专题2.1 垂直平分线中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题2.1 垂直平分线中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 二、线段垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个） · 典例分析 【典例1】如图，的两条高与交于点，，．    （1）求证：； （2）连结，试说明：是的垂直平分线； （3）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 【思路点拨】 （1）证明，即可得到； （2）先证明，得到，进而得到点在的垂直平分线上，再根据得到点在的垂直平分线上，即可得到是的垂直平分线； （3）当点在延长线上时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得；当点在之间时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得，问题得解． 【解题过程】 （1）证明：、是高， ， 在与中， ， ； （2）证明：，， ， ， 、是高， ． 在与中，， ， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线； （3）解：①如图1，当点在延长线上时， 设运动秒，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ， 解得． ②如图2，当点在之间时， 设运动秒，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ， 解得． 综上所述，或4． · 学霸必刷 1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，线段，的垂直平分线，相交于点O．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论： ①；②直线是线段的垂直平分线；③；④． 所有正确结论的序号为(   ) A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（    ）        A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 5．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 6．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 7．（22-23八年级上·重庆巴南·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．    9．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 10．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝ ． 11．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）    12．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：    （1）如图1，在上求作点D，使； （2）如图2，若点D在边上，在上求作点E，使． 13．（2023·江苏扬州·模拟预测）尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．    （1）过点作一条直线，使其平分的面积． （2）在上求作一点，使与面积相等． （3）过点作一条直线，使其平分的面积． 14．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点． （1）若，则的周长为 ； （2）若，求的度数． 15．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，垂直平分平分．    （1）若，求的度数； （2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积． 16．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°． （1）在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长． 17．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．    （1）如图，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：； （2）如图，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：； （3）如图，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长． 18．（23-24八年级上·辽宁·期中）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在内部． ①若，，则　 　； ②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明． （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 垂直平分线中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 二、线段垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个） · 典例分析 【典例1】如图，的两条高与交于点，，．    （1）求证：； （2）连结，试说明：是的垂直平分线； （3）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 【思路点拨】 （1）证明，即可得到； （2）先证明，得到，进而得到点在的垂直平分线上，再根据得到点在的垂直平分线上，即可得到是的垂直平分线； （3）当点在延长线上时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得；当点在之间时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得，问题得解． 【解题过程】 （1）证明：、是高， ， 在与中， ， ； （2）证明：，， ， ， 、是高， ． 在与中，， ， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线； （3）解：①如图1，当点在延长线上时， 设运动秒，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ， 解得． ②如图2，当点在之间时， 设运动秒，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ， 解得． 综上所述，或4． · 学霸必刷 1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，线段，的垂直平分线，相交于点O．若，则（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到，再利用垂直的定义结合直角三角形两锐角互余得到，计算即可． 【解题过程】 解：如图，连接BO并延长至点P，与线段AB交于F， ∵，是、的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【思路点拨】 利用三角形的角平分线，中线和垂直平分线进行判断即可， 【解题过程】 解：如图，延长交于点，过作于点， ∵，， ∴， 又∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴，故正确； ∵， ∴，， ∴，即，故正确； 由题意可知与不一定相等， 则不一定成立； ∵，垂直平分， ∴， ∴，故正确； 综上 正确； 故选：． 3．