清单03 代数式（知识导图+12个考点清单&题型解读）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

清单03 代数式 （考点梳理+12个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】用字母表示数 2 【考点题型二】用代数式表示式 3 【考点题型三】用代数式表示数、图形的规律 5 【考点题型四】代数式的概念 6 【考点题型五】代数式书写方法 7 【考点题型六】代数式表示的实际应用 8 【考点题型七】已知字母的值，求代数式的值 10 【考点题型八】已知式子的值，求代数式的值 11 【考点题型九】程序流程图与代数式求值 12 【考点题型十】用表格表示变量间的关系 14 【考点题型十一】用关系式表示变量间的关系 16 【考点题型十二】用图像表示变量间的关系 17 期中真题拔高训练15题 19 知识点01：代数式的定义 代数式是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 知识点02：代数式的分类 整式：所有字母的指数都是非负整数的代数式，包括单项式和多项式。 非整式：含有字母的指数不是非负整数的代数式，如分式和根式。 知识点03：代数式的书写规则 乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 知识点04：带分数应写成假分数的形式。 代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 知识点05：生活中的常量与变量 常量：在特定情境下不会改变的量，如某些物理常数。 变量：可以取不同数值的量，通常在代数式中用字母表示。 代数式与函数的关系（初步认识）：代数式可以用来描述函数关系，其中字母可以表示变量，而代数式的值则随变量的变化而变化。 【考点题型一】用字母表示数 【精讲题】（22-23七年级上·福建宁德·期中）小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 【变式1-1】（18-19七年级·四川南充·期中）某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分每立方米按1.2元收费．已知某户用煤气x立方米（x＞60），则该户应交煤气费 元． 【变式1-2】（18-19七年级上·云南昆明·期末）某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米． (1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度； (2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）． 【变式1-3】（18-19七年级上·湖北襄阳·期中）按照下列步骤做一做： （1）一个两位数的个位上的数是a，十位上的数是b，请写出这个两位数； （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新数；请写出这个新两位数； （3）求这两个两位数的和．结果能被11整除吗？为什么？ 【考点题型二】用代数式表示式 【精讲题】（23-24七年级上·河南商丘·期中）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费． (1)若某人乘坐了千米，则他应支付车费______元（用含有x的代数式表示）； (2)一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）． 第1批 第2批 第3批 第4批 ①送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； ②若王师傅的车平均每千米耗油升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？ ③在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 【变式2-1】（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配个乒乓球，已知A，B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球． (1)则在A超市购买需要_________元，在B超市购买需要________元 (2)当每副球拍配10个乒乓球时，分别计算一下去A超市和B超市购买的费用各是多少元? (3)当时，最省钱的购买方案是__________． 【变式2-2】（23-24七年级上·广东广州·期中）已知数a，b，c满足，请回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值： ______， ______， ______； (2)数轴上a，b，c三个数所对应的点分别为A，B，C，则A，B两点的距离可表示为______，数轴上有一点P，它表示的数为x．若，则点P表示的数x是 _______； (3)点B和点C分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，当时，求的长． 【变式2-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是：，，．    (1)填空：______，______； (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动．试探索：的值是否随着时间t的变化而改变?请说明理由； (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动．设点移动的时间为秒，试用含的代数式表示、两点间的距离． 