专题01 三角形（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（鲁教版五四制）

清单01 三角形（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】三角形的概念： (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 【清单02】三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 【清单03】三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 【清单04】全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 【清单05】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 【清单06】画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 【清单07】全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 【清单08】利用三角形全等测距离 利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质. 关键：构造全等三角形. 方法：（1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形. 【考点题型一】三角形三边之间的关系 【例1】若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，，为某三角形的三条边长，若，，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【变式1-2】四根小木棒的长度分别为、、和，用其中三根搭三角形，下列四个数中不是所搭成的三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知三角形的周长为偶数，三边分别为2、3、x，则x的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型二】三角形的内角与外角性质 【例2】如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，点B在的边的延长线上，，若，，则的度数为（     ）    A.15° B.20° C.30° D.50° 【变式2-3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则∠1、∠2、∠3的数量关系为（　　） A．∠3＝∠2+∠1 B．∠3＝∠2+2∠1 C．∠3+∠2+∠1＝180° D．∠1+∠3＝2∠2 【变式2-4】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　 　） A．30° B．37° C．54° D．63° 【考点题型三】三角形中线的应用 【例3】如图，在中，是的中线，是的中线，若，则的长度为（ ）    A.3 B.6 C.9 D.12 【变式3-1】如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（　　 ） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 【变式3-3】如图，的中线相交于点的面积为6，则四边形的面积为 ． 【变式3-4】如图，是的中线，是的高，，，，． (1)求高的长； (2)求的面积． 【考点题型四】三角形高线及角平分线的应用 【例4】如图，在中，是的高线，是的角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【变式4-1】中，，平分交于点E．    (1)，，求的大小． (2)若，则与是否相等？若相等，请说明理由． 【变式4-1】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　 　） A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF 【变式4-2】如图，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点，交于点．①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高，其中判断正确的有 ． 【变式4-3】如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CDB=90°，CE是ABC的角平分线．已知∠CEB=105°，求∠ECB，∠ECD的大小． 【考点题型五】三角形全等的判定 【例5】如图，在四边形中，，点，分别是，的中点，，.求证：.      【变式5-1】如图，在和中，点A、E、B、D在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断的是（　 　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 【变式5-3】如图，点E、B在AD上，已知AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DEF． 【变式5-4】问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【考点题型六】三角形中的尺规作图 【例6】尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　 ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【变式6-1】如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容　 　 如图，已知，求作：，使 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、 （2）作射线，并以点为圆心◎长为半径画弧交于点 （3）以点为圆心长为半径画弧交（2）步中所画弧于点 （4）作⊕，即为所求作的角 A．●表示点 B．◎表示 C．表示 D．⊕表示射线 【变式6-3】作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，线段，，． 求作：，使得，，． 【考点题型七】利用全等三角形测高 【例7】如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，D、C为两个排污口.已知，，，，点D、E、C在同一直线上，米，米，求两个排污口之间的水平距离.    【变式7-1】如图，公园有一条“”字形道路，其中，在点，，处各有一个小石凳，且点，，在同一直线上，若为的中点，与相等吗？请说明理由.    【变式7-2】为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离.甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可.    乙：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可. (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？ (2)请说明方案可行的理由. 【变式7-3】如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过F点作AB的平行线MF，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A，C，E成一条直线，你知道其中的道理吗？ 【变式7-4】有一座锥形小山，如图． （1）要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，量出DE的长度，就能得出锥形小山两端A、B的距离，请说明其中的道理． （2）为加快开山修路的进度，施工队要在A、B两点同时施工，师傅在（1）的基础上，过A作AF∥DE，过B作BG∥DE，沿FA、GB方向开工就能使F、A、B、G在同一条直线上．请运用相关知识说明其中的道理． 【考点题型八】几何动点中求使三角形全等 【例8】如图，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动．若经过秒后，与全等，则的值是 ． 【变式8-1】如图，两根旗杆相距12m，某人从B点沿BA走向A点，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求：这个人从B点到M点运动了多长时间？ 