专题01 三角形（考点串讲）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（鲁教版五四制）

七年级鲁教版数学上册期中考点大串讲 串讲01 三角形 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 五大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期中真题对应考点练 考点透视 1、三角形任意两边之和大于第三边。 2、三角形任意两边之差小于第三边。 1、三角形三个内角的和等于180度。 2、直角三角形的两个锐角互余。 1、三角形的三条角平分线交于一点， 2、三条中线交于一点， 3、三角形的三条高所在的直线交于一点。 1、全等图形的形状和大小都相同。（两三角形完全重合） 2、全等三角形的对应边相等，对应角相等。 三角形性质 边 角 线 三角形的全等 全等性质 全等方法 SSS SAS ASA AAS 基本尺规作图 1、作一条线段等于已知线段， 2、作一个角等于已知角， 3、作一个三角形与已知三角形全等， 4、作一条线段的垂直平分线（补充了解）， 5、作已知线段的垂直平分线（补充了解）。 全等测距离 利用三角形全等测距离,实际上是构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量的距离转化为较容易测量的线段的长度。 题型剖析 题型一 三角形的边之间的关系 例1、三角形两条边分别是3cm，6cm，则第三边c的范围为 3＜c＜9 。 【解析】根据三角形三边之间的关系进行求解。 点拨：利用三角形三边之间的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 举一反三 A、4㎝ B、5㎝ C、11㎝ D、19㎝ 1.在下列长度的四根木棒中，能与5㎝，11㎝两根木棒围成三角形的是( C ) 【解析】利用三角形三边之间的关系进行求第三边的取值范围，根据选项判定。 题型二 三角形的内角 例1、在△ABC中，已知∠A=32°，∠B=78°，则∠C的度数是 60° 。 点拨：利用三角形内角和为180°进行求解。 【答案】60 【解析】 ∵△ABC的内角和是180° ∴∠A+∠+B+∠C=180° ∵∠A=32°，∠B=78°， ∴∠C=60° A、 105° B、125° C、 95° D、120° 1.如图，在△ABC中，已知∠A=60° ∠B=65°，点D在BC的延长线上，则 ∠ACD=__B__. A B C D 举一反三 【答案】B 【解析】 ∵△ABC的内角和是180° ∴∠A+∠+B+∠C=180° ∵∠A=60°，∠B=65°， ∴∠ACB=55° ∴∠ACD=125° 点拨：利用三角形内角和为180°进行求解。 例1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A－∠P＝（　D　） A．70° B．60° C．50° D．40° 点拨：根据角平分线的性质及外角与内角的关系进行求解。 题型三 三角形中的重要线段 【答案】D 【解析】 ∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝60°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°， ∴∠A＝∠ACM－∠ABC＝120° － 40°＝80°，∠P＝∠PCM － ∠CBP＝60° － 20°＝40°， ∴∠A － ∠P＝80° － 40°＝40°， 故选：D． 1．已知的三个内角的度数之比：：：：，则　 　 度，　 　 度． 举一反三 【答案】60；100 【解析】 设∠A=k,则∠B=3k，∠C=5k ∵△ABC的内角和是180° ∴∠A+∠+B+∠C=180° ∴k+3k+5k=180° 解得k=30 ∴∠B=60°，∠C=100° 点拨：根据比例设未知数，利用三角形的内角和列方程求解。 2．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，点D为AC边上一点， 过点D作DE∥AB，交BC于点E，且DE＝BE，则∠BDE的度数是　 　． 点拨：利用三角形内角和定理，平行线性质，三角形外角的性质进行求解。 【答案】40° 【解析】 ∵∠A=70°,∠C=30° ∴∠ABC=180°-∠A-∠C=80° ∵DE∥AB ∴∠DEC=∠ABC=80° ∵DE=BE ∴∠BDE=∠DBE ∵∠DEC=∠BDE+∠DBE=2∠BDE ∴∠BDE=40° 例2．已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（　B　） A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD 【答案】B 【解析】 如图， ∵点G是△ABC的重心， ∴AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD，BC＝2BD，所以A、D选项的说法正确； ∵点G是△ABC的重心， ∴AG＝2GD，所以B选项的说法错误，C选项的说法正确． 故选：B． 点拨：根据三角形的中线与重心的性质进行求解。 1．如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC＝3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝　　． 