专题02 有理数的运算（易错、好题必刷题49题9种题型）（期中专项训练）七年级数学上学期新教材青岛版

专题02 有理数的运算（易错必刷49题9种题型专项训练） 目录 【易错题型01 倒数】 1 【易错题型02 有理数的加法】 2 【易错题型03 有理数的减法】 2 【易错题型04 有理数的加减混合运算】 3 【易错题型05 有理数的乘法】 6 【易错题型06 有理数的除法】 8 【易错题型07 有理数的乘方】 10 【易错题型08 非负数的性质：偶次方】 12 【易错题型09 有理数的混合运算】 13 【易错题型01 倒数】 【易错题精讲】（2023•顺德区校级一模）的倒数是　　 A． B． C．7 D． 【变式训练1-1】（2022秋•沂源县校级期中）一个大于1的正整数，与其倒数，相反数比较，大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2023秋•惠民县期中）一个数的倒数是，则这个数是 　　，这个数的相反数是 　　． 【变式训练1-3】（2022秋•惠民县校级月考）的倒数是 　　，相反数是 　　，绝对值是 　　． 【易错题型02 有理数的加法】 【易错题精讲】（2023秋•叙州区期中）下列说法错误的是　　 A．若、互为相反数，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若为有理数，则 【变式训练2-1】（2021秋•郏县期中）若，．且，异号，则的值为　　 A． B．2或 C． D．4或2 【变式训练2-2】（2023秋•海州区月考）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 　；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 　． （2）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　5　，满足条件的所有整数x的和为 　 ． （3）请写出当x＝　﹣2　时，|x+2|+|x﹣1|+|x|+|x+4|+|x+3|有最小值为 　 　． （4）规律应用： 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作 　 　处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 　 　米． 【变式训练2-3】（2023秋•汉川市期中）计算：的值为 　 　． 【易错题型03 有理数的减法】 【易错题精讲】（2023秋•商水县期末）有理数，在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①；②；③；④，⑤，正确的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练3-1】（2023秋•碑林区校级月考）已知、、、是有理数，，，且，则　　． 【变式训练3-2】（2021秋•南昌县期中）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为，，的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 　 ． 【变式训练3-3】（2022秋•铁岭期中）北京与西班牙的时差为7个小时．比如，北京时间中午12点是西班牙的凌晨5点，2022年2月4日晚8时北京冬奥会开幕式正式开始，在西班牙留学的嘉琪准时观看了直播，直播开始的当地时间为2月 　 　日 　　时． 【变式训练3-4】（2022秋•丰台区校级期中）已知，，，则 ． 【变式训练3-5】（2021秋•南阳期末）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段 问题 （1）数轴上点、代表的数分别为和1，则线段　 　； （2）数轴上点、代表的数分别为和，则线段　　； （3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为，求． 【易错题型04 有理数的加减混合运算】 【易错题精讲】（2023秋•唐县期末）把写成省略括号的代数和的形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式训练4-1】（2023秋•开封期末）某快递员骑电动车送快递，某天在一条东西方向的路上行驶，从地出发，约定向东走为正，当天的行走记录如下（单位千米） ，，，，，，，，，，，，． （1）收工时，快递员在地的哪个方向？求此时快递员与地的距离； （2）若电动车每千米耗电0.02度，求该天共耗电多少度． 【变式训练4-2】（2023秋•青秀区校级月考）蔬菜商店以每筐48元的价格从农场购进8筐白菜，若以每筐白菜净重25千克为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，稳重后记录如下：，，，，，，，． （1）这8筐白菜一共重多少千克？ （2）若把这些白菜全部以零售的形式卖掉，商店计划共获利，那么蔬菜商店在销售过程中白菜的单价应定为每千克多少元？ （3）如果平均每天的白菜销售量相同，商店以（2）中的单价售完所有白菜的一半时恰好用了3天时间，现决定降价促销把剩余的白菜按原价的八折销售完，这样平均每天可比原来多售出16千克，请通过计算说明商店在整个白菜销售过程中共需要几天？并计算商店共盈利或亏损多少元？ 【变式训练4-3】（2023秋•市中区校级月考）计算： （1） （2） （2） （4）． 【变式训练4-4】（2023秋•福鼎市校级月考）计算下列各题． （1） ； （2）； （2） ； （4）． 【变式训练4-5】（2023秋•忻州期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【易错题型05 有理数的乘法】 【易错题精讲】（2023秋•科左中旗期末）如图，则下列判断正确　　 A． B． C． D． 【变式训练5-1】（2023秋•江阴市期中）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是　　 A．的值为6 B．为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．的值小于3 【变式训练5-2】（2021秋•邹城市期中）如图，有①，②，③，④，⑤五张写着不同数字的卡片，请你从中抽取三张卡片，使其中两张卡片上数字之差与第三张卡片上数字的乘积最小，你抽取的三张卡片应是　　 A．①，②，③ B．②，③，④ C．①，②，⑤ D．②，④，⑤ 【变式训练5-3】．（2023秋•西湖区校级期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． （1）当时，则　 　；当时，则　　． （2）已知，是有理数，当时，试求的值． （3）已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 【变式训练5-4】（2022秋•青岛期中）问题一： 如图1，数轴上的点表示2，点表示5，点表示7，易得，我们记为． （1）现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时还成立吗？