清单03 整式的加减（19个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版2024）

清单03 整式的加减（19个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单03】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【清单04】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单05】同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【考点题型一】用代数式表示式 【典例1】六一儿童节，学校开展研学活动，租用大巴车和面包车共10辆，租用一辆大巴车和一辆面包车的费用分别是600和400元，若租了a辆大巴车，租车总费用是 元． 【变式1-1】一箱梨的售价为元，箱子和梨的总质量为 ，箱子的质量为 ，则每千克梨的售价为 元． 【变式1-2】标价为m元的商品，若打8折出售，则售价为 元．（用含有m的代数式表示） 【变式1-3】为了丰富班级的课余活动，王老师预购置副羽毛球拍和个羽毛球，已知买一副羽毛球拍要元，买一个羽毛球要元．王老师一共要花 元（用含、的式子表示）． 【考点题型二】用代数式的概念及意义 【典例2】下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】代数式的正确含义是（    ） A．5乘y减5 B．y的5倍减去5 C．y与5的差的5倍 D．5与y的积减去5 【变式2-3】贵阳某中学七年级（6）班张老师在黑板上写了一个代数式，关于这个代数式，下列说法正确的是（    ） A．表示3与的和 B．表示3与的商 C．表示单价为3元的钢笔买了支的总价 D．表示3与的差 【考点题型三】求代数式的值 【典例3】已知代数式的值是8，那么的值是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】若的值为1，则整式的值为（    ） A． B．3 C．0 D．9 【变式3-2】已知，那么 ． 【变式3-3】已知，则的值为 ． 【考点题型四】单项式的判断 【典例4】下列代数式中中，单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式4-1】下列式子、、、、、、中，单项式的个数是（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-2】下列式子中，（      ）是单项式． A． B． C． D． 【变式4-3】在式子，，，中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型五】单项式的项和次数 【典例5】单项式的系数和次数分别是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【变式5-1】代数式的系数是 ，次数是 ． 【变式5-2】已知是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ． 【变式5-3】单项式 的系数与次数的乘积为 ． 【考点题型六】多项式的判断 【典例6】在下列整式，，，中多项式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-1】下列各式中是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】在式子、、、、中，多项式有 个． 【考点题型七】多项式的项、项数或次数 【典例7】多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． A．3，3 B． C． D．2，3 【变式7-2】若关于的多项式是四次三项式，则的值为 ． 【考点题型八】多项式系数、指数中字母求值 【典例8】多项式是四次三项式，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．0 【变式8-1】若多项式是关于x的五次三项式，则m的值为 ． 【变式8-2】若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【变式8-3】若是关于的二次三项式，那么的值为 ． 【考点题型九】整式的判断 【典例9】下列式子：，，，，，中，整式的个数是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】下列式子，0，中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式9-2】下列代数式中，整式有几个（    ） ，，，，，，a A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式9-3】代数式， ，，，，0.5 中整式的个数（ ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【考点题型十】去括号和添括号 【典例10】下列去括号中正确的（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】下列添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】下列各式中，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-4】添括号：（___________）． 【考点题型十一】同类项和合并同类项 【典例11】若与是同类项，则 的结果为（   ） A．1 B．0 C． D． 【典例12】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】下列各组是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式12-3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-4】若与是同类项，则的值为 ． 【考点题型十二】整式的加减运算 【典例13】计算： (1)； (2)． 【变式13-1】化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式13-2】化简： (1)； (2)． 【变式13-3】化简下列式子： (1) ； (2)． 【考点题型十三】整式的加减中的化简求值 【典例 14】先化简，再求值：，其中，． 【变式14-1】先化简，再求值：，其中． 【变式14-2】先化简，再求值： ，其中，． 【变式14-3】已知，． (1)求； (2)如果，求 【考点题型十四】整式加减的应用 【典例15】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 【变式15-1】窗户的形状如图所示（图中长度单位：，其上部为半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长为．计算： (1)窗户的面积是多少？ (2)窗户的外框的总长是多少？ (3)当时，窗户的面积和外框的总长分别是多少？ 【变式15-2】如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便，学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）．