清单03 位置与坐标（12个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

清单03位置与坐标（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】坐标确定位置 坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。 知识点2 平面直角坐标 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2.x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3.点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4.象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 【清单02】轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 【清单03】轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3：关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 知识点4:两点间公式 设两个点A、B以及坐标分别，为则A和B两点之间的距离为： 【清单04】坐标与图形变化 【清单05】轴对称-最小值问题 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点题型一】确定位置 【典例1】在电影院里，如果用表示3排10号，那么7排8号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　） A．东经，北纬 B．礼堂6排22号 C．重庆市宏帆路 D．港口南偏东方向上距港口10海里 【变式1-2】如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，按照此方法在表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】点A的位置如图所示，则关于点A的位置下列说法中正确的是（　　） A．距点 处 B．北偏东方向上处 C．在点北偏东方向上处 D．在点北偏东方向上处 【考点题型二】判断点所在的象限 【典例2】在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】在下列所给的坐标中，在第三象限的点是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点题型三】已知点所在的象限求参数 【典例3-1】平面直角坐标系中，点在第二象限，则的值可以是（　　） A． B．1 C．2 D．3 【典例3-2】如果点在x轴上，那么点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点在第二象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】若点在x轴上，则m的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【考点题型四】求点到坐标轴的距离 【典例4】在平面直角坐标系中，点P的横坐标是5，且点P到x轴的距离为3，则P的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4-1】已知点在第四象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】第三象限内的点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是8，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】平行与坐标轴点的坐标特征 【典例5】在平面直角坐标系中，点A是x轴上一点，线段，若轴，则点B的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，且，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-2】已知点在过点且与轴平行的直线上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】点在平面直角坐标系第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标是 ． 【变式5-4】平面直角坐标系中，点，，若直线与y轴平行，则点N的坐标是 ． 【变式5-5】在平面直角坐标系中，，两点在平行x轴的同一直线上，且B到y轴的距离为3，则点B的坐标是 ． 【考点题型六】坐标与图形 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； (3)当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】如图，长方形在平面直角坐标系中，其中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若点运动的时间为秒， (1)当秒时，求的面积； (2)当的面积等于时，求点坐标． 【变式6-2】如图1，，过点的直线不经过三角形的内部，过点、作，，垂足为． (1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______； (2)请证明你所写的结论； (3)尝试探究：若，，图1中四边形的面积为______；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，则四边形面积为______；（用含的代数式表示） (4)拓展应用：如图3，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点．点是轴正半轴上的一点． (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示） (3)如图3，轴上是否存在一点，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【考点题型七】点坐标规律探索 【典例7】在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……按照这样的运动规律，第2023个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是 ． 【变式7-3】如图，一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳到，然后接着按图中箭头所示方向跳动，即，且每秒跳动一个单位，那么第秒时跳蚤所在位置的坐标是 ． 【考点题型八】轴对称图形的判断和对称轴的条数 【典例8】下列图形中对称轴的数量最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列轴对称图形中，对称轴最少的图形是（　　） A．  B．  C．   D．   【变式8-2】下列图形是有2条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】下列图形中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型九】镜面对称的应用 【典例9】镜子里写着则实际数字为 ． 【变式9-1】小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     【变式9-2】如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【变式9-3】一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为 ．    【考点题型十】点坐标的对称 【典例10】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【变式10-2】点关于轴的对称点的坐标为 ． 【变式10-3】点和关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式10-4】如果点和点关于直线（平行于y轴的直线，直线上的每个点的横坐标都是1）对称，则的值是（ ） A． B．1 C． D．5 【考点题型十一】轴对称综合题(几何变换) 【典例11】如图，在中，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．5 【变式11-1】如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 ． 【变式11-2】如图，，角内有一点，在角的两边上有两点（均不同于点），则的周长的最小值为 ． 