第02章 轴对称图形 章节测试练习卷 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02章 轴对称图形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是（     ）． A．50° B．65° C．70° D．75° 2．26个字母中，有的字母可以看作轴对称图形，下面四个字母中可以看成轴对称图形的是（    ） A．N B．S C．W D．Z 3．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开。“喜迎二十大”其中可以视为轴对称图形的汉字有(   )    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．中国传统文化博大精深，源远流长．传统文化之剪纸更是闻名中外，巧妙利用轴对称性质进行剪纸会使得操作更加容易，图案更加美观．下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（　　） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形 D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称图形 7．如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积等于（　　） A．30 B．24 C．15 D．10 9．如图，平分，平分，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若连接，则被平分 D．点到与到的距离相等 10．如图，四边形中，，，连接，，垂足是且，点是边上的一动点，则的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．等腰三角形的两边长为25cm和12cm ，那么它的第三边长为 cm 12．如果点A（a-1，3）与点B（4，b-2）关于y轴对称，则a= ，b= ． 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是43°，则顶角的度数是 ． 14．如图，在中，，是高，，，则 ．    15．如图，在中，．的周长为6，则的周长是 ． 16．如图，中，∠A＝30°，AB＝AC，D、E分别是AC、AB上两点，且BD＝BE＝BC，连接DE，则∠BDE＝ 17．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则S△BDC＝ ，AF＝ ． 18．如图：是等边三角形，，，相交于点，于，，，则的长是 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．如图，已知,点在的延长线上. 求证：． 当时，求的度数． 20．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 21．已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 22．计算 (1)求出图中的x的值． (2)已知等腰三角形的周长是14cm．若其中一边长为4cm，求另外两边长．（分类讨论） 23．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航了多少海里？      24．如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元． (1)请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹） (2)最低费用为多少？ 25．如图，在中，，过点A的直线l垂直于线段所在的直线，设点B，P关于直线l的对称点分别为点． (1)在图中画出关于直线l对称的； (2)若，求的度数．（用表示） 26．【问题情境】 课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A．           B．           C．         D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【拓展提升】 (4)如图③，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 轴对称图形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是（     ）． A．50° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【分析】由等腰三角形的顶角为50°，则底角为：从而可得答案． 【详解】解： 等腰三角形的顶角为50°， 底角为： 故选． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 2．26个字母中，有的字母可以看作轴对称图形，下面四个字母中可以看成轴对称图形的是（    ） A．N B．S C．W D．Z 【答案】C 【分析】 本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意． 故选：C． 3．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开。“喜迎二十大”其中可以视为轴对称图形的汉字有(   )    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进而判断得出答案． 【详解】解：“喜迎二十大”这五个字中，其中可以可以视为轴对称图形的汉字有：喜、二、十、大共4个字； 故选：C． 【点睛】此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解答此题的关键． 5．中国传统文化博大精深，源远流长．传统文化之剪纸更是闻名中外，巧妙利用轴对称性质进行剪纸会使得操作更加容易，图案更加美观．下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：解：选项A、B、C中的剪纸图案都能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项D中的剪纸图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 6．下列说法正确的是（　　） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形 D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称图形 【答案】B 【分析】根据全等三角形的定义以及轴对称的性质可判断选项A和B；根据等腰三角形的性质可判断选项C；根据线段的性质可判断选项D． 【详解】解：A．如果两个三角形全等，则它们不一定关于某条直线成轴对称的图形，故本选项不合题意； B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，说法正确，故本选项符合题意； C．等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在直线分成的两个三角形成轴对称，故本选项不合题意； D．一条线段是关于经过该线段中点且和线段垂直的直线成轴对称的图形，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握性质进行逐一判断． 7．