专题02 轴对称（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（鲁教版五四制）

清单02 轴对称（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 【清单02】轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称， 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 【清单03】轴对称和轴对称图形的区别和联系 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 【清单04】轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【考点题型一】认识轴对称图形及画对称轴 【例1】下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．如图所示的剪纸体现了数学中的（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 【变式1-3】下列说法不正确的是（　　） A．角平分线是角的对称轴 B．将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴 C．角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形 D．线段、角、等腰三角形都是轴对称图形 【变式1-4】（1）正五边形（各边相等且各角也相等的五边形，如图①）有几条对称轴？ （2）在图①中画一条对角线得到图②，图②有几条对称轴？ （3）如果在图②中再画一条对角线，那么所得图形有几条对称轴？ 【变式1-5】如图，和关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺在图①和图②中，分别作出直线l． 【考点题型二】根据成轴对称图形的性质就行判断 【例2】如图，△ABC与关于直线对称，交于点，则下列结论不一定正确的是（　 　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【变式2-2】下列说法正确的是（    ） A．如果两条直线互相垂直平分，那么这两条直线互为对称轴 B．如果两个图形关于某条直线对称，那么它们的对应线段的长度相等 C．如果两个三角形形状、大小完全相同，那么它们一定成轴对称 D．如果两个图形关于某直线对称，那么对称点一定在这条直线的两旁 【变式2-3】如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式2-4】如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质．    小南根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究． (1)根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是 ； (2)小南通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”． 请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图，在筝形中，，， 求证： ． 证明： (3)连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质；筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，角，对角线等方面写出筝形的其他性质（一条即可） ． 【考点题型三】轴对称中的光线反射问题 【例3】如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　 　） A． B． C． D． 【变式3-1】光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（     ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动 【变式3-3】如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【变式3-4】茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【考点题型四】折叠问题中的轴对称 【例4】如图，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，长方形沿直线、折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点和点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分的图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 ． 【变式4-4】如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点E处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数是 ． 【考点题型五】利用线段的垂直平分线求最值问题 【例5】如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（     ）    A．5 B．6 C．8 D．9 【变式5-1】如图，在等边三角形中，为的平分线，在上分别取点，且，在上有一动点P，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【变式5-2】如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 【变式5-3】如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【变式5-4】如图，已知内两定点．试在上各找一点，使最短． 【变式5-5】口袋公园是指面向公众开放、规模较小、形状多样、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．新修的口袋公园里有一条小路，它的同侧有两个休闲凉亭C和D，要在小路上找一点P，向两个凉亭沿直线修两条小路，且费用最低．请在下图中作出图形并标出两条小路的位置． 【考点题型六】轴对称中的角平分线问题 【例6】已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    【变式6-1】在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【变式6-2】如图，在锐角三角形ABC中，，，的平分线交BC于点D，M，N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【考点题型七】等腰三角形的三线合一 【例7】如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【变式7-2】如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】房屋的屋梁设计成如图所示的形状，已知，点D、E、M、N分别是的中点，，则 【变式7-4】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【考点题型八】利用轴对称的性质进行画图与设计 【例8】如图是的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式8-1】如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【变式8-2】由小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图（每小题只画一种即可）： (1)在图1中，画线段，使与关于所在的直线对称，且为格点； (2)在图2中，画，使与关于某条直线对称，且，，均为格点． 