若不成立，怎样移动点就能使之成立？ （2）若将数轴的原点向左拖动个单位长度，为了使成立，应该怎样移动点？ （3）若点表示，点表示，点表示，如果，那么仍然有．现将数轴的原点向左拖动个单位长度， ①为了使成立，应该怎样移动点？ ②为了使成立，应该怎样移动点？ 问题二： 如图3，数轴上的点表示，点表示1，点表示5，易得，我们记为． （1）现将数轴的原点向左拖动个单位长度，还成立吗？请说明理由． （2）若点表示，点表示，点表示，当，，满足什么关系时，都能使成立？ 【变式训练5-5】（2023秋•诸城市期中）【课本重现】 在汛期，如果黄河水位每天上升2厘米，那么3天后的水位比今天高多少？ （规定：把今天的水位记为0厘米，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负） 用算式表示为：． （1）如果水位每天下降2厘米，那么3天前的水位比今天高多少？请用算式表示． （2）算式 表示的意义是什么？请写下来． 【挑战自我】 （3）请你结合实例，并借助数轴，说明“两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘．” 【易错题型06 有理数的除法】 【易错题精讲】（2022秋•广州期末）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是和0；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练6-1】（2023秋•中江县月考）下列说法中，正确的有　　 ①零除以任何数都等于零； ②相反数等于它本身的数只有0，倒数等于它本身的数是； ③绝对值相等的两个数一定相等，绝对值不相等的两个数一定不相等； ④一个不等于零的有理数除以它的相反数等于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练6-2】（2021秋•三水区期末）下列说法：①若，则与互为相反数；②若，则与互为相反数；③若，则与互为相反数；④若与互为相反数，则．其中正确的结论是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 【变式训练6-3】（2017秋•东西湖区期中）下列说法：①若，则、互为相反数；②若，且，则；③一个数的立方是它本身，则这个数为0或1；④若，则；⑤若，，，则，其中正确的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练6-4】（2023秋•海曙区期中）类比乘方运算，我们规定：求个相同有理数（均不为的商的运算叫做除方．例如，记作“”，读作“2的引4次商”．一般的，把，，且为整数）记作“”，读作“的引次商”． （1）直接写出计算结果：“” 　　，“” 　　． （2）归纳：负数的引正奇数次商是 　　数，负数的引正偶数次商是 　　数（填“正或负” ； （3）计算： “” “”． 【变式训练6-5】（2021秋•新华区校级期中）已知，． （1）已知，求的值； （2），求的值． 【易错题型07 有理数的乘方】 【易错题精讲】（2023秋•山亭区期末）以下判断：①的倒数是；②若，则的值为2或；③的相反数是2；④平方等于它本身的数只有1和0．其中正确的序号是　　 A．②③④ B．①②④ C．①② D．①③④ 【变式训练7-1】（2022秋•惠民县期末）已知，，且，则的值为　　 A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【变式训练7-2】（（2023秋•嵊州市期末）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有 　 　条． 【变式训练7-3】（（2023秋•江汉区校级月考）记，，，，． （1）计算：； （2）求的值； （3）说明与互为相反数． 【变式训练7-4】（（2023秋•陇县期中）将下列各数填在相应的横线上． ，0.2，0，，，，，，，． 正数 　 负数 　　 ； 非负整数 　　 负分数 　　 ． 【变式训练7-5】（（2023•江北区开学）（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 　　． ．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数．．对于任何正整数，． ．．．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：． 【变式训练7-6】（2023秋•长乐区期中）规定：求个相同的非零有理数的除法运算叫做除方．把记作，读作“的圈次方”，如记作，读作“的圈3次方”． （1）计算：． （2）关于除方，下列说法： ①任何非零有理数的圈3次方都等于它的倒数； ②对于任何正整数，； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 其中正确的是 　 　．（填序号） （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式：　　． （4）利用（3）的结论计算：． 【易错题型08 非负数的性质：偶次方】 【易错题精讲】（2019秋•汉阳区期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的个数是　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式训练8-1】（2023秋•高新区校级月考）为有理数，下列说法正确的是　　 A．为正数 B．为正数 C．为正数 D．为正数 【变式训练8-2】（2023秋•蔡甸区期中）下列说法正确的是 　 　（填写序号）． ①若，则； ②若，且、均为整数，则的最大值是6； ③如图，则图形中阴影部分面积是； ④当式子取最小值时，是． 【变式训练8-3】（2018秋•临颍县期中）当取最小值时，　 　． 44．（2022秋•沙坪坝区校级期中），当　时，有最大值为 　　． 【易错题型09 有理数的混合运算】 【易错题精讲】（2023秋•丰润区期中）在三个小桶中装有数量相同的小球（每个小桶中至少有3个小球），第一次从左边小桶中拿出1个小球放入中间小桶中，第二次从右边小桶中拿出2个小球放入中间小桶中，第三次从中间小桶中拿出一些小球放入左边小桶中，使左边小桶中小球数量是最初的2倍，这时中间小桶中小球的数量为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练9-1】（2023秋•东海县月考）如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） （1）当小明输入3，，这三个数时，这三次输出的结果分别是 　，，　． （2）你认为当输入什么数时，其输出结果是0？　　（任意写一个符合题意的）． （3）有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，他只记得自己输入的是一个绝对值小于5的数，请你判断一下，小明可能输入的是哪些数？请写出所有可能． 【变式训练9-2】．（2021秋•庄浪县期末）计算： （1） （2）． 