专题02 轴对称（考题猜想，易错必刷58题10种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（鲁教版五四制）

专题02 轴对称（易错必刷58题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 轴对称图形的判断 · 轴对称中的光线反射问题 · 轴对称中的面积问题 · 镜面对称问题 · 轴对称中的角平分线问题 · 轴对称中的其它问题 · 画对称轴及轴对称图形 · 台球桌面上的轴对称问题 · 轴对称中的折叠问题 · 轴对称中的最值问题 · 等腰三角形的三线合一问题 · 一．轴对称图形的判断（共5小题） 1．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C．     D． 4．4月15日是国家安全教育日，国家安全是安邦定国的重要基石，维护国家安全是全国各族人民根本利益所在．下列网络安全宣传标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的的是（    ） A． B． C． D． 5．下列图片是几所名牌大学的校徽，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 二．画对称轴及轴对称图形（共6小题） 6．画出下列各轴对称图形的对称轴． 7．（1）正五边形（各边相等且各角也相等的五边形，如图①）有几条对称轴？ （2）在图①中画一条对角线得到图②，图②有几条对称轴？ （3）如果在图②中再画一条对角线，那么所得图形有几条对称轴？ 8．如图，和关于直线对称，和关于直线对称．    (1)画出直线； (2)直线与相交于点，试探究与直线，所夹锐角的数量关系． 9．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点都在格点上． (1)若和关于直线l对称，请画出； (2)将向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (3)连接，利用网格，用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线． 10．如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上，则称为格点三角形． (1)在图1，画出一个与成中心对称的格点三角形 (2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； (3)在图3中，画出绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 11．图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出（点在小正方形的顶点上），使为轴对称图形； (2)在图中画出四边形（点、都在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形且面积为4． 三．轴对称中的光线反射问题（共6小题） 12．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 13．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 14．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 15．如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）． (1)画出线段关于平面镜所成像； (2)一束光线从A点出发经平面镜上P点反射后经过点B，请在平面镜上确定点P，保留作图痕迹；（提示此时周长最小） (3)描出线段上的点M及直线上的点N，使得直线垂直平分． 17．如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 四．台球桌面上的轴对称问题（共5小题） 18．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 19．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 20．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    21．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 22．如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 五．轴对称中的面积问题（共5小题） 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 24．如图，在中，，点为的中点，连接．点在射线上运动，当点不与点重合时，连接．设． (1)的长为________； (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当是轴对称图形时，求的面积； (4)如图，作点关于直线的对称点，连接，当点三点共线时，直接写出的值． 25．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)计算出的面积__________； (2)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使的长最短． 26．如图，在正方形网格中有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 27．如图，小正方形网格的边长为1，请在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留画图痕迹） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使值最小；（要求在直线上标出点P的位置） (3)的面积为______． 六．轴对称中的折叠问题（共6小题） 28．如图，将一张长方形纸条折叠，如果，则（     ） A． B． C． D． 29．如图，四边形纸片中，，，将四边形纸片沿直线折叠，点、分别对应点、，接着将折叠后的四边形沿着射线方向进行平移，点恰好与点重合后停止，得到四边形，若，，则 ． 30．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为 ． 31．如图，在中，点是上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为点，，则的度数为 ． 32．如图，将宽度相等的纸条如图折叠，已知，则的度数为 . 33．如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点； (1)若，求的度数． (2)若点落在上，请判断折痕与的位置关系，并说明理由； (3)设，． ①当恰好平分时，求的度数； ②请用含的代数式表示． 七．镜面对称问题（共6小题） 34．小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（     ） A． B． C． D． 35．如图，，，，是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面上放了写有字母“”的纸片，某人站在处可以看到镜面上的字母在镜面，，中的影像，则下列判断中正确的是（　　 ）    A．镜面与中的影像一致 B．镜面与中的影像一致 C．镜面与中的影像一致 D．在镜面中的影像是“” 36．小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(     )    A．   B．   C．   D．     37．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 38．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ． 39．平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 八．