清单02 有理数及其运算（22个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版2024）

清单02 有理数及其运算（22个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【清单02】 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 【清单03】数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 【清单04】相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【清单05】绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【清单07】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单08】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单09】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单10】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单11】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单12】 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【清单13】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单01】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单01】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单01】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点题型一】正负数 【典例1】《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示．那么，“”表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如果向南走10米记作米，那么向北走5米记作（    ）米 A． B． C．0 D． 【变式1-2】体育老师对六年级学生进行了仰卧起坐测试．以每分钟个为达标，记作．小明的成绩记作，则他仰卧起坐的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如果节约用电千瓦时记作千瓦时，那么浪费用电千瓦时可以记作（   ） A．千瓦时 B．千瓦时 C．千瓦时 D．千瓦时 【考点题型二】 相反意义的量表示 【典例2】早在公元前2世纪，中国古代劳动人民就认识到负数的存在．如果把收入8元记作元，那么支出6元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2-1】中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若粮库把运进20吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．卖掉20吨粮食 B．运出20吨粮食 C．吃掉20吨粮食 D．亏损20吨粮食 【变式2-2】如果向东走，记作，那么向西走，记作 ． 【变式2-3】一次数学测试，如果80分为优秀，以80分为基准简记，例如90分记为，那么70分应记为 分． 【考点题型三】有理数的概念辨析 【典例3】下列说法正确的个数为（　　） ①有理数与无理数的差都是有理数； ②无限小数都是无理数； ③无理数都是无限小数； ④两个无理数的和不一定是无理数； ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-1】在，0，，和2024这五个有理数中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】如果为有理数，则下列结论中正确的是（    ） A．一定是负数 B．是偶数 C．是正数 D． 【变式3-3】在0，，，，中，有理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型四】有理数的分类 【典例4】把下列各数分别填在它所在的集合里： ，，2004，，，，，，0， (1)正有理数集合{    } (2)负有理数集合{    } (3)分数集合{    } (4)非负整数集合{    } 【变式4-1】把下列各数填入它所在数集的大括号内： ，3，7.004，，，，0，，14， 正有理数集合：{                          …} 非负整数集合：{                          …} 负分数集合：{                            …} 【变式4-2】把下列各数分别填入相应的集合：0，，5.6，，，，15，． 整数集合（________…）； 分数集合（________…） 非负数集合（________…）； 负数集合（________…）． 【变式4-3】把下列各数分别填入相应的大括号内： ，，，，，，，，，，，； 正数集合：{___________________…}； 负数集合：{___________________…}； 负分数集合：{___________________…}； 整数集合：{___________________…}； 非负数集合：{___________________…}． 【考点题型五】有理数的大小比较 【典例5】如果，那么关于，，三者的大小关系，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】、0、、的大小顺序是（    ）． A． B． C． D． 【变式5-2】大于且小于2.3的整数共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式5-3】比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【考点题型六】数轴的三要素及其画法 【典例6】如图各图中，表示的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-2】下列是四位同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】下列图形表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型七】利用数轴比较有理数的大小 【典例7】在数轴上表示下列各数：，0，，，，并用“＜”号把它们连接起来． 【变式7-1】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】若有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】把下列各数在数轴上表示出来，并将各数按从小到大的顺序排列，用“＜”连接． ， ，，，0． 【考点题型八】数轴上两点之间的距离 【典例8】在数轴上，距离表示数的点4个单位长度的点是（    ） A． B．6 C．2 D．或2 【变式8-1】数轴上与原点距离是的点有两个，它们表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式8-2】数轴上点表示的数为，与点距离为4个单位长度的点表示的数为 ． 【变式8-3】如果数轴上的点对应的数为3，那么与点相距4个单位长度的点所对应的数为 ． 【考点题型九】数轴上的动点问题 【典例9】【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作． 