设走道的宽为x米． (1)求走道的全面积为________；（试用含x的代数式表示并化简） (2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积； (3)经商议按25元/米的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元？ 【变式15-3】今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有辆，根据如表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨土特产利润（元） 140 160 (1)求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有的式子表示）． (3)现为了促销，公司决定甲种土特产每吨让利元，乙种土特产每吨利润不变，若无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，求的值． 【考点题型十五】整式加减中的无关型问题 【典例16】已知多项式． (1)先化简，再求值，其中，； (2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值． 【变式16-1】已知关于的多项式、，其中，、为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求m、n的值． 【变式16-2】已知，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【变式16-3】定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【考点题型十六】日历中的规律 【典例 7】2024年1月日历排列如图所示，用“X”形的方式任意框五个数． (1)若框住的5个数中，正中间的一个数为10，则这5个数的和为________； (2)用式子表示“X”形框内五个数的和． (3)“X”形框能否框住这样的5个数，使得它们的和等于120?若能，求出正中间的数；若不能，请说明理由． 【变式17-1】在一张日历上，在同一行上任意圈出三个相邻的数，它们的和不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式17-2】下表是2002年12月份的日历，现在用一个长方形在日历中任意框出4个数，请你用一个等式表示之间的关系 ． 【变式17-3】如图是某月的日历，现有一个十字形框框出个数,请观察图形解答下列问题： (1)日历图中十字形框框出的个数之和是该十字形框正中间数的 倍； (2)如果用表示正中间的数，这个数的和等于 ，这个关系对其他这样的十字形框成立吗？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? (4)如果将十字形框改为形框，你能发现哪些规律？ (5)你还能设计一个什么形状的包含数字规律的数框? 【考点题型十七】数字中的规律 【典例18】求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】观察下列一组数、、、，…，第10个数是 ． 【变式18-2】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算：( )． 【变式18-3】将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照下图排列的规律，第10行第6个数是（    ） A．100 B．102 C．104 D．106 【考点题型十八】图形中的规律 【典例19】用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第2012个图案需要棋子（　　）枚． A．5046 B．5782 C．4986 D．6038 【变式19-1】如图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图（2）：在分别连接图（2）中小三角形三边的中点得到图（3），…，按照上面方法继续下去，则第100个图形中共有（    ）个三角形    A．397 B．398 C．399 D．400 【变式19-2】红红按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图． 如果按照这个规律维续摆，第五幅图要用（ ）根小棒． A．23 B．31 C．35 D．45 【变式19-3】如图，画2个正方形能得到4个等腰直角三角形，画3个正方形能得到8个等腰直角三角形，画10个正方形能得到（    ）个等腰直角三角形． A．40 B．36 C．32 D．30 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 整式的加减（19个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单03】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【清单04】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单05】同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【考点题型一】用代数式表示式 【典例1】六一儿童节，学校开展研学活动，租用大巴车和面包车共10辆，租用一辆大巴车和一辆面包车的费用分别是600和400元，若租了a辆大巴车，租车总费用是 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，先表示出租用面包车的辆数，然后把租用a辆大巴车和租用辆面包车的费用加起来即可． 【详解】解：租了a辆大巴车，则租了辆面包车， 所以租车总费用为元． 故答案为：． 【变式1-1】一箱梨的售价为元，箱子和梨的总质量为 ，箱子的质量为 ，则每千克梨的售价为 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键得到每千克梨的售价的等量关系．每千克梨的售价总售价（总质量箱子的质量），把相关数值代入即可求解． 【详解】解：梨总质量为：． 每千克梨的售价元． 故答案为： 【变式1-2】标价为m元的商品，若打8折出售，则售价为 元．（用含有m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据该商品的标价为m元，表示出打8折出售后的价格即可． 【详解】解：标价为m元的商品，若打8折出售，则售价为元． 故答案为：． 【变式1-3】为了丰富班级的课余活动，王老师预购置副羽毛球拍和个羽毛球，已知买一副羽毛球拍要元，买一个羽毛球要元．王老师一共要花 元（用含、的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，根据费用一副羽毛球拍的单价数量一个羽毛球的单价数量，即可用含、的式子表示出王老师要花的费用．正确理解各数量之间的关系是解题的关键． 【详解】解：王老师一共要花元． 故答案为：． 【考点题型二】用代数式的概念及意义 【典例2】下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式．