【考点题型三】用代数式表示数、图形的规律 【精讲题】（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）如图是一个正三角形场地，如果在每边上放2盆花共需要3盆花；如果在每边上放3盆花共需要6盆花，如果在每边上放n(n>1)盆花，那么共需要花（     ）盆． A．3n B．3n-1 C． 3n-2 D． 3n-3 【变式3-1】（19-20七年级上·全国·课后作业）如图，则第n个图形中三角形的个数是（    ）        …… 第1个            第2个          第3个 A． B． C． D．4n 【变式3-2】（18-19七年级上·安徽合肥·期中）如图是用围棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字，仔细观察并找出规律： 图① 图2图③图④…… 按照这种方式摆下去，则第个“山”用 枚围棋子． 【变式3-3】（19-20七年级上·重庆万州·阶段练习）为冲刺即将到来的2020年全面建成小康社会，小全同学在黑板上写有1，2，3，…，2019，2020这2020个自然数，而小康同学对它们进行了操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字．例如：擦掉7，13和1998后，添上8；若再擦掉8，6，38，添上2，等等．如果经过1009次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是2019，则另一个数是 ． 【考点题型四】代数式的概念 【精讲题】（2023八年级上·全国·专题练习）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（21-22七年级上·山东济宁·阶段练习）已知a、b、c在数轴上的位置如图，下列说法：①abc>0；②c+a>0；③c–b<0；④>0．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（15-16七年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的个数有 (      ) 个. ① 有理数包括整数和分数；   ② 一个代数式不是单项式就是多项式； ③ 几个有理数相乘，若负因数的个数是偶数个，则积为正数. ④ 倒数等于本身的数有1，－l； A．．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（20-21七年级上·江苏南京·期中）课本告诉我们，同一个代数式可以表示不同的实际意义，这体现了不同背景实际问题中的相同数量关系常常可以用同一个代数式来表示． 下列情境中的字母、表示的是两个不超过100的正整数，且，请解决以下问题： （1）两根同样长的铁丝，分别围成一个长为、宽为的长方形和一个正方形，长方形的长比正方形的边长大多少？ （2）下列情境： ①、两数的平均数为； ②甲、乙两人分别有元和元，要使两人的钱数一样，则甲需要给乙元； ③小亮在超市买了牛奶和可乐共瓶，其中牛奶比可乐少瓶，则他买了瓶牛奶； ④小红和爷爷从相距的两地相向而行，1后相遇，相遇时小红比爷爷多行了，则爷爷的平均速度是． 上述情境中的、、、也可以用（1）的结果中的代数式表示的是______．（填写所有正确选项前的序号） 【考点题型五】代数式书写方法 【精讲题】（20-21七年级上·四川达州·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（19-20七年级上·四川遂宁·期中）下列各式：①②③ ④ ⑤千克 ，不符合代数式书写要求的是（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式5-2】（19-20七年级上·广西南宁·阶段练习）下列代数式书写规范的是（   ） A． B． C．米 D． 【变式5-3】（2022七年级上·浙江·专题练习）下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 个． 【考点题型六】代数式表示的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·湖南永州·期中）月日零陵区第二届学生运动会在永州工商职业中专隆重召开，开幕式上蘋洲校区七年级三百多人为大家表演了一场精彩绝伦，美轮美奂的集体舞．学校为每位表演的同学购买了一套演出服装，下面是商家给出购买服装的优惠措施：①若购买服装不足套按每套标价元出售；②若购买服装不足套，超过套部分按标价折出售；③若购买服装超过套，超过套部分按标价折出售．若学校购买的服装为套，则应付款 元（用含的代数式表示，结果要化简）． 【变式6-1】（23-24七年级上·广东茂名·期中）某电动车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天计划生产300辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正减产为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减情况 +5 +13 +16 (1)本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车多少辆？ (2)根据记录可知本周共生产电动车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆电动车可得a元，若超额完成，则超额部分每辆再奖b元（），少生产一辆扣b元，求该厂工人这一周的工资总额． 【变式6-2】（22-23七年级上·福建厦门·期中）如图，是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：m）．    (1)用式子表示图中阴影部分的面积： (2)按照图所示的尺寸设计并画出一个新的图形，使其面积等于． 【变式6-3】（22-23七年级上·福建泉州·期中）某网店在年的“庆国庆”活动中对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：①如果一次性购物在元以内，按标价给予九折优惠；②如果一次性购物超过元的，可以先享受“天猫”每满元减元的优惠政策（满元减元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠． (1)程叔叔在该网店购买了一台标价元的吸尘器，他应付多少元？ (2)王老师先在该网店为女儿购买了一台台灯，付款元．后来想到家里的榨汁机坏了，又上这家网店花了元买了一台榨汁机，如果王老师一次性购买，只需要付款多少元？ (3)某顾客在该网店两次购物的商品标价共计元．若第一次购物商品标价为元，且少于第二次购物商品的标价．求该顾客两次购物的实际付款共多少元？（用含的代数式表示） 【考点题型七】已知字母的值，求代数式的值 【精讲题】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）为了参加校园文化艺术节，书画社计划买一些宣纸和毛笔，现了解情况如下：甲、乙两家文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每张4元．甲商店的优惠办法是：买1支毛笔送1张宣纸；乙商店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．书画社想购买毛笔10支，宣纸x张． (1)若到甲商店购买，应付_____________元；若到乙商店购买，应付_____________元（用含x的代数式表示）； (2)若时，去哪家商店购买较合算？请计算说明； (3)若时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付多少元？ 【变式7-1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）七年级新学期，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在课桌面上，小英对其高度进行了测量，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： (1)每本数学课本的厚度是 cm； (2)若课本数为（本），整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度的整式为 （用含的整式表示）； (3)现课桌面上有48本此规格的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取出13本，求余下的数学课本距离地面的高度． 【变式7-2】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，池塘边有一块长为21米，宽为18米的长方形土地，现在将其余两面留出宽都是x米的小路，余下的长方形部分做菜地． (1)长方形菜地的面积为_____________平方米（用含x的代数式表示，不需要化简）； (2)当时，长方形菜地的面积是多少平方米？ 【变式7-3】（23-24七年级上·新疆喀什·期中）学校需要到印刷厂印刷份材料，甲印刷厂提出：每份材料收0.2元印刷费，另收400元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收0.4元印刷费，不收制版费． (1)两印刷厂的收费各是多少元？（用含的代数式表示） (2)学校要印刷2400份材料，不考虑其他因素，选择哪家印刷厂比较合算？试说明理由． 【考点题型八】已知式子的值，求代数式的值 【精讲题】（20-21七年级上·湖北黄冈·期中）已知，则整式的值是（    ） A．5 B． C． D． 【变式8-1】（23-24七年级上·北京东城·期中）是为1的有理数，我们把称为的差倒数．例如：2的差倒数是，的差倒数 ，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差的倒数，，则 ，依此类推 . 【变式8-2】（22-23七年级上·广西贺州·期中）已知互为相反数，互为倒数，x的绝对值是2，求的值． 【变式8-3】（22-23七年级上·浙江·期中）（1）已知的值为3，求的值． （2）已知当时，代数式的值为18，求的值． 【考点题型九】程序流程图与代数式求值 【精讲题】（22-23七年级上·广东广州·期中）按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-1】（18-19七年级上·四川巴中·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2021次输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式9-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）下面是一组数值转换机的示意图．    (1)写出图（b）中的转化步骤：①_____，②_____，③_____； (2)图（b）中，若，求输出的值； (3)图（a）中，若，求x的值． 【变式9-3】（22-23七年级上·吉林·期中）如图是数值转换机示意图． (1)写出输出结果______（用含的式子表示）； (2)填写下表； 的值 … 0 1 2 3 … 输出值 … ______ 13 ______ 1 ______ ______ 28 … (3)输出结果的值有什么特征？写出一个你的发现． 【考点题型十】用表格表示变量间的关系 【精讲题】（23-24七年级下·河南平顶山·期中）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．