轴对称中的最值问题（共6小题） 40．如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（    ）      A． B． C． D． 41．已知，都是等边的中线，点为上一动点，，则的最小值是（    ）．    A． B． C． D．6 42．如图，为等边边上的高，，，为高上任意一点，则的最小值为（       ）    A． B． C．5 D． 43．如图，已知正方形的边长为4，点E是边的中点，点F是对角线上的动点，则的最小值是 ． 44．如图，在矩形中，，，点为中点，，为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为 ． 45．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)的面积为__________． (3)在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使的长最短． 九．轴对称中的角平分线问题（共4小题） 46．如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④． 其中正确的结论有（     ）    A．4 B．3 C．2 D．1 48．如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．    49．如图，在中，，，是的用平分线，已知，求． 一十．等腰三角形的三线合一问题（共4小题） 50．如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 51．如图，等腰中，，面积为24．点在边上，点在边上，且垂直平分，点是边的中点，点在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为 ． 52．如图，已知点为中点，，过点作，垂足为点，若，则 ． 53．如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为 ． 十一．轴对称中的其它问题（共5小题） 54．如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)的面积为______； (3)以为边作与全等的三角形（顶点在格点上，不包括），可作出______个． 55．已知，在中，，点在射线上，连接，，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，直线分别交直线，于点，，连接，，．    (1)如图1，点在线段上． ①根据题意补全图1； ② （用含有的代数式表示）， ； ③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． (2)点在线段的延长线上，且，直接用等式表示线段，，之间的数量关系，不证明． 56．（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（     ） A．    B．   C．    D． （2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． 57．如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． 58．如图，网格中的每一个正方形的边长为，为格点三角形，直线为格点直线点、、、、在小正方形的顶点上． (1)仅用直尺在图中作出关于直线的对称图形． (2)如图，仅用直尺将网格中的格点三角形的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影． (3)如图，仅用直尺作三角形的边上的高，简单说明你的理由． $$专题02 轴对称（易错必刷58题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 轴对称图形的判断 · 轴对称中的光线反射问题 · 轴对称中的面积问题 · 镜面对称问题 · 轴对称中的角平分线问题 · 轴对称中的其它问题 · 画对称轴及轴对称图形 · 台球桌面上的轴对称问题 · 轴对称中的折叠问题 · 轴对称中的最值问题 · 等腰三角形的三线合一问题 · 一．轴对称图形的判断（共5小题） 1．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可. 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题理解 “将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义. 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C．     D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合，判断即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判断识别，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 4．4月15日是国家安全教育日，国家安全是安邦定国的重要基石，维护国家安全是全国各族人民根本利益所在．下列网络安全宣传标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的性质即可判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形以及轴对称图形的定义是解题的关键． 5．下列图片是几所名牌大学的校徽，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形. 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 二．画对称轴及轴对称图形（共6小题） 6．画出下列各轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题属于中考常考题型．根据轴对称图形的性质画出对称轴即可． 【详解】解：对称轴如图所示： 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质。 7．（1）正五边形（各边相等且各角也相等的五边形，如图①）有几条对称轴？ （2）在图①中画一条对角线得到图②，图②有几条对称轴？ （3）如果在图②中再画一条对角线，那么所得图形有几条对称轴？ 【答案】（1）正五边形有5条对称轴；（2）图②有1条对称轴；（3）1条 【分析】（1）根据正五边形的性质判断即可； （2）根据轴对称图形的性质判断即可； （3）根据轴对称图形的性质判断即可． 【详解】解：（1）正五边形有5条对称轴； （2）图②有1条对称轴； （3）如果在图②中再画一条对角线，那么所得图形有1条对称轴． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称图形的性质，属于中考常考题型． 8．如图，和关于直线对称，和关于直线对称．    (1)画出直线； (2)直线与相交于点，试探究与直线，所夹锐角的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题（1）如答图，连接，画出线段的垂直平分线EF，则直线EF即为所求． （2）根据对称找到相等的角，然后进行推理． 【详解】（1）解：如图，连接，画出线段的垂直平分线，则直线即为所求．    （2）解：如图，连接，，    因为和关于直线对称， 所以 因为和关于直线对称， 所以， 所以， 即 【点睛】本题考查了轴对称作图及性质，解答此题要明确轴对称的性质：1．对称轴是一条直线．2．垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．3．在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等．4．在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份．5．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 9．