【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点． (1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置； (2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______； ②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？ ③为何值时，，两点之间的距离为4？ 【变式9-1】已知数轴上A、B两点对应的数分别为、，且满足    （1）求点A、B两点对应的有理数是 ； （2）若点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过 秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍． 【变式9-2】如图，点表示的数是．    (1)在数轴上表示出原点； (2)点表示的数是______； (3)将点向左移动3个单位长度到点，那么点表示的数是______； (4)在数轴上找点，使点到、两点的距离相等，那么点表示的数是______； (5)点在数轴上，与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数是______． 【变式9-3】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 _______． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 _________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．若当电子蚂蚁从点出发时，以个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？    【考点题型十】倒数的概念和相反数的概念 【典例10】的倒数是（   ） A．6 B． C． D． 【变式10-1】的相反数是（ ） A． B．2023 C． D． 【变式10-2】的倒数是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【变式10-3】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3和 B．3和 C．和 D．和 【考点题型十一】相反数的性质运用 【典例11】已知与2互为相反数，那么 ． 【变式11-1】若、互为相反数，则 ． 【变式11-2】若，互为相反数，，互为倒数，则 ． 【变式11-3】若与互为相反数，则= 【考点题型十二】绝对值定义、绝对值的性质 【典例12】一个数的绝对值等于，则这个数是 ． 【变式12-1】的绝对值是（    ） A． B．3 C． D． 【变式12-2】若，，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．7或 【变式12-3】化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十三】化简绝对值 【典例13】已知有理数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：． 【变式13-1】有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（    ） A．B． C． D． 【变式13-2】若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【变式13-3】已知为有理数，则的最小值是 ． 【考点题型十四】非负性的性质 【典例14】已知，则 ． 【变式14-1】已知则 ． 【变式14-2】已知 ，则 ． 【考点题型十五】有理数的加减运算 【典例15】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式15-1】不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】计算： (1) (2)； (3) (4) 【变式15-3】计算： (1) ； (2)． 【考点题型十六】有理数乘除法运算 【典例16】计算： (1)； (2)． 【变式16-1】计算： 【考点题型十七】有理数的乘方 【典例17】下列各组数中，最后运算结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式17-1】生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 【变式17-2】对于式子，下列说法正确的是（    ） A．指数是 B．底数是3 C．幂为 D．表示3个相乘 【考点题型十八】有理数混合运算 【典例 8】计算 (1) (2) 【变式18-1】计算： 【变式18-2】计算 (1) (2) 【变式18-3】计算： (1)； (2)； 【考点题型十九】算“24”点 【典例19】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为________； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【变式19-1】嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 【变式19-2】“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能用一次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使得四个数的运算结果等于24．如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：． 现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是 ． 【变式19-3】“24点”游戏是一种益智游戏，要求玩家将4个给定的有理数进行加、减、乘、除四则混合运算（允许使用括号，每个数只能使用一次）使最后的计算是24．四个有理数，3，4，，请运用上述规则，使其结果为24，这个算式可以是 ． 【考点题型二十】科学计数法 【典例20】近日多彩贵州网讯，随着气温持续回暖，各色杜鹃花陆续绽放，百里杜鹃景区也迎来了2024年赏花旅游小高峰．百里杜鹃景区自3月30日以来，景区已接待游客约309000人次，较2023年同期接待游客人次同比增长．全国各地前来百里杜鹃游客络绎不绝．309000这个数用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】年月29日时分，我国神舟十五号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，并成功与“天宫一号”顺利对接．据测量，“天宫一号”据地面高度大约为米，这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】新型冠状病毒蔓延全球，截至到北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过例，数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式20-3】北京时间2022年11月30日，神舟十五号飞船与中国空间站对接成功，中国航天员首次太空会师，中国空间站距离地球大约为400公里（400000米），请将400000米用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【考点题型二十一】近似数的表示 【典例21】用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（    ） A．2.1（精确到 B．2.06（精确到百分位） C．2.0（精确到十分位） D．2.0603（精确到 【变式21-1】凯凯的身高为，用四舍五入法将1.62精确到0.1的近似值为 . 【变式21-2】精确到十分位的近似值是 ． 【变式21-2】用四舍五入法将精确到百分位是 ． 