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论： ①；②直线是线段的垂直平分线；③；④． 所有正确结论的序号为(   ) A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【思路点拨】 本题考查翻折变换，线段垂直平分线的判定，多边形内角和公式，三角形外角性质，掌握翻折不变性，以及相关性质是解题的关键． 由翻折不变性，可判断①正确；由翻折不变性，可得，，可判断②正确；由多边形内角和公式和翻折不变性，可判断③正确；由三角形外角性质和翻折不变性，可判断④正确；即可解答． 【解题过程】 解： 是由翻折得到的， ， 故①正确； 是由翻折得到的，是由翻折得到的， ，， 点E，点F都在的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 故②正确； 是由翻折得到的， 故③正确； 设与交于点H， 是由翻折得到的， 故④正确； 综上，正确的有：①②③④， 故选：D． 4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（    ）        A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【思路点拨】 根据线段垂直平分线的性质，得到；过点F作于点H，证明，得到，结合平分，得到，继而，可证明；利用斜边大于直角边，证明；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明． 【解题过程】 解：∵是边的垂直平分线， ∴； 故①正确； 过点F作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， 故④正确； 故选D． 5．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【思路点拨】 根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ， ， 为的中点， ， 为线段的垂直平分线， ，故④正确， 所以，正确结论的序号是：①③④， 故选：D． 6．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【思路点拨】 ①根据将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），证明直线垂直平分，故①正确； ②证明与不一定相等，得到与不一定相等，故②错误； ③先由①得，直线垂直平分，则，，再根据”等边对等角“证明，，则，再根据是的一个外角，是的一个外角，证明，，进一步证明，根据，得到，则，然后根据，证明，从而得到，故③正确； ④先根据是的中点，证明，再由①得，直线垂直平分，则，再证明，最后证明，即，故④正确． 【解题过程】 解：①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C）， ∴直线垂直平分， 故①正确； ②∵， ∴， ∴ 又∵， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， 故②错误； ③由①得，直线垂直平分， ∴，， ∴，， ∴ ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴ 即， 又∵(已证)， ∴， 故③正确； ④∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，一定正确的有①③④， 故选：D． 7．（22-23八年级上·重庆巴南·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 延长至G，使，从而得到，进一步证明，且，利用证明，则，所以①是正确的，通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用x表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的． 【解题过程】 解：如图，延长至G，使，设与交于点M， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴①是正确的； ∵， ∴， ∴平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明， ∴②是不正确的； 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③是正确的； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴④是正确的， 故选：C． 8．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．    【思路点拨】 连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果． 【解题过程】 解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图， ∵，， ∴； ∵D为中点，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∴ 故答案为：． 9．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①符合题意；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由，，得出，得出，可判断③符合题意；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④符合题意；即可得出答案． 【解题过程】 解：如图，延长交于， ，分别为，边上的高， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故①符合题意； ， ， ， ，故②不符合题意； ，， ， ，故③符合题意； ，， ， ， ， 垂直平分， ，， 的周长 ，故④符合题意． 故答案为：． 10．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝ ． 【思路点拨】 过点F作FG⊥BN于点G，根据已知条件证明△ABD≌△BFG，可得BD＝FG，AD＝BG，再证明△BDE≌△FGN可得DE＝GN，根据DE：BN＝1：7，可得GN：BN＝1：7，设ED＝x，DE：BG＝1：6，可得AD＝BG＝6x， AE＝5x，然后根据S△ABD＝15，进而可得S△ABE． 【解题过程】 解：如图，过点F作FG⊥BN于点G， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝45°， ∴∠DAC＝45°， ∵MN⊥FB， ∴∠FBN+∠FNB＝90°， ∵点M恰在BN的垂直平分线上， ∴MB＝MN， ∴∠ABN＝∠FNB， ∴∠ABN+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠FBN， ∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF， ∴BA＝BF， 在△ABD和△BFG中， ， ∴△ABD≌△BFG（AAS）， ∴BD＝FG，AD＝BG， ∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠BED＝∠ABD＝∠BFG=∠FNG， 在△BDE和△FGN中， ， ∴△BDE≌△FGN（AAS）， ∴DE＝GN， ∵DE：BN＝1：7， ∴GN：BN＝1：7， 设ED＝x， ∴DE：BG＝1：6， ∴AD＝BG＝6x， ∴AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x， ∵S△ABD＝15， ∴S△ABE＝=． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）    【思路点拨】 ①利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可； ②③延长与交于点，利用全等三角形的判定与性质求解即可； ④在上截取，利用垂直平分线的性质以及全等三角形的性质，求解即可． 