【变式训练9-3】（2022秋•光明区期中）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出：　　． （2）直接写出下列各式的计算结果：　　； （3）探究并计算：． 【变式训练9-4】（2022秋•襄城县期末）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方，一般地，把记作，读作的圈次方． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：　　，　　． （2）关于除方，下列说法错误的是 　　． ．任意非零数的圈2次方都等于1 ．对于任意正整数，1的圈次方都等于1． ．． ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 （3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式； 　　，　　； Ⅱ．想一想，将一个非零有理数的圈为大于2的正整数）次方写成幂的形式等于 　　； Ⅲ．算一算，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的运算（易错必刷49题9种题型专项训练） 目录 【易错题型01 倒数】 1 【易错题型02 有理数的加法】 3 【易错题型03 有理数的减法】 5 【易错题型04 有理数的加减混合运算】 8 【易错题型05 有理数的乘法】 13 【易错题型06 有理数的除法】 18 【易错题型07 有理数的乘方】 23 【易错题型08 非负数的性质：偶次方】 29 【易错题型09 有理数的混合运算】 32 【易错题型01 倒数】 【易错题精讲】（2023•顺德区校级一模）的倒数是　　 A． B． C．7 D． 【思路点拨】根据互为相反数的两数乘积为1可求解此题． 【规范解答】解：， 的倒数是． 故选：． 【考点评析】此题考查了倒数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【变式训练1-1】（2022秋•沂源县校级期中）一个大于1的正整数，与其倒数，相反数比较，大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据倒数的定义判断出与的大小关系，再根据相反数的定义判断出，然后根据有理数的大小比较进行判断即可． 【规范解答】解：是大于1的正整数， ，， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数的大小比较，倒数和相反数的定义，难点在于判断出与的大小关系，要注意是大于1的正整数． 【变式训练1-2】（2023秋•惠民县期中）一个数的倒数是，则这个数是 　　，这个数的相反数是 　　． 【思路点拨】乘积为1的两个数互为倒数，仅仅只有符号不同的两个数互为倒数，根据定义逐一作答即可． 【规范解答】解：一个数的倒数是，则这个数是， 这个数的相反数是， 故答案为：，． 【考点评析】本题考查的是相反数的含义，倒数的含义，掌握“相反数与倒数的定义”是解本题的关键． 【变式训练1-3】（2022秋•惠民县校级月考）的倒数是 　　，相反数是 　　，绝对值是 　　． 【思路点拨】根据相反数，绝对值以及倒数的定义作答． 【规范解答】解：，的倒数是， 相反数是， 绝对值是． 故答案为：，，． 【考点评析】本题主要考查了倒数、相反数、绝对值的定义．解题的关键是掌握相反数的定义，绝对值的计算法则以及倒数的定义． 【易错题型02 有理数的加法】 【易错题精讲】（2023秋•叙州区期中）下列说法错误的是　　 A．若、互为相反数，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若为有理数，则 【思路点拨】根据相反数、绝对值定义及有理数乘法、加法法则逐项判断． 【规范解答】解：若、互为相反数，则，故正确，不符合题意； 若，，则，故正确，不符合题意； 若，，则，故正确，不符合题意； 若为有理数，则，故错误，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查与有理数相关的概念及运算法则，解题的关键是掌握相反数、绝对值定义及有理数乘法、加法法则． 【变式训练2-1】（2021秋•郏县期中）若，．且，异号，则的值为　　 A． B．2或 C． D．4或2 【思路点拨】根据绝对值的意义，可得，．因为，异号，所以的值有两种情况． 【规范解答】解：，， ，， 又，异号， 当，时，， 当，时，， 故选：． 【考点评析】本题是一道常规题型，要求学生必须熟练掌握绝对值的意义和有理数的加法法则． 【变式训练2-2】（2023秋•海州区月考）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 　|x﹣6|　；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 　|x+3|　． （2）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　5　，满足条件的所有整数x的和为 　﹣9　． （3）请写出当x＝　﹣2　时，|x+2|+|x﹣1|+|x|+|x+4|+|x+3|有最小值为 　8　． （4）规律应用： 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作 　E　处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 　40　米． 【思路点拨】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|计算便可； （2）当x在表示数﹣4与1的两点及两点之间时，|x﹣1|+|x+4|的值最小，求出此时的值便可； （3）根据绝对值的几何意义可知，当x＝﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x|+|x+4|+|x+3|有最小值8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当x＝0时，|x﹣8|+|x﹣6|+|x﹣4|+|x﹣2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|有最小值40； 【规范解答】解：（1）由题意，数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣3）|＝|x+3|． 故答案为：|x﹣6|；|x+3|． （2）由题意，当﹣4≤x≤1时，|x﹣1|+|x+4|取最小值， 其最小值为：|x﹣1|+|x+4|＝1﹣x+x+4＝5， 满足条件的整数x的和为﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1＝﹣9． 故答案为：5，﹣9． （3）由题意，|x+2|+|x﹣1|+|x|+|x+4|+|x+3|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣4，﹣3，﹣2，1所对应的点的距离之和， ∴当x＝﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x|+|x+4|+|x+3|有最小值，最小值为8． 