【考点题型二十二】有理数实际应用 【典例22】某儿童玩具厂计划七天共生产套玩具火车，平均每天生产套，由于个别工人请假，实际每天的生产量与计划生产量有出入，下表是一周七天的实际生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_____套； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_____套； (3)七天共生产多少套玩具火车？ (4)该厂实行每日计件工资制，每生产一套玩具火车可得元，若超额完成任务，则超过部分每套另奖元，少生产部分每套扣元，那么这一周该厂支给工人的工资总额是多少元？ 【变式22-1】出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ (2)离开下午出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 【变式22-2】粮库3天内进出库的吨数记录如下（“”表示进库，“”表示出库）： ，，，，， (1)经过3天，粮库里的粮食是增多了还是减少了？增多了还是减少了多少？ (2)经过3天，粮库管理员结算时发现粮库里还存480吨粮食，那么3天前粮库里的存量有多少吨？ (3)如果进库出库的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付出多少装卸费？ 【变式22-3】有20箱橘子，以每箱25千克为标准质量，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 箱数 1 4 2 3 2 8 (1)在这20箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量比较，20箱橘子总计超过或不足多少千克？ 【变式22-4】某领导慰问高速公路养护小组．乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)求该领导乘车最后到达的地方在服务区何方？距离多远？ (2)若行驶千米耗油升，则这次巡视共耗油多少升？ (3)若领导在这个巡视点发放苹果做为慰问品，以为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这个巡视点的苹果重量记为，，，，，（单位：），求发放苹果的总重量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 有理数及其运算（22个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【清单02】 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 【清单03】数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 【清单04】相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【清单05】绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【清单07】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单08】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单09】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单10】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单11】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单12】 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【清单13】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单01】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单01】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单01】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点题型一】正负数 【典例1】《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示．那么，“”表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的定义，解题关键是通过阅读材料理解和掌握我国古代用算筹记数的规定．根据题中规定解答即可． 【详解】 解：根据题意得：“”表示的数是， 故选：A． 【变式1-1】如果向南走10米记作米，那么向北走5米记作（    ）米 A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵向南走10米记作米， ∴向北走5米记作米， 故选：D． 【变式1-2】体育老师对六年级学生进行了仰卧起坐测试．以每分钟个为达标，记作．小明的成绩记作，则他仰卧起坐的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的意义，深刻理解正负数的意义是解题的关键．正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 用正负数表示意义相反的两种量：高于每分钟个记为正，则低于每分钟个就记作负，由此得解． 【详解】解：（个）， 故选：． 【变式1-3】如果节约用电千瓦时记作千瓦时，那么浪费用电千瓦时可以记作（   ） A．千瓦时 B．千瓦时 C．千瓦时 D．千瓦时 【答案】C 【分析】本题考查了负数的认识，用正负数表示一对相反意义的量，如果收入用正数表示，支出就用负数表示．根据正负数的意义即可求解． 【详解】解：节约用电千瓦时记作千瓦时，那么浪费用电千瓦时可以记作千瓦时， 故选：C． 【考点题型二】 相反意义的量表示 【典例2】早在公元前2世纪，中国古代劳动人民就认识到负数的存在．如果把收入8元记作元，那么支出6元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用．根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出的表示方法． 【详解】解：如果把收入8元记作元，那么支出6元记作元， 故选：A． 【变式2-1】中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若粮库把运进20吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．卖掉20吨粮食 B．运出20吨粮食 C．吃掉20吨粮食 D．亏损20吨粮食 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可解答． 【详解】粮库把运进20吨粮食记为“”， “”表示为运出20吨粮食， 故选：B． 【变式2-2】如果向东走，记作，那么向西走，记作 ． 【答案】/米 【分析】此题主要考查相反意义的量，解题的关键是熟知正负数的代表相反的含义．根据正负数的性质即可求解． 【详解】解：如果向东走，记作，那么向西走，记作． 故答案为：． 【变式2-3】一次数学测试，如果80分为优秀，以80分为基准简记，例如90分记为，那么70分应记为 分． 【答案】 【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，高于80分记为正，低于80分记为负，据此解答即可． 本题考查了相反意义的量，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：， 所以70分应记为． 故答案为：． 【考点题型三】有理数的概念辨析 【典例3】下列说法正确的个数为（　　） ①有理数与无理数的差都是有理数； ②无限小数都是无理数； ③无理数都是无限小数； ④两个无理数的和不一定是无理数； ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念和性质，熟练掌握有理数、无理数的概念和性质是解题的关键． 