【变式8-3】如图，在所给正方形网格（每个小正方格的边长均为）中按要求完成下列各题． (1)格点（顶点均在网格线的交点上）的面积为______； (2)画出格点关于直线对称的； (3)在直线上画出点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【变式8-4】下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 轴对称（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 【清单02】轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称， 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 【清单03】轴对称和轴对称图形的区别和联系 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 【清单04】轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【考点题型一】认识轴对称图形及画对称轴 【例1】下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．根据轴对称图形的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、C、D均不能找到一条直线，使A、C、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、C、D不是轴对称图形，不符合题意； B能找到一条直线，使B沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B是轴对称图形，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形。 【变式1-1】现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、爱，不是轴对称图形，故选项不正确； B、我，不是轴对称图形，故选项不正确； C、中，是轴对称图形，故选项正确； D、华，不是轴对称图形，故选项不正确； 故选C． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，找到图形的对称轴是解题的关键． 【变式1-2】中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．如图所示的剪纸体现了数学中的（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变换的应用，区别平移、旋转、轴对称的性质的区别是解题关键．根据所给图形判断其是轴对称图形，即可解答此题． 【详解】解：如图所示剪纸图形是轴对称图形，且有一条对称轴， 体现了数学中的轴对称． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变换的应用，区别平移、旋转、轴对称的性质的区别是解题关键． 【变式1-3】下列说法不正确的是（　　） A．角平分线是角的对称轴 B．将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴 C．角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形 D．线段、角、等腰三角形都是轴对称图形 【答案】A 【分析】根据对称轴和轴对称图形的定义判断即可求解，掌握对称轴和轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、角平分线所在的直线是角的对称轴，该选项错误，符合题意； 、将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴，该选项正确，不合题意； 、角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形，该选项正确，不合题意； 、线段、角、等腰三角形都是轴对称图形，该选项正确，不合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了对称轴、轴对称图形，掌握对称轴和轴对称图形的定义是解题的关键． 【变式1-4】（1）正五边形（各边相等且各角也相等的五边形，如图①）有几条对称轴？ （2）在图①中画一条对角线得到图②，图②有几条对称轴？ （3）如果在图②中再画一条对角线，那么所得图形有几条对称轴？ 【答案】（1）正五边形有5条对称轴；（2）图②有1条对称轴；（3）1条 【分析】（1）根据正五边形的性质判断即可； （2）根据轴对称图形的性质判断即可； （3）根据轴对称图形的性质判断即可． 【详解】解：（1）正五边形有5条对称轴； （2）图②有1条对称轴； （3）如果在图②中再画一条对角线，那么所得图形有1条对称轴． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称图形的性质，属于中考常考题型． 【变式1-5】如图，和关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺在图①和图②中，分别作出直线l． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图①过、的交点M和与的交点N作直线即为对称轴l；图②中，延长两组对应边得到两个交点M、N，然后过这两点作直线即为对称轴直线l． 【详解】解：图①过、的交点M和与的交点N作直线即为对称轴l；图②中，延长两组对应边得到两个交点M、N，然后过这两点作直线即为对称轴直线l．如图所示： 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键． 【考点题型二】根据成轴对称图形的性质就行判断 【例2】如图，△ABC与关于直线对称，交于点，则下列结论不一定正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的性质，根据成轴对称图形的性质逐项判断即可． 【详解】解：因为△ABC与关于直线对称， 所以，，，与不一定平行，故A，B，C项一定正确，D项不一定正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了成轴对称图形的性质。 【变式2-1】如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查轴对称的性质，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式2-2】下列说法正确的是（    ） A．如果两条直线互相垂直平分，那么这两条直线互为对称轴 B．如果两个图形关于某条直线对称，那么它们的对应线段的长度相等 C．如果两个三角形形状、大小完全相同，那么它们一定成轴对称 D．如果两个图形关于某直线对称，那么对称点一定在这条直线的两旁 【答案】B 【分析】本题根据轴对称的性质对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、直线不能平分，故本选项错误； B、符合轴对称的性质，故本选项正确； C、两个三角形形状、大小完全相同，它们不一定成轴对称，故本选项错误； D、两个图形关于某直线对称，不一定对称点一定在这条直线的两旁，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键． 【变式2-3】如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 【变式2-4】如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质．    小南根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究． (1)根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是 ； (2)小南通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”． 请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图，在筝形中，，， 求证： ． 证明： (3)连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质；筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，角，对角线等方面写出筝形的其他性质（一条即可） ． 【答案】(1)菱形或正方形 (2)见解析 (3)筝形的两条对角线互相垂直 【分析】（1）根据筝形的定义知，正方形和菱形都符合题意； （2）首先根据图形，写出已知求证；然后证明；首先连接，由，易证得，即可证得结论； （3）易得筝形的其他性质：①筝形的两条对角线互相垂直；②筝形是轴对称图形等． 