故答案为：﹣2，8． （4）由题意，以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为﹣8，B点表示的数为﹣6，C点表示的数为﹣4，D点表示的数为﹣2，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8． 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当|x﹣8|+|x﹣6|+|x﹣4|+|x﹣2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当x＝0时，|x﹣8|+|x﹣6|+|x﹣4|+|x﹣2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|有最小值40． ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米， 故答案为：E，40． 【考点评析】本题主要考查了有理数的加法、有理数、数轴、绝对值的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【变式训练2-3】（2023秋•汉川市期中）计算：的值为 　612.5　． 【思路点拨】依据题意，将式子变形，再变形后分母是连续几个数的和，进而计算可以得解． 【规范解答】解：由题意，原式 ． 【考点评析】本题主要考查了有理数的运算，解题时要熟练掌握并能灵活变形是关键． 【易错题型03 有理数的减法】 【易错题精讲】（2023秋•商水县期末）有理数，在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①；②；③；④，⑤，正确的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】先根据，在数轴上的位置得到，的符号，以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则及不等式的性质进行判断． 【规范解答】解：根据数轴可得：，且， ，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④错误； ，故⑤正确； 故正确的有3个． 故选：． 【考点评析】本题考查了数轴，有理数的减法以及绝对值，有理数的运算法则及不等式的性质． 【变式训练3-1】（2023秋•碑林区校级月考）已知、、、是有理数，，，且，则　　． 【思路点拨】根据和可知，与符号相反，且，，由此求解即可． 【规范解答】解：，， ． ， 与符号相反，并且，， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查绝对值和有理数的加减法，熟练掌握有关绝对值的运算是本题的关键． 【变式训练3-2】（2021秋•南昌县期中）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为，，的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 　0.8　． 【思路点拨】根据质量的范围求出质量的最大值和最小值，相减即可求出答案 【规范解答】解：质量最小值是， 最大值是， ． 故答案为：0.8． 【考点评析】本题考查了有理数的加减的应用，理解题意能求出质量的最大值和最小值是解此题的关键． 【变式训练3-3】（2022秋•铁岭期中）北京与西班牙的时差为7个小时．比如，北京时间中午12点是西班牙的凌晨5点，2022年2月4日晚8时北京冬奥会开幕式正式开始，在西班牙留学的嘉琪准时观看了直播，直播开始的当地时间为2月 　4　日 　　时． 【思路点拨】根据北京与西班牙的时差为7个小时，进行计算即可解答． 【规范解答】解：晚8时时， 由题意得： （时， 直播开始的当地时间为2月4日13时， 故答案为：4；13． 【考点评析】本题考查了有理数的减法，根据题意列出算式是解题的关键． 13．（2022秋•丰台区校级期中）已知，，，则　9或3　． 【思路点拨】先利用绝对值性质求出，，再根据，选择，的取值，最后算出差． 【规范解答】解：，， ，， ， ①，，， ②，，， 为9或3， 故答案为：9或3． 【考点评析】本题考查有理数减法、绝对值，掌握有理数减法法则和绝对值性质是解题关键． 【变式训练3-4】（2021秋•南阳期末）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段 问题 （1）数轴上点、代表的数分别为和1，则线段　10　； （2）数轴上点、代表的数分别为和，则线段　　； （3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为，求． 【思路点拨】（1）根据点、代表的数分别为和1，可得线段； （2）根据点、代表的数分别为和，可得线段； （3）根据一个点表示的数为2，另一个点表示的数为，即可得到． 【规范解答】解：（1）点、代表的数分别为和1， 线段； 故答案为：10； （2）点、代表的数分别为和， 线段； 故答案为：3； （3）由题可得，， 解得或7， 值为或7． 【考点评析】此题考查了有理数的减法，数轴以及两点间的距离，弄清题意是解本题的关键． 【易错题型04 有理数的加减混合运算】 【易错题精讲】（2023秋•唐县期末）把写成省略括号的代数和的形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号． 【规范解答】解：根据去括号的原则可知：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查有理数的加减混合运算，主要考查去括号运算，掌握去括号的方法便可解决问题． 【变式训练4-1】（2023秋•开封期末）某快递员骑电动车送快递，某天在一条东西方向的路上行驶，从地出发，约定向东走为正，当天的行走记录如下（单位千米） ，，，，，，，，，，，，． （1）收工时，快递员在地的哪个方向？求此时快递员与地的距离； （2）若电动车每千米耗电0.02度，求该天共耗电多少度． 【思路点拨】（1）求出他行驶路程的代数和即可； （2）先求得各数的绝对值的和，再乘以0.02即可． 【规范解答】解：（1）（千米）， 答：收工时，快递员在地的东边，距离地20千米； （2）（千米）， （度， 答：该天共耗电1.2度． 【考点评析】本题主要考查正负数的意义和有理数的加减法，需要注意的是行走的路程是各数的绝对值之和． 【变式训练4-2】（2023秋•青秀区校级月考）蔬菜商店以每筐48元的价格从农场购进8筐白菜，若以每筐白菜净重25千克为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，稳重后记录如下：，，，，，，，． （1）这8筐白菜一共重多少千克？ （2）若把这些白菜全部以零售的形式卖掉，商店计划共获利，那么蔬菜商店在销售过程中白菜的单价应定为每千克多少元？ （3）如果平均每天的白菜销售量相同，商店以（2）中的单价售完所有白菜的一半时恰好用了3天时间，现决定降价促销把剩余的白菜按原价的八折销售完，这样平均每天可比原来多售出16千克，请通过计算说明商店在整个白菜销售过程中共需要几天？并计算商店共盈利或亏损多少元？ 