【变式8-2】如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 三角形（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】三角形的概念： (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 【清单02】三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 【清单03】三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 【清单04】全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 【清单05】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 【清单06】画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 【清单07】全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 【清单08】利用三角形全等测距离 利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质. 关键：构造全等三角形. 方法：（1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形. 【考点题型一】三角形三边之间的关系 【例1】若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∴， 解得：， ∴选项中符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键. 【变式1-1】已知，，为某三角形的三条边长，若，，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论. 【详解】解：为某三角形的三条边长，，， ， ， 故选：A. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键. 【变式1-2】四根小木棒的长度分别为、、和，用其中三根搭三角形，下列四个数中不是所搭成的三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形，从而可以找到正确的选项． 【详解】解：从四根细木棒中随机抽出三根木棒，所有结果为①、、；②、、；③、、；④、、， ；；；； 故①③④可以围成三角形，周长分别为，，， ②不能围成三角形，周长不能为． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键. 【变式1-3】已知三角形的周长为偶数，三边分别为2、3、x，则x的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形的三边关系，还要会分析出第三边应是奇数．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求得第三边的取值范围；又周长是偶数，已知的两边之和是奇数，故第三边应是奇数才行． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得： ， 即：， 又周长是偶数，已知的两边和是5，则第三边应是奇数， 第三边应等于3． 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键. 【考点题型二】三角形的内角与外角性质 【例2】如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质．由是的外角，利用三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质．由是的外角，利用三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是求出的度数的关键． 【变式2-1】如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ，， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，然后利用三角形的外角性质是解题的关键。 【变式2-2】如图，点B在的边的延长线上，，若，，则的度数为（     ）    A.15° B.20° C.30° D.50° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，再利用三角形的外角进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角.解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. 【变式2-3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则∠1、∠2、∠3的数量关系为（　　） A．∠3＝∠2+∠1 B．∠3＝∠2+2∠1 C．∠3+∠2+∠1＝180° D．∠1+∠3＝2∠2 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外角性质．利用三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出三个角之间的关系． 【详解】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAD， ∴∠3＝∠2+∠DAC＝∠2+∠BAD， ∵∠1+∠BAD＝∠2， ∴∠1+∠3＝∠1+∠2+∠BAD＝2∠2． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质．利用三角形的外角性质与角平分线的性质是解题的关键。 【变式2-4】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　 　） A．30° B．37° C．54° D．63° 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，利用三角形全等及三角形的内角和与外角的性质就行求解。 【详解】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处， ∴△BMN≌△B'MN， ∴∠BMN＝∠B'MN， ∵∠B＝35°，∠BNM＝28°， ∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°， ∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，熟练应用三角形全等及三角形的内角和与外角的性质是解题的关键。 【考点题型三】三角形中线的应用 【例3】如图，在中，是的中线，是的中线，若，则的长度为（ ）    A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】D 【分析】根据中线的性质即可求解. 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：D. 【点睛】本题考查中线的性质，熟记知识点是关键. 【变式3-1】如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线与面积的关系，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形求解即可．根据中线与面积的关系可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ ∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ 故选B． 【点睛】本题考查中线的性质，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是关键. 【变式3-2】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（　　 ） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线与面积的关系，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形求解即可． 【详解】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为12cm2， ∴△ADC的面积为：×12＝6（cm2）， ∵CE是△ADC的边AD上的中线， ∴△CDE的面积为：×6＝3（cm2）， 故选：A． 【点睛】本题考查中线的性质，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是关键. 【变式3-3】如图，的中线相交于点的面积为6，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，据此可得． 