代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，当系数为1或时，1省略不写；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要化为假分数；④多项式后边有单位时，多项式要加括号；由此判断即可． 【详解】解：A、符合代数式书写格式，故此选项符合题意； B、的系数应该为假分数，故此选项不符合题意； C、数字7应该在字母的前面，乘号省略，故此选项不符合题意； D、应该写成分式的形式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代数式的书写要求分别判断得出答案．此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； B、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； C、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； D、符合代数式的书写要求，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2-2】代数式的正确含义是（    ） A．5乘y减5 B．y的5倍减去5 C．y与5的差的5倍 D．5与y的积减去5 【答案】C 【分析】本题考查了代数式表示的意义，根据代数式的表示意义，即可求解，掌握代数式的表示是解题的关键． 【详解】解：根据题意，表示的意义是y与5的差的5倍， 只有C符合题意， 故选：C ． 【变式2-3】贵阳某中学七年级（6）班张老师在黑板上写了一个代数式，关于这个代数式，下列说法正确的是（    ） A．表示3与的和 B．表示3与的商 C．表示单价为3元的钢笔买了支的总价 D．表示3与的差 【答案】C 【分析】题目主要考查列代数式及代数式的意义，理解题意是解题关键 【详解】解：代数式，可表示单价为3元的钢笔买了支的总价， 故选：C 【考点题型三】求代数式的值 【典例3】已知代数式的值是8，那么的值是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式的代入求值．根据代数式的值是，可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：， ∴移项，， ∴， 故选：D． 【变式3-1】若的值为1，则整式的值为（    ） A． B．3 C．0 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据题意可得出，将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， ∴， 故选：B． 【变式3-2】已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，把代数式转化为，再把代入计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点题型四】单项式的判断 【典例4】下列代数式中中，单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的概念，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．根据单项式的定义解答即可． 【详解】解：在中单项式有： b，，，，共4个． 故选：C． 【变式4-1】下列式子、、、、、、中，单项式的个数是（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式的定义，即数字与字母的乘积、字母与字母的乘积和单个的数字、字母都是单项式，根据单项式的定义判断即可． 【详解】解：根据单项式的定义可知，、和为单项式，共3个， 故选：B． 【变式4-2】下列式子中，（      ）是单项式． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式的定义（由数或字母的积组成的整式：字母和数字的乘积的形式，单独的字母也是单项式）对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案．此题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是单项式，故选项A符合题意； B、不是整式，不是单项式，故选项B不符合题意； C、是多项式，不是单项式，故选项C不符合题意； D、不是整式，不是单项式，故选项D不符合题意； 故选：A 【变式4-3】在式子，，，中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式．根据单项式与的定义“数字与字母的乘积组成的式子是单项式，单个的数字和字母也是单项式”进行分析即可． 【详解】解：式子：，，不是数字与字母的乘积组成的式子，不是单项式； 单项式有：，，共2个． 故选：B． 【考点题型五】单项式的项和次数 【典例5】单项式的系数和次数分别是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【分析】本题考查单项式中的系数和次数，根据系数和次数的概念求解即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故答案为：B 【变式5-1】代数式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 6 【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案． 此题主要考查了单项式有关概念，正确把握相关定义是解题关键． 【详解】代数式的系数是，次数是． 故答案为：，6． 【变式5-2】已知是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了单项式的概念单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．根据次数等于5且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：3． 【变式5-3】单项式 的系数与次数的乘积为 ． 【答案】 【详解】本题考查了单项式的系数与次数，掌握单项式的系数与次数的定义是解题的关键．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．分别求出单项式 的系数与次数，再求乘积即可． 【解答】解：∵单项式 的系数为： ，次数为：5， ∴单项式 的系数与次数的乘积为：． 故答案为：． 【考点题型六】多项式的判断 【典例6】在下列整式，，，中多项式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查多项式定义，根据多项式是几个单项式的和差理解，逐项验证即可得到答案，熟记多项式定义是解决问题的关键． 【详解】解：整式，，，中多项式有，，共2个， 故选：B． 【变式6-1】下列各式中是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式，根据多项式的定义解决此题． 【详解】解：A．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故A不符合题意． B．