第02章 一元二次方程 章节整合练习（12个知识点+40题练习） -2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02章 一元二次方程 章节整合练习（12个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点6．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点7．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点8．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点9．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点10．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点11．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点12．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 章节题型整合练习 一．一元二次方程的定义 1．（2023秋•岳阳县期末）在下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•沙坪坝区校级期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 　　． 3．（2023秋•封丘县校级月考）已知关于的方程． （1）为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）为何值时，此方程是一元二次方程？ 二．一元二次方程的一般形式 4．（2023秋•武侯区校级期末）方程的二次项系数和一次项系数分别为　　 A．5和4 B．5和 C．5和 D．5和1 5．（2024春•南岗区校级月考）方程化为一元二次方程的一般形式是 　　． 6．（2021秋•余干县期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值． 7．（2024春•钱塘区期末）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A． B．2 C．2或 D．4或 三．一元二次方程的解 8．（2023秋•苏家屯区校级月考）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是　　 A．3 B． C． D．0或 9．（2023秋•东港区校级期末）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 　　． 10．（2024•滨州模拟）先化简，再求值：，其中是方程的根． 四．解一元二次方程-直接开平方法 11．（2023秋•黔南州期末）解方程的结果为　　 A． B． C．， D．， 12．（2024•东城区校级开学）方程的根是 　　． 13．（2024春•沙坪坝区校级期末）解方程： （1）； （2）． 五．解一元二次方程-配方法 14．（2024•沅江市校级开学）一元二次方程配方后可变形为　　 A． B． C． D． 15．（2024•昌平区校级开学）用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为 　　． 16．（2024•越秀区校级开学）解下列方程： （1）； （2）． 六．解一元二次方程-公式法 17．（2024•庐阳区校级二模）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•新会区期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中较大的数，如：，． （1）方程，的解为 　　； （2）方程，的解为 　　． 19．（2024•武侯区校级开学）解答题 （1）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． （2）解方程：； （3）解方程：． 七．解一元二次方程-因式分解法 20．（2023秋•南乐县期末）一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D． 21．（2024•宛城区校级开学）等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是 　　． 22．（2024•东城区校级开学）解方程： （1）； （2）． 23．（2024•东阳市开学）（1）计算：； （2）解方程：． 八．根的判别式 24．（2024•海淀区校级开学）关于的方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 25．（2023秋•岳阳县期末）关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角三角形的一个内角，则　　． 26．（2024•广州）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 27．（2024•高新区校级开学）已知关于的一元二次方程有两个实数根．设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 九．根与系数的关系 28．（2023秋•卫辉市期末）菱形的边长是5，两条对角线交于点，且，的长分别是关于的方程的根，则的值为　　 A． B．5 C．5或 D．或3 29．（2023秋•攀枝花期末）已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，，若，则的值为 　　． 30．（2024•海淀区校级开学）关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）若方程两实根，满足，求的值． 一十．由实际问题抽象出 33．（2023秋•东莞市校级月考）篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，一共有多少个球队参赛． 一十一．一元二次方程的应用 34．（2023秋•攀枝花期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 35．（2024•南岗区校级开学）有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为 　　． 36．（2023秋•攀枝花期末）2023年7月，国际大学生体育联合会在成都拉开帷幕，本次运动会以“成都成学梦想”为口号，作为本次运动会吉祥物“蓉宝”深受大家的喜爱，某文创店准备生产并售卖印有“蓉宝” 恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设每件商品降价元． （1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ （2）店主每天能获得2200元的利润吗？为什么，请说明理由． 37．（2023秋•南乐县期末）阅读下列材料，并解答问题： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为：，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 　③　；（从序号①②③中选择） （2）请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据）写出解答过程； （3）构图序号①对应的方程是 　　． 一十二．配方法的应用 38．（2024•两江新区自主招生）对于整式、、，在每个式子整体前添加“”或“”，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“和绝对”操作，并将操作结果记为，例如，下列相关说法正确的个数是　　 ①至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②若有一种“和绝对”操作的化简结果为为常数），则或； ③在所有的“和绝对”操作中，将每次操作化简结果的最小值记为，则的最大值为． A．0 B．1 C．2 D．3 39．（2024•荆州一模）将二次三项式化为的形式是 　　． 40．（2024•西城区校级开学）阅读材料1：对于两个实数，，由于，所以，即，所以得到，并且当时，． 阅读材料2：若，则，因为，，所以由阅读材料1可得，，即的最小值是2，只有时，即时取得最小值． 根据以上阅读材料，请回答以下问题： （1）比较大小： 　　（其中； 　　（其中． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 一元二次方程 章节整合练习（12个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点6．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点7．