专题01 有理数（易错、好题必刷题35题6种题型）（期中专项训练）七年级数学上学期新教材青岛版

专题01 有理数（易错必刷35题6种题型专项训练） 目录 【易错题型01 正数和负数】 1 【易错题型02 有理数】 5 【易错题型03 数轴】 9 【易错题型04 相反数】 15 【易错题型05 绝对值】 17 【易错题型06 有理数大小比较】 21 【易错题型01 正数和负数】 【易错题精讲】（2024•罗湖区校级模拟）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上记作，则表示气温为　　 A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【易错点拨】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 【规范解答】解：若气温为零上记作，则表示气温为零下． 故选：． 【考点评析】此题主要考查正负数的意义，关键是理解正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 【变式训练1-1】（2024•九龙坡区自主招生）正式排球比赛对所用的排球重量是有严格规定的，现检查4个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果为：第一个克，第二个为克，第三个为克，第四个为克，则哪个排球质量最好　　 A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【易错点拨】根据题意，可以比较各个数的绝对值的大小，从而可以解答本题． 【规范解答】解：， 第三个排球质量最好． 故选：． 【考点评析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确题意，掌握绝对值的意义． 【变式训练1-2】（2023秋•博尔塔拉州期末）国庆节上午，出租车司机小王在东西走向的锦绣大道上拉客，如果规定向东为正，向西为负，小王这天上午出车12次的行车情况如下：（单位： ，，，，，，，，，，，． （1）最后一个乘客下车时，小王离上午出发时的地点多少，此时车头朝哪个方向？ （2）若每千米耗油0.2升，每升汽油8元钱，问上午共耗油多少钱？ 【易错点拨】（1）将这12个数相加，其绝对值为离上午出发时的地点的距离，符号为车头的朝向； （2）计算这12个数的绝对值之和，得到上午总的行车路程，根据耗油费用路程每千米耗油量每升汽油价格计算即可． 【规范解答】解：（1）， 最后一个乘客下车时，小王离上午出发时的地点，此时车头朝东； （2）， （元， 上午共耗油112元． 【考点评析】本题考查正数和负数，理解正负号在具体环境中的意义是解题的关键． 【变式训练1-3】（2022秋•历城区期末）小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 增减产值 （1）根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具 　23　个； （2）根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具 　　个； （3）该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每日计件工资制”或“每周计件工资制”．小颖本周应选择哪种工资形式更合算？请说明理由． 【易错点拨】（1）根据记录可知，小颖星期二生产玩具（个； （2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可； （3）每日计件工资制：先计算每天的工资，再相加即可求解；每周计件工资制：用基本工资加上奖励工资即可求出本周工资，然后再比较即可． 【规范解答】解：（1）小颖星期二生产玩具（个； 故答案为：23； （2）本周实际生产玩具：（个； 故答案为：191； （3）每日计件工资制： （元， 每日计件工资制，小颖本周的工资总额是1000元； 每周计件工资制： （元， 每周计件工资制，小颖本周的工资总额是988元； ， “每日计件工资制”更合算． 【考点评析】本题考查了正数与负数，有理数的混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． 【变式训练1-4】（2022秋•沙洋县期中）某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶纪录如下（单位：千米），，，，，，， （1）在岗亭哪个方向？距岗亭多远？ （2）若摩托车行驶10千米耗油0.4升，且最后返回岗亭，这时摩托车共耗油多少升？ 【易错点拨】（1）把所有行驶记录相加，再根据正数和负数的意义解答； （2）求出所有行驶记录和距离岗亭的绝对值的和，然后除以10乘0.4计算即可得解． 【规范解答】解：（1） （千米）． 答：在岗亭南方，距岗亭14千米； （2） 千米， 升． 答：最后返回岗亭，这时摩托车共耗油3.28升． 【考点评析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，（2）要注意最后需返回岗亭． 【变式训练1-5】（2023秋•德宏州期末）某自行车厂7天计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因，无法按计划生产，如表是这7天的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆） 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 （1）根据记录可知前2天共生产自行车 　202　辆； （2）自行车产量最多的一天比产量最少的一天多生产 　　辆； （3）该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车，厂方付给工人工资50元，超额完成计划任务的，每超产一辆奖励20元，没有完成计划任务的，每减产一辆扣25元，则该厂工人这7天的工资总额是多少？ 