【详解】（1）解：因为两组邻边分别相等的四边形是筝形，所以菱形或正方形符合题意． 故答案为：菱形或正方形； （2）已知：如图，在筝形中，，， 求证：， 证明：连接，    在和中， ， ， ； 故答案为：； （3）解：筝形的其他性质：①筝形的两条对角线互相垂直；②筝形是轴对称图形． 故答案为：筝形的两条对角线互相垂直（答案不唯一）． 【点睛】此题属于四边形的综合题．属于新定义类题目，考查了轴对称图形的定义、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 【考点题型三】轴对称中的光线反射问题 【例3】如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据已知可得，进而求得，根据对称可得，进而即可求解． 【详解】解：由题意，知， ∴． ∴． ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂线和角的计算，轴对称的性质； 【变式3-1】光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键． 【变式3-2】一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（     ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动 【答案】B 【分析】利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物关于镜面OC对称，形状大小，平移的速度相同，方向直线O点． 【详解】根据镜面对称的性质，在平面镜中的小球与现实中的小球关于镜面对称， ∵∠AOC=45， ∴∠BOC=45°， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°， 则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动，故B正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查镜面对称，解题关键是熟练掌握镜面对称的性质． 【变式3-3】如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处． 【变式3-4】茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 【考点题型四】折叠问题中的轴对称 【例4】如图，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题根据折叠轴对称图形的性质可以得到展开图形的样子，或者我们可以用一张正方形的纸片自己折叠一下也可以得到正确答案. 【详解】由题意得，沿虚线剪开所得得四边形四条边都相等，故展开图得到的是菱形． 故选：B 【点睛】此题考查了轴对称设计图案，根据折叠轴对称图形的性质可以得到展开图形的样子。 【变式4-1】如图，长方形沿直线、折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点和点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，根据折叠前后对应角相等可得，，结合可得答案． 【详解】解：由折叠知，， 又， ． 故选A． 【点睛】本题考查折叠的性质，根据折叠前后对应角相等进行判断。 【变式4-2】如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分的图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题根据周长的定义和折叠的性质可得出阴影部分的周长即为长方形的周长，从而求出结论． 【详解】解：根据折叠的性质可得：，，， 则阴影部分图形的周长为长方形的周长， ∵在长方形中，，， 长方形的周长为． 故选C． 【点睛】此题考查的是求阴影部分的周长，掌握周长的定义和折叠的性质是解决此题的关键． 【变式4-3】如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式4-4】如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点E处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了角的运算，角平分线的定义，折叠的性质，根据折叠可得，，由角平分线的定义可得，然后根据长方形的性质及角的运算可得答案． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了角的运算，角平分线的定义，折叠的性质，正确掌握折叠的性质是解题的关键． 【考点题型五】利用线段的垂直平分线求最值问题 【例5】如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（     ）    A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题作于，交于，连接，，根据等边三角形的判定与性质可得，点关于的对称点为点，从而得出当、、在同一直线上且时，的值最小，为，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于，交于，连接，，    在中，，， 是等边三角形， ，， ，， 点关于的对称点为点， ， ， 当、、在同一直线上且时，的值最小，为， 的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式5-1】如图，在等边三角形中，为的平分线，在上分别取点，且，在上有一动点P，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值，求出结果即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵为的平分线， ∴，， 作点N关于的对称点，连接交于P，连接，， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 即的最小值为， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识． 【变式5-2】如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 【答案】16 【分析】根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．可得，，根据三角形周长的定义即可解答． 【详解】点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M， ，， ∵的周长， ， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键。 【变式5-3】如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H，推出的最小值是，再求出的长即可． 【详解】解：如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H， ∵平分， ∴是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 在中，， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得，即， ∴（负值已舍）， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题、两点之间线段最短、垂线段最短、含45°角直角三角形的性质等知识点，能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键． 【变式5-4】如图，已知内两定点．试在上各找一点，使最短． 【答案】作图见解析 【分析】此题考查了轴对称最短路线问题，如图，分别作出点关于的对称点，连接，与的交点为，则，，故得，由两点之间，线段最短，可得此时最短，故点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 【分析】此题考查了轴对称最短路线问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式5-5】口袋公园是指面向公众开放、规模较小、形状多样、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．