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点8．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点9．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点10．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点11．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点12．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 章节题型整合练习 一．一元二次方程的定义 1．（2023秋•岳阳县期末）在下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【解答】解：、是一元二次方程，故此选项符合题意； 、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 、整理后不含二次项，是一元一次方程，故此选项不符合题意； 、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 2．（2024春•沙坪坝区校级期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 　　． 【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， 且， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键． 3．（2023秋•封丘县校级月考）已知关于的方程． （1）为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）为何值时，此方程是一元二次方程？ 【分析】（1）由一元一次方程的定义得到：，由此可求得的值； （2）根据一元二次方程的定义得到：，由此可求得的值． 【解答】解：（1）关于的方程是一元一次方程， ， 解得； （2）关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零是解题的关键． 二．一元二次方程的一般形式 4．（2023秋•武侯区校级期末）方程的二次项系数和一次项系数分别为　　 A．5和4 B．5和 C．5和 D．5和1 【分析】根据一元二次方程的一般形式，、、分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，选择答案即可． 【解答】解：将方程整理得：， 二次项系数为5，一次项系数为， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键． 5．（2024春•南岗区校级月考）方程化为一元二次方程的一般形式是 　　． 【分析】将一元二次方程化为一般形式，即，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，去括号合并同类项整理即可． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 6．（2021秋•余干县期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值． 【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出的值即可． 【解答】解：关于的一元二次方程的常数项为0， 且， 解得：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 7．（2024春•钱塘区期末）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A． B．2 C．2或 D．4或 【分析】由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【解答】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用，关键是能根据题意得出方程和． 三．一元二次方程的解 8．（2023秋•苏家屯区校级月考）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是　　 A．3 B． C． D．0或 【分析】把代入方程中，解关于的一元二次方程，注意的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【解答】解：把代入方程中，得 ， 解得或3， 当时，原方程二次项系数，舍去， 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念． 9．（2023秋•东港区校级期末）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 　2023　． 【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把代入方程，得， 所以， 所以． 故答案为：2023． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10．（2024•滨州模拟）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解方程求出的值，继而选择使分式有意义的的值代入计算可得． 【解答】解：原式， 解， 分解因式得：， 或， 或， ， ， ， 当时， 原式． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 四．解一元二次方程-直接开平方法 11．（2023秋•黔南州期末）解方程的结果为　　 A． B． C．， D．， 【分析】两边直接开平方即可． 【解答】解：， ，， 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 12．（2024•东城区校级开学）方程的根是 　，　． 【分析】先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：， ， ， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 13．（2024春•沙坪坝区校级期末）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）先去分母把原方程转化为一元一次方程，然后解一元一次方程，然后进行检验确定原方程的解； （2）先把方程化为，再把方程两边开方，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 经检验，原方程的解为； （2）， ， ， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了解分式方程． 五．解一元二次方程-配方法 14．（2024•沅江市校级开学）一元二次方程配方后可变形为　　 A． B． C． D． 【分析】利用配方法对所给方程进行变形即可． 【解答】解：由题知， ， 所以一元二次方程可化为， 即． 故选：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟知配方法是解题的关键． 15．（2024•昌平区校级开学）用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为 　　． 【分析】利用配方法对所给方程进行变形，再进行对比求出及的值即可． 【解答】解：由题知， ， 所以方程可变形为：， 则，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟知配方法是解题的关键． 16．（2024•越秀区校级开学）解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用直接开平方法对所给方程进行求解即可． （2）利用配方法对所给方程进行求解即可． 【解答】解：（1）， ， ， 则， 所以． （2）， ， ， ， 则， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法及解一元二次方程配方法，熟知直接开平方法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 六．解一元二次方程-公式法 17．（2024•庐阳区校级二模）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是　　 A． B． C． D． 【分析】根据公式法解答，即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程的根为， 二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 这个方程为． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法，一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程公式法是解题的关键． 18．（2023秋•新会区期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中较大的数，如：，． （1）方程，的解为 　，　； （2）方程，的解为 　　． 【分析】（1）由题意得出，再解一元二次方程即可得到答案； （2）分两种情况：当时，即时，，；当时，即时，，，分别解一元二次方程即可得到答案． 【解答】解：（1），， ， ， 解得：，， 方程，的解为，， 故答案为：，； （2）当时，即时，，， 即， 解得：，不符合题意； 当时，即时，，， 即， 解得：，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，新定义下的实数的运算，理解题意，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 19．（2024•武侯区校级开学）解答题 （1）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． （2）解方程：； （3）解方程：． 【分析】（1）根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． （2）利用公式法解方程解答即可； （3）根据解分式方程的基本步骤解答即可． 【解答】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 数轴表示如下： （2）， 在这里，，，， ， 解得，． （3）， 方程两边同乘，去分母得， 移项，合并同类项，得， 经检验：是原分式方程的根． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元二次方程，解分式方程，熟知以上知识是解题的关键． 七．解一元二次方程-因式分解法 20．（2023秋•南乐县期末）一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D． 【分析】先移项，然后因式分解即可解答此方程． 【解答】解：， 移项，得：， ， 或， ，解得，， 故选：． 【点评】此题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法；本题运用的是因式分解法． 21．（2024•宛城区校级开学）等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是 　11或13　． 【分析】先利用因式分解法求出方程的解为或，再分当腰长为3时，当腰长为5时，两种情况根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【解答】解：解方程得：或， 当腰长为3时，则等腰三角形的三边长为3，3，5， ， 此时能构成三角形， 这个三角形的周长是； 当腰长为5时，则等腰三角形的三边长为3，5，5， ， 此时能构成三角形， 这个三角形的周长是； 综上所述，这个三角形的周长是11或13， 故答案为：11或13． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解一元二次方程，正确记忆相关知识点是解题关键． 22．（2024•东城区校级开学）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）用公式法即可解答； （2）用因式分解法即可解答． 【解答】解：（1）， △ ， ，； （2）， ， ， 或， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法和因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 23．（2024•东阳市开学）（1）计算：； （2）解方程：． 【分析】（1）原式利用二次根式的运算法则进行化简，计算即可求出值； （2）方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：（1）原式， ， ； （2）分解因式得：； 所以或； 解得：，． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及一元二次方程的解法是解本题的关键． 八．根的判别式 24．（2024•海淀区校级开学）关于的方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【解答】解：当时，原方程为，此时不满足方程有两个实数根； 当时，原方程为一元二次方程，则△， ， ； 综上所述，且， 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知对于一元二次方程，若△，则方程有两个不相等的实数根，若△，则方程有两个相等的实数根，若△，则方程没有实数根是解题的关键． 25．（2023秋•岳阳县期末）关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角三角形的一个内角，则　　． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，由特殊三角函数值即可求解此题． 【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根， △， 解得：． 又是锐角三角形的一个内角， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，特殊三角函数值，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 26．（2024•广州）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可． （2）根据的取值范围化简即可． 【解答】解：（1）根据题意得△， 解得； （2）， ， ． 【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及绝对值和分式乘除法的化简，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 27．（2024•高新区校级开学）已知关于的一元二次方程有两个实数根．设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围．是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值． 【解答】解：根据题意得△， 解得； 是方程的一个实数根，则，则， 则即， 解得：（舍去）或． 故的值为． 【点评】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 九．根与系数的关系 28．（2023秋•卫辉市期末）菱形的边长是5，两条对角线交于点，且，的长分别是关于的方程的根，则的值为　　 A． B．5 C．5或 D．或3 【分析】由题意可知：菱形的边长是5，则，则再根据根与系数的关系可得：，；代入中，得到关于的方程后，求得的值． 【解答】解：由勾股定理可得：， 又有根与系数的关系可得：， ， 整理得：， 解得：或5． 又△， ，解得， ， 故选：． 【点评】此题考查根与系数问题，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 29．（2023秋•攀枝花期末）已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，，若，则的值为 　3　． 【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围，把已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， △，即， 整理得：， 解得：， 该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ，即， 整理得：，即， 解得：（舍去）或， 则的值为3． 故答案为：3． 【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 30．（2024•海淀区校级开学）关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）若方程两实根，满足，求的值． 【分析】（1）当方程有两个不相等的实数根时，△，列式计算出的取值范围； （2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据△的取值确定的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根， △， ， 则当时，方程有两个不相等的实数根； （2） ，， ， ， ， ，， 方程两实根， △， ， ． 【点评】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．