【变式11-3】如图：在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)方格纸中画出关于x轴的对称图形； (2)写出、、的坐标； (3)在x轴上找一点P，使得的值最小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03位置与坐标（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】坐标确定位置 坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。 知识点2 平面直角坐标 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2.x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3.点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4.象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 【清单02】轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 【清单03】轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3：关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 知识点4:两点间公式 设两个点A、B以及坐标分别，为则A和B两点之间的距离为： 【清单04】坐标与图形变化 【清单05】轴对称-最小值问题 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点题型一】确定位置 【典例1】在电影院里，如果用表示3排10号，那么7排8号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用有序实数对表示位置，理解题意，弄清排，号的顺序是解题的关键． 根据用表示3排10号，可将7排8号用有序实数对表示出来． 【详解】解：用表示3排10号， 排8号可以表示为， 故选：B． 【变式1-1】根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　） A．东经，北纬 B．礼堂6排22号 C．重庆市宏帆路 D．港口南偏东方向上距港口10海里 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、东经，北纬的位置明确，故A不符合题意； B、礼堂6排22号的位置明确，故B项不符合题意； C、重庆市宏帆路无法确定物体的具体位置，故C项符合题意； D、港口南偏东方向上距港口10海里的位置明确，故D项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，按照此方法在表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，可得答案． 【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数， 解：A．，原A位置表示错误，故该选项符合题意； B．，B点位置表示正确，故该选项不符合题意； C．，D点位置表示正确，故该选项不符合题意； D．，E点位置表示正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】点A的位置如图所示，则关于点A的位置下列说法中正确的是（　　） A．距点 处 B．北偏东方向上处 C．在点北偏东方向上处 D．在点北偏东方向上处 【答案】D 【分析】本题考查了坐标方法的应用，熟练掌握利用方位角和距离确定位置是解题关键．根据方位角和距离确定位置即可得． 【详解】解：由图可知，点在点北偏东方向上处， 故选：D． 【考点题型二】判断点所在的象限 【典例2】在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据平面直角坐标系中每个象限内的点的坐标特点进行求解即可． 【详解】解：A、在第三象限，不符合题意； B、在第二象限，符合题意； C、在第一象限，不符合题意； D、在第四象限，不符合题意， 故选：B. 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限内点的坐标特点是解题的关键：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：∵， ∴在平面直角坐标系中，点落在第二象限， 故选：B． 【变式2-2】在下列所给的坐标中，在第三象限的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：、在第四象限，故A不符合题意； B、在第一象限，故B不符合题意； C、在第三象限，故C符合题意； D、在第二象限，故D不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了判断点所在象限，根据各个象限点的坐标特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点所在的象限是第一象限， 故选：A． 【考点题型三】已知点所在的象限求参数 【典例3-1】平面直角坐标系中，点在第二象限，则的值可以是（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限内点的坐标特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：点在第二象限内， ， ∴， 的取值可以是， 故选：A． 【典例3-2】如果点在x轴上，那么点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 【变式3-1】已知点在第二象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，点的坐标的符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，由点在第二象限得出，，从而得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点在第一象限， 故选：A． 【变式3-2】若点在x轴上，则m的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标特征、解一元一次方程，根据点的坐标特征可得，再解方程即可． 【详解】解：点在x轴上， ∴， ∴， 故选：B． 【考点题型四】求点到坐标轴的距离 【典例4】在平面直角坐标系中，点P的横坐标是5，且点P到x轴的距离为3，则P的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标系中确定点的坐标；由点P到x轴的距离为3，得点P的纵坐标，从而确定点P的坐标． 【详解】解：点P到x轴的距离为3，则点P的纵坐标为3或， 故点P的坐标为或； 故选：C． 【变式4-1】已知点在第四象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面内的点的坐标特征及点到坐标轴距离的意义，熟练运用相关知识是解题的关键．根据点在第四象限，可得点的横坐标为正，纵坐标为负；再由点到轴的距离是3，可得点的纵坐标为；由点到轴的距离是5，可得点的横坐标为5，由此即可得点的坐标． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∵点到轴的距离为3，到轴的距离为5， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：D． 【变式4-2】第三象限内的点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是8，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数以及点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 【详解】解：第三象限的点到轴的距离是7，到轴的距离是8， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标为． 故选：A． 【考点题型五】平行与坐标轴点的坐标特征 【典例5】在平面直角坐标系中，点A是x轴上一点，线段，若轴，则点B的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据在x轴上的点的纵坐标为0，可求出点坐标，根据平行于y轴的两个点的距离，进行列式计算，即可求解． 【详解】解： 是x轴上一点， ，解得， ． ，故设， 又， ，即， 点B的坐标是或． 故选：D． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，且，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，根据轴，可得B点纵坐标，再根据，可以得到可以得到B点位于A左右两边的两个坐标点． 