根据下表，回答以下问题： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … (1)由表可知，距离地面高度每上升1千米，温度降低________摄氏度． (2)写出气温t与海拔高度h的关系式；并求出当海拔高度是7千米时，其气温是多少？ (3)某航班飞机在执行飞行任务至一定高度时，驾驶舱突现险情，此时舱外气温为．两名飞行员冷静应对，创造了世界航空史上的奇迹，请你计算出该飞机发生险情时的海拔高度（假设当时所在位置的地面温度为）． 【变式10-1】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【变式10-2】（21-22七年级上·山东菏泽·期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润=票款收入-支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： X（人） ．．． 200 250 300 350 400 ．．． y（元） ．．． -200 -100 0 100 200 ．．． 根据表格中的数据，回答下列问题： (1)观察表中数据可知，当乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损； (2)请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y= ； (3)当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？ 【变式10-3】（18-19七年级下·陕西咸阳·期中）某地移动公司的通话时间（分）和需要的电话费（元）之间有如下表所示的关系： 通话时间/分 1 2 3 4 5 6 7 … 电话费/元 0．4 0．8 1．2 1．6 2．0 2．4 2．8 … （1）上面表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）用x表示通话时间，用y表示电话费，请写出随着x的变化，y的变化趋势是什么？ 【考点题型十一】用关系式表示变量间的关系 【精讲题】（23-24七年级下·四川成都·期中）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______； (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【变式11-1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（    ） A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关 C．当时， D．当时， 【变式11-2】（23-24八年级上·四川成都·期中）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过吨，按每吨元收费．如果超过吨，未超过的部分仍按每吨元收费，超过部分按每吨元收费．设某户每月用水量为吨，应收水费为元． (1)分别写出当每月用水是未超过吨和超过吨时，与之间的函数表达式； (2)若该城市某用户月份和月份共用水吨，且月份的用水量不足吨，两个月一共交水费元，求该用户月份用水多少吨？ 【变式11-3】（20-21七年级上·广西南宁·期中）如图在直角梯形中，，，，，，点P，Q同时从点B出发，其中点P以的速度沿着点运动；点Q以的速度沿着点运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动． （1）当运动时间时，则三角形的面积为_____； （2）当运动时间时，则三角形的面积为_____； （3）当运动时间为时，请用含t的式子表示三角形的面积． 【考点题型十二】用图像表示变量间的关系 【精讲题】（23-24七年级下·山东青岛·期中）1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A．   B．   C．   D．   【变式12-1】（16-17七年级·辽宁丹东·期中）如图是小乐从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，从中得到如下信息：    ①学校离小乐家1000米；    ②小乐用了20分钟到家； ③小乐前10分钟走了路程的一半；    ④小乐后10分钟比前10分钟走得快， 其中正确的有 （填序号）． 【变式12-2】（17-18七年级下·全国·单元测试）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数与生产时间的关系如图所示．    (1)根据图象填空： 甲、乙两人中， 先完成一天的生产任务在生产过程中， 因机器故障停止生产 小时 当 时，甲、乙生产的零件个数相等 (2)谁在哪一段时间内的生产速度最快，求该段时间内，他每小时生产零件的个数． 【变式12-3】（23-24七年级下·山西运城·期中）在一场比赛中，龟和兔从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点．比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)乌龟的速度为__________米/分，兔子在休息后的速度为__________米/分，比赛全程__________米； (2)骄傲的兔子在离开起点__________米时停下休息，休息了__________分； (3)请解释图中点A的实际意义：__________； (4)若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？ 期中真题拔高训练15题 1．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）若，，且，则等于（    ） A．