精品解析：重庆市第七中学校2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试题

重庆七中初2025级八（上）第一次定时作业 考试时间：120分钟；试题总分：150分 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 25的算术平方根是（ ） A B. 5 C. D. 2. 若式子有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 估算的范围是（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 4. 在下列实数：、、、、中，无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 7. 下列可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（　　） A. B. C. D. 9. 已知，则的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 已知多项式，多项式． ①若多项式是完全平方式，则或； ②； ③若，，则； ④代数式的最小值为2022．以上结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）请把答案填在答题卡内． 11. 的相反数是 __________． 12. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 13. 若，，则的值是_____． 14. 计算：＝_____． 15. 若a，b有理数，且，则=___． 16. 若是一个完全平方式，则_______． 17. 对于任意实数规定的意义是．则当时，_________． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“共和数”，例如：四位数1235，，是“共和数”又如：四位数，，不是“共和数”，若一个“共和数”为，则的值为______；若一个“共和数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被7整除，则满足条件的的最大值与取小值的差是_______． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算：； （2）计算：． 20. （1）计算：； （2）计算：． 21. 化简： （1） （2） 22. 已知的算术平方根是2，的立方根是3． （1）求值； （2）求的算术平方根． 23. 已知，，求： （1）的值． （2）求的值． 24. 先化简，再求值：，其中． 25. 已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 26. 北师大版初中数学教科书七年级下册第23页告诉我们，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式．请解答下列问题： （1）类似地，写出图②中所表示数学等式________________； （2）如图③的图案被称为“赵爽弦图”，是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．此图由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，已知直角三角形的两直角边分别为，，若，，求大正方形的面积； （3）如图④，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，求正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆七中初2025级八（上）第一次定时作业 考试时间：120分钟；试题总分：150分 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 25的算术平方根是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴25的算术平方根是5． 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根 ，如果一个正数x的平方等于a，即，那么x叫做a的算术平方根． 2. 若式子有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义， 得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是注意被开方数为非负数． 3. 估算的范围是（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 在下列实数：、、、、中，无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：在实数、、、、中，无理数有，，，共3个， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据算术平方根、立方根、平方根的性质求解即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是平方根、算术平方根、立方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 6. 下列运算正确是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项正确，符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则是解题的关键． 7. 下列可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式的式子的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方，对各选项逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、，两项符号都相反，故不能运用平方差公式，不符合题意； B、，符号平方差公式的特点，故能用平方差公式，符合题意 C、，两项符号都相反，故不能运用平方差公式，不符合题意； D、；，两项符号都相反，故不能运用平方差公式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的结果特点，熟练掌握平方差公式的式子的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方，是解题的关键． 8. 根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握拼图中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键． 9. 已知，则的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】把化为，代入，整理后即可求解. 【详解】解：∵， ∴====， 故答选：C 【点睛】此题考查了代数式求值，掌握平方差公式是解答此题的关键. 10. 已知多项式，多项式． ①若多项式是完全平方式，则或； ②； ③若，，则； ④代数式的最小值为2022．以上结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方式得出，即可判断①；计算，并将其结果进行配方，根据平方非负性，即可判断②；③根据完全平方公式的得出，结合②中的结论，即可判断③；将分组配方，再根据平方的非负性，即可判断④． 【详解】解：①若多项式是完全平方式，则，解得：或； 故①正确，符合题意； ②∵，， ∴ ， ∵， ∴，即， 故②正确，符合题意； ③∵，， ∴， 由②可得：， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ④ ， ∵， ∴， 即代数式的最小值为2022， 故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式的变形及其应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 二、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）请把答案填在答题卡内． 11. 的相反数是 __________． 【答案】- 【解析】 【分析】只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数为－． 故答案为：-． 【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，属于基础题型．解决这个问题只要明确相反数的定义即可． 12. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 若，，则的值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】把原式化为，再把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是同底数幂的除法运算的逆运算，幂的乘方运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 14. 计算：＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了，积的乘方，根据积的乘方的运算法则，即可求解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 若a，b为有理数，且，则=___． 【答案】9 【解析】 【分析】根据配方法可得，进一步可得，求出a和b的值，进一步即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 16. 若是一个完全平方式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式得出，求出即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方公式有：． 