专题01 三角形（考题猜想，易错必刷51题10种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（鲁教版五四制）

专题01 有理数（易错必刷51题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 三角形的三边关系 · 三角形内角与外角关系 · 三角形的高与角平分线 · 三角形中的尺规作图 · 三角形倍长中线的应用 · 三角形内角和 · 三角形的中线 · 三角形证全等 · 三角形全等测高 · 三角形证全等中辅助线的应用 一．三角形的三边关系（共6小题） 1.两根木棒长度分别是厘米和厘米，从下列木棒中再选根与原来根组成一个三角形（根木棒首尾依次相接），应选的木棒长度为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 2．用四根长度分别为的小木棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（     ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的一边长为5，请在下列四个选项中选出另一边的长，使其能构成两种不同的等腰三角形（     ） A．2 B．11 C．2.5 D．3 4．现有长度分别为、、、的四根钢管，从中任取三根，能组成三角形的个数是（     ） A． B． C． D． 5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（      ） A．2，3，6 B．4，4，7 C．5，8，13 D．3，4，8 6．若等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 二．三角形内角和（共3小题） 7．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（     ） A． B． C． D． 9．如图，一个顶角为的等腰三角形纸片，剪去顶角后得到一个四边形，则等于（      ） A． B． C． D． 三．三角形内角与外角关系（共3小题） 10．如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ） A． B． C． D． 11．如图，为边延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点，，与的平分线交于点，若，则的值为（      ） A． B． C． D． 12．一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 四．三角形中线（共4小题） 13．如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．以下线段能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是（    ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．连接两边中点的线段 15.如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 16．如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积是8，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 五．三角形的高与角平分线（共5小题） 17．要求画的边AB上的高．下列画法中，正确的是（ ） A． B． C． D． 18．是的高，若，则的度数是（     ） A． B． C．或 D．或 19．如图，在中，是边上的高，平分，，，的度数为 ． 20．如图，在中，，，是的平分线，是高．    (1)求的度数； (2)求的度数； (3)中，若，，请你根据（1）问的结果大胆猜想与，间的等量关系，并说明理由． 21．如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 六．三角形证全等（共7小题） 22．如图，在和中，已知，，再添加一个条件，如果仍不能证明成立，则添加的条件是（     ） A． B． C． D． 23．如图，，已知点和点是对应点，的延长线分别交于点，且，，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 24．如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 25．如图，已知：在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)与交于点，求证：． 26．如图，在中，过点作直线，点、在直线上，且在点的两侧，连接、，，，．求证：． 27．如图，在中，，取点D与点E，使得，，连结与交于点O．求证：    (1)； (2)． 28．如图所示，、、、四点在同一直线上，，，．求证：． 七．三角形中尺规作图（共7小题） 29．如图，用直尺和圆规作的过程中，弧①是（     ） A．以点为圆心，以长为半径画弧 B．以点为圆心，以长为半径画弧 C．以点为圆心，以长为半径画弧 D．以点为圆心，以长为半径画弧 30．已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（    ） A． B． C． D． 31．如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　 　）      A． B． C． D． 32．如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到，判定这两个三角形全等的依据是 ． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段．    33．尺规作图：如图，已知点在射线上，，．求作点，使，．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 34．如图，已知：线段．（不写作法，保留作图痕迹） 求作：中，使得，，． 35．已知：线段，，，求作：，使，，． 八．三角形全等测高（共4小题） 36．利用三角形全等测量距离的原理是(      ) A．全等三角形对应角相等 B．全等三角形对应边相等 C．大小和形状相同的两个三角形全等 D．三边对应相等的两个三角形全等 37．如图，要测量池塘两岸M，N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点D再画出的垂线，使点E与A，C在一条直线上．若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 38．某学校八年级的数学综合实践课活动中，数学学习小组要测量某公园内池塘两岸相对的两点A，B的距离．如图所示，组长小聪建议在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上． 此时组员小慧马上就明白了测量哪条线段就可以得到A，B两点的距离了． (1)请你直接写出小慧要测量的这条线段是 ； (2)请说明你的理由． 39．1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线PQ恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线AO恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．，，，点、在同一水平直线上，试问：法军能命中目标吗？请说明理由． 九．三角形倍长中线的应用（共7小题） 40．生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（     ）．    A． B． C． D． 41．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 42．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ．    43．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 44．如图，在中，是边的中点， (1)提出问题： ①请用无刻度的直尺和圆规过点画直线，使，交的延长线于点.（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） ②试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (2)解决问题： ①_______（填“”“=”或“”）. ②若，，则长度的取值范围为_______． (3)拓展应用： 如图②，，分别是和的中线，，直接写出与的数量关系． 45．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是______，位置关系是______； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，由“三角形的三边关系”可求得边上的中线的取值范围是______； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 46．