【易错点拨】（1）计算出这一周前2天超产或减产量，得到答案； （2）计算产量最多的一天与产量最少的一天的差即可； （3）根据题意求和，再进行计算即可． 【规范解答】解：（1）（辆，（辆， 前2天共生产自行车202辆； 故答案为：202； （辆， 产量最多的一天比产量最少的一天多生产22辆自行车； 故答案为：22； （3）依题意得： 这7天的自行车产量与计划产量的差为：， 该厂工人这7天的自行车产量为：（辆 （元， 答：该厂工人这7天的工资总额是34450元． 【考点评析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，正确列出算式并掌握相关运算法则． 【易错题型02 有理数】 【易错题精讲】（2023春•南岗区校级期中）下列说法正确的是　　 A．整数包括正整数和负整数 B．零是整数，但不是正数，也不是负数 C．分数包括正分数、负分数和零 D．有理数不是正数就是负数 【易错点拨】根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：、整数包括正整数，负整数和0，故不符合题意； 、零是整数，但不是正数，也不是负数，故符合题意； 、分数包括正分数和负分数，故不符合题意； 、有理数不是正数就是负数或0，故不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数，正数和负数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【变式训练2-1】（2022秋•新吴区校级期中）下列各数：（相邻两个1之间的0的个数逐次增加）其中有理数的个数是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【易错点拨】有限小数和无限循环小数是有理数；有理数是整数与分数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【规范解答】解：0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 0.56是有限小数，属于有理数； ，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加）是无理数， 所以有理数有4个． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了有理数和无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【变式训练2-2】（2022秋•龙岩期中）将八个数，，，，，9.2，0，8．填入图中相应的集合圈内，则填入两圆公共部分区域和的数的和为　　 A． B． C．8 D．3.6 【易错点拨】根据题意可得区域的数是负整数，有：，；区域的数是正整数，有：8，然后进行计算即可解答． 【规范解答】解：区域的数是负整数，有：，； 区域的数是正整数，有：8， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【变式训练2-3】（2023秋•南岗区月考）在，0.2，，3，0，，中，负分数有　，　，非负整数有　　． 【易错点拨】依据题意，根据负分数、非负整数的性质进行判断可以得解． 【规范解答】解：由题意，在，0.2，，3，0，，中，负分数有，，非负整数有3，0． 故答案为：，；3，0． 【考点评析】本题主要考查了有理数的分类，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【变式训练2-4】（2023秋•东莞市月考）在数，0.275，2，0，，，，，中，负数有 　，，，　，负分数有 　　，非负整数有 　　． 【易错点拨】根据负数，负分数，非负整数的意义，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：在数，0.275，2，0，，，，，中， 负数有，，，； 负分数有，； 非负整数有，2，0； 故答案为：，，，；，；，2，0． 【考点评析】本题考查了有理数，正数和负数，熟练掌握这是数学概念是解题的关键． 【变式训练2-5】（2023秋•阿城区月考）把下列各数填在相应的大括号内． ，9，，0，，，，6 正整数集合：　9，6　 负分数集合：　　 【易错点拨】按照有理数的分类进行归类即可． 【规范解答】解：正整数分别是9，6； 负分数分别是，，． 故答案为：9，6； ，，． 【考点评析】本题考查有理数，掌握它的分类是本题的关键． 【变式训练2-6】（2023秋•小店区校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号里：，4.3，0，，，， 分数集合：　，4.3，，　； 负数集合：　　； 非负整数集合：　　． 【易错点拨】根据分数，负数，非负整数的意义直接把数据分类即可． 【规范解答】解：分数集合：，4.3，，； 负数集合：，，，； 非负整数集合：，． 故答案为：，4.3，，；，，，；0，． 【考点评析】本题考查了有理数，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键． 【变式训练2-7】（2023秋•莎车县校级月考）把下列各数写在相应的集合里： ，10，，0，，，0.001，，，，，200． 正数集合： 　10，，0.001，，，，200　； 负数集合： 　　； 分数集合： 　　； 整数集合： 　　； 正整数集合： 　　． 【易错点拨】根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：正数集合：，，0.001，，，，； 负数集合：，，，； 分数集合：，，，0.001，，，； 整数集合：，10，0，，； 正整数集合：，； 故答案为：10，，0.001，，，，200； ，，，； ，，，0.001，，，； ，10，0，，200； 10，200． 