【详解】解：点的坐标为，轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相等为3， 点的横坐标为或， 点的坐标为或， 故选：D． 【变式5-2】已知点在过点且与轴平行的直线上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键．根据点在过点且与轴平行的直线上，得到点的横坐标为2，即，由此得解． 【详解】解： 点在过点且与轴平行的直线上， 的横坐标为2， ，解得， ． 故选：C． 【变式5-3】点在平面直角坐标系第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值即可求解，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵，点在平面直角坐标系第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式5-4】平面直角坐标系中，点，，若直线与y轴平行，则点N的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据题意得到点坐标的特征，即可求得结果，掌握点坐标的特征是解题的关键． 【详解】解：∵直线与y轴平行， ∴两个点的横坐标一样， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-5】在平面直角坐标系中，，两点在平行x轴的同一直线上，且B到y轴的距离为3，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是坐标系内平行x轴的直线上点的坐标特点，点到坐标轴的距离，先A和B点的纵坐标相等，可得，在结合到坐标轴的距离可得答案. 【详解】解：∵，两点在平行x轴的同一直线上， ∴A和B点的纵坐标相等，则， 又B到y轴的距离为3， ∴， 解得：或． ∴点B的坐标是或． 答案：或． 【考点题型六】坐标与图形 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； (3)当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)1或9 (3)存在；或2 ；或或或 【分析】（1）根据算术平方根的性质可得m，n的值，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，根据的面积等于的面积的一半，可得，从而得到，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵ ∴A、C两点的坐标分别为；； （2）解：根据题意得：， 设点P的坐标为，则， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， 即， ∴， 当时，， 此时； 当时，； 综上所述，t的值为1或9； （3）解：当P在线段上运动时，在y轴上存在点Q，使与全等， 当时，，此时， ∴Q点的坐标为或； ②当≌时，，此时， ∴Q点的坐标为或． 综上所述：Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形面积公式，全等三角形的性质，平面直角坐标系点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式6-1】如图，长方形在平面直角坐标系中，其中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若点运动的时间为秒， (1)当秒时，求的面积； (2)当的面积等于时，求点坐标． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】（1）当秒时，利用三角形面积公式即可求解； （2）分三种情况，分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可． 【详解】（1）由题意得，，， 当秒时，， ∴的面积等于； （2）当的面积等于时，分三种情况讨论， ①如图， 当P在上时，， ∵的面积等于5， ∴， 解得． ∴点坐标为； ②当P在上时，，如图， ∵的面积等于5， ∴， ∴， 解得． ∴， ∴点坐标为； ③当P在上时，，如图， ∴， 解得，不合题意，舍去． 综上可知，当的面积等于，点坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，长方形的性质和三角形的面积公式的应用，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 【变式6-2】如图1，，过点的直线不经过三角形的内部，过点、作，，垂足为． (1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______； (2)请证明你所写的结论； (3)尝试探究：若，，图1中四边形的面积为______；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，则四边形面积为______；（用含的代数式表示） (4)拓展应用：如图3，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①，②或 (4)，或或 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型． （1）由图可知； （2）利用可证； （3）①利用梯形面积公式可解；②同（2）可证，四边形的面积为和面积之和； （4）在坐标系内构造全等三角形即可求解，注意分情况讨论． 【详解】（1）解：和是一对全等三角形， 故答案为：； （2）证明： ，， ，， ， 在和中， ， ； （3）解：①由（2）知， ，， 四边形的面积为：； ②同（2）可证， ，， ， 四边形的面积为：， 故答案为：，； （4）解：如图所示，作轴于点D． ，， ，． ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H． ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 故答案为：，或或． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点．点是轴正半轴上的一点． (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示） (3)如图3，轴上是否存在一点，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)存在满足条件的点，其坐标为或． 【分析】（1）根据非负数的性质可求出和，即可得到点和的坐标； （2）过点作，交轴于点，由知，从而得出、，再由角平分线得出，，根据可得答案； （3）计算的面积，利用面积法可求得点坐标． 【详解】（1）解：，，， ，， 解得：，， ，； （2）如图2，过点作，交轴于点， ， 又， ， ， ，， ， 又平分，平分，， ，， ，， ； （3）存在． ，，， ， ， 当点在轴上时，设， 则， ， ， ， 解得：或， 此时点坐标为或， 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或． 【点睛】本题为三角形的综合应用，考查了非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． 【考点题型七】点坐标规律探索 【典例7】在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据蚂蚁的运动规律找出“蚂蚁每运动12个单位长度是一圈”是解题的关键．先求出的长，再用2024除以上述长度，利用余数来确定蚂蚁的位置. 【详解】解：点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 则，余数为8， 故可判断蚂蚁爬了168个循环后，停在了点， 故选：C． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……按照这样的运动规律，第2023个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了找规律，由图得第1个点的坐标是，第9个点的坐标是，第25个点的坐标是，，得第个点为奇数）的坐标是，由，得第2025个点的坐标是，故第2023个点的坐标是． 【详解】解：由图得第1个点的坐标是，第9个点的坐标是，第25个点的坐标是，， 得第个点为奇数）的坐标是， 由， 得第2025个点的坐标是， 故第2023个点的坐标是． 故选：B． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得的坐标为，的坐标为，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知：的坐标为，的坐标为 ∵ ∴点的坐标是，即 故答案为： 【变式7-3】如图，一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳到，然后接着按图中箭头所示方向跳动，即，且每秒跳动一个单位，那么第秒时跳蚤所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律，通过观察可发现当n为奇数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；当n为偶数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；据此作答即可． 