【背景问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，是边上的中线，若，求边的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______． A． B． C． D． （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是___　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，．求证：． 一十．三角形证全等中的辅助线应用（共5小题） 47．如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE． (1)判断CE与BE的关系是 ． (2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 48．已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 49．如图所示，，为等腰三角形，． (1)如图1，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ； 的度数为 ； (2)如图2，在图1的基础上，将绕点顺时针旋转到如图2的位置，其中、、在一条直线上，为线段的中点，则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系? 证明你的结论； (3)若绕点任意旋转一个角度到如图3的位置，为线段的中点，连接、，请你完成图3，请猜想线段与的关系，并验证你的猜想． 50．在中，，，直线经过点，且于，于， (1)当直线绕点旋转到图（1）的位置时，显然有：； (2)当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 51．如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由． $$专题01 有理数（易错必刷51题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 三角形的三边关系 · 三角形内角与外角关系 · 三角形的高与角平分线 · 三角形中的尺规作图 · 三角形倍长中线的应用 · 三角形内角和 · 三角形的中线 · 三角形证全等 · 三角形全等测高 · 三角形证全等中辅助线的应用 一．三角形的三边关系（共6小题） 1.两根木棒长度分别是厘米和厘米，从下列木棒中再选根与原来根组成一个三角形（根木棒首尾依次相接），应选的木棒长度为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边的关系，根据三角形三边关系求出应选木棒长度的取值范围即可求解，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：应选取的木棒的长的范围是：， 即， ∴满足条件的只有， 故选：． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，根据三角形三边关系求出应选木棒长度的取值范围是解题的关键。 2．用四根长度分别为的小木棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：当三角形三边长分别为：时， ∵，不能构成三角形， ∴所摆成的三角形的周长不可能是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 3．若等腰三角形的一边长为5，请在下列四个选项中选出另一边的长，使其能构成两种不同的等腰三角形（     ） A．2 B．11 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形成立的条件，分5为腰和底边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①当5为腰时，底边长大于0而小于； ②当5为底边时，腰长的2倍大于5， 所以，能构成两种不同的等腰三角形时另一边的长应大于2.5而小于10， 故选项D符合题意， 故选：D 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形成立的条件，然后分情况讨论是解题的关键。 4．现有长度分别为、、、的四根钢管，从中任取三根，能组成三角形的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系定理，只要满足任意两边的和大于第三边，即可确定有哪三个木棒组成三角形． 本题主要考查了三角形三边关系，掌握“三角形任意两边的和大于第三边”是解决问题的关键． 【详解】解：共有种方案： 取，，；由于，能构成三角形； 取，，；由于，不能构成三角形； 取，，；由于，不能构成三角形； 取，，；由于，能构成三角形． 所以有种方案符合要求． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，“三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”．根据三角形的三边关系判断即可． 5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（      ） A．2，3，6 B．4，4，7 C．5，8，13 D．3，4，8 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，“三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”．根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：A、， 长为2，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B、， 长为4，4，7的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； C、， 长为5，8，13的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； D、， 长为3、4、8的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形成立的条件，然后根据选项情况讨论是解题的关键。 6．若等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分的边长为腰，和的边长为腰，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的边长为腰时，，不能构成三角形，不符合题意； 当的边长为腰时，等腰三角形的周长是； 故选D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形成立的条件，然后分情况讨论是解题的关键。 二．三角形内角和（共3小题） 7．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线的概念得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理问题，牢记三角形内角和是是解题的关键． 8．如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，，结合三角形外角性质即可得到，代入的值整理即可解题． 【详解】解：， ，， ， ， 整理得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和，等边对等角，三角形外角性质。 9．如图，一个顶角为的等腰三角形纸片，剪去顶角后得到一个四边形，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理求解，再利用四边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：如图， ∵一个顶角为的等腰三角形纸片， ∴， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理与四边形的内角和定理的应用。 三．三角形内角与外角关系（共3小题） 10．如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 直接运用三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质。 11．如图，为边延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点，，与的平分线交于点，若，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的定理及外角的性质可得，，，据此找规律可求解． 【详解】解：在中，， 的平分线与的平分线交于点， ， 同理可得， ， 以此类推，， ， ， 即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，图形的变化规律． 