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点都在格点上． (1)若和关于直线l对称，请画出； (2)将向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (3)连接，利用网格，用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题（1）利用网格作出各顶点关于直线l对称的点，再顺次连接即可； （2）利用平移的性质作出图形即可； （3）取格点，作出直线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图，即为所作； （3）解：如图，线段的垂直平分线即为所作． 证明：连接，由图可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线 【点睛】本题考查了作图—轴对称变换、作图—平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质． 10．如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上，则称为格点三角形． (1)在图1，画出一个与成中心对称的格点三角形 (2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； (3)在图3中，画出绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题（1）如图①，以点C为对称中心画出； （2）如图②，以边所在的性质为对称轴画出； （3）如图③，利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点D、E，从而得到； 【详解】（1）如图1所示， 为所作． （2）如图，为所作； （3）如图，为所作． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，轨迹，作图-轴对称变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型． 11．图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出（点在小正方形的顶点上），使为轴对称图形； (2)在图中画出四边形（点、都在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形且面积为4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）画等腰三角形即可（答案不唯一）． （2）画出四边形，使四边形为轴对称图形且面积为4即可． 【详解】（1）如图中，即为所求． （2）如图中，四边形即为所求． 【点睛】本题考查作图轴对称变换，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 三．轴对称中的光线反射问题（共6小题） 12．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 【点睛】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 13．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 14．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15．如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余求出，进而可得，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）． (1)画出线段关于平面镜所成像； (2)一束光线从A点出发经平面镜上P点反射后经过点B，请在平面镜上确定点P，保留作图痕迹；（提示此时周长最小） (3)描出线段上的点M及直线上的点N，使得直线垂直平分． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)图形见解析 【分析】（1）找到线段的端点关于直线的对应点即可完成作图； （2）连接即可完成作图； （3）以为对角线作出矩形，即可确定其中点M，根据格点三角形全等作出垂线，即可；完成作图； 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，点P即为所求． （3）如图，即为所求． 如图，取格点E，F，G，由题意， ，， ， 同理，， ， ， ， ， ∴直线垂直平分线段． 【点睛】本题考查了网格作图，掌握轴对称、垂直平分线及线段和最小等相关结论是解题关键． 17．如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作图； （2）根据入射角等于反射角，可得，，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求， ； （2）解：由轴对称的性质可知． 在中，． 由轴对称性质，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 四．台球桌面上的轴对称问题（共5小题） 18．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【点睛】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 19．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的知识。 20．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 21．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 【答案】见解析 【分析】本题要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求． 【详解】解：如图所示，画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 理由：由轴对称性质得． 又∵， ∴． ∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 【点睛】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识． 五．轴对称中的面积问题（共5小题） 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)24 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求； （3）利用梯形的面积公式计算即可； 【详解】（1）如图，直线和 即为所求； ， （2）如图，连接，交直线l于点P，连接 此时，为最小值， 最小， 即的周长最小，则点P即为所求； ， （3）四边形的面积为： ． 【点睛】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 24．如图，在中，，点为的中点，连接．点在射线上运动，当点不与点重合时，连接．设． (1)的长为________； (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当是轴对称图形时，求的面积； (4)如图，作点关于直线的对称点，连接，当点三点共线时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)或 ； (3)或； (4)或． 