精品解析：上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

七宝中学2024学年第一学期高三年级数学开学考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出最小正周期. 【详解】的最小正周期为. 故答案为： 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________. 【答案】##i-2 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求解即可. 【详解】由题意知，， 则， 故答案为： 3. 已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ . 【答案】 【解析】 【分析】由并集的定义及数轴表示可得解. 【详解】在数轴上表示出集合和集合,要使，只有. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题. 4. 某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为______． 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 36 72 64 172 【答案】 【解析】 【分析】由题意分层抽样的定义和方法，求出则该样本的老年教师人数． 【详解】解：在抽取的样本中，青年教师有32人，而抽样的比例为， 该样本的老年教师人数为，则有，， 故答案为：． 5. 已知，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为_______． 【答案】（5，0） 【解析】 【分析】根据定义即可求出投影向量. 【详解】 在方向上投影向量为，所以在方向上投影向量为（5,0）. 故答案为：（5,0）. 6. 一圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的体积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，利用轴截面，求出底面半径和圆锥的高，由锥体的体积公式求解即可． 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为， 因为圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形， 所以，，， 则这个圆锥的体积为． 故答案为：． 7. 在中，，则___________．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知比例式，求出三边之比，利用余弦定理求出的值，即可表示出的度数． 【详解】解：在中，， 由正弦定理得：，即可设，，， ， 则． 故答案为： 8. 若（且），且则=_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，以及列方程，解方程求得的值. 【详解】二项式可化为，其展开式的通项公式为，所以，，由得，解得. 故答案为. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查组合数的计算，属于基础题. 9. 对于正数、，称是、的算术平均值，并称是、的几何平均值.设，，若、的算术平均值是1，则、的几何平均值（是自然对数的底）的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由算术平均数的定义可得，、的几何平均值为，利用基本不等式解. 【详解】因为、的算术平均值是1，所以，即，所以， 、的几何平均值为， 由基本不等式可得：， 当且仅当时等号成立， 所以、的几何平均值的最小值是 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件得出乘积是定值，而、的几何平均值为最小就等价于最小，显然利用基本不等式可求解. 10. 已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程有个根，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】画出函数在区间的图象，根据图象观察可得答案. 【详解】∵直线过定点， 画出函数在区间的图象，要使方程有个根， 即直线和函数在区间的图象有个交点， 显然当时满足条件， 假若当直线和函数的图象在区间上相切时也满足条件， 但是这是不可能的，联立，得， 令得或 (舍去)， 当时，解得， ∴. 故答案为：. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用中位线的性质得到，且，根据得到，然后利用点到直线的距离公式得到，最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到，即可得到双曲线方程. 【详解】因为，，且为中点， 所以，且，， 因为， 所以，解得， 直线的方程为，所以，则， 在直角三角形中利用勾股定理得， 解得，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 12. 已知存在对于任意的实数，不等式则实数T的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】将向量的模转化为线段的长度，利用，两点在直线上运动，，两点在单位圆上运动，转化为平面中线段长度的最值进行研究，结合图象分析求解即可． 【详解】解：设， 由，可知， ，两点在直线上运动，，两点在单位圆上运动， 因为，所以， 又，先固定，两点， 如图，当，时，有最小值， 取的中点，过作直线的垂线，有最小值， 当点，运动时，， 所以，即． 故答案为：． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16每题5分） 13. 设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法逐项进行判断即可. 【详解】A．因为，的正负无法确定，故错误； B．因为，的正负无法确定，故错误； C．因为，的正负无法确定，故错误； D．因为， ，所以，所以，故正确， 故选：D. 【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与作比较； （2）作商法：作商与作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较. 14. 已知事件与事件是互斥事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例排除ABC，再结合互斥事件定义，事件运算，概率性质证明D. 【详解】若随机试验为抛掷一枚质地均匀的骰子，事件，， 则事件与事件是互斥事件， 此时，，， 所以，A错误； ，，，B错误； ，C错误； 因为事件与事件是互斥事件， 所以，所以为必然事件， 所以，D正确. 故选：D. 15. 设正四棱柱的底面边长为1，高为2，平面经过顶点，且与棱所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】与三条棱所成角都相等的平面与此三条棱构成正四棱锥，在空间中平移此平面，按照三个点与平面的位置关系分类讨论，即可得到答案. 【详解】解：第一类： ①在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件； ②在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件； ③在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件； 第二类： 都在平面的同侧，有一个平面符合条件． 综上所述，满足条件的平面共有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查线面角的理解和应用，考查空间中点、线、面位置关系和应用，属于中档题. 思路点睛：与三条棱所成角都相等的平面与此三条棱构成正四棱锥，平移此平面即可. 16. 已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】考虑不符合题意，时，列举出满足条件的集合，再考虑时不成立，得到答案. 