12．一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质，可得即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质． 四．三角形中线（共4小题） 13．如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键． 14．以下线段能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是（    ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．连接两边中点的线段 【答案】A 【分析】此题根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案. 【详解】解：能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的中线， 故选：A 【点睛】本题考查了三角形中线的性质。 15.如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键． 16．如图，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积是8，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了利用三角形中线求面积，依据三角形的面积公式及点、、分别是、、的中点，推出，从而求得的面积． 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点， ∴,，、， ∴； ∵的面积是8， ∴． 故选：B 【点睛】此题考查了利用三角形中线求面积，依据三角形的面积公式就行求解。 五．三角形的高与角平分线（共5小题） 17．要求画的边AB上的高．下列画法中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义判断即可； 【详解】A中AD是边BC上面的高，故不符合题意； B中不符合三角形高的作图，故不符合题意； C中CD是AB边上的高，故符合题意； D中BD是AC边上的高，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形高的画法，准确分析是解题的关键． 18．是的高，若，则的度数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】①如图1，当高在的内部时，； ②如图2，当高在的外部时，， 综上所述，的度数为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论． 19．如图，在中，是边上的高，平分，，，的度数为 ． 【答案】 【分析】分别求出，，利用角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．如图，在中，，，是的平分线，是高．    (1)求的度数； (2)求的度数； (3)中，若，，请你根据（1）问的结果大胆猜想与，间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数； （2）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得到结论； （3）猜想，重复（1）（2）的过程找出和的度数，二者做差即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，， ； 又是的平分线， ； （2）解：是边上的高， ， 在中，，， ， 由（1）知，， ，即； （3）解：，理由如下： 且是的平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义． 21．如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 【答案】 【分析】先根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据角平分线的定义得到的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可． 【详解】解：在中，，， ， 又是的平分线， ， 又是边上的高， ， ． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角，关键是三角形内角和定理的应用． 六．三角形证全等（共7小题） 22．如图，在和中，已知，，再添加一个条件，如果仍不能证明成立，则添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据一般三角形全等的判定方法：，，，，如果是两个直角三角形，除了前边的四种，还可以利用，判断即可． 【详解】解：A、， ， ，， ， 故A不符合题意； B、，，， ， 故B不符合题意； C、，，， 和不一定全等， 故C符合题意； D、，，， ， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 23．如图，，已知点和点是对应点，的延长线分别交于点，且，，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形全等的性质可得，根据三角形的外角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是，的外角， ∴， ∴， 故选：D ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角和定理的运用。 24．如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，添加，通过“”即可证明． 【详解】解：添加， 是的两条高线， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了添加条件使三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 25．如图，已知：在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)与交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质得，然后证出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中： ， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 26．如图，在中，过点作直线，点、在直线上，且在点的两侧，连接、，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，得，而，，即可根据证明，得，所以． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质知识，证明是解题的关键． 27．如图，在中，，取点D与点E，使得，，连结与交于点O．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）由角的和差关系可得出，利用证明三角形全等即可． （2）由全等三角形的性质可得出． 【详解】（1）证明， ∴， 即 在 与 中 ∴    （2）由（1）可知 ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． 28．如图所示，、、、四点在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题由线段的和差关系可得出，利用证明，由全等三角形的性质可得出． 【详解】证明：， ， 即． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质。 七．三角形中尺规作图（共7小题） 29．如图，用直尺和圆规作的过程中，弧①是（     ） A．以点为圆心，以长为半径画弧 B．以点为圆心，以长为半径画弧 C．以点为圆心，以长为半径画弧 D．以点为圆心，以长为半径画弧 【答案】D 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 【详解】解：由题意弧①是以为圆心，为半径画弧， 故选：D 【点睛】本题考查作图复杂作图，根据作一个角等于已知角的步骤判断即可． 30．已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键． 31．如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　 　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据判定三角形全等． 【详解】解：由作图可知，，，， 故． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键． 32．