【分析】（）由等腰三角形的性质求出，由勾股定理可求出答案； （）当时，点与点重合，当时，由勾股定理可求出答案； （）分三种情况，由等腰三角形的性质及勾股定理可得出答案； （）分两种情况，当在的延长线上时，当在的延长线上时，由轴对称的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）∵，，点为中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，点与点重合，在中，， ∴， 当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故的值为或 ； （3）当时，点与点重合，不符合题意， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的面积为或； （4）当在的延长线上时，如图， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在 中, ， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∵， 在中，， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定，轴对称的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 25．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)计算出的面积__________； (2)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)3 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）利用割补法即可得出答案； （2）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 【详解】（1）； 故答案为：3 （2）如图，根据题意，可得： 点 、、 关于直线 对称的点分别为点 、、 ， 连接 、、，则 即为所作；    （3）如图， 连接 交直线 于点 ， 连接 ， ∵点 和点 关于直线 对称， ∴直线 垂直平分 ， ∴， ∴， 这时 的长最短， ∴点 即为所求；    【点睛】本题考查作图-轴对称变换， 轴对称-最短路线；解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积． 26．如图，在正方形网格中有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】（1）先做出三点关于直线的对称点，然后顺次连接，即可得到. （2）利用割补法进行计算的面积即可． 【详解】（1）如图所示:即为所画； （2） . ∴的面积为6． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的作法，及网格中利用割补法求图形的面积．准确的做出图形是解题的关键． 27．如图，小正方形网格的边长为1，请在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留画图痕迹） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使值最小；（要求在直线上标出点P的位置） (3)的面积为______． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用关于直线对称的性质，分别得出对应点，连接即可； （2）利用轴对称求最短路线的方法，连接交直线于点P，即可得答案； （3）利用分割法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如下图，作对应点，连接，即为所求； （2）如（1）图，连接交直线于点P，点P即为所求； （3）， ． 【点睛】本题考查作图一轴对称变换，三角形的面积，最短路线问题，解题的关键是正确得出对应点位置． 六．轴对称中的折叠问题（共6小题） 28．如图，将一张长方形纸条折叠，如果，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据平行，得出再根据折叠的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题概念． 29．如图，四边形纸片中，，，将四边形纸片沿直线折叠，点、分别对应点、，接着将折叠后的四边形沿着射线方向进行平移，点恰好与点重合后停止，得到四边形，若，，则 ． 【答案】 【分析】由折叠性质可得，，由平移得，进而求得，求出的度数，再根据，即可求解． 【详解】如图， 由折叠的性质可得，， 由平移的性质可得，， ∴ ∵ ∴，即 ∵ ∴，即 解得： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平移的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于找出角度之间的数量关系． 30．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题延长交于点G，根据三角形内角和定理可求出，由翻折的性质可知，，即得出，从而求出，由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出，从而可求出． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，翻折的性质，三角形外角性质． 31．如图，在中，点是上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题由三角形外角性质得到，由邻补角得到，由折叠得到，利用角的差即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 根据翻折的性质得， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了折叠的性质、三角形外角的性质、邻补角等知识。 32．如图，将宽度相等的纸条如图折叠，已知，则的度数为 . 【答案】/140度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用平行线的性质可得：，再利用折叠的性质可得：，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， 由折叠得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 33．如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点； (1)若，求的度数． (2)若点落在上，请判断折痕与的位置关系，并说明理由； (3)设，． ①当恰好平分时，求的度数； ②请用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】（1）由平行线的性质即可得到答案； （2）由折叠可知，则，又由即可得到结论； （3）①由角平分线定义及折叠的性质得到答案； ②由①得到，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ， ∴． （2）点落在上， ∴ ∴ ． （3）① ∵恰好平分， ② 由（1）得： 又∵， ∴ 【点睛】此题考查了折叠的性质、平行线的性质等知识。 七．镜面对称问题（共6小题） 34．小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据镜面对称的性质，求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为10：51， 故选：C． 【点睛】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．解决此类题应认真观察和有空间想象力． 35．如图，，，，是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面上放了写有字母“”的纸片，某人站在处可以看到镜面上的字母在镜面，，中的影像，则下列判断中正确的是（　　 ）    A．镜面与中的影像一致 B．镜面与中的影像一致 C．镜面与中的影像一致 D．在镜面中的影像是“” 【答案】C 【分析】本题根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可求得镜面与中的影像一致． 【详解】解：根据题意得： 在处可以看到镜面上的字母在镜面与中的影像都是“”， 镜面与中的影像一致． 