【考点评析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【易错题型03 数轴】 【易错题精讲】（2023秋•平舆县期中）如图，数轴上点，，分别表示数，，，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确结论的序号是　　 A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【易错点拨】根据数轴，可得，，据此逐项判定即可． 【规范解答】解：①，， ， ①错误； ②， ， ②正确； ③， ， ③正确； ④，， ， ④正确． 正确的有②③④． 故选：． 【考点评析】本题考查了数轴．解题的关键是熟练掌握数轴的特征和运用，以及有理数的运算． 【变式训练3-1】（2023秋•铜官区校级期中）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母、、、，如图2，先让圆周上表示的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是　　 A． B． C． D． 【易错点拨】根据题意可以得到字母、、、为一个循环，从而可以得到数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母． 【规范解答】解：由题意可得， 与对应，与对应，与对应，与对应， ， 数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是， 故选：． 【考点评析】本题考查数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式训练3-2】（2023秋•龙海区校级月考）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则　1或7　． 【易错点拨】设经过秒，可得，，，得出，根据的值在某段时间内不随着的变化而变化，令的系数为0，即可求解． 【规范解答】解：，， ，， 点对应数为，点对应数为5， 设经过秒，则，，， 当时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化， 当时， ， 当，即时，不随发生改变， 故为1或7． 故答案为：1或7． 【考点评析】本题考查了数轴上两点距离，整式的加减无关类型，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式训练3-3】（2024•峰峰矿区三模）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数　　的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数　　的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的，两点也重合，且，两点之间的距离为10（点在点的左侧），求，两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点，设点表示的数为．当时，直接写出的值． 【易错点拨】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数为原点，由此可得结论； （2）先根据中点坐标公式得折叠点对应的数为2； ①设9表示的点所对应点表示的数为，根据中点坐标公式列方程可得的值，可得结论； ②根据折叠的性质可得结论； ③根据列出方程，求解方程可得出的值． 【规范解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与重合，折叠点对应的数为， 则表示4的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，折叠点对应的数为， ①设表示9的点与表示的点重合，于是有，解得， 即表示9的点与表示的点重合； 故答案为：； ②点表示的数为， 点表示的数为， 答：点表示的数是，点表示的数是7； ③， ， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，的值为或8． 【考点评析】本题考查数轴表示数的意义和方法，知道数轴上两个数的中点所表示数的计算方法是解决问题的关键． 【变式训练3-4】（2023秋•顺义区期末）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”． 例如，数轴上点，，所表示的数分别为1，4，5，此时点是点，的“三倍点”． （1）点表示的数是，点表示的数是2，下列各数1，4，6，8所对应的点分别是，，，，其中是点，的“三倍点”的是 　、　； （2）点表示的数是，点表示的数是14，为数轴上一个动点，若点是点，的“三倍点”，求点表示的数． 【易错点拨】（1）根据“三倍点”的新定义，逐步计算即可； （2）根据“三倍点”的新定义，假设点在点的左侧，点在点的右侧和点在点、的两点之间三种情况，分别进行讨论，即可． 【规范解答】解：（1）点表示的数是，点表示的数是2，点为1， ，， 是、的“三倍点”； 点表示的数是，点表示的数是2，点为4， ，， 是、的“三倍点”； 点表示的数是，点表示的数是2，点为6， ，， 不是、的“三倍点”； 点表示的数是，点表示的数是2，点为8， ，， 不是、的“三倍点”； 故答案为：、． （2）若点在点的左侧，且点是点，的“三倍点”，设点表示的数为， 则有：，， 解得：； 若点在点的右侧，且点是点，的“三倍点”，设点表示的数为， 则有：，， 解得：； 若点在点、的两点之间，且点是点，的“三倍点”，设点表示的数为， 则有：或，或， 解得：或， 故答案为：或或或． 【考点评析】本题考查的是数轴和一元一次方程的求解，解题的关键是读懂新定义与灵活运用分类讨论的思想． 【变式训练3-5】（2021秋•邗江区期中）已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“好点”． （1）若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； （2）①若点运动到原点时，此时点　不是　关于的“好点”（填是或者不是）； ②若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； （3）若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【易错点拨】（1）根据点到点的距离等于点到点的距离即可得到结论； （2）①先根据数轴上两点的距离表示出和的长，再根据好点的定义即可求解； ②根据题意可得，，再根据好点的定义即可求解； （3）分五种情况进行讨论：当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时，分别代入计算即可． 