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故B不符合题意． C．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故C不符合题意． D．根据多项式的定义，是多项式，故D符合题意． 故选：D． 【变式6-2】下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据多项式的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了多项式的定义，解题的关键是：熟练掌握多项式定义． 【详解】解：是单项式，是多项式，是分式，是多项式， 其中多项式有2个， 故选：． 【变式6-3】在式子、、、、中，多项式有 个． 【答案】2 【分析】此题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式，据此进行判断即可． 【详解】解：在式子、、、、中， 、是多项式，共2个， 故答案为：2 【考点题型七】多项式的项、项数或次数 【典例7】多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． 【答案】 六 五 【分析】本题考查多项式的次数，项数和系数．熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据多项式的次数：最高项的次数，项数：单项式的个数，系数：单项式中的数字因式，进行作答即可． 【详解】解：根据题意可得多项式一共有五项，其中：、、的次数均是，的次数是，是常数项， ∴多项式最高次项六，最高次项的系数是， 故答案为：六，五，． 【变式7-1】多项式的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3，3 B． C． D．2，3 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式次数和项的系数定义，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，前面的系数即为最高次项的系数，据此可得答案． 【详解】解：多项式的次数及最高次项系数分别是、， 故选B． 【变式7-2】若关于的多项式是四次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的概念，熟练掌握多项式的概念是解题的关键．根据多项式的定义即可得到答案． 【详解】解：多项式是四次三项式， ， ， 故答案为：． 【考点题型八】多项式系数、指数中字母求值 【典例8】多项式是四次三项式，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查多项式的定义、绝对值，根据“多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数”可得，再求解即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴， 即， ∴， 故选：C． 【变式8-1】若多项式是关于x的五次三项式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式项和次数的定义，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式是关于x的五次三项式， ∴， ∴， 故答案为：。 【变式8-2】若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，解题关键是熟练掌握多项式的次数和项数的定义．由题意可知，解方程和不等式即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ， 解得：， 故答案为：． 【变式8-3】若是关于的二次三项式，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式项和次数的定义，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此列式求解即可． 【详解】解；∵是关于的二次三项式， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型九】整式的判断 【典例9】下列式子：，，，，，中，整式的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的概念，根据整式的定义从给出的式子中找出整式的个数即可，正确把握定义是解题关键． 【详解】解：是单项式，属于整式， 是分式， 是单项式，属于整式， 是分式， 是单项式，属于整式， 是单项式，属于整式， ∴根据整式的定义可知，共有个， 故选：． 【变式9-1】下列式子，0，中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】直接利用整式的定义得出答案．此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：根据整式的定义，可知整式有： ，，0共有5个． 故选：C． 【变式9-2】下列代数式中，整式有几个（    ） ，，，，，，a A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称为整式，解题的关键是熟知整式的概念．直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出即可． 【详解】解：，， ， ，，，中， 整式有：， ，，，整式一共有4个； 故选：A． 【变式9-3】代数式， ，，，，0.5 中整式的个数（ ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】直接利用整式的定义得出答案． 此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：整式有，， ，0.5共有4个． 故选：B． 【考点题型十】去括号和添括号 【典例10】下列去括号中正确的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式10-1】下列添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐个判断即可． 【详解】解∶A．，选项A错误； B． ，选项B错误； C．，选项C正确； D．，选项D错误； 故选：C． 【变式10-2】下列各式中，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，理解并掌握去括号法则是解题关键．去括号的原则即遇正不变，遇负变号，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项错误，不符合题意； B. ，故本选项错误，不符合题意； C. ，本选项正确，符合题意； D. ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式10-3】下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号进行分析即可．此题主要考查了添括号法则．解题的关键是掌握添括号法则，特别要注意符号的变化情况． 