【详解】解：∵的中线相交于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查中线的性质，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是关键. 【变式3-4】如图，是的中线，是的高，，，，． (1)求高的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线： （1）根据，即可求解； （2）根据三角形中线的定义可得，再由三角形的面积公式计算，即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ． ∴， ∵，，， ∴， 解得：； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查中线、高的性质，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是关键. 【考点题型四】三角形高线及角平分线的应用 【例4】如图，在中，是的高线，是的角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由高线可得，再由三角形的内角和可求得，利用角平分线的定义可求得，从而可求的度数； （2）参照（1）的解答过程求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线定义、三角形的高等知识点，结合图形分析清楚各角之间的关系是解答的关键． 【变式4-1】中，，平分交于点E．    (1)，，求的大小． (2)若，则与是否相等？若相等，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故； （2）由（1）知，用和表示出，即可知与的关系． 【详解】（1）解：（1）， 是角平分线， 是高， ； （2）由（1）知，① 把代入①， 整理得， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质。 【变式4-1】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　 　） A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质。 【详解】解：∵AF是△ABC的中线， ∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意； ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意； ∵AE是角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，而∠BAF与∠CAF不一定相等，C说法错误，符合题意； ∵BF＝CF， ∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质。 【变式4-2】如图，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点，交于点．①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高，其中判断正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的概念，根据图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】①根据三角形的角平分线的概念，，则是的角平分线，故原说法不正确； ②根据三角形的中线的概念，是的中点，则是的边上的中线，故原说法不正确； ③根据三角形的高的概念，交于点，则为的边上的高，故此说法正确； ④根据三角形的角平分线和高的概念，，交于点，则是的角平分线和高，故此说法正确． 故答案为③④． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的概念，根据图形逐项分析判断，即可求解． 【变式4-3】如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CDB=90°，CE是ABC的角平分线．已知∠CEB=105°，求∠ECB，∠ECD的大小． 【答案】∠ECB=45°，∠ECD=15° 【分析】由CE平分∠ACB，可得∠ECB的度数，根据CD是AB边的高可知∠CDE=90°，再根据三角形的外角性质有∠CEB=∠CDE+∠ECD，据此得∠ECD的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵是边的高 ∴ 而， ∴ 【点睛】本题考查三角形的高，角平分线定义以及外角的性质，熟记这些性质是解题的关键． 【考点题型五】三角形全等的判定 【例5】如图，在四边形中，，点，分别是，的中点，，.求证：.      【答案】见解析 【分析】证明，即可. 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键. 【变式5-1】如图，在和中，点A、E、B、D在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可． 【详解】解：∵， ∴， A、∵，，，∴，∴，该选项不符合题意； B、∵，，，∴，该选项不符合题意； C、，，不能判断，该选项符合题意； D、∵，，，∴，该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再根据三角形全等的判定方法是解题的关键。 【变式5-2】如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】根据已知条件可推知，两个三角形有一组角、一组边分别对应相等，只需要再添加一组对应角相等，构成或即可证得两三角形全等（也可添加条件，构成）． 【详解】解：添加的条件是：． 理由：∵， ∴，即． 在和中，，，， ∴． 注：答案不唯一，添加或均可． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，判定三角形全等的定理有：，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 【变式5-3】如图，点E、B在AD上，已知AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见详解． 【分析】根据已知条件可推知，两个三角形有一组角、一组边分别对应相等，只需要再添加一组对应角相等，构成或即可证得两三角形全等（也可添加条件，构成）． 【详解】证明：∵AE＝DB， ∴AE+EB＝DB+EB 即AB＝DE． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，判定三角形全等的定理有：，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 【变式5-4】问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【答案】(1)全等； (2)当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定： （1）利用即可证明； （2）当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作已知条件时，不能说明，据此根据全等三角形的判定定理补充条件证明即可． 【详解】（1）解：当选择①②作为已知条件时， 在和中， ， ∴， 故答案为：全等；； （2）解；当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明如下： 在和中， ， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的定理有：，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 【考点题型六】三角形中的尺规作图 【例6】尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　 ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图作相等三角形的知识，同时对三角形全等的判定也要熟悉。 【详解】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF， ∴△ACD≌△BEF（SSS）， ∴∠MBN＝∠PAQ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了尺规作图及三角形全等的判定知识。 