . ∵△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，且 BC ＝10， ∴ AB2＋ AC2＝ BC2，即( AB ＋ AC )2－2 AB · AC ＝ BC2. ∴4( n －1)2－2( n2－2 n )＝100，解得 n ＝8或 n ＝－6. [2024杭州期中]已知△ ABC 的两边 AB ， AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2－2( n －1) x ＋ n2－2 n ＝0的两个根，第三边 BC 的长是10. 当 n ＝8时， AB ＋ AC ＝2×(8－1)＝14，符合题意； 当 n ＝－6时， AB ＋ AC ＝2×(－6－1)＝－14，不合题意. 综上所述， n ＝8时，△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形. 易错易混 易错点一：忽略一元二次方程二次项系数不为0 1.一元二次方程(m-1)x²+x+m+2m-3=0的一个根是 0,求m的值 错解:将x=0代入(m-1)x²+x+m²+2m-3=0,得 m²+2m-3=0.所以 m1 =1,m2,=-3. 正解:将x=0代入(m-1)x²+x+m+2m-3=0,得m²+2m-3=0.所以m1=1,m2,=-3因为 m-1≠0,所以 m≠1,所以m=-3. D 易错点二：使用根的判别式时,忽略二次项系数不为0 2.[聊城中考]若关于x的一元二次方程(k-2)x²-2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为( ) 正解:因为关于x的一元二次方程(h-2)x²-2kx+h=6有实数根， 所以k-2≠0且A=(-2k)²-4(k-2)(k-6)≥0,3解得且k≠2. 故选 D. 错点三： 使用根与系数的关系时,忽略前提条件“△≥0 3.[巴中中考改编]设x1,,x2,是方程x²+(2m+1)x+m²-1=0的两个实数根,且满足x1²+x2²+x1x2-17=0,求m的值 正解:因为方程x²+(2m+1)x+m²-1=0有两个实数根，所以Δ=(2m+1)²-4(m²-1)≥0.所以4m+5≥0,解得m≥- 所以m的值为 易错点四：忽略方程的根是否符合实际意义 4.[教材 P22 习题 21.319 变式题]如图,某学校计划利用一片空地建一个自行车停车棚,其中一面靠墙(这面墙的长度为 12 m)另外三面用木板材料围成.计划建造车棚的面积为 80 m’已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为 26 m.(1)为了方便学生出行,学校决定在与墙平行的一面开一个2m 宽的门,那么这个车棚的长和宽分别应为多少米?(2)为了方便学生取车,学校决定在车棚内修建几条等宽的小路(小路与车棚的某一边平行),使得停放自行车的面积为54 m’,那么小路的宽是多少米? 正解:(1)当x=4时,28-2x=20>12(不合题意,舍去); 当x=10时,28-2x=8<12.所以这个车棚的长为 10m,宽为8m. (2)解得a1=13(不合题意,舍去),a2=1.答:小路的宽为1m. 1. （2023秋•天门校级期中）若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有实数根，则k的取值范围是( ____ ) A.k＜1 B.k≤1 C.k＜1且k≠0 D.k≤1且k≠0 【解析】解：∵一元二次方程kx2-6x+9=0有实数根， ∴(-6)2-4×9k≥0，且k≠0， 解得k≤1且k≠0， 故选：D． D 押题预测 68 2. （2023秋•和平区期中）若α，β是一元二次方程x2-3x-4=0的两个根，则α+β的值为( ____ ) A.-4 B.4 C.-3 D.3 【解析】解：∵α，β是一元二次方程x2-3x-4=0的两个根， ∴α+β=- =- =3． 故选：D． D 69 3. （2023秋•滨湖区校级期中）《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16=49，则该方程的正数解为 7-4=3．”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x=m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为 ____ ． 【解析】解：x2+12x=m, ∵阴影部分的面积为64， ∴x2+12x=64，设4a=12，则a=3， 同理：先构造一个面积为x2的正方形， 再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形， 得到大正方形的面积为64+32×4=64+36=100， 则该方程的正数解为10-6=4，故答案为：4． 4 70 4. （2023秋•游仙区期中）解方程 (1)(2x-1)2=(2-3x)2； (2)2x2-x-3=0． 【解析】解：(1)(2x-1)2=(2-3x)2， (2x-1)2-(2-3x)2=0， [(2x-1)+(2-3x)][(2x-1)-(2-3x)]=0， (1-x)(5x-3)=0， ∴1-x=0或5x-3=0， ∴x1=1，x2= ． (2)2x2-x-3=0， (2x-3)(x+1)=0， ∴2x-3=0或x+1=0， ∴x1= ，x2=-1． 71 5. （2023秋•成华区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． (1)若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； (2)现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【解析】解：(1)设这个降价率为x,依题意，得： 40(1-x)2=32.4， 解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去)． 答：这个降价率为10%． 72 (2)设每千克应涨价y元，则每天可售出(500-20y)千克， 依题意，得：(10+y)(500-20y)=6000， 整理，得：y2-15y+50=0， 解得：y1=10，y2=5． ∵要使顾客得到实惠，∴y=5． 答：每千克应涨价5元． 5. （2023秋•成华区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． (1)若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； (2)现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 73 $$