5 B． C． D． 2．（23-24七年级上·江西吉安·期中）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予实际意义的例子中不正确的是（   ） A．若葡萄的价格是3元/千克，则表示买a千克葡萄的金额 B．若a表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长 C．某校七年级共有3个班，每个班平均有a名女生，则表示七年级女生总数 D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个数 3．（23-24七年级上·广东东莞·期中）一个矩形的周长为30，若矩形的一边长用字母x表示，则此矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江·模拟预测）如图所示的正方形是由四个等腰直角三角形拼成的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在长方形中，，，对角线，动点从点出发，沿运动，设点的运动路程为（），的面积为（）．若与的对应关系如图所示，则图中（    ） A． B．1 C．3 D．4 6．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）把7个长和宽分别为a，b的小长方形纸片（如图1），按如图2所示的方式放置在长方形中，则长方形中阴影部分的面积为 （用含有a，b的代数式表示．要求：表示出来即可，不需化简） 7． （23-24七年级上·江苏扬州·期中）如，我们叫集合，其中叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是 ． 8．（23-24七年级上·湖南常德·期中）如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为 ． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，大正方形内有四个形状大小完全相同的长方形，且每个长方形的两条边分别在大正方形的四条边上，大正方形内有个小正方形与四个长方形有重叠（阴影部分），若两个正方形的周长分别为和，且四个阴影部分的周长为，则长方形的周长为 ． 10．（23-24七年级上·四川成都·期中）某城市青菜价格在六、七两个月中起伏较大．每日的平均菜价与前一日不是上涨，就是下降，且7月31日的平均菜价不低于6月1日的平均菜价，那么在这两个月中最少有 天的平均菜价高于前一日的平均菜价． 11．（23-24七年级上·吉林长春·期中）已知是5的相反数． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 12．（23-24七年级上·四川南充·期中）从2020年开始，我市中考总分中要加大体育分值，某校为适应新的中考要求．决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元，现有A、B两家店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的付款，已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款_____________元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款__________元（用含x的代数式表示）； (2)若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 13．（22-23七年级上·广东湛江·期中）2022年北京冬奥会在国家体育场鸟巢举行开幕式吉祥物“冰墩墩”成为2022开年“顶流”某商家销售的一款“冰墩墩”毛绒玩具，每个定价200元，钥匙扣每个定价50元，并推出两种优惠方案：方案一：购买2个毛绒玩具，赠送1个钥匙扣；方案二：购买毛绒玩具和钥匙扣一律按9折优惠，某公司要购买毛绒玩具和钥匙扣作为员工礼物，想要购买毛绒玩具20个，钥匙扣x个（不少于10个）． (1)若该公司采购员按方案一购买，需付款 元（用含x的式子表示）；若该公司采购员按方案二购买，需付款 元（用含x的式子表示）； (2)当购买钥匙扣25个时，通过计算说明按照哪种方案购买较合算？ (3)当购买钥匙扣25个时请给出一种更省钱的购买方案，并计算需要的钱数． 14．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 15．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知正方形与正方形，，．根据下列条件平移正方形，解决下列问题．    (1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 代数式 （考点梳理+12个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】用字母表示数 2 【考点题型二】用代数式表示式 4 【考点题型三】用代数式表示数、图形的规律 9 【考点题型四】代数式的概念 11 【考点题型五】代数式书写方法 14 【考点题型六】代数式表示的实际应用 16 【考点题型七】已知字母的值，求代数式的值 20 【考点题型八】已知式子的值，求代数式的值 23 【考点题型九】程序流程图与代数式求值 25 【考点题型十】用表格表示变量间的关系 29 【考点题型十一】用关系式表示变量间的关系 32 【考点题型十二】用图像表示变量间的关系 36 期中真题拔高训练15题 40 知识点01：代数式的定义 代数式是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 知识点02：代数式的分类 整式：所有字母的指数都是非负整数的代数式，包括单项式和多项式。 