如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用直角三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；直接利用三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项，由此即可得出答案． 【详解】解：当添加条件是时， 在和中，， ，则选项不符题意； 当添加条件是时， ， 在和中，， ，则选项不符题意； 当添加条件是时， 在和中，， ，则选项不符题意； 当添加条件是时，不一定能使，则选项符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积等于（　　） A．30 B．24 C．15 D．10 【答案】C 【详解】分析： 如下图，过点D作DE⊥AB于点E，由已知条件易得DE=DC=3，结合AB=10即可由三角形的面积计算公式求得△ABD的面积了. 详解： 如下图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠BAC，∠C=90°， ∴DE=DC=3， 又∵AB=10， ∴S△ABD=AB·DE=. 故选C. 点睛：作出如图所示的辅助线，由“角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE=DC=3”是正确解答本题的关键. 9．如图，平分，平分，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若连接，则被平分 D．点到与到的距离相等 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等证明即可. 【详解】∵平分， ∴点P到BM和BC的距离相等， ∵平分， ∴点P到CN和BC的距离相等， ∴点到与到的距离相等， 故选D. 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键. 10．如图，四边形中，，，连接，，垂足是且，点是边上的一动点，则的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据等角的余角相等求出，再根据垂线段最短可知时最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】解：∵，． ∴，， ∴， 由垂线段最短得，时最小， 此时，． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出最小时的位置是解题的关键． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．等腰三角形的两边长为25cm和12cm ，那么它的第三边长为 cm 【答案】25 【分析】先根据三角形的三边关系定理得出第三边长的取值范围，再根据等腰三角形的定义即可得． 【详解】这个等腰三角形的第三边长为 由题意得：这个等腰三角形的第三边长，即 由等腰三角形的定义，分以下两种情况： （1）若这个等腰三角形的腰长为 则，符合题意 （2）若这个等腰三角形的腰长为 则，不符题意，舍去 综上，，即这个等腰三角形的第三边长为 故答案为：25． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理，依据三角形的三边关系定理求出第三边长的取值范围是解题关键． 12．如果点A（a-1，3）与点B（4，b-2）关于y轴对称，则a= ，b= ． 【答案】 -3， 5 【分析】根据关于y轴对称的坐标特点即可求解． 【详解】如果点A（a-1，3）与点B（4，b-2）关于y轴对称， 则a-1=-4，b-2=3 解得a=-3,b=5 故答案为：-3；5． 【点睛】此题主要考查对称性的应用，解题的关键是熟知直角坐标系的坐标变换． 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是43°，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 【详解】解：①当△ABC为锐角三角形时，如图1， ∵∠ABD=43°，BD⊥AC， ∴∠A=90°－43°=47°， ∴三角形的顶角为47°； ②当△ABC为钝角三角形时，如图2， ∵∠ABD=43°，BD⊥AC， ∴∠BAD=90°-43°=47°， ∵∠BAD+∠BAC=180°， ∴∠BAC=133° ∴三角形的顶角为133°， 故答案为47°或133°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 14．如图，在中，，是高，，，则 ．    【答案】4 【分析】先证明，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，是高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 15．如图，在中，．的周长为6，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题关键是根据垂直平分线的性质得出．由题意可知垂直平分，再根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，结合的周长，的周长，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：8． 16．如图，中，∠A＝30°，AB＝AC，D、E分别是AC、AB上两点，且BD＝BE＝BC，连接DE，则∠BDE＝ 【答案】67.5° 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C=∠ABC=75°，再由BD=BC，得到，则，由BD=BE，则． 【详解】解：∵∠A=30°，AB=AC， ∴， ∵BD=BC， ∴， ∴， ∴， ∵BD=BE， ∴， 故答案为：67.5°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 17．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则S△BDC＝ ，AF＝ ． 【答案】 /5.4 【分析】过点D作DG⊥BC，根据角平分线的性质可得DG=DE＝3，从而可得△BDC的面积，根据等面积法即可求得AF． 【详解】解：过点D作DG⊥BC， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DE＝3， ∴DG=DE＝3， ∵BC＝10， ∴, ∵AB＝8， ∴, ∴, ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查角平分线的性质，理解角平分线上的点到角两边距离相等是解题关键，还需掌握等面积法． 18．如图：是等边三角形，，，相交于点，于，，，则的长是 ． 【答案】9 【分析】在，易求，于是可求，进而可求，而，那么有. 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含有角直角三角形的性质，三角形全等判定及性质等相关内容，熟练掌握相关三角形性质及判定的证明是解决本题的关键. 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．如图，已知,点在的延长线上. 求证：． 