如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到，判定这两个三角形全等的依据是 ． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段．    【答案】 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题． 【详解】解：在和中， ， ， 故答案为：． 【定睛】本题考查作图复杂作图，根据全等三角形的判定方法解决问题即可． 33．尺规作图：如图，已知点在射线上，，．求作点，使，．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题分别以点，为顶点，在射线上方，作，，两边的交点就是所求作的点． 【详解】解：如下图所示，点即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图的基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解题的关键． 34．如图，已知：线段．（不写作法，保留作图痕迹） 求作：中，使得，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了复杂作图．在直线l上取点C，作，在上截取，在直线l上截取，连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． ． 【点睛】本题考查了尺规作图的基本作图． 35．已知：线段，，，求作：，使，，． 【答案】见详解 【分析】作射线，在射线上顺次截取，分别以A，B为圆心，以b，a为半径画弧，两弧交于点C，连接，，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求； 【点睛】本题主要考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解题的关键． 八．三角形全等测高（共4小题） 36．利用三角形全等测量距离的原理是(      ) A．全等三角形对应角相等 B．全等三角形对应边相等 C．大小和形状相同的两个三角形全等 D．三边对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【详解】利用三角形全等测量距离，是指无法直接测量时，我们通过构造全等的方法，然后借助全等三角形对应边相等，间接测量距离， 故选B. 37．如图，要测量池塘两岸M，N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点D再画出的垂线，使点E与A，C在一条直线上．若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【答案】13 【分析】由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【详解】解：， ． 在和中， ∴， , , ． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键． 38．某学校八年级的数学综合实践课活动中，数学学习小组要测量某公园内池塘两岸相对的两点A，B的距离．如图所示，组长小聪建议在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上． 此时组员小慧马上就明白了测量哪条线段就可以得到A，B两点的距离了． (1)请你直接写出小慧要测量的这条线段是 ； (2)请说明你的理由． 【答案】(1) (2)理由见解析. 【分析】（1）观察图形，找出线段的对应边即可； （2）先根据题意得出，结合，根据证明全等即可． 【详解】（1）解：观察图形可得，线段的对应边是， 因此小慧要测量的这条线段是， 故答案为：； （2）解：理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 39．1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线PQ恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线AO恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．，，，点、在同一水平直线上，试问：法军能命中目标吗？请说明理由． 【答案】法军能命中目标．理由见解析 【分析】先根据证明，利用全等的性质可得，再作答即可． 【详解】解：法军能命中目标．理由如下： 由题意可知，， 所以． 又因为，， 所以． 在和中， ，，， 所以， 所以， 故按照BO的距离炮轰德军时，炮弹恰好落入德军Q处，即法军能命中目标． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 九．三角形倍长中线的应用（共7小题） 40．生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（     ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 41．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 42．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用 ，熟记模型的构成及结论是解题关键． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接，    ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用 ，熟记模型的构成及结论是解题关键． 43．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 44．如图，在中，是边的中点， (1)提出问题： ①请用无刻度的直尺和圆规过点画直线，使，交的延长线于点.（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） ②试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (2)解决问题： ①_______（填“”“=”或“”）. ②若，，则长度的取值范围为_______． (3)拓展应用： 如图②，，分别是和的中线，，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①作图过程见解析；②猜想：，证明见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用尺规作图，作一个角等于已知角，即，利用内错角相等，两直线平行判定即可. ②证明即可． （2）①根据得到，在中，运用三角形三边关系定理计算即可． ②利用前面的结论计算即可． （3）过点B作，交的延长线于点M，先证明，再证明，即可证明． 【详解】（1）解：①利用尺规作图，作 则， 点E即为所求. ②证明：与的数量关系为．理由如下： ∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）①解：∵ ∴， ． 在中，， ∴， 故答案为：． ②解：在中，， ∵，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （3）证明：．理由如下： 过点B作，交的延长线于点M， ∵， ∴， ∵ E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系定理，三角形中线的应用，熟练掌握尺规作图，三角形中线的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 45．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是______，位置关系是______； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，由“三角形的三边关系”可求得边上的中线的取值范围是______； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 【答案】（1），，（2）；（3） 【分析】（1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：在和中 ， ， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故答案为：． （3）解：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， 即． ∴ 【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点． 46．