根据有理数、无理数的概念和性质进行分析，判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①有理数与无理数的差不一定是有理数，例如：，故该项不正确； ②无限小数不都是无理数，无限循环小数是有理数，故该项不正确； ③无理数都是无限小数，故该项正确； ④两个无理数的和不一定是无理数，例如是有理数，故该项正确； ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数，0不是无理数，故该项不正确； 故正确的个数有2个； 故选：A 【变式3-1】在，0，，和2024这五个有理数中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正数的定义，找出所有的正数即可得解，掌握正数的定义是解题的关键． 【详解】正数有：和2024，有2个正数． 故选B． 【变式3-2】如果为有理数，则下列结论中正确的是（    ） A．一定是负数 B．是偶数 C．是正数 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的相关概念．根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：A.为负数时，是正数，此项不正确； B.为分数时，是不是偶数，此项不正确； C.为0时，是0，此项不正确； D.，此项正确． 故选：D． 【变式3-3】在0，，，，中，有理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，其中分数可以化为有限小数或无限循环小数，据此即可求解． 【详解】解：在0，，，，中，有理数有0，，三个． 故选：C 【考点题型四】有理数的分类 【典例4】把下列各数分别填在它所在的集合里： ，，2004，，，，，，0， (1)正有理数集合{    } (2)负有理数集合{    } (3)分数集合{    } (4)非负整数集合{    } 【答案】(1)2004，，，6.2 (2)，，， (3)，，6.2 (4)，， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解答本题的关键． （1）直接利用正有理数的定义分析得出答案； （2）直接利用负有理数的定义分析得出答案； （3）直接利用非分数的定义分析得出答案； （4）直接利用非负整数的定义分析得出答案． 【详解】（1）解：，，； 正有理数集合，，，； 故答案为：2004，，，6.2； （2）负有理数集合，，，； 故答案为：，，，； （3）分数集合，，； 故答案为：，，6.2； （4）非负整数集合：，，； 故答案为：，，． 【变式4-1】把下列各数填入它所在数集的大括号内： ，3，7.004，，，，0，，14， 正有理数集合：{                          …} 非负整数集合：{                          …} 负分数集合：{                            …} 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正有理数、非负整数、负分数及有理数的定义，结合所给数据进行判断即可． 【详解】解：，， 正有理数集合：{3，7.004，，14 } 非负整数集合：{3，0，14 } 负分数集合：{，，} 【变式4-2】把下列各数分别填入相应的集合：0，，5.6，，，，15，． 整数集合（________…）； 分数集合（________…） 非负数集合（________…）； 负数集合（________…）． 【答案】0，，15；5.6，，，，；0，5.6，，15，；，， 【分析】本题考查了有理数的分类，由题意直接根据有理数的分类，把相应的数填写到相应的集合中即可，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． 【详解】解：整数集合（0，，15）； 分数集合（5.6，，，，） 非负数集合（0，5.6，，15，）； 负数集合（，，）． 【变式4-3】把下列各数分别填入相应的大括号内： ，，，，，，，，，，，； 正数集合：{___________________…}； 负数集合：{___________________…}； 负分数集合：{___________________…}； 整数集合：{___________________…}； 非负数集合：{___________________…}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的概念是解题的关键．根据有理数的分类直接进行解答． 【详解】解：正数集合：{、、、、}； 负数集合：{、、、、、}； 负分数集合：{、、}； 整数集合：{、、、、}； 非负数集合：{、、、、、}， 故答案为：、、、、；、、、、、；、、；、、、、；、、、、、． 【考点题型五】有理数的大小比较 【典例5】如果，那么关于，，三者的大小关系，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查简单的有理数比较，倒数，代入满足条件的数字即可．本题可代入一个满足条件的数字，然后再进行比较即可． 【详解】解：根据分析可设，代入可得，， 可得， 故选：D 【变式5-1】、0、、的大小顺序是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据负数都比0小，正数都比0大，两个负数比较大小时绝对值越大反而越小比较即可． 【详解】∵、， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-2】大于且小于2.3的整数共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据题意得到大于且小于2.3的整数有、、、0、1、2，即可求解． 【详解】解：大于且小于2.3的整数有、、、0、1、2， ∴大于且小于2.3的整数共有6个， 故选：A． 【变式5-3】比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，根据两个负数相比较，绝对值大的负数反而小，求解即可． 【详解】， ∴ 故答案为：>． 【考点题型六】数轴的三要素及其画法 【典例6】如图各图中，表示的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的三要素，即可解答． 【详解】解：如上图各图中，表示的数轴正确的是 故选：C． 【变式6-1】下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，解题的关键是熟记数轴的三要素．根据“数轴是规定了原点、单位长度和正方向的直线”，即可求解． 【详解】解：A、有原点和正方向，没有单位长度，所以该选项不正确，不符合题意； B、正、负数的位置反了，所以该选项不正确，不符合题意； C、没有规定正方向，所以该选项不正确，不符合题意； D、有原点、单位长度和正方向，所以该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式6-2】下列是四位同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴的三要素和画法．掌握原点、正方向、单位长度称数轴的三要素是解题关键．根据三要素逐一分析即可． 【详解】解：根据原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，即可知C选项正确． 故选：C． 【变式6-3】下列图形表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对数轴的考查，熟记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度以及数轴上的数的特点是解题的关键． 【详解】解：A．从左向右点所表示的数依次增大，故A错误； B．符合数轴的三要素原点、单位长度，正方向，故B正确； C．单位长度不一致，故C错误； D．画成射线了，故D错误． 