【解题过程】 解：设，，    ∵平分，平分， ∴， 由三角形外角的性质可得： ∴①正确； 延长与交于点，如下图： ∵ ∴ ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴②正确； 同理可得： ∴，③正确； 在上截取，则是的垂直平分线，如下图：    ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴④正确 故答案为：①②③④ 12．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：    （1）如图1，在上求作点D，使； （2）如图2，若点D在边上，在上求作点E，使． 【思路点拨】 （1）作的垂直平分线与的交点即为所求； （2）如图：由题意得，只要作即可，由第（1）问得，，只要作即可． 【解题过程】 （1）解：如图：    作的垂直平分线与交于D点， ， 与高相同， ． 如图1：点D即为所求； （2）如图：    由题意得，只要作即可， 作的垂直平分线交于点， 由第（1）问得，， 故只要作即可， 连接、，要使得，只要作， 根据“夹在平行线之间的垂线段相等”，即，高相等， 只要作， 根据“同位角相等，两直线平行”，作，交于点， 如图2：点E即为所求． 13．（2023·江苏扬州·模拟预测）尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．    （1）过点作一条直线，使其平分的面积． （2）在上求作一点，使与面积相等． （3）过点作一条直线，使其平分的面积． 【思路点拨】 （1）作出线段的垂直平分线，垂足为，作直线即可； （2）作，交与点，点即为所求； （3）根据（1）的方法作出中线，连接，根据（2）的方法作，交与点，作直线即可． 【解题过程】 （1）解： 如图直线即为所求；    （2）解： 如图，点即为所求；    ∵， ∴， ∴，    （3）解：如图，直线即为所求．      理由如下，      ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线平分的面积． 14．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点． （1）若，则的周长为 ； （2）若，求的度数． 【思路点拨】 本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的内角和，即可． （1）根据垂直平分线的性质，则，，根据，的周长为：，即可； （2）垂直平分线的性质，则，，根据三角形内角和，则，再根据对顶角相等，则，根据三角形内角和，则，，最后根据，即可． 【解题过程】 （1）∵，分别垂直平分边和边， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长为：， ∴， 故答案为：． （2）∵，分别垂直平分边和边， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，垂直平分平分．    （1）若，求的度数； （2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积． 【思路点拨】 （1）由线段垂直平分线的性质结合三角形外角的性质易求出，再根据角平分线的定义即得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质结合与的周长之差为，即可求出．过点D作于H．由的面积为，，可求出，结合角平分线的性质定理可得出，即可计算． 【解题过程】 （1）解：∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即． 过点D作于H．    ∵的面积为，且，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 16．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°． （1）在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长． 【思路点拨】 （1）在CA上截取CF＝CB，然后分别以C、F为圆心，AB、AC为半径画弧，两弧的交点为D，从而得到满足条件的△DCF； （2）先利用全等三角形的性质得到DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，作FP的垂直平分线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图，证明MN＝DF＝BC，再证明△PMN≌△PCB，所以PC＝PM，从而得到PC＝CF． 【解题过程】 （1）解：如图，△DCF为所作； （2）解：如图2，∵△DCF≌△ABC， ∴DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°， ∴DFBC， 作FP的垂直平分线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图， ∴NP＝NF，MP＝MF， ∴∠NPF＝∠NFP， ∴∠NDF＝∠NFD， ∴ND＝NF， ∴FH＝DH ∵FH＝MN， ∴MN＝FH＝DH＝2， ∴MN＝BC， ∵MNDF， ∴MNBC， ∴∠PMN＝∠PCB， 在△PMN和△PCB中， ， ∴△PMN≌△PCB（AAS）， ∴PC＝PM， 而PM＝MF， ∴PC＝CF＝． 17．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．    （1）如图，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：； （2）如图，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：； （3）如图，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长． 【思路点拨】 （1）先判断出，再用等式的性质判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即，即可得出结论； （3）同（2）的方法判断出，最后用面积建立方程求出的值，即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：如图，连接，    ，关于对称， 被垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，在上截取，连接，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 即； （3）解：如图，延长至点，使，连接，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，， ， ，， ， ， ， ． 18．（23-24八年级上·辽宁·期中）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在内部． ①若，，则　 　； ②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明． （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明． 【思路点拨】 （1）①先根据角的运算得出的度数，根据三角形内角和求出的度数；再根据直角三角形两锐角互余可得出的度数，作差可得结论； ②连接，可得出，再根据，，可得出，，所以；进而可得，再由全等三角形的性质可得结论； （2）在延长线上取点，使．连接．由垂直平分线的性质可得，；设，，所以，由此表达，由，可得，所以，即；由此可得，所以，由此可得结论． 【解题过程】 （1）解：①，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20； ②，理由如下： 证明：如图1，连接， ， ∵点与点关于直线对称，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图2，在延长线上取点，使，连接， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$