【规范解答】解：（1）数轴上两点，对应的数分别为和4， ， 点到点、点的距离相等， 为的中点， ， 点表示的数是； （2）①当点运动到原点时，，， ， 点不是关于的“好点”； 故答案为：不是； ②根据题意可知：设点运动的时间为秒， ，， ， 解得或， 所以点的运动时间为1秒或10秒； （3）根据题意可知：设点表示的数为， 或，，， 分五种情况进行讨论： ①当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； ②当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； ③当点是关于的“好点”时， ， 即或，解得或1（不符合题意，舍去）； ④当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； ⑤当点是关于的“好点”时， ， 即，解得． 综上所述：所有符合条件的点表示的数是：，，，，，． 【考点评析】本题考查了数轴，好点的定义，掌握数轴上两点的距离公式：若点表示，点表示时，． 【易错题型04 相反数】 【易错题精讲】（2021秋•文登区期中）若，互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【易错点拨】直接利用互为相反数的定义分析得出答案． 【规范解答】解：、，互为相反数， 和也是互为相反数，故此选项不符合题意； 、，互为相反数， 和也是互为相反数，故此选项不符合题意； 、，互为相反数， 和也是互为相反数，故此选项不符合题意； 、，互为相反数， 和不是互为相反数，如，，，，和不是互为相反数，故此选项符合题意； 故选：． 【考点评析】此题主要考查了互为相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【变式训练4-1】（2022秋•湖北期末），互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为　　 A．与 B．与 C．与 为正整数） D．与为正整数） 【易错点拨】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断即可． 【规范解答】解：、，互为相反数，则，故错误； 、，互为相反数，则，故与不一定互为相反数，故错误； 、，互为相反数，则，故错误； 、，互为相反数，由于是奇数，则与互为相反数，故正确； 故选：． 【考点评析】本题考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，还要熟练掌握互为相反数的两个数的偶数次方相等，奇次方还是互为相反数． 【变式训练4-2】（2024•九台区三模）下列各对数中，互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【易错点拨】先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可． 【规范解答】解：、，，不是相反数，故此选项不符合题意； 、，，是相反数，故此选项符合题意； 、，不是相反数，故此选项不符合题意； 、，不是相反数，故此选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了相反数．先化简再求值是解题的关键． 【变式训练4-3】（2021•曲靖模拟）若、互为相反数，则的值为 　　． 【易错点拨】利用相反数的意义求出，代入原式计算即可求出值． 【规范解答】解：因为、互为相反数， 所以， 所以． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键． 【变式训练4-4】．（2023秋•启东市校级月考）已知是的相反数，比最小的正整数大4，是相反数等于它本身的数，则的值是　25　． 【易错点拨】根据正整数、相反数的概念求出，，的值，代入即可得到结果． 【规范解答】解：因为是的相反数，所以； 因为最小的正整数是1，且比最小的正整数大4，所以； 因为相反数等于它本身的数是0，所以， 所以． 故答案为：25． 【考点评析】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键． 【易错题型05 绝对值】 【易错题精讲】（2023秋•嵊州市期末）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如，，则所有“绝对操作”共有　　种不同运算结果． A．7 B．6 C．5 D．4 【易错点拨】添加一个绝对值时：共有4种情况，添加两个绝对值时：共有3种情况，共有7种情况，其中有两种计算结果相同，所以有5种不同结果，故本题应选 【规范解答】添加一个绝对值时：共有4种情况，当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是 ； ； ； ． 当添加两个绝对值时，共有3 种情况，分别是； ； ．共有7种情况；其中两种计算结果相同，所以有5种不同结果． 故选：． 【考点评析】此题考查了利用数轴解决绝对值问题的能力，关键是能准确理解题意，并运用数形结合思想进行讨论、求解． 【变式训练5-1】（2023秋•新宁县期末）如果，且．则下列说法中可能成立的是　　 A．为正数，为负数 B．为正数，为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为负数 【易错点拨】根据不等式及等式，利用特殊值法，验证即得到正确答案． 