【答案】 2 【解析】 举一反三 点拨：根据三角形的中线的性质进行求解。 例3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　D　） 【答案】D 【解析】 A选项中，BE与AC不垂直； B选项中，BE与AC不垂直； C选项中，BE与AC不垂直； ∴线段BE是△ABC的高的图是D选项 故选：D A B C D 点拨：根据三角形高的定义进行判断。 1．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°， （1）求∠BAC的度数． （2）△ABC是什么三角形． 【答案】（1）∠BAC的度数为90°或50°；（2）△ABC是直角三角形或钝角三角形． 举一反三 2 1 3 4 C A B D E 例1.如图已知：∠1=∠2， ∠3=∠4 求证：BD=CD 证明：在△ABE和△ACE中 ∠1=∠2 ∠3=∠4 AE=AE ∴ △ABE≌△ACE (AAS) ∴ AB=AC 在△ABD和△ACD中 AB=AC ∠1=∠2 AD=AD ∴ △ABD≌△ACD (SAS) ∴ BD=CD 题型四 三角形全等的判定 1．如图，AB与CD相交于点O，且O是AB，CD的中点，则△AOC与△BOD全等的理由是（　B　） A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 2．如图，已知BF＝DE，AB∥CD，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（　C　） A．BE＝DF B．AF＝CE C．AF∥CE D．∠B＝∠D 举一反三 【解析】根据已知条件，结合三角形全等的判定方法就行选择。 解析】由已知条件可得三角形全等中有一个边和一个角，欲使三角形全等可利用AAS或SAS结合选项进行选择。 3．如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2． （1）求证：AB＝AD； （2）求证：EM＝CN． 证明：（1）在△ABC和△ADE中 ∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE AC=AE ∠C=∠E ∴ △ABC≌△ADE (ASA) ∴ AB=AD (2) ∵△ABC≌△ADE ∴ ∠B=∠D ∵ AB=AD ∴在△ABM和△ADN中 ∠1=∠2 ∴ △ABM≌△ADN (ASA) AB=AD ∴AM=AN ∵AE=AC ∠B=∠D ∴EM=CN 例1．已知三边作三角形，用到的基本作图是(　　) A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作一条线段等于已知线段的和 点拨：在已知三边作三角形时，是作边等于已知线段，即作一条线段等于已知线段． C 【解析】结合三角形证全等的方法SSS进行判定。 题型五 三角形的尺规作图 解：如图． (1)作射线OA. (2)以OA为一边，作∠BOA，使∠BOA＝∠α. (3)以OB为一边在∠AOB内作∠BOC，使∠BOC＝∠β，则∠AOC＝∠α－∠β.故∠AOC＝∠γ就是所求作的角． 1．如图，已知∠α，∠β且∠α＞∠β.求作∠γ，使∠γ＝∠α－∠β. 举一反三 例1.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？ 请说明其中的道理. 题型六 利用三角形全等测距离 【解析】解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C. 在△BME和△CMF中， ∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF， 所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. 故只要测量CF即可得B，E之间的距离. 点拨：利用三角形全等测距离,实际上是构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量的距离转化为较容易测量的线段的长度. 1、如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC的理由是( ) A、SSS B、ASA C、AAS D、SAS B A ● ● D C E F B 举一反三 【解析】根据题意条件，利用三角形全等测距离，由条件即可判定。 易错易混 例1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 易错题型一——倍长中线 【解析】解：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. 因为D为BC的中点，所以CD＝BD. 又因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， 所以△ADC≌△EDB(SAS)．所以AC＝EB. 因为AB－BE<AE<AB＋BE，所以AB－AC<2AD<AB＋AC. 因为AB＝5，AC＝3，所以2<2AD<8.所以1<AD<4. 点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将求线段取值范围的问题转化为证明全等，从而利用全等三角形的性质解决问题． 