【变式6-1】如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【变式6-2】下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容　 　 如图，已知，求作：，使 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、 （2）作射线，并以点为圆心◎长为半径画弧交于点 （3）以点为圆心长为半径画弧交（2）步中所画弧于点 （4）作⊕，即为所求作的角 A．●表示点 B．◎表示 C．表示 D．⊕表示射线 【答案】D 【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断． 【详解】解：作法：（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； （2）作射线，并以点为圆心，长为半径画弧交于点； （3）以点为圆心长为半径画弧交（2）步中所画弧于点； （4）作射线，即为所求作的角． 所以，，选项都错误，选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一个角等于已知角）是解题的关键． 【变式6-3】作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，线段，，． 求作：，使得，，． 【答案】见详解 【分析】先作，再在上取，在上取，连接即得所求． 【详解】解：如图： 即为所求． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【考点题型七】利用全等三角形测高 【例7】如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，D、C为两个排污口.已知，，，，点D、E、C在同一直线上，米，米，求两个排污口之间的水平距离.    【答案】两个排污口之间的水平距离为米 【分析】本题考查了一线三垂直模型以及全等三角形的判定与性质，结合角的等量代换得，证明，根据全等三角形的性质可得两个排污口之间的水平距离. 【详解】解：如图：    ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴（米）. 答：两个排污口之间的水平距离为500米. 【点睛】本题考查了一线三垂直模型以及全等三角形的判定与性质，结合角的等量代换即可求得。 【变式7-1】如图，公园有一条“”字形道路，其中，在点，，处各有一个小石凳，且点，，在同一直线上，若为的中点，与相等吗？请说明理由.    【答案】，详见解析 【分析】利用证明，即可证明. 【详解】解：. 理由：∵为的中点， ∴. ∵， ∴， 在和中. ∴， ∴. 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握判定两个三角形全等的判定方法，注意中点的证明方法. 【变式7-2】为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离.甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可.    乙：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可. (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？ (2)请说明方案可行的理由. 【答案】(1)甲同学的方案可行 (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质可得甲同学的方案可行； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论. 【详解】（1）解：甲同学的方案可行；乙同学方案不可行； （2）甲同学方案： 在和中， ， ∴， ∴； 乙同学方案： 在和中， 只能知道，，不能判定与全等，故方案不可行. 【点睛】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练的证明两个三角形全等是解本题的关键. 【变式7-3】如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过F点作AB的平行线MF，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A，C，E成一条直线，你知道其中的道理吗？ 【答案】见详解 【分析】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练的证明两个三角形全等是解本题的关键. 【详解】解：∵在△BDE和△FDM中， ∴△BDE≌△FDM（SAS）， ∴∠BEM＝∠FME， ∴BE∥MF， ∵AB∥MF， ∴A、C、E三点在一条直线上． 【点睛】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练的证明两个三角形全等是解本题的关键. 【变式7-4】有一座锥形小山，如图． （1）要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，量出DE的长度，就能得出锥形小山两端A、B的距离，请说明其中的道理． （2）为加快开山修路的进度，施工队要在A、B两点同时施工，师傅在（1）的基础上，过A作AF∥DE，过B作BG∥DE，沿FA、GB方向开工就能使F、A、B、G在同一条直线上．请运用相关知识说明其中的道理． 【答案】见详解 【分析】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练的证明两个三角形全等是解本题的关键. 【详解】解：（1）∵在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴DE＝AB； （2）∵△ABC≌△DEC， ∴∠ABC＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AF∥DE，BG∥DE， 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴F、A、B、G在同一条直线上． 【点睛】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练的证明两个三角形全等是解本题的关键. 【考点题型八】几何动点中求使三角形全等 【例8】如图，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动．若经过秒后，与全等，则的值是 ． 【答案】1或 【分析】利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，设运动时间为秒，点的运动速度为秒，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设．两点的运动时间为秒，点的运动速度为秒， 则，，． ， ①当时， ，． ， ； ②当时， ，， ， ． 综上，当的值是1或时，能够使与全等． 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键． 【变式8-1】如图，两根旗杆相距12m，某人从B点沿BA走向A点，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求：这个人从B点到M点运动了多长时间？ 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等。 【详解】解：∵∠CMD＝90°， ∴∠CMA+∠DMB＝90°， 又∵∠CAM＝90° ∴∠CMA+∠ACM＝90°， ∴∠ACM＝∠DMB， 在Rt△ACM和Rt△BMD中， ， ∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS）， ∴AC＝BM＝3m， ∴他到达点M时，运动时间为3÷1＝3（s）． 答：这个人从B点到M点运动了3s． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等。 【变式8-2】如图，，垂足为，cm，cm，射线，垂足为，动点 从点出发以2 cm/s的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与全等． 【答案】0或2或4或6 【分析】根据题意可分点P在点B的左侧和右侧进行分类求解即可． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒，由题意得：CP=2tcm， ①当t=0时，即点C与点P重合，满足△ACB≌△NBP， ②当点P在点B的左侧时，且满足AC=BP=2cm， ∵， ∴（HL）， ∵CP=2tcm， ∴，即， 解得：； ③当点P在点B的右侧时，且满足AC=BP=2cm，则， ∴，即， 解得：； ④当点P在点B的右侧时，且满足BC=BP=6cm，则， ∴，即， 解得：； 综上所述：当或0或4或6秒时，与全等． 故答案为0或2或4或6． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$