【规范解答】解：由题目答案可知，，三数中只有两正一负或两负一正两种情况， 如果假设两负一正情况合理， 要使成立， 则必是、、， 否则， 但题中并无此答案，则假设不成立，被否定， 于是应在两正一负的答案中寻找正确答案， 若，为正数，为负数时， 则：， ， 被否定， 若，为正数，为负数时， 则：， ， 被否定， 只有符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查绝对值数及不等式，需要一步步进行推理验证，每一个环节都需要认真推敲． 【变式训练5-2】（2023•合肥三模）已知三个实数，，满足，，则下列结论可能成立的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【易错点拨】根据绝对值的几何性质和有理数的加法意义可知实数在原点一侧，实数和在原点的另一侧可得结果． 【规范解答】解：， 表示实数的点在数轴距离原点最远，表示，的点在数轴上距离原点比要近一些， ， 当在原点右侧时，则，在原点左侧；当在原点左侧时，则，在原点右侧， ，，；或，，， 故答案为：． 【考点评析】． 【变式训练5-3】（2023秋•灌云县校级期中）若，则的值为　　 A．3 B． C．或 D．3或 【易错点拨】首先根据两数相乘，同号得正，得到，符号相同；再根据同正、同负进行分情况讨论． 【规范解答】解：因为，所以，同号． ①若，同正，则； ②若，同负，则． 故选：． 【考点评析】考查了绝对值的性质，要求绝对值里的相关性质要牢记：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．该题易错点是分析，的符号不透彻，漏掉一种情况． 【变式训练5-4】（2023秋•沂南县期中）下列说法：①若，则为负数；②若不是负数，则为非正数；③；④若，则；⑤若，，则．其中正确的结论有 　②③④⑤　．（填序号） 【易错点拨】依据题意，根据绝对值的性质逐个分析判断可以得解． 【规范解答】解：由题意，若， ． ． ①错误． 若不是负数， ． ，即为非正数． ②正确． ，， ． ③正确． 若， ，异号． ． ． ． ④正确． 若，， ． ． ⑤正确． 故答案为：②③④⑤． 【考点评析】本题主要考查了绝对值的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 【变式训练5-5】（2022秋•温州月考）式子的最小值是 　8　． 【易错点拨】依据题意，分6个区域：（1）当，原式；（2）当时，原式；（3）当时，原式；（4）当时，原式；（5）当时，原式；（6）当，原式；比较最小值，即可求得答案． 【规范解答】解：（1）当，原式， 则时，有最小值18； （2）当时，原式， 则时，有最小值11； （3）当时，原式， 则时，有最小值8； （4）当时，原式， 此时没有最小值； （5）当时，原式， 此时没有最小值； （6）当，原式， 此时没有最小值； 故当时，的最小值为8． 【考点评析】本题主要考查了绝对值的最值问题．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 【易错题型06 有理数大小比较】 【易错题精讲】（2022秋•射洪市期末）为方便两个有理数比较大小，现提出了4种新方法： ①倒数大的反而小； ②绝对值大的反而小； ③平方后大的数较大； ④把两数求商，若商大于1，则被除数较大；商等于1，则两数相等；商小于1，则除数较大． 这四种方法　　 A．都正确 B．都不正确 C．只有一个正确 D．有两个正确 【易错点拨】根据倒数的意义，可判断①，根据绝对值的意义，可判断②，根据平方的意义，可判断③，根据有理数的除法，可判断④． 【规范解答】解：①的倒数是2，的倒数是，，，故①错误； ②，，故②错误； ③，，故③错误； ④，，故④错误； 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数比较大小，注意两数相除异号得负，两负数比较大小，绝对值大的反而小． 【变式训练6-1】（2022秋•同心县校级月考）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【易错点拨】根据绝对值的意义，有理数的分类，正数和负数，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：①0是绝对值最小的整数，故①不正确； ②有理数不是正数就是负数或0，故②不正确； ③非负数就是正数或0，故③不正确； ④是无限循环小数，所以是有理数，故④不正确； ⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑤正确； 所以，上列说法中，其中错误的说法的个数为4个， 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数的大小比较，正数和负数，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 【变式训练6-2】（2023秋•鲤城区期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，，回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． （1）根据问题的实际意义，表示 　回收站到1号楼的距离　； （2）当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． （3）现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【易错点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解． 【规范解答】解： （1）由题意得：表示回收站到1号楼的距离； 故答案为：回收站到1号楼的距离． （2）分情况讨论： ①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是9，回收站的位置建在3号楼和4号楼之间； （3）由题意得： ， ①当 2时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述，小区所有住户到回收站的距离之和的最小值是168，回收站的位置建在4号楼处． 