新修的口袋公园里有一条小路，它的同侧有两个休闲凉亭C和D，要在小路上找一点P，向两个凉亭沿直线修两条小路，且费用最低．请在下图中作出图形并标出两条小路的位置． 【答案】见解析 【分析】本题作点C关于的对称点，连接，交于点P，则点P即为所求作的点． 【详解】解：∵当最小时，费用最低， ∴作点C关于的对称点，连接，交于点P，则点P即为所求作的点，如图所示： 连接， ∵点C关于的对称点， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小． 【点睛】本题主要考查了轴对称的应用。 【考点题型六】轴对称中的角平分线问题 【例6】已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵射线，关于射线对称， ∴． 又∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴； （3）的度数为或． ①如图，当射线在的内部时，    ∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当射线在的外部时， ∵射线，关于射线对称， ∴． 当射线在的下方时，． ∵， ∴射线不在射线的下方． 当射线在射线的上方时， 如图，，    ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式6-1】在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】由折叠的性质得到，继而得到，根据题意，据此判断①错误；由折叠的性质得到DC=DE，BE=BC=6，求得的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，可判断②；设点D到AB的距离为h，根据三角形面积公式得到，可判断③；设点B到AC的距离为m，根据三角形面积公式得到，可判断④． 【详解】解：沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处， 不垂直AB，故①错误； 由折叠的性质可知DC=DE，BE=BC=6 的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，故②正确； 设点D到AB的距离为h， ，故③正确； 设点B到AC的距离为m， ，故④错误， 故选：Ｂ． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形周长的求法、三角形的面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式6-2】如图，在锐角三角形ABC中，，，的平分线交BC于点D，M，N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】直接利用将军饮马类似的模型求解最短路径即可． 【详解】在上取一点连接， ， 由题可知，当时，有最小值，为 故答案为： 4 【点睛】此题考查轴对称的性质，以及将军饮马模型的变形图，通过对称求出两边和的最小值． 【考点题型七】等腰三角形的三线合一 【例7】如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】如图，连接， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∵点分别为线段的中点， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 【变式7-1】如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】D 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂线段最短，且两点之间线段最短， ∴的最小值为的长，即的最小值为的长， 周长的最小值． 故选：D． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【变式7-2】如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 【变式7-3】房屋的屋梁设计成如图所示的形状，已知，点D、E、M、N分别是的中点，，则 【答案】3 【分析】本题先根据等腰三角形的三线合一性质和直角三角形斜边上的中线性质得到，再利用三角形的中位线性质求解即可． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴，即， ∵点E是的中点，， ∴， 又∵点N是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质，熟练掌握相关性质是解答的关键． 【变式7-4】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质和垂直平分线的性质， （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点 ∴； （2）设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质，， ∵， ∴， 在三角形中，， ， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和垂直平分线的性质。 【考点题型八】利用轴对称的性质进行画图与设计 【例8】如图是的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：如图所示： ， 可得这样的白色的小正方形有4个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查学生轴对称性的认识． 【变式8-1】如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—轴对称变换，解题关键是要明确轴对称的性质：①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份． 【详解】解：如图所示，即为所求做 【点睛】本题考查作图—轴对称变换，解题关键是要明确轴对称的性质，根据轴对称的性质作出图形即可． 【变式8-2】由小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图（每小题只画一种即可）： (1)在图1中，画线段，使与关于所在的直线对称，且为格点； (2)在图2中，画，使与关于某条直线对称，且，，均为格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形： （1）如图所示，取格点D，连接，线段即为所求； （2）根据网格的特点和轴对称图形的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，取格点D，连接，线段即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题关键。 【变式8-3】如图，在所给正方形网格（每个小正方格的边长均为）中按要求完成下列各题． (1)格点（顶点均在网格线的交点上）的面积为______； (2)画出格点关于直线对称的； (3)在直线上画出点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)10 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形面积公式即可得到结论； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接交直线于点，点即为所求． 【详解】（1）解：∴的面积为， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 【点睛】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 【变式8-4】下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作法，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，沿一条直线对折直线两旁部分完全重合．先找到合适的对称轴，然后再涂黑两个小正方形即可． 【详解】解∶如图，    【点睛】本题主要考查了轴对称图形的作法，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$