17. 对于任意实数规定的意义是．则当时，_________． 【答案】1 【解析】 【分析】由得，根据题意得出算式（x+1）（x-1）-3x（x-2），化简后把x2-3x的值代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：（x+1）（x-1）-3x（x-2） =x2-1-3x2+6x =-2x2+6x-1 =-2（x2-3x）-1， ∵x2-3x+1=0， ∴x2-3x=-1， 原式=-2×（-1）-1=1， 故答案：1． 【点睛】本题考查了新定义，整式的混合运算和求值的应用，解题的关键是掌握计算能力和对新定义的理解能力． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“共和数”，例如：四位数1235，，是“共和数”又如：四位数，，不是“共和数”，若一个“共和数”为，则的值为______；若一个“共和数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被7整除，则满足条件的的最大值与取小值的差是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据递减数的概念列方程求的值，根据递减数的概念先求得, 然后根据题意列出的数能被整除的数的特征分析满足条件的最大值与最小值，求差即可. 【详解】由题意可得, 解得, 由题意可得， , 整理, 可得, 一个“共和数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的差，再减去为： , 又∵能被7整除， 是整数, 且, ,, 时，原四位数可得最小值，此时只能取，这是四位数为， 当时, , 此时四位数为, 当时, , 此时四位数为, 当时, , 此时四位数为, 当时, , 此时四位数(舍去), 当时, , 此时四位数为, 取或或时，均不符合题意， ∴满足条件的的最大值与取小值的差是：， 故答案为:；. 【点睛】本题考查新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键. 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】（1）本题考查求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，绝对值及幂，根据，及求解即可得到答案； （2）本题考查根式的混合运算，根据，求解即可得到答案； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 20. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）0；（2）； 【解析】 【分析】（1）本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法与除法法则，根据，，求解即可得到答案； （2）本题考查整式乘法运算，根据单项式乘多项法则及多项式乘多项式法则求解即可得到答案； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 21. 化简： （1） （2） 【答案】(1) -9b2+ab；(2) 11a2-3ab-b2 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式可以解答本题； （2）根据完全平方公式和多项式乘多项式可以解答本题． 【详解】（1）（a+3b）（a-3b）-a（a-b） =a2-9b2-a2+ab =-9b2+ab； （2）（3a-b）2+（2a-b）（a+2b） =9a2-6ab+b2+2a2+4ab-ab-2b2 =11a2-3ab-b2． 【点睛】考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 22. 已知的算术平方根是2，的立方根是3． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）14 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求出、的值，即可求出最终答案； （2）把x、y的值代入，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是2， ∴， 解得：， 又∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵， ∴的值为14. 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ∵， ∴的算术平方根是10． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根的概念，掌握算术平方根、立方根的概念是关键． 23. 已知，，求： （1）的值． （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，把已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． 24. 先化简，再求值：，其中． 【答案】原式，； 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的非负性及完全平方的非负性，整式的化简求值，根据非负式子和为0，它们分别等于0，求出字母值，代入求解即可得到答案； 【详解】解：原式 ， ∵，，， ∴，， 解得：，， ∴原式． 25. 已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明△ABD≌△ACE（SAS）即可； （2）由△ABD≌△ACE证得∠B=∠C，进而证得△ACM≌△ABN（ASA），再根据全等三角形的性质可证得结论． 【详解】（1）证明：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； （2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， 即∠BAN=∠CAM， 由（1）知：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C， 在△ACM和△ABN中， ， ∴△ACM≌△ABN（ASA）， ∴∠M=∠N． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 26. 北师大版初中数学教科书七年级下册第23页告诉我们，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式．请解答下列问题： （1）类似地，写出图②中所表示的数学等式________________； （2）如图③的图案被称为“赵爽弦图”，是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．此图由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，已知直角三角形的两直角边分别为，，若，，求大正方形的面积； （3）如图④，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，求正方形的面积． 【答案】（1）（a＋b）2＝4ab＋（a−b）2 （2）19 （3）2 【解析】 【分析】（1）利用大正方形面积公式表示出大正方形的面积，也可用四个小长方形与一个小正方形表示出大正方形的面积，利用面积相等即可求解； （2）利用四个直角三角形的面积与小正方形的面积表示出大正方形的面积，根据a＋b＝5，（a−b）2＝13可求出ab，代入即可求解； （3）延长PE交BA的延长线于点I，延长QF交CB的延长线于点J，延长MG交DC的延长线于点K，延长NH交AD的延长线于点L，由∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°可得△AEI，△BFJ，△CGK，△DHL为等腰直角三角形，从而可得FI＝GK＝HK＝EL＝AB＝BC＝CD＝AD，可得等腰Rt△FQI，等腰Rt△MGJ，等腰Rt△NHK，等腰Rt△EPL的面积之和为正方形ABCD的面积，从而可得正方形MNPQ的面积为等腰Rt△AEI，等腰Rt△BFJ，等腰Rt△CGK，等腰Rt△DHL的面积之和，即可求解． 【小问1详解】 利用正方形面积公式，大正方形的面积为：（a＋b）2， ∵大正方形由四个小长方形和一个小正方形构成， ∴大正方形的面积也可表示为：4ab＋（a−b）2， ∴（a＋b）2＝4ab＋（a−b）2， 故答案为：（a＋b）2＝4ab＋（a−b）2； 【小问2详解】 ∵小正方形的边长为：a−b， ∴小正方形的面积为：（a−b）2， ∴大正方形面积为：4×ab＋（a−b）2＝2ab＋（a−b）2＝a2＋b2， ∵a＋b＝5，（a−b）2＝13， ∴（a＋b）2＝25， ∴（a＋b）2＋（a−b）2＝a2＋b2＋2ab＋a2＋b2−2ab＝2（a2＋b2）＝25＋13＝38， ∴a2＋b2＝19， ∴大正方形的面积为19； 【小问3详解】 如图，延长PE交BA的延长线于点I，延长QF交CB的延长线于点J，延长MG交DC的延长线于点K，延长NH交AD的延长线于点L， ∵∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°， ∴∠AEI＝∠BFJ＝∠CGK＝∠DHL＝45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠EAI＝∠FBJ＝∠GCK＝∠HDL＝90°， ∴△AEI，△BFJ，△CGK，△DHL为等腰直角三角形， ∵AE＝BF＝CG＝DH＝1， ∴AI＝BJ＝CK＝DL＝1， ∴FI＝GK＝HK＝EL＝AB＝BC＝CD＝AD， ∴S▱ABCD＝S△FQI＋S△MGJ＋S△NHK＋S△EPL， ∵S▱ABCD＝S四边形AEQF＋S四边形BFMG＋S四边形CGNH＋S四边形DHPE＋S▱MNPQ， ∴S▱MNPQ＝S△AEI＋S△BFJ＋S△CGK＋S△DHL ＝AE2＋BF2＋CG2＋DH2 ＝＋＋＋ ＝2． 【点睛】本题考查乘法公式的证明，解题的关键是熟练掌握乘法公式的证明方法，一般利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$