当时，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）105° 【分析】（1）根据边角边定理判定出，再由全等三角形的性质即可得证结论； （2）由（1）的结论可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质可求得，最后根据角的和差即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵90° ∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE ∵，， ∴△ACD≌△BCE ∴ （2）30° ∴∠BEC=∠ADC=30° ∵，∠ACB=90° ∴△ABC为等腰直角三角形 ∴∠ABC=45° ∴∠BCE=∠ABC-∠BEC=15° ∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=105° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角的性质以及角的和差等知识点，灵活运用相关知识点是解决问题的关键． 20．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质．如图，过点A作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴， 同理可得，， 又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为， ∴ ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 21．已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、等腰三角形的性质以及三角形中线的性质，设腰长为，底边长为．根据一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是，可得两种情况，①；②，分别与组成方程组，求解即可． 【详解】解：设腰长为，底边长为． ①若腰比底边长，根据题意得，解得； ②若底边比腰长，根据题意得，解得． 故这个三角形的腰长是或． 22．计算 (1)求出图中的x的值． (2)已知等腰三角形的周长是14cm．若其中一边长为4cm，求另外两边长．（分类讨论） 【答案】(1) (2)另外两边长分别为4cm、6 cm或5 cm、5 cm 【分析】（1）利用三角形的外角等于不相等两个内角的和即可列方程求解； （2）根据等腰三角形有两个边是相等的，其中一边长为4cm，需要考虑腰长为4cm或者底边长为4cm两种情况，分情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知 解得 （2）解：当腰长为4cm时，则底边长为cm， 当底边长为4cm时，则腰长为 cm， 则另外两边长分别为4cm、6 cm或5 cm、5 cm． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、等腰三角形定义，采用分情况讨论方法是解题的关键． 23．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航了多少海里？      【答案】当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了20海里． 【分析】本题考查的是含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先证明，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴ (海里)， ∴海里， 答：当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了20海里． 24．如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元． (1)请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹） (2)最低费用为多少？ 【答案】（1）见解析（2）150万元 【分析】（1）根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与A、B两个小镇的距离和最小，所以作出点A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE与直线l的交点即是水厂的位置M． （2）首先根据勾股定理，求出BE的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价=单价×数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可． 【详解】（1）根据分析，水厂的位置M为： （2）如图2，， 在直角三角形BEF中，EF=CD=30（千米），BF=BD+DF=30+10=40（千米）， ∴BE （千米）, ∴铺设水管长度的最小值为50千米， ∴铺设水管所需费用的最小值为： 50×3=150（万元）． 答：最低费用为150万元． 【点睛】（1）此题主要考查了轴对称-最短路线问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了总价、单价、数量的关系：总价=单价×数量，单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，要熟练掌握． 25．如图，在中，，过点A的直线l垂直于线段所在的直线，设点B，P关于直线l的对称点分别为点． (1)在图中画出关于直线l对称的； (2)若，求的度数．（用表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查轴对称的意义、三角形的外角的性质等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据轴对称和题意画出即可； （2）如图，连接，设直线l交于点C，由轴对称的性质可得证明，然后利用三角形的外角解答即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图，连接，设直线l交于点C， ∵，P关于直线l对称，过点A的直线l垂直于线段所在的直线， ∴， 又∵在中，， ∴． 26．【问题情境】 课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A．           B．           C．         D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【拓展提升】 (4)如图③，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：． 【答案】(1)B (2) (3)8 (4)见解析 【分析】（1）利用证明； （2）利用三角形的三边关系进行求解即可； （3）延长到M，使，连接，证明，推出为等腰三角形，得到，即可得解； （4）延长到点G，使，连接，易得，证明，得到，在中，，即可得出结论． 【详解】（1）解：在和中 ， ∴， 故选：B； （2）由（1）得：， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案是：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解： 延长到点G，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，证明三角形全等，是解题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$