【背景问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，是边上的中线，若，求边的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______． A． B． C． D． （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是___　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明过程见详解 【分析】（1）根据题意，运用边角边的方法证明； （2）由（1）中三角形全等可得，在中根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解； （3）如图所示，延长至点，使得，连接，可证，可得，，，由此即可求解． 【详解】解：（1）延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴，且（对顶角相等）， 在中， ， ∴， 故选：； （2）由（1）可得， ∴，，则， 在中，， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等边对等角，等角对等边等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 一十．三角形证全等中的辅助线应用（共5小题） 47．如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE． (1)判断CE与BE的关系是 ． (2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 【答案】(1)CE＝BE且CE⊥BE (2)成立，理由详见解析 【分析】（1）根据已知条件即可证明，然后根据全等三角形的性质即可证明CE与BE的关系为垂直且相等； （2）根据已知条件证明，然后根据全等三角形的性质进行等量代换即可得到结论； 【详解】（1）解：CE＝BE且CE⊥BE，理由如下： ∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°， ∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB， 在△CDE和△EAB中， ∴， ∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA， ∵∠EBA＋∠BEA＝90°， ∴∠CED＋∠BEA＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴CE⊥BE， ∴CE＝BE且CE⊥BE． （2）解：（1）中结论成立，理由如下： ∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°， ∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB， 在△CDE和△EAB中， ∴， ∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA， ∵∠EBA＋∠BEA＝90°， ∴∠CED＋∠BEA＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴CE⊥BE， ∴CE＝BE且CE⊥BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握并熟练使用相关知识，并注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 48．已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1)①②见详解 (2) 【分析】（1）①通过证明，得，即可知道； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证； （2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答． 【详解】（1）解：因为是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 则， 那么； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示： 易得，，， 因为， 所以 故 即 因为，， 所以 则， 所以， 因为 所以 即是等边三角形， 所以 因为， 则； （2）解：过点E作， 因为， 所以 即 因为 所以， 则 过点作交于点，交于点，则， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 连接，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 49．如图所示，，为等腰三角形，． (1)如图1，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ； 的度数为 ； (2)如图2，在图1的基础上，将绕点顺时针旋转到如图2的位置，其中、、在一条直线上，为线段的中点，则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系? 证明你的结论； (3)若绕点任意旋转一个角度到如图3的位置，为线段的中点，连接、，请你完成图3，请猜想线段与的关系，并验证你的猜想． 【答案】(1)； (2)，，理由见解析 (3)，，图形和理由见解析 【分析】本题为几何变换的综合应用，涉及知识点有等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、平行线的性质和判定等．构造三角形全等是解题的关键． （1）证，结合为中点，即可得； （2）延长到，使，连接、、， 易证，进而可以证明，即可证明，； （3）基本方法同（2）． 【详解】（1）解：∵，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：；； （2）解：，，理由： 如图，延长到，使，连接、、， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又为的中点， ∴，， ∴，； （3）解：图形如图3， 结论：，， 证明如下： 如图4，延长到，使，连接、，连接交延长交于，交于， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又为的中点， ∴，， ∴，． 50．在中，，，直线经过点，且于，于， (1)当直线绕点旋转到图（1）的位置时，显然有：； (2)当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高． （1）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此仍然可以证明，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，仍然，然后利用全等三角形的性质可以得到． 【详解】（1）证明： 中，， ， 又直线经过点，且于，于， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）证明：中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）如图3， 中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； 、、之间的关系为． 51．如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；数量关系不变；理由见解析 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出∠BAC＝∠PAQ＝60°，AB＝AC，AP＝AQ，再由SAS定理即可得出结论； （2）由∠APC=∠CAP，∠B=∠BAC，∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，得∠BAP=90°，再结合，进而即可求解； （3）设CD与AP交于点O，由，得∠ACD=∠APD，结合∠AOC=∠DOP，三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵△ABC与△APD是等边三角形， ∴∠BAC＝∠PAD＝60°，AB＝AC，AP＝AD， ∴∠BAP＝∠DAC， 在△ABP与△ACD中， ， ∴（SAS）； （2）∵， ∴∠APC=∠CAP， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠BAC=60°， 又∵∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°， ∴∠BAC+∠CAP=×180°=90°，即：∠BAP=90°， ∴∠APB=90°-60°=30°， ∴∠ADC=∠APB=30°， ∵△APD是等边三角形， ∴=60°-∠ADC=60°-30°=30°； （3）=，随着点位置的变化，与的数量关系不会发生变化，理由如下： 设CD与AP交于点O， ∵， ∴∠ACD=∠ABP=60°， ∵∠APD=60°， ∴∠ACD=∠APD， 又∵∠AOC=∠DOP，∠AOC+∠ACD+∠PAC=180°，∠DOP+∠APD+∠PDC=180°， ∴=． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． $$