【考点评析】理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【变式训练6-3】（2023秋•江汉区月考）有理数，在数轴上的对应点如图所示： （1）填空：（填“”、“ ”或“” 　　0；　　0；　　； （2）将有理数，，，，0从小到大排列，并用“”连接起来； （3）化简：． 【易错点拨】（1）观察数轴即可得出结论； （2）根据、的值判断出、的取值范围，即可得出比较结果； （3）根据，得出，，，然后根据绝对值的定义化简即可． 【规范解答】解：（1）由数轴得，，， ， 故答案为：，，； （2），， ，， ； （3），， ，，， ． 【考点评析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，绝对值，有理数的加法，准确熟练地进行计算是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数（易错必刷35题6种题型专项训练） 目录 【易错题型01 正数和负数】 1 【易错题型02 有理数】 3 【易错题型03 数轴】 5 【易错题型04 相反数】 7 【易错题型05 绝对值】 7 【易错题型06 有理数大小比较】 8 【易错题型01 正数和负数】 【易错题精讲】（2024•罗湖区校级模拟）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上记作，则表示气温为　　 A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【变式训练1-1】（2024•九龙坡区自主招生）正式排球比赛对所用的排球重量是有严格规定的，现检查4个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果为：第一个克，第二个为克，第三个为克，第四个为克，则哪个排球质量最好　　 A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【变式训练1-2】（2023秋•博尔塔拉州期末）国庆节上午，出租车司机小王在东西走向的锦绣大道上拉客，如果规定向东为正，向西为负，小王这天上午出车12次的行车情况如下：（单位： ，，，，，，，，，，，． （1）最后一个乘客下车时，小王离上午出发时的地点多少，此时车头朝哪个方向？ （2）若每千米耗油0.2升，每升汽油8元钱，问上午共耗油多少钱？ 【变式训练1-3】（2022秋•历城区期末）小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 增减产值 （1）根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具 　 　个； （2）根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具 　　个； （3）该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每日计件工资制”或“每周计件工资制”．小颖本周应选择哪种工资形式更合算？请说明理由． 【变式训练1-4】（2022秋•沙洋县期中）某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶纪录如下（单位：千米），，，，，，， （1）在岗亭哪个方向？距岗亭多远？ （2）若摩托车行驶10千米耗油0.4升，且最后返回岗亭，这时摩托车共耗油多少升？ 【变式训练1-5】（2023秋•德宏州期末）某自行车厂7天计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因，无法按计划生产，如表是这7天的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆） 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 （1）根据记录可知前2天共生产自行车 　 　辆； （2）自行车产量最多的一天比产量最少的一天多生产 　　辆； （3）该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车，厂方付给工人工资50元，超额完成计划任务的，每超产一辆奖励20元，没有完成计划任务的，每减产一辆扣25元，则该厂工人这7天的工资总额是多少？ 【易错题型02 有理数】 【易错题精讲】（2023春•南岗区校级期中）下列说法正确的是　　 A．整数包括正整数和负整数 B．零是整数，但不是正数，也不是负数 C．分数包括正分数、负分数和零 D．有理数不是正数就是负数 【变式训练2-1】（2022秋•新吴区校级期中）下列各数：（相邻两个1之间的0的个数逐次增加）其中有理数的个数是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2-2】（2022秋•龙岩期中）将八个数，，，，，9.2，0，8．填入图中相应的集合圈内，则填入两圆公共部分区域和的数的和为　　 A． B． C．8 D．3.6 【变式训练2-3】（2023秋•南岗区月考）在，0.2，，3，0，，中，负分数有　，　，非负整数有　　． 【变式训练2-4】（2023秋•东莞市月考）在数，0.275，2，0，，，，，中，负数有 　　 ，负分数有 　　，非负整数有 　　． 【变式训练2-5】（2023秋•阿城区月考）把下列各数填在相应的大括号内． ，9，，0，，，，6 正整数集合：　 负分数集合：　　 【变式训练2-6】（2023秋•小店区校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号里：，4.3，0，，，， 分数集合：　 ； 负数集合：　 ； 非负整数集合：　 ． 【变式训练2-7】（2023秋•莎车县校级月考）把下列各数写在相应的集合里： ，10，，0，，，0.001，，，，，200． 