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质． 36．小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(     )    A．   B．   C．   D．     【答案】D 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有D与原图形成镜面对称． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键． 37．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解． 【详解】解：此刻的实际时间应该是， 故答案为： 【点睛】本题考查钟表的镜面对称问题。 38．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质． 39．平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，因此的真实图像应该是． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合． 八．轴对称中的最值问题（共6小题） 40．如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小．    由对称性可知：， ∵， ∴， ∴最小时，点P应该满足，此时无法确定与，的大小关系，的度数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质． 41．已知，都是等边的中线，点为上一动点，，则的最小值是（    ）．    A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得出、关于对称，再根据两点之间线段最短进行求解． 【详解】解：，都是等边的中线， 、关于对称， ， 故选：D 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 42．如图，为等边边上的高，，，为高上任意一点，则的最小值为（       ）    A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】此题要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图所示：连接，交于点，此时最小，过点作于点，    ∵为等边边上的高， ∴点与点关于对称， 又∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，轴对称及勾股定理等知识，作出辅助线是解决本题的关键． 43．如图，已知正方形的边长为4，点E是边的中点，点F是对角线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题连接交于点O，连接，由正方形的性质得到两点关于对称，得到，当点与点重合时，有最小值，即为的长，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接， 四边形是边长为4的正方形， 两点关于对称，， ， 当点与点重合时，有最小值，即为的长， 点E是边的中点， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，正方形的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键． 44．如图，在矩形中，，，点为中点，，为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为 ． 【答案】4 【分析】根据题意可知，为定长，四边形周长最小只要最小即可，取中点连接，在上取，连接，可推出，作点关于的对称点，连接交于点，利用三角形三边关系，可推出的长即为所求，最后利用等腰三角形的判定和性质，可得，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，，，，点为中点 为定长 四边形周长最小时，即最小 取中点连接，在上取，连接 则四边形为矩形， 四边形为平行四边形， 最小，即最小即可 作点关于的对称点，连接交于点 则， 即最小时，点位于处 的长即为所求 ， 是等腰直角三角形 故答案为：4． 【点睛】本题考查了轴对称的应用，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并确定四边形周长最小时，点的位置是解题的关键． 45．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)的面积为__________． (3)在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使的长最短． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，三角形面积计算，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）先作出点B、C关于直线l对称的点、，然后再顺次连接即可； （2）利用割补法求值三角形的面积即可； （3）连接，交l于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：． 故答案为：． （3）解：连接，交l于P，点P即为所求． 连接，根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当B、P、在同一直线上时，最小，即最小． 【点睛】本题主要考查了轴对称作图，三角形面积计算，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 九．轴对称中的角平分线问题（共4小题） 46．如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题作点关于的对称点M，连接，当时．此时取得最小值． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 作点关于的对称点M，连接， 由对称的性质可知，, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴M在上 由垂线段最短可知：当时．取得最小值， ∴此时也取得最小值． ∵， ∴， ∵ ∴ ∴的最小值为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理，的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题。 47．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④． 其中正确的结论有（     ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题利用垂直平分线的性质及可得，进而可得，则可判断①，根据垂直平分线的性质及含角的直角三角形的特征可判断②，根据全等三角形的性质得，再根据含角的直角三角形的特征得，由可判断③，根据垂直平分线的性质得，再根据全等三角形的性质得，进而可判断④． 【详解】解：在中，， ， ， 垂直平分， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ，故②正确； ，， ， ， ， ， 在中，， ， ，即：， ， ，故③错误； 垂直平分， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、垂直平分线的性质、角平分线的判定、含角的直角三角形的特征，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 48．如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．    【答案】①②③ 【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断． 