故选：B． 【考点题型七】利用数轴比较有理数的大小 【典例7】在数轴上表示下列各数：，0，，，，并用“＜”号把它们连接起来． 【答案】在数轴上表示见解析， 【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．先在数轴上表示出各个数，比较即可． 【详解】解：，， ． 【变式7-1】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据数轴可以得到，且，再利用实数的运算法则即可判断．本题主要考查了利用数轴来进行实数大小比较．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【详解】解：根据点在数轴的位置，知：，且． A、，且，，故本选项错误； B、，，故本选项正确； C、，，，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：B． 【变式7-2】若有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较：正数大于，负数小于；两个负数比较大小负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了数轴． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故选D． 【变式7-3】把下列各数在数轴上表示出来，并将各数按从小到大的顺序排列，用“＜”连接． ， ，，，0． 【答案】各数表示见解析， 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上数的位置比较两个数的大小是解此题的关键． 先在数轴上表示各个数，再根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可． 【详解】解：，， 把，，，，0表示在数轴上如图所示∶ ∴． 【考点题型八】数轴上两点之间的距离 【典例8】在数轴上，距离表示数的点4个单位长度的点是（    ） A． B．6 C．2 D．或2 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 将数分别向左或向右移动4个单位长度，即可解答． 【详解】解：由题意知：将数向左移动4个单位长度，对应的点表示的数是；将数向右移动4个单位长度，对应点表示的数是． 故选：D． 【变式8-1】数轴上与原点距离是的点有两个，它们表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上与原点距离的定义即可，熟练掌握数轴上点的表示及几何意义是解题的关键． 【详解】解：数轴上与原点距离是的点有两个，分别为和， 故选：． 【变式8-2】数轴上点表示的数为，与点距离为4个单位长度的点表示的数为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了数轴上两点距离，设该点表示的数为，根据题意得，进而即可求解． 【详解】解：设该点表示的数为， 根据题意得：， 解得：或． 故答案为：或1． 【变式8-3】如果数轴上的点对应的数为3，那么与点相距4个单位长度的点所对应的数为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，注意分类讨论思想的应用．分情况计算，与点相距4个单位长度的点可能在点的右边，也可能在点的左边，由此计算即可． 【详解】解：如果数轴上的点对应的数为3，那么与点相距4个单位长度的点所对应的数为或， 故答案为：7或． 【考点题型九】数轴上的动点问题 【典例9】【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作． 【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点． (1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置； (2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______； ②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？ ③为何值时，，两点之间的距离为4？ 【答案】(1)见解析 (2)①，；②；③或． 【分析】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据题意画出数轴，即可解答； （2）①用含的代数式表示即可； ②根据相反数的意义列式计算即可求解； ③根据题意列出绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解：如图： ； （2）解：①秒时，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，； ②由题意得：， 解得：； ③由题意得：，即， ∴或， 解得：或． 【变式9-1】已知数轴上A、B两点对应的数分别为、，且满足    （1）求点A、B两点对应的有理数是 ； （2）若点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过 秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍． 【答案】 ，； 或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）分点P在B点左侧右侧两类讨论，结合距离问题列式求解即可得到答案； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故答空1答案为：，； （2）当点P在B点左侧时， ，， ∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍， ∴， 即：， 解得：， 当点P在B点右侧时， ，， ∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍， ∴， 即：， 解得：， 故答空2答案为：或； 【点睛】本题考查绝对非负性应用及数轴上动点距离问题，解题的关键是注意分类讨论． 【变式9-2】如图，点表示的数是．    (1)在数轴上表示出原点； (2)点表示的数是______； (3)将点向左移动3个单位长度到点，那么点表示的数是______； (4)在数轴上找点，使点到、两点的距离相等，那么点表示的数是______； (5)点在数轴上，与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) (5)或 【分析】（1）根据数轴上的点位置和绝对值，确定原点的位置； （2）原点确定后，确定点所表示的数； （3）根据（2）中求得所表示的数再向左移3个单位长度到点； （4）根据距离的表示方法即可求得； （5）分两种情况分别求出点所表示的数，一种是点在点的左侧，另一种是点在点的右侧，根据距离和绝对值求出所表示的数． 【详解】（1） 解∶ 原点在点A的右侧距离点A五个单位长度，如图所示，原点即为所求   （2）解：点B在原点的右侧距离原点2个单位，因此点B所表示的数为． （3）解：将点所表示的数，向左移个单位长度得到点，故得到，因此点表示的数为． （4）解：∵点到、两点的距离相等，表示的数是，表示的数为-1， ∴设表示的数为，则可得，解得 故点表示的数为． （5）解：①当点在点的左侧时，， ②当点在点的右侧时，， 因此点表示的数为或． 故点表示的数为或． 【点睛】本题考查数轴表示数，确定点在数轴上的位置，掌握数轴的相关概念是解题的关键． 【变式9-3】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 _______． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 _________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．若当电子蚂蚁从点出发时，以个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？    