【详解】解：A、，原变形正确，故此选项符合题意； B、，原变形错误，故此选项不符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式10-4】添括号：（___________）． 【答案】． 【分析】本题主要考查添括号，根据添括号的方法直接进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 【考点题型十一】同类项和合并同类项 【典例11】若与是同类项，则 的结果为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项．根据同类项的定义“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”可得、的值，再代入所求所占计算即可． 【详解】解：与， ，， 解得，， ． 故选：B． 【典例12】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式加减运算，涉及合并同类项法则，根据合并同类项运算法则逐项验证即可得到答案，熟练掌握整式加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、，运算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意； C、计算正确，运算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式12-1】下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键．根据合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，此项错误，不符题意； B、，此项错误，不符题意； C、，此项错误，不符题意； D、，此项正确，符合题意； 故选：D． 【变式12-2】下列各组是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．根据同类项的定义逐项分析即可，同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 【详解】解：A、与字母指数不一样，不符合题意； B、与字母指数不一样，不符合题意； C、与所含字母不同，不符合题意； D、与是同类项； 故选：D. 【变式12-3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项．根据合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【变式12-4】若与是同类项，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是掌握字母和字母指数相同的单项式是同类项． 根据同类项的定义，求出m和n的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：0． 【考点题型十二】整式的加减运算 【典例13】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． （1）利用去括号法则去括号，然后合并同类项即可求解． （2）利用去括号法则去括号，然后合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式13-1】化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据合并同类项的方法可以解答本题； （2）先去括号，然后合并同类项即可； （3）先去括号，然后合并同类项即可； （4）先去括号，然后合并同类项即可； 本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 【详解】（1）解： ． ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式13-2】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项和整式的加减计算： （1）根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式13-3】化简下列式子： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主经考查了整式的加减．熟练掌握去括号，合并同类项，符号的变化，运算顺序，是解决问题的关键． （1）把同类项合并即可． （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1） ． （2） ． 【考点题型十三】整式的加减中的化简求值 【典例 14】先化简，再求值：，其中，． 【答案】；6 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，然后把所给字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【变式14-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】根据去括号，合并同类项计算化简，后代入求值即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式14-2】先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查整式的加减-化简求值．掌握整式的加减运算法则是解题的关键．去括号再合并同类项即可化简．将，代入化简后的式子即可求值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式14-3】已知，． (1)求； (2)如果，求 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则与合并同类项法则进行求解． （1）把、的值代入，再去括号，合并同类项即可； （2）求出，再把、的值代入，去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，， ． 【考点题型十四】整式加减的应用 【典例15】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查列代数式和整式加减的应用，解题的关键是用代数式表示出装饰物的面积． （1）将两个四分之一的圆面积相加即是装饰物的面积，用矩形的面积减去装饰物的面积即是射进阳光的面积； （2）用矩形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积； （3）将（2）（1）的结论作差，再将米，米代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴窗户能射进阳光的面积为：； （2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴图2窗户能射进阳光的面积为： ； （3）解： ， 将代入，可得： 原式， 答：两图中窗户能射进阳光的面积相差． 【变式15-1】窗户的形状如图所示（图中长度单位：，其上部为半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长为．