以及根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，． 一十．由实际问题抽象出一元二次方程 31．（2024•南岗区校级开学）要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请个队参赛，则可列方程　　 A． B． C． D． 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设比赛组织者应邀请个队参赛， 根据题意得：， 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键． 32．（2023秋•汉阳区期末）读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为 　　． 【分析】由第一个月进书院人次数及进书院人次的月平均增长率，可得出第二个月进书院人次，第三个月进书院人次，结合到第三个月末累计进书院2850人次，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：该书院对外开放的第一个月进书院600人次，且进书院人次的月平均增长率为， 第二个月进书院人次，第三个月进书院人次． 根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 33．（2023秋•东莞市校级月考）篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，一共有多少个球队参赛． 【分析】根据题意赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，理解关系即可列出方程． 【解答】解：设一共有个球队参赛， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：一共有9个球队参赛． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 一十一．一元二次方程的应用 34．（2023秋•攀枝花期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据题意，每轮传染中平均一个人传染了人，经过两轮传染后共有81人患了流感，列出关于的一元二次方程，解方程，由此得到答案． 【解答】解：根据题意得： 每轮传染中平均一个人传染了人， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，按照题意找到正确的等量关系，列出一元二次方程是解答本题的关键． 35．（2024•南岗区校级开学）有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为 　　． 【分析】设平均每次的降价率为，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为81元，”可得答案． 【解答】解：设平均每次的降价率为， 由题意得：， 解得：或（舍去） 平均每次降价的百分率为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 36．（2023秋•攀枝花期末）2023年7月，国际大学生体育联合会在成都拉开帷幕，本次运动会以“成都成学梦想”为口号，作为本次运动会吉祥物“蓉宝”深受大家的喜爱，某文创店准备生产并售卖印有“蓉宝” 恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设每件商品降价元． （1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ （2）店主每天能获得2200元的利润吗？为什么，请说明理由． 【分析】（1）设每件商品降价元，根据商店每天销售利润为2100元列一元二次方程，求解即可； （2）设每件商品降价元，根据每天获得2200元的利润列一元二次方程，利用判别式的意义求出此方程无实数根，即可得出答案． 【解答】解：（1）设每件商品降价元， 由题意得：， 解得：，， 答：当每件商品降价15元或20元时，该商店每天销售利润为2100元； （2）店主每天不能获得2200元的利润； 理由：设每件商品降价元， 当每天获得2200元的利润时，可得， 整理得：， △， 此方程无实数根， 店主每天不能获得2200元的利润． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键． 37．（2023秋•南乐县期末）阅读下列材料，并解答问题： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为：，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 　③　；（从序号①②③中选择） （2）请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据）写出解答过程； （3）构图序号①对应的方程是 　　． 【分析】（1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出哪种构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题． （3）根据长与宽相差1个长度单位，且面积为个平方单位即可构造序号①对应的方程． 【解答】解：（1）将方程变形得：， ， 需构造长比宽大4的四个小矩形且每个矩形的面积为21个平方单位． 对于①，长比宽大1，不符合题意；对于②，每个矩形的面积为个平方单位，不符合题意；对于③，长比宽大4且每个矩形的面积为21个平方单位，符合题意． 故答案为：③． （2）将方程变形为：，于是可构造如图2所示的图形， 图中的大正方形面积是， 其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 所以大正方形的面积又可表示为， 进一步可知大正方形的边长为8， 所以， 解得． （3）构图序号①中，每个矩形的长与宽相差1个长度单位，如设长为个长度单位，则宽为个长度单位；如设宽为个长度单位，则长为个长度单位，每个矩形的面积为个平方单位． 构图序号①对应的方程是：或． 故答案为：或． 【点评】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想． 一十二．配方法的应用 38．（2024•两江新区自主招生）对于整式、、，在每个式子整体前添加“”或“”，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“和绝对”操作，并将操作结果记为，例如，下列相关说法正确的个数是　　 ①至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②若有一种“和绝对”操作的化简结果为为常数），则或； ③在所有的“和绝对”操作中，将每次操作化简结果的最小值记为，则的最大值为． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①根据题意，找出一种“和绝对”操作使操作后化简结果为常数，即①正确； ②为常数），凑“和绝对”操作后得到或，去掉绝对值变成的形式，求得的取值范围，可判定②； ③每一个整式添“”或“”所以每一个整式有两种变化情况，共3个整式，就有，分别计算可判定③． 【解答】解：①使操作后化简的结果为常数，即使的系数为0， 有， 符合题意，①正确； ②为常数）， ， ， ：当，时，， ：当，时，， 不符合题意，②错误； ③每一个整式添“”或“”，所以每一个整式有两种变化情况，共3个整式，就有（种， ，此时， ，此时， ，此时， ，此时， ，此时， ，此时， ，此时， ，此时， 综上，的最大值为． ③正确． 故选：． 【点评】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和整式的加减，考核了学生对绝对值和去括号法则的灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果是解题的关键． 39．（2024•荆州一模）将二次三项式化为的形式是 　　． 【分析】根据配方法的步骤求解即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方式是解题的关键． 40．（2024•西城区校级开学）阅读材料1：对于两个正实数，，由于，所以，即，所以得到，并且当时，． 阅读材料2：若，则，因为，，所以由阅读材料1可得，，即的最小值是2，只有时，即时取得最小值． 根据以上阅读材料，请回答以下问题： （1）比较大小： 　　（其中； 　　（其中． （2）求代数式的最小值，并指出此时的值为多少． 【分析】（1）根据求出法比较大小，由材料1进行比较即可得出答案； （2）先将变形为，由阅读材料2可得当时，有最小值，即可得解． 【解答】解：（1）， ， 当时，由阅读材料1可得：， ， 故答案为：，； （2）， ， ，即当时，有最小值， 当时，有最小值为4． 【点评】本题考查了分式的混合运算、配方法的应用，读懂材料并加以运用是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$