【详解】解：∵在与中，，， ∴故①正确； ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴故②正确； 如图，连接，过点D作，过点D作，    ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键． 49．如图，在中，，，是的用平分线，已知，求． 【答案】 【分析】本题由角平分线的定义可得，进而得，即可得，最后利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵，是的用平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的性质，掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 一十．等腰三角形的三线合一问题（共4小题） 50．如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】如图，连接， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∵点分别为线段的中点， ∴， 故选：． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 51．如图，等腰中，，面积为24．点在边上，点在边上，且垂直平分，点是边的中点，点在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为 ． 【答案】10 【分析】连接，由，点是边的中点可得 ，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点在上时，最小，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， 当点在上时，最小，最小值为， 的周长最短 ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 52．如图，已知点为中点，，过点作，垂足为点，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形判定以及性质，过C点作交与点G，由线段中点的定义可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，由等角的补角相等可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，由线段的和差关系可得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过C点作交与点G， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形判定以及性质。 53．如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 十一．轴对称中的其它问题（共5小题） 54．如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)的面积为______； (3)以为边作与全等的三角形（顶点在格点上，不包括），可作出______个． 【答案】(1)作图见详解 (2)5 (3)3 【分析】（1）分别作出A、B、C三点关于直线l的对称点、、即可； （2）利用分割法求三角形面积即可； （3）用轴对称思想，即可求解， 本题考查了，画轴对称图形，分割法计算三角形面积，够造全等三角形，解题的关键是：熟练掌握轴对称的性质． 【详解】（1）解：如图即为所求，    （2）解：， 故答案为：5， （3）解：根据轴对称，确定全等三角形如下：    共有3个， 故答案为：3． 55．已知，在中，，点在射线上，连接，，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，直线分别交直线，于点，，连接，，．    (1)如图1，点在线段上． ①根据题意补全图1； ② （用含有的代数式表示）， ； ③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． (2)点在线段的延长线上，且，直接用等式表示线段，，之间的数量关系，不证明． 【答案】(1)①见详解；②，60；③，证明见详解 (2) 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②根据轴对称的性质可得，，结合即可求得，然后根据三角形外角的定义和性质即可确定的值； ③根据轴对称的性质可得垂直平分，即，，再根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，然后根据即可证明结论； （2）根据轴对称的性质可得垂直平分，即，，再根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，然后根据即可证明结论． 【详解】（1）解：①补全图形如下图；    ②根据题意可知，，， ∵点、关于直线对称， ∴， ∵点、关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴． 故答案为：，60； ③，证明如下： ∵点、关于直线对称， ∴垂直平分，即，， ∵， ∴， ∴ ； （2）． 证明如下： 如下图，    ∵点、关于直线对称， ∴垂直平分，即，， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 56．（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（     ） A．    B．   C．    D． （2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】（1）B；（2）见解析 【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解． （2）本题考查将军饮马模型，作关于直线a的对称点，连接与直线a交于点,根据对称的性质和两点之间线段最短，即可得到最短． 【详解】（1）解：根据做法可知：，，， ∴， 故选：B． （2）解：点O的位置如图所示： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解． 57．如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先画出点A、B、C关于对称的对应点，再依次连接即可； （2）以点C为圆心，长为半径画弧，交于一点，再以该点和点B为圆心，大于该点到点B距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点C和两弧交点，交于点H，即为所求； （3）连接A、，与的交点即为所求点P． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了轴对称作图，尺规作图—作垂线，熟练掌握相关性质和作图步骤是解题的关键． 58．如图，网格中的每一个正方形的边长为，为格点三角形，直线为格点直线点、、、、在小正方形的顶点上． (1)仅用直尺在图中作出关于直线的对称图形． (2)如图，仅用直尺将网格中的格点三角形的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影． (3)如图，仅用直尺作三角形的边上的高，简单说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)2平方单位 (3)见解析 【分析】（1）直接利用轴对称的性质作图即可； （2）利用的面积，借助网格中的每一个正方形的边长为，即可将的面积三等分，方法较多； （3）如图，选择格点、，证明≌于是，．选择格点，证明≌，于是．推出为线段的垂直平分线，设与相交于点，则为所要求的的边上的高． 【详解】（1）解：如图中，即为所求． （2）解：如图，取格点，计算可知平方单位 本题方法多，列举部分方法如下： （3）解：如图，选择格点、，证明≌于是． 选择格点，证明≌，于是，． 为线段的垂直平分线，设与相交于点，则为所要求的的边上的高． 【点睛】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． $$