【思路点拨】（1）先算出总的是超过还是不足多少千克，然后8筐的总重量即可； （2）设白菜的单价应定为每千克元，先求出每筐的重量，根据利润售价进价，列出方程，求出答案即可； （3）设整个白菜销售过程中共需要天，求出原每天销售量，根据原每天销售量实际每天销售量，列出方程，解方程，再求出白菜原计划的卖的总钱数和实际卖的总钱数，进行解答即可． 【规范解答】解：（1）由题意得： （千克）， （千克）， 答：这8筐白菜一共重192千克； （2）设蔬菜商店在销售过程中白菜的单价应定为每千克元，列方程得： ， ， ， （元， 答：蔬菜商店在销售过程中白菜的单价应定为每千克大约2.8元． （3）设商店在整个白菜销售过程中共需要天，由题意列方程得： ， ， ， ， 商店在整个白菜销售过程中共需要4天， （元， （元， 该商店盈利了， 盈利的钱数为：（元 答：商店在整个白菜销售过程中共需要4天，商店共盈利99.84元． 【考点评析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练理解题意，找出等量关系，列出方程． 【变式训练4-3】（2023秋•市中区校级月考）计算： （1） （2） （3） （4）． 【思路点拨】首先化简各题，再分类计算得出答案即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点评析】此题考查有理数的加减混合运算，注意化简，利用同号、互为相反数的运算分类． 【变式训练4-4】（2023秋•福鼎市校级月考）计算下列各题． （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】原式利用加法法则计算即可得到结果，有时利用加法结合律进行简便运算． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点评析】本题考查有理数加减混合运算，注意：先将减法化为加法，分数和小数混合运算时，统一化为分数或小数进行计算． 【变式训练4-5】（2023秋•忻州期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【思路点拨】根据题意用拆项法把原式化为计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 【考点评析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握把有理数加减法统一成加法，巧妙的运用拆项法、加法的交换律与结合律进行计算是解题关键． 【易错题型05 有理数的乘法】 【易错题精讲】（2023秋•科左中旗期末）如图，则下列判断正确　　 A． B． C． D． 【思路点拨】．根据有理数的加法运算法则计算即可； ．根据“数轴上右边的数都比左边的数大”判断即可； ．根据与的大小关系作答即可； ．根据有理数的乘法运算法则判断即可． 【规范解答】解：，，， ， 正确，符合题意； 由数轴可知，， 不正确，不符合题意； ， ， 不正确，不符合题意； ，， ， 不正确，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查数轴和有理数的加法、减法及乘法，熟练掌握它们的运算法则是本题的关键． 【变式训练5-1】（2023秋•江阴市期中）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是　　 A．的值为6 B．为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．的值小于3 【思路点拨】设的十位数字是，个位数字是，列出符合条件的方程组即可求解； 【规范解答】解：如图，设的十位数字是，个位数字是， ， ，， 乘积结果可以表示为． ，，正确，错误． 故选：． 【考点评析】本题考查新定义，三元一次方程组；能够理解新定义，的结果用各位数字正确表示出来是解题的关键． 【变式训练5-2】（2021秋•邹城市期中）如图，有①，②，③，④，⑤五张写着不同数字的卡片，请你从中抽取三张卡片，使其中两张卡片上数字之差与第三张卡片上数字的乘积最小，你抽取的三张卡片应是　　 A．①，②，③ B．②，③，④ C．①，②，⑤ D．②，④，⑤ 【思路点拨】要使乘积最小，那积一定是负数；这5个数中，有两个正数，两个负数，一个0，要使乘积最小，必须有一个负数，并且它的绝对值比另一个负数的绝对值大，故第三张卡片数字选；另外两张卡片数字之差要最大，故选4与． 【规范解答】解：，．故选：． 【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加减乘除运算是解题的关键． 【变式训练5-3】（2023秋•西湖区校级期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． （1）当时，则　1　；当时，则　　． （2）已知，是有理数，当时，试求的值． （3）已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 【思路点拨】（1）直接将，代入求出答案； （2）分别利用，或，分析得出答案； （3）根据、、是非零有理数，且，利用分类讨论的方法可以求得所求式子的值． 【规范解答】解：（1）当时，； 当时，； 故答案为：1；． （2）若，是有理数，当时，分两种情况： 当，时， ， 当，时， ． 当时，的值为； （3）， ，，， ， 当、、同为正数时，，，不满足条件； 当、、为两正一负时，满足条件，不妨设，，， ； 当、、为两负一正时，，不满足条件； 当、、同为负数时，不满足条件， 综上，的值为：． 【考点评析】本题主要考查了绝对值，掌握分类讨论是关键． 【变式训练5-4】（2022秋•青岛期中）问题一： 如图1，数轴上的点表示2，点表示5，点表示7，易得，我们记为． （1）现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时还成立吗？若不成立，怎样移动点就能使之成立？ （2）若将数轴的原点向左拖动个单位长度，为了使成立，应该怎样移动点？ （3）若点表示，点表示，点表示，如果，那么仍然有．现将数轴的原点向左拖动个单位长度， ①为了使成立，应该怎样移动点？ ②为了使成立，应该怎样移动点？ 问题二： 如图3，数轴上的点表示，点表示1，点表示5，易得，我们记为． （1）现将数轴的原点向左拖动个单位长度，还成立吗？请说明理由． （2）若点表示，点表示，点表示，当，，满足什么关系时，都能使成立？ 【思路点拨】问题一：（1）根据将数轴的原点向左拖动1个单位长度则点表示3，点表示6，点表示8即可解答； （2）根据（1）中各数值的变化即可得出结论； （3）①根据原点向左移动就是数轴向左移动解答； ②根据（2）中的结论即可解答． 问题二：（1）当数轴的原点向左拖动个单位长度时，则点表示，点表示，点表示，再代入检验即可； （2）根据点表示，点表示1，点表示5，易得即可得出结论． 【规范解答】解：问题一：（1）不成立． 将数轴的原点向左拖动1个单位长度则点表示3，点表示6，点表示8， 不成立． 把点向右移动一个单位长度时，成立； （2）由（1）可知，将数轴的原点向左拖动个单位长度，为了使成立，应该把点向右移动个单位长度； （3）①点表示，点表示，点表示，，． 