非整式：含有字母的指数不是非负整数的代数式，如分式和根式。 知识点03：代数式的书写规则 乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 知识点04：带分数应写成假分数的形式。 代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 知识点05：生活中的常量与变量 常量：在特定情境下不会改变的量，如某些物理常数。 变量：可以取不同数值的量，通常在代数式中用字母表示。 代数式与函数的关系（初步认识）：代数式可以用来描述函数关系，其中字母可以表示变量，而代数式的值则随变量的变化而变化。 【考点题型一】用字母表示数 【精讲题】（22-23七年级上·福建宁德·期中）小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 【答案】A 【思路点拨】设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，则，化简可得，据此即可得出答案． 【规范解答】解：设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意得：， 整理得：， 即小明心里想的那个两位数是78， 故选：A． 【考点评析】本题考查了用字母表示数，正确列出等式是解题关键． 【变式1-1】（18-19七年级·四川南充·期中）某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分每立方米按1.2元收费．已知某户用煤气x立方米（x＞60），则该户应交煤气费 元． 【答案】（1.2x﹣24） 【思路点拨】根据应交煤气费=前60立方米的付费+超过60立方米的付费列式即可. 【规范解答】∵超出60立方米的煤气用量为：x﹣60， ∴超出的费用是1.2（x﹣60）=1.2x﹣72元， ∴应交煤气费是1.2x﹣72+60×0.8=1.2x﹣24． 故答案为1.2x﹣24. 【考点评析】本题考查列代数式，找到所求的量的等量关系是解题关键. 【变式1-2】（18-19七年级上·云南昆明·期末）某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米． (1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度； (2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）． 【答案】(1)窗户的面积为（4a2πa2）米2，总长度（15+π）a（米） (2)498（元） 【思路点拨】（1）窗户的面积包括一个正方形面积一个半圆面积，相加即可．材料总长度就是求图形中线段的总长度，将所有线段长度相加即可； （2）将a＝1代入25（4a2πa2）+20（15+π）a计算可得． 【规范解答】（1）S＝2a×2aπa2＝4a2πa2 即窗户的面积为（4a2πa2）米2． 15a+πa＝（15+π）a（米） 即制作这种窗户所需材料的总长度（15+π）a（米）． （2）a＝1时，25（4a2πa2）+20（15+π）a ≈25×（4×13×1）+20×（15+3）×1 ＝137.5+360 ＝497.5 ≈498（元），即制作这扇窗户需要498元． 【考点评析】本题考查了根据实际情况列代数式，一方面要掌握面积和周长的计算公式，另一方面要做好计算准确，不遗漏． 【变式1-3】（18-19七年级上·湖北襄阳·期中）按照下列步骤做一做： （1）一个两位数的个位上的数是a，十位上的数是b，请写出这个两位数； （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新数；请写出这个新两位数； （3）求这两个两位数的和．结果能被11整除吗？为什么？ 【答案】（1）10b+a;（2）10a+b;（3）能被11整除. 【思路点拨】一个两位数=十位上的数×10+个位上的数. 【规范解答】解：（1）这个两位数为10b+a； （2）交换后该两位数个位上的数为b，十位上的数为a，该两位数为10a+b； （3）两个两位数之和为10b+a+10a+b=11（a+b），故能被11整除. 【考点评析】本题考查了用字母表示数. 【考点题型二】用代数式表示式 【精讲题】（23-24七年级上·河南商丘·期中）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费． (1)若某人乘坐了千米，则他应支付车费______元（用含有x的代数式表示）； (2)一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）． 第1批 第2批 第3批 第4批 ①送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； ②若王师傅的车平均每千米耗油升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？ ③在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 【答案】(1) (2)①西，6；②送完第4批客人后，王师傅用了1.6升油；③王师傅共收到车费38元 【思路点拨】本题主要考查了列代数式、正数和负数、数轴等知识点，明确题意、列出相应的代数式、求出相应的式子的值是解答本题的关键． （1）根据题意用含x的代数式表示出某人应支付的车费即可； （2）①将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答；②先计算出在整个过程的总路程，然后乘以单价即可解答；③根据表格中的数据和题意，可以计算出送完第4批客人后，王师傅共收到的车费． 【规范解答】（1）解：由题意可得：他应支付车费：元． 故答案为：． （2）解：①，即送完第4批客人后，王师傅在公司的西边，距离公司6千米． 故答案为：西，6； ② = =（升）． 答：送完第4批客人后，王师傅用了升油； ③在整个过程中，王师傅共收到车费：（元）． 故王师傅共收到车费38元． 【变式2-1】（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配个乒乓球，已知A，B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球． (1)则在A超市购买需要_________元，在B超市购买需要________元 (2)当每副球拍配10个乒乓球时，分别计算一下去A超市和B超市购买的费用各是多少元? (3)当时，最省钱的购买方案是__________． 【答案】(1)， (2)当每副球拍配10个乒乓球时，去A超市和B超市购买的费用都是270元 (3)在超市购买10副球拍，去超市购买余下的乒乓球． 【思路点拨】本题主要考查了最优化问题，方案的提出是本题解题的关键． （1）分析题意，根据“去超市花的总费用购买球拍的费用购买乒乓球的费用”，列出去，超市所需的总费用； （2）令两个关系式相等，通过解方程即可求出的值； （3）可分别计算出只在超市购买，只在超市购买和在，超市同时购买的三种不同情况下，所需的费用，然后比较出最省钱的方案． 【规范解答】（1）在A超市购买需要元，即元， 在超市购买需要元，，即元， 故答案为：，； （2）当时，在A超市购买需要（元）， 在超市购买需要（元）， 所以当每副球拍配10个乒乓球时，去A超市和B超市购买的费用都是270元； （3）当时，即购买10副球拍应配120个乒乓球． 若只去超市购买的费用为：（元 若只去超市购买的费用为：（元； 若在超市购买10副球拍，去超市购买余下的乒乓球的费用：（元， 所以当时，最省钱的购买方案是在超市购买10副球拍，去超市购买余下的乒乓球． 【变式2-2】（23-24七年级上·广东广州·期中）已知数a，b，c满足，请回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值： ______， ______， ______； (2)数轴上a，b，c三个数所对应的点分别为A，B，C，则A，B两点的距离可表示为______，数轴上有一点P，它表示的数为x．若，则点P表示的数x是 _______； (3)点B和点C分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，当时，求的长． 【答案】(1)，1，5； (2)2，或3； (3)的长是14，． 【思路点拨】（1）由非负数的性质得，则； （2）由、1对应的点分别为点A、点B，得，由，得，则或，于是得到问题的答案； （3）动点B表示的数是，当时，，则点B表示的数是13，所以；同理可得长、计算即可． 【规范解答】（1）∵，且， ∴， ∴， 故答案为：，1，5． （2）∵、1对应的点分别为点A、点B， ∴， ∵点P对表示的数是x，且， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：2，或3． （3）由题意可知，动点B表示的数是，动点C表示的数是， 当时，， ∴点B表示的数是11， ∴， ∴的长是14． 当时，， ∴， ． 【考点评析】此题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的非负数性，绝对值方程等知识，正确地用代数式表示运动中的点所对应的数是解题的关键． 【变式2-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是：，，．    (1)填空：______，______； (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动．试探索：的值是否随着时间t的变化而改变?请说明理由； (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动．设点移动的时间为秒，试用含的代数式表示、两点间的距离． 【答案】(1)，； (2)不变，理由见解析； (3)当时，，当时，；当时，． 【思路点拨】（）根据数轴上任意两点间的距离公式等于这两点所表示的数的差的绝对值而得出结论； （）先分别求出秒后、、三点所对应的数，就可以表示出，的值，从而求出的值而得出结论； （）先求出经过秒后，、两点所对应的数，分类讨论当时，点还在点处，当时，点在点的右边，当时，点在点的右边，从而得出结论； 本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【规范解答】（1），， 故答案为：，； （2）不变，理由： ∵经过秒后，、、三点所对应的数分别是，，， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间的变化而改变； （3）经过秒后，、两点所对应的数分别是，， 由解得， 当时，点还在点处， ∴， 当时，点在点的右边， ∴， 当时，点在点的右边， ∴． 【考点题型三】用代数式表示数、图形的规律 【精讲题】（19-20七年级上·上海浦东新·阶段练习）如图是一个正三角形场地，如果在每边上放2盆花共需要3盆花；如果在每边上放3盆花共需要6盆花，如果在每边上放n(n>1)盆花，那么共需要花（     ）盆． A．3n B．3n-1 C． 3n-2 D． 3n-3 【答案】D 【思路点拨】根据题目所给条件，当n=2时，共需要3×2−3=3×（2−1）=3盆；当n=3时，共需要3×3−3=3×（3−1）=3盆；以此类推寻找规律解题即可 【规范解答】根据题目所给条件，当n=2时，共需要3×2−3=3×（2−1）=3盆；当n=3时，共需要3×3−3=3×（3−1）=3盆；以此类推，所以在每边放上n盆花需要花盆，即3n－3盆 所以答案为D选项 【考点评析】本题考查了出代数式，根据题意找到相对应的规律是关键 【变式3-1】（19-20七年级上·全国·课后作业）如图，则第n个图形中三角形的个数是（    ）        …… 第1个            第2个          第3个 A． B． C． D．