【详解】由题意得，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，， 当n为奇数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；当n为偶数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标； ∵没有一个整数的平方等于57，而离57较近的即为49， ∴当，解得， ∴表示49秒后跳蚤所在位置的坐标， ∴第57秒时跳蚤所在位置应前进8个单位， ∴坐标是， 故答案为：． 【考点题型八】轴对称图形的判断和对称轴的条数 【典例8】下列图形中对称轴的数量最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：A、有4条对称轴； B、有6条对称轴； C、有4条对称轴； D、有2条对称轴． 故选：B 【变式8-1】下列轴对称图形中，对称轴最少的图形是（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】此题考查轴对称图形，正确找出各个图形的对称轴是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．根据对称轴的概念、结合图形分别找出各个图形的对称轴，即可得到答案． 【详解】解：A．图中有四条对称轴； B．图中有三条对称轴； C．图中有四条对称轴； D．图中有四条对称轴； 综上分析可知：对称轴最少的图形是B选项中的图形． 故选：B． 【变式8-2】下列图形是有2条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对称轴．熟练掌握对称轴的定义是解题的关键． 根据对称轴的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中有2条对称轴，故符合要求； B中有5条对称轴，故不符合要求； C中有1条对称轴，故不符合要求； D中有4条对称轴，故不符合要求； 故选：A． 【变式8-3】下列图形中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，对称轴．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形，对称轴的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是轴对称图形，有一条对称轴，故不符合要求； B中是轴对称图形，有一条对称轴，故不符合要求； C中不是轴对称图形，故不符合要求； D中轴对称图形，有两条对称轴，，故符合要求； 故选：D． 【考点题型九】镜面对称的应用 【典例9】镜子里写着则实际数字为 ． 【答案】50281 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为：50281． 【变式9-1】小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     【答案】D 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有D与原图形成镜面对称． 故选：D． 【变式9-2】如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解． 【详解】解：此刻的实际时间应该是， 故答案为： 【变式9-3】一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为 ．    【答案】FM5379 【分析】由题意得所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：根据生活经验可知，物体与其在水中的倒影关于水面成轴对称，且关于水面上下对称，因此在倒影的上面画一条水平直线，然后作出倒影关于这条直线成轴对称的图形，如图所示，    故该车牌号码为FM5379． 故答案为：FM5379． 【点睛】解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【考点题型十】点坐标的对称 【典例10】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化轴对称，掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 根据关于y轴对称点的特点即可解答． 【详解】点关于y轴对称的点的坐标为． 故选：D． 【变式10-1】已知点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【变式10-2】点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴的坐标为：， 故答案为：． 【变式10-3】点和关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称的坐标变换，正确掌握关于x轴对称点的横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于x轴对称点的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式10-4】如果点和点关于直线（平行于y轴的直线，直线上的每个点的横坐标都是1）对称，则的值是（ ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的坐标变换，掌握关于平行于y轴的直线对称点的坐标变换规律是解题的关键． 根据轴对称的性质可得关于直线对称的两点，到直线的距离相等，纵坐标相等．据此得到，，即可求得a、b值，即可求解． 【详解】解：∵点和点关于直线对称， ∴，， 解得：， ∴， 故选：A． 【考点题型十一】轴对称综合题(几何变换) 【典例11】如图，在中，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，根据角平分线定义以及对称可以得到，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积求出的长即可得到结果． 【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H， 是的角平分线，Q与关于对称， 点在上，， ， ， 即， ， ， 的最小值为． 【变式11-1】如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握将军饮马基本模型是解题的关键．连接，首先证明是的垂直平分线，得，则的周长为，当、、共线时，的最小值为2，从而得出答案． 【详解】解：连接， 点是的中点，是等边三角形， ， ， ， 点为的中点， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 当、、共线时，的最小值为2， 的周长最小值为3， 故答案为：3 【变式11-2】如图，，角内有一点，在角的两边上有两点（均不同于点），则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，作点P关于的对称点M、N，连接，由轴对称的性质得到，进而得到当四点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为的长，证明，利用勾股定理求出的长即可得到阿安． 【详解】解：作点P关于的对称点M、N，连接， ∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【变式11-3】如图：在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)方格纸中画出关于x轴的对称图形； (2)写出、、的坐标； (3)在x轴上找一点P，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)、、 (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题： （1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到A、B、C关于x轴对称的点的坐标，再顺次连接即可； （2）根据（1）所作图形即可得到答案； （3）如图所示，连接交x轴于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知，、、． （3）解：如图所示，连接交x轴于点P，点P即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$