【答案】(1)； (2)； (3)； (4)秒或秒． 【分析】（）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （）根据数轴上两点之间的距离的求法，然后分情况讨论即可求解； （）根据数轴上两点之间的距离的求法，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）数轴上表示和两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）根据绝对值的定义有：可表示为点到与两点距离之和， 根据几何意义分析可知： 当时，， 当时，， 当时，， 当在与之间时，的最小值， 故答案为：； （4）， 相遇前：（秒）， 相遇后：（秒）， 则经过秒或秒，只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【点睛】此题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离表示和采用数形结合的思想是解题的关键． 【考点题型十】倒数的概念和相反数的概念 【典例10】的倒数是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴的倒数是 故选：D． 【变式10-1】的相反数是（ ） A． B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是2023． 故选B． 【变式10-2】的倒数是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：B． 【变式10-3】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3和 B．3和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．利用相反数的定义判断． 【详解】解：3和不互为相反数，选项不符合题意； 3和互为相反数，选项符合题意； ，两个数不互为相反数，选项不符合题意； ，两个数不互为相反数，选项不符合题意． 故选：． 【考点题型十一】相反数的性质运用 【典例11】已知与2互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵与2互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键． 【变式11-1】若、互为相反数，则 ． 【答案】5 【分析】根据互为相反数的两个数的和为，可得的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 【详解】解：、互为相反数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值，先算的值，再算绝对值． 【变式11-2】若，互为相反数，，互为倒数，则 ． 【答案】-4 【分析】互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数乘积为1，据此作答． 【详解】，互为相反数，故； ，互为倒数，故； 则 故答案为：-4． 【点睛】本题考查相反数、倒数的性质，解决本题的关键是熟悉相反数、倒数的性质并应用． 【变式11-3】若与互为相反数，则= 【答案】5 【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ 与互为相反数， ∴， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）二次根式（算术平方根）． 当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 【考点题型十二】绝对值定义、绝对值的性质 【典例12】一个数的绝对值等于，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：一个数的绝对值等于， 这个数是， 故答案为：． 【变式12-1】的绝对值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，进行解答即可． 【详解】负数的绝对值等于它的相反数， 的绝对值是3， 故选：B． 【变式12-2】若，，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．7或 【答案】C 【分析】由已知可得，或，，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式求值，绝对值的性质，熟练掌握绝对值和平方的意义是解题的关键． 【变式12-3】化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球．本题考查正数与负数以及绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：通过求4个排球的绝对值得： ，，，． 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的球． 故选：B． 【考点题型十三】化简绝对值 【典例13】已知有理数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据数轴可以判断a、b、c的正负和绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子． 【详解】解：根据数轴，得， ， ． 【变式13-1】有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的知识，先观察数轴得出，再根据绝对值的意义、有理数的大小比较法则，对四个答案依次分析即可． 【详解】由图可知：， 则 故选：B． 【变式13-2】若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ① ， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 【变式13-3】已知为有理数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何意义求含绝对值的代数式的最值，理解绝对值的几何意义，分类讨论求解即可得到答案，熟记绝对值的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：表示的点为数轴上的一个动点，由绝对值的几何意义可知，指表示的点与表示的点的距离 表示的点与表示的点的距离，分三种情况： 当时，如图所示： ，最小值为； 当时，如图所示： ，最小值为； 当时，如图所示： ，最小值为； 综上所述，的最小值是为， 故答案为：． 【考点题型十四】非负性的性质 【典例14】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．根据非负数的性质列出方程组，求得，的值即可． 【详解】解：， ，， 解得，， 故答案为． 【变式14-1】已知则 ． 【答案】7 【分析】本题考查非负性，代数式求值，根据非负性，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：7． 【变式14-2】已知 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，则每一个加数都为零． 根据绝对值和平方的非负性可知，，求出、的值代入即可得出答案． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【考点题型十五】有理数的加减运算 【典例15】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）从左到右依次计算即可； （2）运用加法的交换律和结合律计算即可； （3）运用加法的交换律和结合律计算即可； （4）运用加法的交换律和结合律计算即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式15-1】不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式15-2】计算： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再算加减即可； （2）先将原式展开，再将分数合并，整数合并，再计算加减即可； （3）根据有理数混合运算的顺序计算即可； （4）先去括号和绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式15-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法法则及加法运算律，熟练掌握有理数的加减法法则及加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【考点题型十六】有理数乘除法运算 【典例16】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把除法变为乘法，再利用多个有理数相乘的法则计算即可； （2）先把除法变为乘法，再利用多个有理数相乘的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式16-1】计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，原式先计算括号中的加法运算，再计算乘除运算即可求出值． 【详解】解： ． 【考点题型十七】有理数的乘方 【典例17】下列各组数中，最后运算结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算，根据乘方运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，，故不相等； B．，，故不相等； C．，，故相等； D． ，，故不相等； 故选C． 【变式17-1】生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，乘方运算．根据尾数的循环性得出结论即可， 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 【变式17-2】对于式子，下列说法正确的是（    ） A．指数是 B．底数是3 C．幂为 D．表示3个相乘 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方．根据有理数乘方的定义即可判断． 【详解】解：的指数是3，底数是，表示3个相乘，则幂是， 故选：D 【考点题型十八】有理数混合运算 【典例 8】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）先算乘方和除法，再厅绝对值，然后算乘法，最后算加减； （2）先算乘方和乘法，再算除法，后算加减． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式18-1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘除，最后计算有理数的加减法即可． 【详解】解： ． 【变式18-2】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可； （2）根据有理数的运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式18-3】计算： (1)； (2)； 【答案】(1)6 (2)32 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十九】算“24”点 【典例19】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为________； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【答案】(1)和；15 (2) 【分析】（1）找出两个数字，使其积最大即可； （2）利用24点游戏规则判断即可． 【详解】（1）解：两张卡片上的数字分别是和时，乘积最大，且最大值为：． 故答案为：和；15． （2）解：根据题意得： ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、除法、混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式19-1】嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解： 本题中设计的数字有：8，4，2，12． 根据题目规则，可得满足条件的算式如下： （1）． （2）． （3）． （4）等． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式19-2】“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能用一次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使得四个数的运算结果等于24．如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：． 现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是理解“算24”的游戏规则，灵活运用运算法则计算． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式19-3】“24点”游戏是一种益智游戏，要求玩家将4个给定的有理数进行加、减、乘、除四则混合运算（允许使用括号，每个数只能使用一次）使最后的计算是24．四个有理数，3，4，，请运用上述规则，使其结果为24，这个算式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的混合运算可进行求解． 【详解】解：由题意可得这个算式可以是； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【考点题型二十】科学计数法 【典例20】近日多彩贵州网讯，随着气温持续回暖，各色杜鹃花陆续绽放，百里杜鹃景区也迎来了2024年赏花旅游小高峰．百里杜鹃景区自3月30日以来，景区已接待游客约309000人次，较2023年同期接待游客人次同比增长．全国各地前来百里杜鹃游客络绎不绝．309000这个数用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选D． 【变式20-1】年月29日时分，我国神舟十五号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，并成功与“天宫一号”顺利对接．据测量，“天宫一号”据地面高度大约为米，这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式20-2】新型冠状病毒蔓延全球，截至到北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过例，数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解： ， 故选：D 【变式20-3】北京时间2022年11月30日，神舟十五号飞船与中国空间站对接成功，中国航天员首次太空会师，中国空间站距离地球大约为400公里（400000米），请将400000米用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将400000米用科学记数法表示为． 故选：A． 【考点题型二十一】近似数的表示 【典例21】用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（    ） A．2.1（精确到 B．2.06（精确到百分位） C．2.0（精确到十分位） D．2.0603（精确到 【答案】C 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：A．（精确到，正确，不符合题意； B．（精确到百分位），正确，不符合题意； C．