将数轴的原点向左拖动个单位长度，若成立，则将点向右移动个单位长度； ②若成立，则点应该向左移动个单位长度． 问题二：（1）成立． 数轴上的点表示，点表示1，点表示5， 将数轴的原点向左拖动个单位长度时，点表示，点表示，点表示， ，与， 成立； （2）由（1）可知，点表示，点表示，点表示，当时，都能使成立． 【考点评析】本题考查的是数轴，数轴数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 【变式训练5-5】（2023秋•诸城市期中）【课本重现】 在汛期，如果黄河水位每天上升2厘米，那么3天后的水位比今天高多少？ （规定：把今天的水位记为0厘米，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负） 用算式表示为：． （1）如果水位每天下降2厘米，那么3天前的水位比今天高多少？请用算式表示． （2）算式 表示的意义是什么？请写下来． 【挑战自我】 （3）请你结合实例，并借助数轴，说明“两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘．” 【思路点拨】（1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）根据把今天的水位记为0厘米，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负表示出意义即可； （3）根据把今天的水位记为0厘米，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负，结合实例阐述即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得：， 答：3天前的水位比今天高6厘米； （2）算式 表示的意义是：水位每天下降2厘米，那么3天后的水位比今天高厘米； （3）表示的意义是：水位每天下降2厘米，那么3天前的水位比今天高6厘米． 【考点评析】此题考查了有理数的乘法，正数和负数，数轴，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键． 【易错题型06 有理数的除法】 【易错题精讲】（2022秋•广州期末）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是和0；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据有理数的除法，绝对值的性质，倒数性质，有理数的加法法则依次判断即可． 【规范解答】解：没有倒数， ①错误． ， ，， ②错误． ，且， ，． ， ． ③正确． ， ， ④正确， ， ，，． 正确． ⑤正确． 故选：． 【考点评析】本题考查有理数除法，绝对值，倒数，有理数的加法，正确掌握相关法则是求解本题的关键． 【变式训练6-1】（2023秋•中江县月考）下列说法中，正确的有　　 ①零除以任何数都等于零； ②相反数等于它本身的数只有0，倒数等于它本身的数是； ③绝对值相等的两个数一定相等，绝对值不相等的两个数一定不相等； ④一个不等于零的有理数除以它的相反数等于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】逐项分别判断正误即可． 【规范解答】①零除以任何不为零的数都等于零， ①不正确． ②相反数等于它本身的数只有0，倒数等于它本身的数是， ②正确． ③绝对值相等的两个数相等或相反数，绝对值不相等的两个数一定不相等， ③不正确． ④一个不等于零的有理数除以它的相反数等于， ④正确． 综上，②④正确． 故选：． 【考点评析】本题考查有理数的除法，相反数、绝对值和倒数，掌握并灵活运用它们的性质是本题的关键． 【变式训练6-2】（2021秋•三水区期末）下列说法：①若，则与互为相反数；②若，则与互为相反数；③若，则与互为相反数；④若与互为相反数，则．其中正确的结论是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 【思路点拨】根据有理数的除法，相反数，有理数的加法，有理数的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：①若，则与至少有一个是0，故①不正确； ②若，则与互为相反数，故②正确； ③若，则与互为相反数，故③正确； ④若与互为相反数且，则，故④不正确； 所以，上列说法中，其中正确的结论是②③， 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数的除法，相反数，有理数的加法，有理数的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式训练6-3】（2017秋•东西湖区期中）下列说法：①若，则、互为相反数；②若，且，则；③一个数的立方是它本身，则这个数为0或1；④若，则；⑤若，，，则，其中正确的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】先去分母，变形后根据相反数的定义即可判断①；先确定、是负数，再求出，根据绝对值的性质判断②即可；根据立方根的性质判断③即可；取，分别求出和的值，再判断④即可；先求出，再判断⑤即可． 【规范解答】解：， ， ， 即、互为相反数，故①正确； ，且， 、都是负数， ， ，故②正确； 一个数的立方是它本身，则这个数为0或1或，故③错误； ， 取， 则，， ，故④错误； ， 、同号， ，， 、都是负数， ，故⑤正确； 即正确的个数是3个， 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数的加法、乘法、除法，倒数，绝对值，相反数等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 【变式训练6-4】（2023秋•海曙区期中）类比乘方运算，我们规定：求个相同有理数（均不为的商的运算叫做除方．例如，记作“”，读作“2的引4次商”．一般的，把，，且为整数）记作“”，读作“的引次商”． （1）直接写出计算结果：“” 　4　，“” 　　． （2）归纳：负数的引正奇数次商是 　　数，负数的引正偶数次商是 　　数（填“正或负” ； （3）计算： “” “”． 【思路点拨】（1）根据除方的定义计算即可； （2）由除方的定义即可得到结论； （3）根据除方的定义计算即可． 【规范解答】解：（1）“” ，“” ． 故答案为：4，． （2）根据除方的定义可知，负数的引正奇数次商是负数，负数的引正偶数次商是正数． 故答案为：负，正． （3） “” “” ． 【考点评析】本题考查有理数的乘法和除法，熟练进行有理数的乘除法运算是本题的关键． 【变式训练6-5】（2021秋•新华区校级期中）已知，． （1）已知，求的值； （2），求的值． 【思路点拨】（1）根据，求出，，再根据，可知、为异号，分两种情况讨论，分别计算结果； （2）在（1）的基础上，根据，判断，分两种情况讨论，分别计算结果． 【规范解答】解：（1），， ，， ， ①，， ； ②，， ； 综上所述：； （2）， ， ①，， ， ②，， ， 综上所述：或5． 【考点评析】本题主要考查了有理数的除法、加法、减法、绝对值、，掌握有理数的除法、加法、减法法则及绝对值的性质，根据、这两个条件判断符号是解题关键． 