易错题型二——三角形三边关系 例1、等腰三角形的一边长为7cm，另一边长为12cm，则其周长（ C ） A、26cm B、31cm C、26cM或31cm D、28cm 【解析】根据三角形三边的关系并结合等腰三角形的性质就行判断。 点拨：注意等腰三角形的特殊形，利用分类讨论的思想然后结合三角形三边关系进行求解，不要遗漏答案． 易错题型三——三角形全等方法的应用 例1、已知，线段AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC. 求证：AO＝DO． ∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知）， 证明： 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（ASA ）. ∴AB=DC ∠A＝∠D 点拨：运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等” 和“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”进行判定． B C A D O ∠AOB＝∠DOC(对顶角）， ∠A＝∠D （已知）， AB＝DC（已知）， 在△ABO和△DCO中， ∴△ABO≌△DCO（AAS ）. ∴AO=DO 易错题针对训练 2.判定两个三角形全等，给出如下四组条件： ①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等； ③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（ C ） A、①和② B、 ①和④ C、②和③ D、③和④ 1．已知△ABC中，∠A＝50°，两条高BD，CE所在的直线 相交于点H，则∠BHC的度数为 130°． 3.已知：如图, ∠1=∠2，∠3=∠4, 你可以得到的结论是 ∠C=∠D 。 （写出一个即可，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母） 押题预测 练习&巩固 1.[2023年烟台市7年级上册期末]如图，要测量河中礁石A离岸边B点的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC，作∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA.可得△A′BC≌△ABC，所以A′B＝AB，所以测量A′B的长即可得AB的长．判定图中两个三角形全等的理由是(　) A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS B 【解析】根据题意条件，利用三角形全等测距离，由条件即可判定。 点拨：利用三角形全等测距离,实际上是构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量的距离转化为较容易测量的线段的长度. 2. [2023年济宁市7年级上册期末]如图所示, 已知△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E，试说明: BD=DE+CE. 【解析】 证明：∵∠BAC=90°， ∴∠BAD＋∠EAC=90°， ∵CE⊥AE ∴∠AEC=90°，∴∠ACE＋∠EAC=90°， ∴∠BAD=∠ACE 在△ABD和△CAE中， ∠BAD＝∠ACE， ∠ADB＝∠CEA=90°， AB＝AC， ∴△ABD≌△CAE（AAS ） ∴BD=AE AD=CE BD=DE+CE 点拨：利用三角形全等进行等量代换是解题的关键。 3． [2023年泰安市7年级期中]如图，已知线段a，b和∠α＝40°，你能作出符合如下要求的唯一三角形吗？AB＝a，BC＝b，∠A＝∠α，若能，写出作法；若不能，请说明理由． 【解析】如图，能作出两个三角形： △ABC’和△ABC，所以不能作出唯一的 符合要求的三角形。 点拨：“SSA”不能说明两个三角形全等，所以一般 情况下，已知两边和其中一边的对角不能作出唯一的 唯一的三角形。 4. [2023年济宁市7年级上册月考]如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAE=60°，则∠CAE为（ A ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 5. [2023年青岛市7年级上册期中]如图，已知OA=OB，请添加一个条件使得△AOD≌△BOC，则可添加的条件是 _∠C=∠D_____.(只填写一个即可) 【解析】利用△ABD≌△ACE，可得AB=AC，即∠B=∠C， 然后根据条件求得∠DAE=40°，∵∠BAE=60°，所以求得 ∠BAD=20°=∠CAE. 【解析】根据三角形全等的判定条件就行条件选择。 6. [2023年东营市7年级上册期中]在学习“利用三角形全等测距离”之后，七一班数学实践活动中，张老师让同学们测量池塘A，B之间的距离（无法直接测量）．现在要利用全等三角形去解决这个问题，请你设计个方案，画出图形，并说明理由． 【解析】如右图，取一点O，使得能从点O到达点A，B,连接AO,OB，延长AO,BO到达D,E，使得OD=OA,OE=OB， 然后可通过“SAS”证明△AOB≌△DOE，则DE的长度即为AB的长度。 证明：在△AOB和△DOE中， AO＝OD， ∠AOB＝∠DOE， OB＝OE， ∴△AOB≌△DOE（SAS）∴AB=DE $$