（精确到十分位），原说法错误，符合题意； D．（精确到，正确，不符合题意； 故选C． 【变式21-1】凯凯的身高为，用四舍五入法将1.62精确到0.1的近似值为 . 【答案】1.6 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握四舍五入的原则是解题的关键．运用四舍五入原则计算即可． 【详解】解：∵（精确到0.1）， 故答案为：1.6． 【变式21-2】精确到十分位的近似值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，直接对百分位上的数字5进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解：精确到十分位的近似值是， 故答案为：． 【变式21-2】用四舍五入法将精确到百分位是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，掌握相关结论即可． 【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位是 故答案为： 【考点题型二十二】有理数实际应用 【典例22】某儿童玩具厂计划七天共生产套玩具火车，平均每天生产套，由于个别工人请假，实际每天的生产量与计划生产量有出入，下表是一周七天的实际生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_____套； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_____套； (3)七天共生产多少套玩具火车？ (4)该厂实行每日计件工资制，每生产一套玩具火车可得元，若超额完成任务，则超过部分每套另奖元，少生产部分每套扣元，那么这一周该厂支给工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)七天共生产套玩具火车 (4)这一周该厂支给工人的工资总额是元 【分析】本题考查有理数运算在实际生活中的应用，准确地列出式子计算是解题的关键． （1）根据记录可知，前三天共生产了套玩具火车； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了套玩具火车； （3）根据有理数的加法，可得答案； （4）根据基本工资加奖金，可得答案． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：， 故答案为： （3）解： （套）． 答：七天共生产套玩具火车； （4）解：超额生产：（套）， 少生产：（套）， （元）． 答：这一周该厂支给工人的工资总额是元． 【变式22-1】出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ (2)离开下午出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米 (2)离开下午出发点最远时是26千米 (3)这天下午共需支付22.95元油钱 【分析】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和． （1）把所有的行程数据相加即可求出小张离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边； （2）分别计算出小张每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可； （3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和，再结合油价求解即可解题． 【详解】（1）解：小张离下午出车点的距离 （千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米； （2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 26最大， 离开下午出发点最远时是26千米， 答：离开下午出发点最远时是26千米； （3）解：∵这天下午小张所走路程 （千米）， 这天下午共需付钱（元）， 答：这天下午共需支付22.95元油钱． 【变式22-2】粮库3天内进出库的吨数记录如下（“”表示进库，“”表示出库）： ，，，，， (1)经过3天，粮库里的粮食是增多了还是减少了？增多了还是减少了多少？ (2)经过3天，粮库管理员结算时发现粮库里还存480吨粮食，那么3天前粮库里的存量有多少吨？ (3)如果进库出库的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付出多少装卸费？ 【答案】(1)经过3天，粮库里的粮食是减少了，减少了45吨 (2)3天前粮库里的存量有525吨 (3)这3天要付出825元装卸费 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，正负数的实际运用，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）计算出3天的进出库量，根据有理数的加减运算即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算即可求解； （3）先计算出总的吨数，再根据有理数的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：（吨）， ∴经过3天，粮库里的粮食是减少了，减少了45吨； （2）解：由（1）可知，经过3天，减少了45吨， ∴3天前的存量为：（吨）， ∴3天前粮库里的存量有吨； （3）解：（吨）， ∴（元）， ∴这3天要付出825元装卸费． 【变式22-3】有20箱橘子，以每箱25千克为标准质量，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 箱数 1 4 2 3 2 8 (1)在这20箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量比较，20箱橘子总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1)最重的一箱比最轻的一箱重5.5千克 (2)与标准质量比较，20箱橘子总计超过8千克 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的四则混合运算的实际应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）用最大的2.5减去最小的即可求解； （2）将表格中的20个数据相加，和为正，表示总计超过标准质量，和为负，则表示总计不足标准质量，然后求其绝对值即可． 【详解】（1）解：根据表格数据，由（千克）知， 最重的一箱比最轻的一箱重5.5千克； （2）解：由表格数据，得 （千克）， ∴与标准质量比较，20箱橘子总计超过8千克． 【变式22-4】某领导慰问高速公路养护小组．乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)求该领导乘车最后到达的地方在服务区何方？距离多远？ (2)若行驶千米耗油升，则这次巡视共耗油多少升？ (3)若领导在这个巡视点发放苹果做为慰问品，以为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这个巡视点的苹果重量记为，，，，，（单位：），求发放苹果的总重量． 【答案】(1)在服务区的东，距离千米 (2)共耗油升 (3)发放苹果总重量为 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．也考查了有理数的混合运算． （1）求出这一组数的和，结果是正数则在出发点的东边，是负数则在出发点的西侧； （2）将每次行驶的绝对值相加，再乘以每公里油耗，可得结果； （3）将每个巡视点的苹果所出入的重量相加，再加上总的标准重量即可． 【详解】（1）解：（千米） 答：该领导最后到达服务区的东边千米处． （2）解：（升） 答：这次巡视共耗油升． （3）解： 答：发放苹果总重量为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$