【易错题型07 有理数的乘方】 【易错题精讲】（2023秋•山亭区期末）以下判断：①的倒数是；②若，则的值为2或；③的相反数是2；④平方等于它本身的数只有1和0．其中正确的序号是　　 A．②③④ B．①②④ C．①② D．①③④ 【思路点拨】①先将化为假分数，再求其倒数即可； ②直接去绝对值符号求的值即可； ③根据相反数的定义求的相反数即可； ④将这个数设为未知数，根据题意列方程并求解即可． 【规范解答】解：①，它的倒数是， ①正确； ②， 或2， ②正确； ③的相反数是， ③不正确； ④设这个数为， 根据题意，得， 经整理，得， 解得或1， ④正确； 综上，①②④正确， 故选：． 【考点评析】本题考查相反数等，掌握相关定义是本题的关键． 【变式训练7-1】（2022秋•惠民县期末）已知，，且，则的值为　　 A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【思路点拨】直接利用绝对值的性质以及平方的性质得出，的值，进而得出答案． 【规范解答】解：，， ，， ， ， 当，时，； 当，时，； 综上所述：或． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了绝对值，有理数的加法，减法和平方，正确得出，的值是解题关键． 【变式训练7-12（（2023秋•嵊州市期末）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有 　127　条． 【思路点拨】根据前三次对折结果对第次对折后得到的折痕条数进行猜想、归纳． 【规范解答】解：第一次对折后可得到的折痕条数为：； 第二次对折后可得到的折痕条数为：； 第三次对折后可得到的折痕条数为：； 第次对折后可得到的折痕条数为：； ， 第7次对折后可得到的折痕条数为：， 故答案为：127． 【考点评析】此题考查了图案规律问题的解决能力，关键是能准确猜想、归纳出第次对折后可得到的折痕条数的规律． 【变式训练7-13（（2023秋•江汉区校级月考）记，，，，． （1）计算：； （2）求的值； （3）说明与互为相反数． 【思路点拨】（1）（2）根据，分别将的值代入进行计算即可； （3）证明即可． 【规范解答】解：（1）； （2）； （3）， 与互为相反数． 【考点评析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法法则是本题的关键． 【变式训练7-4】（（2023秋•陇县期中）将下列各数填在相应的横线上． ，0.2，0，，，，，，，． 正数 　0.2，，，　； 负数 　　； 非负整数 　　； 负分数 　　． 【思路点拨】根据有理数的分类归类即可． 【规范解答】解：正数为：0.2，，，； 负数为：，，，，； 非负整数为：0，，； 负分数为：，，． 故答案为：0.2，，，；，，，，；0，，；，，． 【考点评析】本题考查有理数的乘方、相反数和绝对值，掌握有理数的分类是本题的关键． 【变式训练7-5】（（2023•江北区开学）（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 　　． ．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数．．对于任何正整数，． ．．．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：． 【思路点拨】（1）根据除方的运算规定，分别计算判断即可； （2）根据除方的运算规定，按照有理数混合运算的顺序和运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：（1）设，， 正确，不符合题意； 个1相除结果为1， 正确，不符合题意； ，， 错误，符合题意； 奇数个负数相除结果为负数，偶数个负数相除结果为正数， 正确，不符合题意． 故选：． （2） ． 【考点评析】本题考查有理数的乘方等，掌握它的运算法则是解题的关键． 【变式训练7-6】（2023秋•长乐区期中）规定：求个相同的非零有理数的除法运算叫做除方．把记作，读作“的圈次方”，如记作，读作“的圈3次方”． （1）计算：． （2）关于除方，下列说法： ①任何非零有理数的圈3次方都等于它的倒数； ②对于任何正整数，； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 其中正确的是 　①③④　．（填序号） （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式：　　． （4）利用（3）的结论计算：． 【思路点拨】（1）按照新定义的运算方法进行求解； （2）运用新定义运算方法进行逐一计算、辨别； （3）运用新定义运算方法进行计算推导； （4）运用新定义运算和第（3）题结论进行计算． 【规范解答】解：（1）由题意得， ； （2）当时， ， 说法①正确； 当是偶数时，， 当是奇数时，， 说法②不正确； ， ， ， 说法③正确； 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 说法④正确； 故答案为：①③④； （3）当，时， ， 故答案为：； （4） ． 【考点评析】此题考查了乘方方面新定义问题的求解能力，关键是能准确理解并运用该定义和乘方知识进行计算、推导． 【易错题型08 非负数的性质：偶次方】 【易错题精讲】（2019秋•汉阳区期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的个数是　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【思路点拨】根据平方的意义，非负数的意义，相反数的定义，绝对值的意义即可判断． 【规范解答】解：①若时，则，故①错误； ②，，若，则，即，故②正确； ③若，，同时为零，则不存在，故③错误； ④，当，，时，， 当，，时，，故④错误， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了绝对值的意义，非负数的性质，互为相反数的性质，掌握特殊值解题方法是解题的关键． 【变式训练8-1】（2023秋•高新区校级月考）为有理数，下列说法正确的是　　 A．为正数 B．为正数 C．为正数 D．为正数 【思路点拨】利用偶次方具有非负性进行判断，即可得出结论． 【规范解答】解：、是非负数，故原说法错误； 、为正数，故原说法正确； 、为正数或负数或0，故原说法错误； 、为非负数，故原说法错误； 故选：． 【考点评析】此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握任意一个数的偶次方都是非负数． 【变式训练8-2】（2023秋•蔡甸区期中）下列说法正确的是 　②③④　（填写序号）． ①若，则； ②若，且、均为整数，则的最大值是6； ③如图，则图形中阴影部分面积是； ④当式子取最小值时，是． 【思路点拨】①由得，故、、均为正数，或两负一正，故或； ②将其中一个字母用另外一个字母表示出来，代入，得到一个开口向下的一元二次函数，求其最大值即可； ③根据判断即可； ④当时，取最小值，求出此时的值即可． 【规范解答】解：①， ， 、、均为正数，或两负一正． 