【详解】当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合； 当时，，取，此时，满足条件； 当时，，即，即， 所以，或，（舍）， 故解得，此时在单位圆上的5等分点， 取到的，，，，，不可能取到4个不同的正弦值，故不满足； 当时，，取，此时，满足条件； 当时，，取，此时，满足条件； 当时，，取，此时，满足条件； 故选：C 【点睛】思路点睛：关于新定义集合的思路有： （1）根据题意，先写出几项，找出规律； （2）找到新集合和旧集合之间的关系； （3）分情况讨论，结合题意，找出适合的答案即可. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，底面ABCD，点M为PC中点， ，，． （1）求异面直线AP与BM所成角； （2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线夹角. （2）求出平面和平面的法向量，再利用向量法求出面面角. 【小问1详解】 由是菱形，得，又底面，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 所以直线与所成角为. 【小问2详解】 由（1）知，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 又平面的一个法向量为，设平面ABM与平面PAC所成锐二面角为， 则， 所以平面与平面所成锐二面角为. 18. 某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，… （1）写出，，，并证明数列是等比数列； （2）至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？ 【答案】（1），证明过程见解析； （2）至少需要在年的年底，企业的剩余资金会超过21千万，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意计算出，并得到，得到，从而证明出是等比数列； （2）在（1）的基础上得到，从而得到不等式，解得，得到答案. 【小问1详解】 ，， ， 因为，所以， 又，所以是首项为3，公比为的等比数列； 【小问2详解】 由（1）得， 故，令，解得， 其中， 所以，所以， 故至少需要在年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元. 19. 某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响. （1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率； （2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列： X 2 3 4 5 P 期望为 【解析】 【分析】（1）先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可； （2）先确定出X的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望. 【小问1详解】 由题意，知高三年级胜高二年级的概率为. 设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P， 则. 【小问2详解】 由题意可知，3，4，5， 则，， ， ， 故X的分布列为 X 2 3 4 5 P . 20. 已知椭圆的右焦点为，且经过点，设O为原点，直线与椭圆交于两个不同点P，Q， （1）求椭圆的方程； （2）若直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且，求证：直线l经过定点； （3）若，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）面积的最大值，直线l的方程为. 【解析】 【分析】（1）由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程. （2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立求出长，进而求出面积的函数关系，再利用导数求函数最大值即可. 【小问1详解】 由椭圆的右焦点为，得椭圆半焦距， 由椭圆经过点，得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由消去得， ，设，， ，， 直线，令得，即，同理， 由，得， 解之得，则直线的方程为，所以直线恒过定点. 【小问3详解】 显然直线的斜率存在且不为0，令直线方程为，则直线方程为， 由消去并整理得，则点的横坐标， 于是，同理， 因此的面积， ，即函数是偶函数，不妨令， ， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， 因此当时，，此时，直线方程为，点， 直线方程为，点，于是直线方程为， 所以面积的最大值，直线l的方程为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2024学年第一学期高三年级数学开学考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为______． 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________. 3. 已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ . 4. 某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为______． 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 36 72 64 172 5. 已知，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为_______． 6. 一圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的体积是______． 7. 在中，，则___________．（结果用反三角函数值表示） 8. 若（且），且则=_______. 9. 对于正数、，称是、的算术平均值，并称是、的几何平均值.设，，若、的算术平均值是1，则、的几何平均值（是自然对数的底）的最小值是__________. 10. 已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程有个根，则的取值范围是________ 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为______． 12. 已知存在对于任意的实数，不等式则实数T的取值范围为_____________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16每题5分） 13. 设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知事件与事件是互斥事件，则（ ） A. B. C. D. 15. 设正四棱柱的底面边长为1，高为2，平面经过顶点，且与棱所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，底面ABCD，点M为PC中点， ，，． （1）求异面直线AP与BM所成角； （2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角 18. 某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，… （1）写出，，，并证明数列是等比数列； （2）至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？ 19. 某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响. （1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率； （2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望. 20. 已知椭圆的右焦点为，且经过点，设O为原点，直线与椭圆交于两个不同点P，Q， （1）求椭圆的方程； （2）若直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且，求证：直线l经过定点； （3）若，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $