第02章 简单事件的概率 章节整合练习（6个知识点+40题练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02章 简单事件的概率 章节整合练习（6个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点2．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点3．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点4．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点5．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点6．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 章节题型整合练习 一．可能性的大小 1．从甲地到乙地有，，三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 合计 59 151 166 124 500 50 50 122 278 500 45 265 167 23 500 早高峰期间，乘坐 　　（填“”，“ ”或“” 线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 2．（2023秋•西湖区校级月考）一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•余姚市校级月考）投掷9次硬币，有7次正面向上，2次反面向上，那么投第10次硬币，正面向上的可能性是　　 A． B． C． D． 4．（衢州）玉树地震灾区小朋友卓玛从某地捐赠的2种不同款式的书包和2种不同款式的文具盒中，分别取一个书包和一个文具盒进行款式搭配，则不同搭配的可能有　　种． 5．（上虞区校级期中）下面第一排表示了十张扑克牌中不同情况，任意摸一张，请你用第二排的语言来描述摸到红色扑克牌的可能性大小，并用线连起来． 6．（2022秋•镇海区校级期中）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是　　 A．大于3的点数 B．小于3的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数 7．（海曙区模拟）箱子中有2个白球、4个黑球及个红球，它们仅有颜色不同，若从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性大，则的值可能是　　（写出一个即可）． 8．（2024•拱墅区校级二模）公益中学九年级举办了体育模拟测试．其中参加男子立定跳远项目的10名学生成绩（单位：厘米）数据整理如下： 名学生立定跳远成绩：263，258，253，251，251，247，247、247，245，243 名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 250.5 （1）写出表中，的值； （2）杭州市体育中考男子立定跳远的满分为成绩不低于，请问本次模拟测试男子立定跳远的满分率为多少？ （3）甲、乙两名学生本次模拟测试未达到满分标准，要通过努力训练来提高成绩．下表是两名同学近五次的训练成绩，试判断下次考试哪位同学达标满分的可能性更大，请说明理由． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 248 246 244 248 246 乙 240 256 242 244 246 二．概率的意义 9．（2022秋•金东区校级月考）下列说法正确的是　　 A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C．“某彩票中奖概率是”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上 10．（2020秋•东阳市期末）某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为　　． 11．（北仑区期末）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置　　位． 12．（鄞州区模拟）某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为　　． 13．（2022秋•柯桥区期末）若气象部门预报，明天下雨的概率是，下列说法正确的是　　 A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 14．（2022秋•台州期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是　　 A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的 B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于 C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上 D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 15．（2021秋•越城区期末）小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是　　 A．0 B．1 C． D． 16．（西湖区期中）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每100次发生的次数是 　　． 三．概率公式 17．（2024•瑞安市校级模拟）有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•富阳区校级月考）一个不透明的布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则　　． 19．（2024•瓯海区校级三模）学校开展艺术节，小明从感兴趣的“剪纸”“书法”“摄影”3个项目中随机选择一项参加，每个项目被选中的可能性相等，小明恰好选中“书法”的概率是 　　． 20．（2023秋•绍兴期中）一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，犹如点亮一座灯塔，撒播一抔种子、开凿一眼清泉．如今，全民阅读已蔚然成风，氤氲书香正飘满中国，听总书记分享他的读书故事，一起感语读书之美，不负韶华梦，读书正当时！某校对．《三国演义》、．《红楼梦》、．《西游记》、．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 　　． （2）该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率． 21．（2023秋•萧山区月考）五张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等腰三角形、矩形、正方形，现从中随机抽取一张，恰好抽到既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是　　 A． B． C． D．1 22．（2022秋•鄞州区期末）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．若转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是　　 A．0.3 B．0.7 C．0.4 D．0.2 23．（2022秋•柯桥区期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同． （1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率； （2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？ 24．（2023秋•洞头区校级月考）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．九（1）班学生在“统计实习”实践活动中随机调查了学校若干名学生家长对“中学生带手机到学校”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）在图②中，是的直径，求这次调查的家长总人数，并补全图①； （2）求图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数； （3）从这次接受调查的家长中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是多少？ 四．列表法与树状图法 25．（温岭市校级期中）把一枚六个面编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正六面体骰子连续投掷2次，若两次正面朝上的编号分别为、，则二次函数的图象与轴至少有一个交点的概率是 　　． 五．游戏公平性 26．（金华月考）甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之积为偶数，甲得1分；如果两者之积为奇数，乙得1分，此游戏　　 A．对甲有利 B．对乙有利 C．是公平的 D．以上都有不对 27．（绍兴期中）小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢．下面说法正确的是　　 A．小强赢的概率最小 B．小文赢的概率最小 C．小亮赢的概率最小 D．三人赢的概率都相等 28．（2023秋•萧山区月考）如图所示，一个转盘被平均分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6．若自由转动转盘，当它停止转动时，求： （1）指针指向4的概率 　　；（直接写出答案） （2）指针指向的数字是奇数的概率 　　；（直接写出答案） （3）现只有一张电影票，小王和小李都想去看，请你利用这个转盘，设计一个公平的游戏规则． 29．（2020秋•海曙区期中）某学校组织部分七年级学生到一博览会的、、、、五个展馆参观，学校将所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计如图所示．请根据统计图回答下列问题： （1）七年级参观博览会的学生有多少名； （2）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整； （3）若馆门票仅剩下一张，而小明和小华都想去，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4，5的五张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只一张；若抽得的数字不小于3，门票给小明，否则门票给小华．用所学习的概率知识，说明这个规则对双方是否公平． 30．骰子是一种正方体玩具，它的六个面上各写有1，2，3，4，5，6，每面写一个数，每个数写一面，且相对两面的两个数的和为7．用七颗骰子投掷后，规定向上的七个面上的数的和是10时甲胜，如果向上的七个面上的数的和是39时则乙胜．则甲乙二人获胜的可能性是　　 A．甲大 B．乙大 C．同样大 D．无法确定谁大 31．（2023秋•湖州期中）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，2，3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有奇数的乒乓球的概率是 　　； （2）小李和小刘两同学约定，若两次摸到的乒乓球上所标数字之积为偶数则小李胜，否则小刘胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由． 32．（2023秋•东阳市期中）有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去． （1）求小明抽到4的概率； （2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由． 六．利用频率估计概率 33．（2023秋•金东区期末）在大量重复试验中，关于随机事件发生的概率与频率，下列说法正确的是　　 A．频率就是概率． B．频率与试验次数无关． C．概率是随机的，与频率无关． D．随着试验次数的增加，频率一般会趋近概率． 34．（2023秋•浙江月考）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是　　 A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 35．（2023秋•拱墅区校级月考）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有4个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为　　． 36．（2023秋•湖州期末）某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 0.96 （1）　　；　　． （2）估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 　　．（精确到 （3）若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 37．（2022秋•柯城区期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.6　（精确到； （2）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是 　　； （3）小明用转盘来代替摸球做试验．如图是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数． 38．（2022秋•镇海区校级期中）某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可回收和其他，分别记为、、．并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为，，． （1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率； （2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共1000吨生活垃圾（单位：吨），数据统计如下（单位：吨） 400 100 100 30 240 30 20 20 60 试估计“厨余垃圾”投放正确的概率． 39．（2023秋•萧山区月考）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　　； （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 40．（2022秋•椒江区期末）某班的一个数学兴趣小组为了考查某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是 　　（结果保留小数点后一位）． 排查车辆数 20 40 100 200 400 1000 能礼让的车辆数 15 32 82 158 324 800 能礼让的频率 0.75 0.80 0.82 0.79 0.81 0.80 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 简单事件的概率 章节整合练习（6个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点2．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点3．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点4．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点5．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点6．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 章节题型整合练习 一．可能性的大小 1．从甲地到乙地有，，三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 合计 59 151 166 124 500 50 50 122 278 500 45 265 167 23 500 早高峰期间，乘坐 　　（填“”，“ ”或“” 线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得． 【解答】解：线路公交车用时不超过45分钟的可能性为， 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为， 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为， 线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大， 故答案为：． 【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用． 2．（2023秋•西湖区校级月考）一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接比较红球的数量即可求解． 【解答】解：一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），， 摸到红球可能性最大的是选项． 故选：． 【点评】本题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 3．（2023秋•余姚市校级月考）投掷9次硬币，有7次正面向上，2次反面向上，那么投第10次硬币，正面向上的可能性是　　 A． B． C． D． 【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比列出算式计算即可求解． 【解答】解：无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正、反， 故投第10次硬币，正面向上的可能性是． 故选：． 【点评】本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 4．（衢州）玉树地震灾区小朋友卓玛从某地捐赠的2种不同款式的书包和2种不同款式的文具盒中，分别取一个书包和一个文具盒进行款式搭配，则不同搭配的可能有　4　种． 【分析】列举出所有情况即可． 【解答】解：每种书包有2种不同款式的文具盒搭配，2种书包就有种搭配方式． 【点评】注意本题是求总的搭配方式． 5．（上虞区校级期中）下面第一排表示了十张扑克牌中不同情况，任意摸一张，请你用第二排的语言来描述摸到红色扑克牌的可能性大小，并用线连起来． 【分析】中摸到红色扑克牌的可能为0，摸到红色扑克牌的可能性较小，中摸到红色扑克牌与摸到黑色扑克牌的可能性相等，中摸到黑色扑克牌的可能性较大，一定摸到红色扑克牌．连线即可解答． 【解答】解：． 【点评】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 6．（2022秋•镇海区校级期中）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是　　 A．大于3的点数 B．小于3的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数 【分析】根据概率公式，分别求出四个选项中各事件出现的概率，再比较即可． 【解答】解：掷一枚质地均匀的立方体骰子，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6， 骰子停止后，在骰子向上的一面，有6种等可能的结果． 、点数大于3的数有4，5，6，三种情况， ； 、点数小于3的数有1，2，两种情况， ； 、点数大于5的数有6，一种情况， ； 、点数小于5的数有1，2，3，4，四种情况， ； ， 点数大于5的概率最小，出现可能性最小． 故选：． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 7．（海曙区模拟）箱子中有2个白球、4个黑球及个红球，它们仅有颜色不同，若从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性大，则的值可能是　5　（写出一个即可）． 【分析】由袋子中黑球有4个，且随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性大，知红球的个数比黑球的个数多，即，据此解答可得． 【解答】解：袋子中黑球有4个，且随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性大， 红球的个数比黑球的个数多，即， 故答案为：5（答案不唯一，大于4的整数即可）． 【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 8．（2024•拱墅区校级二模）公益中学九年级举办了体育模拟测试．其中参加男子立定跳远项目的10名学生成绩（单位：厘米）数据整理如下： 名学生立定跳远成绩：263，258，253，251，251，247，247、247，245，243 名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 250.5 （1）写出表中，的值； （2）杭州市体育中考男子立定跳远的满分为成绩不低于，请问本次模拟测试男子立定跳远的满分率为多少？ （3）甲、乙两名学生本次模拟测试未达到满分标准，要通过努力训练来提高成绩．下表是两名同学近五次的训练成绩，试判断下次考试哪位同学达标满分的可能性更大，请说明理由． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 248 246 244 248 246 乙 240 256 242 244 246 【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可； （2）用样本中满分的8人除以样本总数10人计算出样本中的满分率，估计学校本次测试的满分率也是同样的满分率； （3）计算出甲的平均数和满分率，再计算出乙的平均数和满分率，比较大小即可． 【解答】解：（1）将10个数据从大到小排列：263，258，253，251，251，247，247，247，245，243， 第5个数是251和第6个数是247，中位数即为； 247在数据中出现了3次，即众数是247， 故答案为：，； （2）由题意得，数据中满分的为8个，即样本中满分率是，估计总体的满分率即为； （3）下次考试甲同学达标满分的可能性更大， 理由：根据题意得：甲的平均数为，满分率为：； 乙的平均数为满分率为：； 故平均数甲高，满分率也是甲高，所以下次测试甲达满分的可能性高． 【点评】本题考查了平均数、中位数、众数，用样本估计总体，灵活运用所学知识是解题的关键． 二．概率的意义 9．（2022秋•金东区校级月考）下列说法正确的是　　 A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C．“某彩票中奖概率是”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 【解答】解：．明天下雨的概率为，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意； ．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意； ．某彩票中奖概率是，买100张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有1张中奖，故本选项不符合题意； ．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义，本题属于基础题型． 10．（2020秋•东阳市期末）某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为　　． 【分析】利用概率的意义直接得出答案． 【解答】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 11．（北仑区期末）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置　4　位． 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可． 【解答】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为． 故一次就拨对的概率小于，密码的位数至少需要4位． 故答案为：4． 【点评】本题考查了概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． 12．（鄞州区模拟）某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为　　． 【分析】根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，再根据在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，即可求出他遇到绿灯的概率． 【解答】解：经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯， 在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1， 在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为， 遇到绿灯的概率为； 故答案为：． 【点评】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． 13．（2022秋•柯桥区期末）若气象部门预报，明天下雨的概率是，下列说法正确的是　　 A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【分析】利用概率的意义结合具体的选项进行判断即可． 【解答】解：明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大，但也可能下雨，也可能不下雨， 因此选项符合题意， 故选：． 【点评】本题考查概率的意义，理解概率的意义是正确判断的前提． 14．（2022秋•台州期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是　　 A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的 B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于 C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上 D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 【分析】根据概率的意义，结合具体的问题情境综合进行判断即可． 【解答】解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，就是经过大量重复的实验，抛一枚均匀硬币正面朝上的频率越稳定在左右，因此， ．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因此选项不符合题意； ．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于，这种说法是正确的，因此选项不符合题意； ．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项不符合题意； ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查频率与概率，理解概率的意义，掌握频率与概率的关系是正确判断的前提． 15．（2021秋•越城区期末）小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是　　 A．0 B．1 C． D． 【分析】根据概率的意义判断即可． 【解答】解：小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是：， 故选：． 【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 16．（西湖区期中）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每100次发生的次数是 　5　． 【分析】根据概率的意义解答即可． 【解答】解：事件发生的概率为，大量重复做这种试验， 则事件平均每100次发生的次数为：． 故答案为：5． 【点评】本题考查了概率的意义，熟记概念是解题的关键． 三．概率公式 17．（2024•瑞安市校级模拟）有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】根据概率公式求解即可． 【解答】解：有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子可能出现11种结果，是次品的有2种可能， 次品的概率是， 故选：． 【点评】本题主要考查了概率公式，熟知如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率是解题的关键． 18．（2023秋•富阳区校级月考）一个不透明的布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则　9　． 【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可． 【解答】解：根据题意，， 解得， 经检验是方程的解． ． 故答案为：9． 【点评】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19．（2024•瓯海区校级三模）学校开展艺术节，小明从感兴趣的“剪纸”“书法”“摄影”3个项目中随机选择一项参加，每个项目被选中的可能性相等，小明恰好选中“书法”的概率是 　　． 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：小明从感兴趣的“剪纸”“书法”“摄影”3个项目中随机选择一项参加， 小明恰好选中“书法”的概率是． 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20．（2023秋•绍兴期中）一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，犹如点亮一座灯塔，撒播一抔种子、开凿一眼清泉．如今，全民阅读已蔚然成风，氤氲书香正飘满中国，听总书记分享他的读书故事，一起感语读书之美，不负韶华梦，读书正当时！某校对．《三国演义》、．《红楼梦》、．《西游记》、．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 　　． （2）该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和《红楼梦》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）共有4部名著， 随机选择1部为《红楼梦》的概率为． 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种， 《红楼梦》被选中的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21．（2023秋•萧山区月考）五张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等腰三角形、矩形、正方形，现从中随机抽取一张，恰好抽到既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是　　 A． B． C． D．1 【分析】卡片共有五张，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有圆、矩形、正方形共3张，根据概率公式即可得到答案． 【解答】解：卡片中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有圆、矩形、正方形共3张， 根据概率公式，从中随机抽取一张，恰好抽到既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是． 故选：． 【点评】本题考查轴对称图形、中心对称图形以及概率的计算公式，判断出各个图形的对称性是解决问题的关键． 22．（2022秋•鄞州区期末）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．若转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是　　 A．0.3 B．0.7 C．0.4 D．0.2 【分析】样本估计总体，频率估计概率，转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，频率为，因此估计总体的概率为0.3，即转动转盘一次，获得一袋橘子的概率为0.3． 【解答】解：， 故选：． 【点评】考查样本估计总体，频率估计概率以及频率的计算方法，用样本中某种事件发生的频率估计该事件发生的概率是统计中常用的方法． 23．（2022秋•柯桥区期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同． （1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率； （2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？ 【分析】（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求解即可； （2）设取走了个红球，根据随机摸出一个球是白球的概率是列出关于的方程，解之即可得出答案． 【解答】解：（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果， 所以从袋中任意摸出一个球为红球的概率为； （2）设取走了个红球， 根据题意，得：， 解得， 答：取走了3个红球． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 24．（2023秋•洞头区校级月考）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．九（1）班学生在“统计实习”实践活动中随机调查了学校若干名学生家长对“中学生带手机到学校”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）在图②中，是的直径，求这次调查的家长总人数，并补全图①； （2）求图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数； （3）从这次接受调查的家长中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是多少？ 【分析】（1）根据两个统计图可知，“不赞成”的有200人，占调查人数的，可求出调查人数，再求出“基本赞成”的人数，补全统计图； （2）求出“基本赞成”所占的百分比，进而求出相应圆心角的度数； （3）根据概率的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）由于是的直径，所以“不赞成”占调查总人数的， （人， 样本中“非常赞成”的人数：（人， “基本赞成”的人数为：（人， 补全的统计图如下： （2）， 答：图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数为； （3）样本中，被调查的400名家长中，“无所谓”的有16名， 所以随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是， 答：随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、概率的计算方法，理解两个统计图中数量之间的关系以及概率的定义是解决问题的关键． 四．列表法与树状图法 25．（温岭市校级期中）把一枚六个面编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正六面体骰子连续投掷2次，若两次正面朝上的编号分别为、，则二次函数的图象与轴至少有一个交点的概率是 　　． 【分析】本题可先列出出现的点数的情况，因为二次图象开口向上，要使图象与轴有至少有一个交点，则，再把、的值一一代入检验，看是否满足．最后把满足的个数除以掷骰子可能出现的点数的总个数即可． 【解答】解：掷骰子有种情况． 根据题意有：， 因此满足的点有：，，4，5，6， ，，5，6， ，，6， ，， ，不存在 ，不存在 共有10种， 故概率为：． 故答案为． 【点评】本题考查了二次函数的性质图象，概率，列表法，树状图法等知识点，确定 之间的关系和列树状图法是解此题的关键． 五．游戏公平性 26．（金华月考）甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之积为偶数，甲得1分；如果两者之积为奇数，乙得1分，此游戏　　 A．对甲有利 B．对乙有利 C．是公平的 D．以上都有不对 【分析】把所有可能出现的情况列出来，分别求出它们的概率即可解答． 【解答】解：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，可出现两者之积为偶数和奇数的情况如下表： 出现奇数为9次，概率为； 出现偶数为27次，概率为；故此游戏对甲有利． 解法二：骰子点数：1，2，3，4，5，6，奇数3个偶数3个，各， 偶数偶数偶数，， 奇数奇数奇数，， 奇数偶数偶数，， 偶数奇数偶数，， 甲胜几率，乙胜几率． 故选：． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 27．（绍兴期中）小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢．下面说法正确的是　　 A．小强赢的概率最小 B．小文赢的概率最小 C．小亮赢的概率最小 D．三人赢的概率都相等 【分析】根据所有出现的可能，分别计算每个人能赢的概率，即可解答． 【解答】解：设有、、三枚硬币， 共有以下几种情况：（用1表示正，0表示反） 1，1，1；0，0，0；1，1，0；1，0，0；1，0，1；0，1，1；0，1，0；0，0，1．于是 （小强赢） （小亮赢） （小文赢） 所以是小强赢的概率最小． 故选：． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 28．（2023秋•萧山区月考）如图所示，一个转盘被平均分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6．若自由转动转盘，当它停止转动时，求： （1）指针指向4的概率 　　；（直接写出答案） （2）指针指向的数字是奇数的概率 　　；（直接写出答案） （3）现只有一张电影票，小王和小李都想去看，请你利用这个转盘，设计一个公平的游戏规则． 【分析】（1）用数字4的个数除以总数6即可； （2）用奇数的个数除以总数6即可； （3）根据题意设计一个公平的游戏规则，符号两人获胜的概率都为即可． 【解答】解：（1）自由转动转盘，当它停止转动时指针指向的数字有6种等可能结果，其中指针指向4的只有1种， 指针指向4的概率为． 故答案为：； （2）自由转动转盘，当它停止转动时指针指向的数字有6种等可能结果， 其中指针指向数字是奇数的有1、3、5三种结果， 指针指向数字是奇数的概率为， 故答案为：； （3）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向数字是偶数时小王胜，否则小李胜． 【点评】本题考查了概率的求法，掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是关键． 29．（2020秋•海曙区期中）某学校组织部分七年级学生到一博览会的、、、、五个展馆参观，学校将所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计如图所示．请根据统计图回答下列问题： （1）七年级参观博览会的学生有多少名； （2）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整； （3）若馆门票仅剩下一张，而小明和小华都想去，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4，5的五张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只一张；若抽得的数字不小于3，门票给小明，否则门票给小华．用所学习的概率知识，说明这个规则对双方是否公平． 【分析】（1）由馆人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用总人数乘以馆对应的百分比求出其人数，用馆人数除以总人数可得其对应百分比，从而补全图形； （3）计算出小明、小华获得门票的概率，判断概率是否相等即可得出答案． 【解答】解：（1）七年级参观博览会的学生有（名； （2）馆对应人数为（名， 馆对应百分比为， 补全图形如下： （3）门票给小明的概率为，门票给小华的概率为， ， 此游戏规则对双方不公平． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 30．骰子是一种正方体玩具，它的六个面上各写有1，2，3，4，5，6，每面写一个数，每个数写一面，且相对两面的两个数的和为7．用七颗骰子投掷后，规定向上的七个面上的数的和是10时甲胜，如果向上的七个面上的数的和是39时则乙胜．则甲乙二人获胜的可能性是　　 A．甲大 B．乙大 C．同样大 D．无法确定谁大 【分析】根据题意列出和10与和39的所有可能情况，然后再求出各自的概率就可以求出结论． 【解答】解：向上的七个面上的数的和是10的情况有： 1，1，1，1，1，1，4 1，1，1，1，1，2，3 1，1，1，1，2，2，2 向上的七个面上的数的和是39的情况有： 6，6，6，6，6，6，3 6，6，6，6，6，5，4 6，6，6，6，5，5，5 共有6种情况，其中和为10的有3种情况，和为39的有3种情况． （向上的七个面上的数的和是，（向上的七个面上的数的和是， （向上的七个面上的数的和是（向上的七个面上的数的和是． 故选：． 【点评】本题考查了列举法求概率的运用，概率大小比较的运用，解答时列举出所有可能情况是难点，正确计算概率是关键． 31．（2023秋•湖州期中）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，2，3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有奇数的乒乓球的概率是 　　； （2）小李和小刘两同学约定，若两次摸到的乒乓球上所标数字之积为偶数则小李胜，否则小刘胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由． 【分析】（1）第一次的可能性有三种，直接求解即可． （2）列出表格，得到两次数字的积，直接判断即可． 【解答】解：（1）第一次摸出求的可能性有3种可能的结果，摸到标有奇数的乒乓球有2种可能的结果， 那么第一次摸到标有奇数的乒乓球的概率是． （2）列表如下： 　 　1 　2 　3 　1 　2 　3 那么两次摸到的乒乓球上所标数字之积为分别为1，2，3，2，4，6，3，6，9，其中偶数有5种可能的结果，奇数有4种可能的结果， 若两次摸到的乒乓球上所标数字之积为偶数则小李胜，否则小刘胜， 即， ， ，因此小李的胜利的可能性更大一些，游戏规则不公平． 【点评】此题考查概率，解题关键是将事件分步骤计算可能性． 32．（2023秋•东阳市期中）有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去． （1）求小明抽到4的概率； （2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由． 【分析】（1）依据概率所求情况数与总情况数之比，分析解答； （2）游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【解答】解：（1）从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到4的结果有2种．所以，（抽到． 答：小明抽到4的概率为． （2）不公平．理由如下： 从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种．所以，（抽到比4大）． 所以小明去看演唱会的概率为，则小亮去看演唱会的概率为： ． 因为， 所以，游戏不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．解答本题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 六．利用频率估计概率 33．（2023秋•金东区期末）在大量重复试验中，关于随机事件发生的概率与频率，下列说法正确的是　　 A．频率就是概率． B．频率与试验次数无关． C．概率是随机的，与频率无关． D．随着试验次数的增加，频率一般会趋近概率． 【分析】利用频率与概率的关系分别分析得出即可． 【解答】解：、频率不直接等于概率，故选项不符合题意； 、频率随试验次数的变化而变化，故选项不符合题意； 、概率是理论数据不是随机的，故选项不符合题意； 、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，说法正确，故选项符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确掌握频率与概率的关系是解题关键． 34．（2023秋•浙江月考）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是　　 A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意； 【解答】解：、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； 、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意； 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小小明随机出的是“石头”的概率为，不符合题意； 、袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 35．（2023秋•拱墅区校级月考）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有4个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为　12个　． 【分析】先根据红球的个数及其对应频率求出球的总个数，继而可得答案． 【解答】解：通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右， 袋中球的总个数约为（个， 白球的个数为（个， 故答案为：12个． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 36．（2023秋•湖州期末）某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 0.96 （1）　0.962　；　　． （2）估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 　　．（精确到 （3）若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【分析】（1）用频数除以总数即可； （2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96． （3）用总数量乘以优等品的概率即可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：0.962，0.96； （2）从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96． （3）这批公仔中优等品大约有（只， 答：估计这批公仔中优等品大约有9600只． 【点评】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 37．（2022秋•柯城区期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.6　（精确到； （2）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是 　　； （3）小明用转盘来代替摸球做试验．如图是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数． 【分析】（1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率． （2）由表中数据即可得； （3）根据摸到白球的频率即可得到转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数． 【解答】解：（1）摸到白球的频率约为0.6， 当很大时，摸到白球的频率约为0.6， 故答案为：0.6； （2）摸到白球的频率约为0.6， 从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是0.6， 故答案为：0.6； （3）摸到白球的频率约为0.6， 转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数为，如图所示： 【点评】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型． 38．（2022秋•镇海区校级期中）某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可回收和其他，分别记为、、．并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为，，． （1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率； （2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共1000吨生活垃圾（单位：吨），数据统计如下（单位：吨） 400 100 100 30 240 30 20 20 60 试估计“厨余垃圾”投放正确的概率． 【分析】（1）根据题意画出树状图，由树状图统计出所有可能的情况数及投放正确情况数，进而求出垃圾投放正确的概率； （2）由表格中可得“厨余垃圾”投放正确的量，计算出“厨余垃圾”的总量，然后利用概率公式求得结果． 【解答】解：（1）三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下： 共有6种情形，正确的只有1种， 可得所求概率． （2）由题意可得，“厨余垃圾”投放正确的概率． 【点评】此题考查的是利用频率估计概率，需要掌握利用列举法（列表法或画树状图法）求概率的方法以及概率的计算公式． 39．（2023秋•萧山区月考）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　0.25　； （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【分析】（1）直接根据频率估计概率，求解即可； （2）设需要往盒子里再放入个白球，根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25； 估计摸到白球的概率将会接近0.25， 故答案为：0.25； （2）原有白球：， 设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意得：， 解得：（经检验，是原方程的解）， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 【点评】本题考查的是根据概率公式求概率，频率估计概率，解答本题的关键是掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数之比． 40．（2022秋•椒江区期末）某班的一个数学兴趣小组为了考查某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是 　0.8　（结果保留小数点后一位）． 排查车辆数 20 40 100 200 400 1000 能礼让的车辆数 15 32 82 158 324 800 能礼让的频率 0.75 0.80 0.82 0.79 0.81 0.80 【分析】根据题意得：能主动给行人让路的频率稳定在0.80的附近，再由频率估计概率，即可求解． 【解答】解：根据题意得：能主动给行人让路的频率稳定在0.80的附近， 能主动给行人让路的概率约是0.8． 故答案为：0.8． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键在于掌握：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$