正数集合：　 负数集合：　 分数集合：　 整数集合：　 正整数集合：　 【易错题型03 数轴】 【易错题精讲】（2023秋•平舆县期中）如图，数轴上点，，分别表示数，，，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确结论的序号是　　 A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【变式训练3-1】（2023秋•铜官区校级期中）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母、、、，如图2，先让圆周上表示的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是　　 A． B． C． D． 【变式训练3-2】（2023秋•龙海区校级月考）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则 　． 【变式训练3-3】（2024•峰峰矿区三模）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数　　的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数　　的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的，两点也重合，且，两点之间的距离为10（点在点的左侧），求，两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点，设点表示的数为．当时，直接写出的值． 【变式训练3-4】（2023秋•顺义区期末）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”． 例如，数轴上点，，所表示的数分别为1，4，5，此时点是点，的“三倍点”． （1）点表示的数是，点表示的数是2，下列各数1，4，6，8所对应的点分别是，，，，其中是点，的“三倍点”的是 　　； （2）点表示的数是，点表示的数是14，为数轴上一个动点，若点是点，的“三倍点”，求点表示的数． 【变式训练3-5】（2021秋•邗江区期中）已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“好点”． （1）若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； （2）①若点运动到原点时，此时点　　关于的“好点”（填是或者不是）； ②若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； （3）若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【易错题型04 相反数】 【易错题精讲】（2021秋•文登区期中）若，互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练4-1】（2022秋•湖北期末），互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为　　 A．与 B．与 C．与 为正整数） D．与为正整数） 【变式训练4-2】（2024•九台区三模）下列各对数中，互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练4-3】（2021•曲靖模拟）若、互为相反数，则的值为 　　． 【变式训练4-4】．（2023秋•启东市校级月考）已知是的相反数，比最小的正整数大4，是相反数等于它本身的数，则的值是　 　． 【易错题型05 绝对值】 【易错题精讲】（2023秋•嵊州市期末）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如，，则所有“绝对操作”共有　　种不同运算结果． A．7 B．6 C．5 D．4 【变式训练5-1】（2023秋•新宁县期末）如果，且．则下列说法中可能成立的是　　 A．为正数，为负数 B．为正数，为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为负数 【变式训练5-2】（2023•合肥三模）已知三个实数，，满足，，则下列结论可能成立的是　　 A． ，， B．，， B． C．，， D．，， 【变式训练5-3】（2023秋•灌云县校级期中）若，则的值为　　 A．3 B． C．或 D．3或 【变式训练5-4】（2023秋•沂南县期中）下列说法：①若，则为负数；②若不是负数，则为非正数；③；④若，则；⑤若，，则．其中正确的结论有 　 　．（填序号） 【变式训练5-5】（2022秋•温州月考）式子的最小值是 　 　． 【易错题型06 有理数大小比较】 【易错题精讲】（2022秋•射洪市期末）为方便两个有理数比较大小，现提出了4种新方法： ①倒数大的反而小； ②绝对值大的反而小； ③平方后大的数较大； ④把两数求商，若商大于1，则被除数较大；商等于1，则两数相等；商小于1，则除数较大． 这四种方法　　 A．都正确 B．都不正确 C．只有一个正确 D．有两个正确 【变式训练6-1】（2022秋•同心县校级月考）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式训练6-2】（2023秋•鲤城区期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，，回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． （1）根据问题的实际意义，表示 　； （2）当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． （3）现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【变式训练6-3】（2023秋•江汉区月考）有理数，在数轴上的对应点如图所示： （1）填空：（填“”、“ ”或“” 　　0；　　0；　　； （2）将有理数，，，，0从小到大排列，并用“”连接起来； （3）化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$