当、、均为正数时，， 当、、两负一正时，， ①不正确； ②， ， ． 、均为整数， 当或时，取最大值，最大值为， ②正确； ③， ③正确； ④当时，即当时，取最小值，最小值为3， ④正确． 故答案为：②③④． 【考点评析】本题考查偶次方的非负性质，熟练掌握这个性质是解题的关键． 【变式训练8-3】（2018秋•临颍县期中）当取最小值时，　0　． 【思路点拨】根据非负数的性质得到，根据绝对值的性质和相反数的概念解答即可． 【规范解答】解：由题意可知，即，互为相反数． （1）当，时，； （2）当，时，； （3）当，时，原式． 故答案为：0． 【考点评析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是明确互为相反数的两个数除0以外符号一定相反，这是做题时一定要注意的，本题应分情况讨论，再求值． 44．（2022秋•沙坪坝区校级期中），当　　时，有最大值为 　　． 【思路点拨】根据偶次方的非负性进行解答即可． 【规范解答】解：， 当时，有最小值， 当时，，有最大值为2022． 故答案为：，2022． 【考点评析】本题考查了非负数的性质，掌握是解题的关键． 【易错题型09 有理数的混合运算】 【易错题精讲】（2023秋•丰润区期中）在三个小桶中装有数量相同的小球（每个小桶中至少有3个小球），第一次从左边小桶中拿出1个小球放入中间小桶中，第二次从右边小桶中拿出2个小球放入中间小桶中，第三次从中间小桶中拿出一些小球放入左边小桶中，使左边小桶中小球数量是最初的2倍，这时中间小桶中小球的数量为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】设三个小桶中原来各装有个小球，第三次从中间小桶中拿出个小球，然后根据题意可得，从而可得：，进而可得这时中间小桶中小球的数量，最后进行计算即可解答． 【规范解答】解：设三个小桶中原来各装有个小球，第三次从中间小桶中拿出个小球，则 第一次：左边小桶有个小球，中间小桶有个小球，右边小桶有个小球； 第二次：左边小桶有个小球，中间小桶有个小球，右边小桶有个小球； 第三次：左边小桶有个小球，中间小桶有个小球，右边小桶有个小球； 由题意得：， 解得：， 这时中间小桶中小球的数量（个， 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式训练9-1】（2023秋•东海县月考）如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） （1）当小明输入3，，这三个数时，这三次输出的结果分别是 　，，　． （2）你认为当输入什么数时，其输出结果是0？　　（任意写一个符合题意的）． （3）有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，他只记得自己输入的是一个绝对值小于5的数，请你判断一下，小明可能输入的是哪些数？请写出所有可能． 【思路点拨】（1）根据“有理数转换器”分别进行计算，即可解答； （2）因为输出结果是0，0没有倒数，而0的相反数是0，0的绝对值是0，所以当输入5的正整数倍和0时，输出结果为0，即可解答； （3）设输入的数为，然后分三种情况：当时；当时；当时；从而按照“有理数转换器”分别进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）， 当输入3时，， 的相反数是2，2的倒数为， 当输入3时，输出的结果为； ， 当输入时，的相反数是4，4的倒数为， 当输入时，输出的结果为； ， 当输入时，的相反数是，的绝对值是， 当输入时，输出的结果为； 当小明输入3，，这三个数时，这三次输出的结果分别是，，， 故答案为：，，； （2）输出结果是0，0没有倒数，而0的相反数是0，0的绝对值是0， 当输入5的正整数倍和0时，输出结果为0， 输入的数为0或为正整数）， 故答案为：0（答案不唯一）； （3）输出的结果是2， 设输入的数为， 分三种情况： 当时，，的相反数是，的倒数为， ，解得：； 当时，的相反数是，， ； 当时，的相反数是，， 解得：； 综上所述：小明可能输入的是，2或． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，理解“有理数转换器”是解题的关键． 【变式训练9-2】．（2021秋•庄浪县期末）计算： （1） （2）． 【思路点拨】（1）根据有理数的运算法则，先算乘除，然后计算加减，即可得出结果． （2）根据有理数的运算法则先算乘方，然后计算乘除，最后求和即可得出答案． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 【考点评析】题目考查了有理数的混合运算，解决此类问题的关键是掌握有理数混合运算的法则，题目整体较为简单，适合随堂训练． 【变式训练9-3】（2022秋•光明区期中）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出：　　． （2）直接写出下列各式的计算结果：　　； （3）探究并计算：． 【思路点拨】（1）根据已知的等式，从数字找规律，即可解答； （2）利用得出的规律变形，进行计算即可解答； （3）按照（2）的思路，将原式转化成，进行计算即可解答． 【规范解答】解：（1）由题意得： ， 故答案为：； （2）由题意得： ， 故答案为：； （3）由题意得： ． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，从数字找规律是解题的关键． 【变式训练9-4】（2022秋•襄城县期末）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方，一般地，把记作，读作的圈次方． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：　　，　　． （2）关于除方，下列说法错误的是 　　． ．任意非零数的圈2次方都等于1 ．对于任意正整数，1的圈次方都等于1． ．． ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 （3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式； 　　，　　； Ⅱ．想一想，将一个非零有理数的圈为大于2的正整数）次方写成幂的形式等于 　　； Ⅲ．算一算，求的值． 【思路点拨】（1）认真读懂题意，按照新定义计算即可； （2）按照新定义判断； （3）Ⅰ．认真读懂题意，按照新定义计算； Ⅱ．按照新定义归纳总结，得出结论； Ⅲ．按照新定义计算． 【规范解答】解：（1），， 故答案为：，； （2）任意非零数的圈2次方都等于1，选项正确； 对于任意正整数，1的圈次方都等于1，选项正确； ，，，选项错误； 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，选项正确， 故选：； （3）Ⅰ，； 故答案为：，； Ⅱ．一个非零有理数的圈为大于2的正整数）次方写成幂的形式等于； 故答案为：； Ⅲ ． 【考点评析】本题考查了有理数混合运算的新定义，解题的关键是读懂题意，利用新定义解决问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$