计算： (1)窗户的面积是多少？ (2)窗户的外框的总长是多少？ (3)当时，窗户的面积和外框的总长分别是多少？ 【答案】(1) (2) (3)窗户的面积是，窗户的外框的总长是： 【分析】（1）窗户的面积等于四个小正方形的面积与半圆的面积之和即可得； （2）大正方形的的三条边长加上圆的周长的一半即可得； （3）把代入（1）（2）中所列代数式求值即可． 本题考查了整式加法的应用及化简求值，熟练掌握正方形与圆的周长和面积公式是解题关键． 【详解】（1）窗户的面积是：； （2）窗户的外框的总长是：； （3）当时，窗户的面积是： 窗户的外框的总长是：． 【变式15-2】如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便，学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）．设走道的宽为x米． (1)求走道的全面积为________；（试用含x的代数式表示并化简） (2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积； (3)经商议按25元/米的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元？ 【答案】(1) (2)平方米 (3)元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值： （1）根据图形，列出代数式即可； （2）将代入（1）中的结果进行求解即可； （3）用单价乘以总面积进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：走道的全面积为：； （2）解：当时：， 故该走道的总面积为：平方米； （3）解：（元）． 【变式15-3】今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有辆，根据如表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨土特产利润（元） 140 160 (1)求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有的式子表示）． (3)现为了促销，公司决定甲种土特产每吨让利元，乙种土特产每吨利润不变，若无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，求的值． 【答案】(1)吨 (2)元 (3) 【分析】（1）先求出运乙种土特产的汽车有辆，再根据表格中的数据求出总运输量即可； （2）根据利润每吨利润数量进行求解即可； （3）根据利润每吨利润数量表示出总利润，再根据题意可知总利润与x的值无关，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，装运乙种土特产的汽车有辆， ∴这10辆汽车共装运土特产的数量为吨； （2）解：由题意得，销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为元； （3）解：由题意得，总利润为元， ∵无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变， ∴总利润与x的值无关， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意列出对应的代数式是解题的关键． 【考点题型十五】整式加减中的无关型问题 【典例16】已知多项式． (1)先化简，再求值，其中，； (2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值以及无关型题型，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简多项式，得，再把，代入计算，即可作答． （2）先化简多项式得，结合“多项式M与字母x的取值无关”，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： 当，时， ； （2）解：∵且多项式M与字母x的取值无关， ∴与字母x的取值无关， 即， ∴． 【变式16-1】已知关于的多项式、，其中，、为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求m、n的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先将的式子乘3，再减去的式子，最后合并同类项即可； （2）根据题意得到：、，求出、的值即可． 本题考查了整式的加减，关键要利用合并同类项进行化简整式． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意不含x项和项 可得：， 解得：； ， 解得： 【变式16-2】已知，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握去括号法则，合并同类项法则将整式正确化简是解决问题的关键． （1）先化简，再把，代入化简后的结果，去括号、合并同类项化简即可； （2）因为的值与的取值无关，则的系数为0，列出方程即可得出结果． 【详解】（1），， ； （2），， ， 的值与的取值无关， ， ． 【变式16-3】定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【答案】(1)3 (2)8 【分析】（1）根据相关数的定义得到，从而得到a的值； （2）根据相关数的定义得到，从而，根据B的值与m无关得到，求出n的值，从而得到B的值． 本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴ ∴ ∵B的值与m无关， ∴， ∴， ∴． 答：B的值为8． 【考点题型十六】日历中的规律 【典例 7】2024年1月日历排列如图所示，用“X”形的方式任意框五个数． (1)若框住的5个数中，正中间的一个数为10，则这5个数的和为________； (2)用式子表示“X”形框内五个数的和． (3)“X”形框能否框住这样的5个数，使得它们的和等于120?若能，求出正中间的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)50 (2) (3)不存在，理由见详解 【分析】主要考查规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． （1）根据图示进行计算便可得结果； （2）设“X”形框内中间一个数为，其余四个数分别为，再求和即可； （3）根据（2）中的代数式，结合题意列出 的方程，根据方程有无解进行解答便可． 【详解】（1）解：， 故答案为：50； （2）解：设“X”形框内中间一个数为，其余四个数分别为， 则这五个数的和为； （3）解：不存在，理由如下： ， 解得：， 则，此数不存在， 故不存在5个数的和等于120． 【变式17-1】在一张日历上，在同一行上任意圈出三个相邻的数，它们的和不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，设中间的数为，通过计算可知三个数的和为的倍数，则可得到答案． 【详解】设中间的数为，则另外两个数分别为 所以三个数的和为 所以三个数的和为的倍数 因为不是的倍数 故选：D． 【变式17-2】下表是2002年12月份的日历，现在用一个长方形在日历中任意框出4个数，请你用一个等式表示之间的关系 ． 【答案】d-c=b-a 【分析】此题可以有多种表示方法：①横向来看，左右两个数的差都是1；②纵向看，上下两个数字的差相等；③对角线的角度看，两个数字的和相等． 【详解】解：d-c=b-a（答案不唯一）． 故答案为：d-c=b-a． 【点睛】本题考查了数字变化规律，熟悉生活中的一些常识，能够把数学和生活密切联系起来．从所给材料中分析数据得出规律是应该具备的基本数学能力． 【变式17-3】如图是某月的日历，现有一个十字形框框出个数,请观察图形解答下列问题： (1)日历图中十字形框框出的个数之和是该十字形框正中间数的 倍； (2)如果用表示正中间的数，这个数的和等于 ，这个关系对其他这样的十字形框成立吗？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? (4)如果将十字形框改为形框，你能发现哪些规律？ (5)你还能设计一个什么形状的包含数字规律的数框? 【答案】(1) (2)，成立； (3)成立，见解析 (4)形框框出的个数之和是该形框正中间数的倍 (5)还能设计一个正方形或形或形数框（答案不唯一） 【分析】本题考查探究与表达规律，整式的加减，解答关键是通过观察得到数字变化规律． （1）求得框出的5个数之和即可得出结论； （2）用a表示出其它4个数，再利用整式加法法则求和，进而可得结论； （3）根据（2）中求解可得结论； （4）设中间数为b，再利用b表示出其它6个数，然后利用整式加法法则求和，进而可得结论； （5）根据日历数字分布特点可和得出其它数框． 【详解】（1）解：∵， ∴日历图中十字形框框出的个数之和是该十字形框正中间数的5倍， 故答案为：5； （2）解：如果用表示正中间的数，则左右两个数为，，上下两个数为，， 则这个数的和为，这个关系对其他这样的十字形框成立， 故答案为：； （3）解：由（2）知，这个关系对任何一个月的日历都成立，因为任何一个日历都具有这种排列规律：一星期有7天，这个方框中下一行位置所对的数正好比其对应的上一行的数多7，且同一行相邻两个数正好相差1； （4）解：如果将十字形框改为形框，则中间数为b，则左右两个数为，，左边数的上下两数为，，右边数的上下两数为，， ∴这7个数的和为， 即形框框出的个数之和是该形框正中间数的倍； （5）解：根据日历数字排列规律，还能设计一个正方形或形或形数框等． 【考点题型十七】数字中的规律 【典例18】求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律探究，解答此类问题的关键是根据所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题． 令，可得，两式相减，即可求解． 【详解】解：令 ． 故选：C 【变式18-1】观察下列一组数、、、，…，第10个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，解题的关键是观察发现一组数的变化规律，并用字母表示出来．通过观察发现：分母中是依次增加2，分子中后面每项是前面一项中分子的2倍，据此可解． 【详解】解：通过观察可得：第n个数中，分子为，分母为， ∴第n个数可表示为：， 当时，， 故答案为：． 【变式18-2】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算：( )． 【答案】1 【分析】本题考查了数字规律探索，根据题意可以得到，，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， 故答案为：1． 【变式18-3】将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照下图排列的规律，第10行第6个数是（    ） A．100 B．102 C．104 D．106 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律探究，观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第10行第6个数即可 【详解】解：由数阵可知，第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，⋯⋯第10行有10个偶数， 10行共有（个）偶数， ∴第10行第6个数是， 故选：B 【考点题型十八】图形中的规律 【典例19】用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第2012个图案需要棋子（　　）枚． A．5046 B．5782 C．4986 D．6038 【答案】D 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形后一个图形比前一个图形多3个棋子，进行求解即可． 【详解】解：观察图形后一个图形比前一个图形多3个棋子， ∴第n个图案需要棋子的个数为：， ∴第2012个图案需要棋子枚； 故选D． 【变式19-1】如图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图（2）：在分别连接图（2）中小三角形三边的中点得到图（3），…，按照上面方法继续下去，则第100个图形中共有（    ）个三角形    A．397 B．398 C．399 D．400 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据前三个图形三角形的个数可得第n个图形有个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形有个三角形， 第2个图形有个三角形， 第3个图形有个三角形， ……， 以此类推，可知，第n个图形有个三角形， ∴第100个图形有个三角形， 故选：A． 【变式19-2】红红按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图． 如果按照这个规律维续摆，第五幅图要用（ ）根小棒． A．23 B．31 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律，能用含的代数式表示第幅图要用的小棒根数是解题的关键． 依次求出图形中小棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1幅图要用的小棒根数为：； 第2幅图要用的小棒根数为：； 第3幅图要用的小棒根数为：； 第4幅图要用的小棒根数为：； ， 所以第幅图要用的小棒根数为根， 当时， （根， 即第5幅图要用的小棒根数为31根． 故选：B． 【变式19-3】如图，画2个正方形能得到4个等腰直角三角形，画3个正方形能得到8个等腰直角三角形，画10个正方形能得到（    ）个等腰直角三角形． A．40 B．36 C．32 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意得到规律画个正方形得到个等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：根据题意，得： 画2个正方形能得到4个等腰直角三角形， 画3个正方形能得到8个等腰直角三角形， ……， 由此发现，画个正方形得到个等腰直角三角形， 所以画10个正方形能得到（个）等腰直角三角形． 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$