4n 【答案】D 【思路点拨】先求出各图形的三角形个数，再发现规律即可. 【规范解答】由图可知：第1个图形的三角形个数为4个； 第2个图形的三角形个数为8个； 第3个图形的三角形个数为12个 … ∴第n个图形的三角形个数为4n个； 故选D. 【考点评析】此题主要考查图形的规律探索，解题的关键是根据图形找到三角形的个数规律. 【变式3-2】（18-19七年级上·安徽合肥·期中）如图是用围棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字，仔细观察并找出规律： 图① 图2图③图④…… 按照这种方式摆下去，则第个“山”用 枚围棋子． 【答案】 【思路点拨】图①中，棋子的个数是2×3＋1；图2中，棋子的个数是3×3＋3；图③中，棋子的个数是4×3＋5；依此类推即可得到规律. 【规范解答】解：第1个“山”字中的棋子个数是7；第2个“山”字中的棋子个数是12；第3个“山”字中的棋子个数是17；结合图形，发现： 第n个“山”字中的棋子个数是3（n＋1）＋2n−1＝5n＋2． 故填：. 【考点评析】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 【变式3-3】（19-20七年级上·重庆万州·阶段练习）为冲刺即将到来的2020年全面建成小康社会，小全同学在黑板上写有1，2，3，…，2019，2020这2020个自然数，而小康同学对它们进行了操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字．例如：擦掉7，13和1998后，添上8；若再擦掉8，6，38，添上2，等等．如果经过1009次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是2019，则另一个数是 ． 【答案】1. 【思路点拨】因为每操作一次，剩下所有数的和的个位数不变，求这2020个数之和减去2019所得的个位数字即为另一个数. 【规范解答】这2020个数之和为1+2+3+…+2020=（1+2020）×2020÷2=2014210， 2014210-2019=2039191，因为它的个位为1 故另一个数为1，填1. 【考点评析】本题考查表示数字之间的规律，本题中能根据题意得出剩下的数字和原来所有数之和的个位数一样，是解决本题的关键. 【考点题型四】代数式的概念 【精讲题】（2023八年级上·全国·专题练习）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【规范解答】A地到B地的路程：， 提速后的速度：， 提速后的时间：， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：， 故选：B． 【变式4-1】（21-22七年级上·山东济宁·阶段练习）已知a、b、c在数轴上的位置如图，下列说法：①abc>0；②c+a>0；③c–b<0；④>0．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据a、b、c在数轴上的位置可得出a＞0、c＜b＜0，|b|＜a＜ |c|，对各选项一一判断即可． 【规范解答】解：∵a、b、c在数轴上的位置如图， ∴a＞0，c＜b＜0，|b|＜a＜ |c|， ∵a、b、c中两负一正，故①abc>0正确； ∵a＜ |c|，c＜0， ∴a+ c＜0 故②c+a>0不正确； ∵c＜ b，|b|＜a＜ |c| ∴c–b＜0， 故③c–b<0正确； ∵c＜ b＜0， ∴根据有理数的除法法则，两数相除同号得正异号得负， ∴>0， 故④>0正确； 正确的个数有3个． 故选择C． 【考点评析】本题考查利用数轴上表示数判定代数式的符号问题，掌握有理数的加减乘除的符号的确定方法，数形结合思想的利用，关键从数轴确定a、b、c的大小与绝对值的大小． 【变式4-2】（15-16七年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的个数有 (      ) 个. ① 有理数包括整数和分数；   ② 一个代数式不是单项式就是多项式； ③ 几个有理数相乘，若负因数的个数是偶数个，则积为正数. ④ 倒数等于本身的数有1，－l； A．．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【规范解答】试题分析：①、正确；②、整式包括单项式和多项式，代数式包括整式和分式；③、几个非零有理数相乘，若负因数的个数是偶数个，则积为正数；④、正确． 考点：有理数的分类、代数式、倒数． 【变式4-3】（20-21七年级上·江苏南京·期中）课本告诉我们，同一个代数式可以表示不同的实际意义，这体现了不同背景实际问题中的相同数量关系常常可以用同一个代数式来表示． 下列情境中的字母、表示的是两个不超过100的正整数，且，请解决以下问题： （1）两根同样长的铁丝，分别围成一个长为、宽为的长方形和一个正方形，长方形的长比正方形的边长大多少？ （2）下列情境： ①、两数的平均数为； ②甲、乙两人分别有元和元，要使两人的钱数一样，则甲需要给乙元； ③小亮在超市买了牛奶和可乐共瓶，其中牛奶比可乐少瓶，则他买了瓶牛奶； ④小红和爷爷从相距的两地相向而行，1后相遇，相遇时小红比爷爷多行了，则爷爷的平均速度是． 上述情境中的、、、也可以用（1）的结果中的代数式表示的是______．（填写所有正确选项前的序号） 【答案】（1）长方形的长比正方形的边长大；（2）②③④ 【思路点拨】（1）分别表示长方形和正方形的边长，再作差即可得出结论； （2）根据题意逐项列式，即可看出． 【规范解答】（1） 答：长方形的长比正方形的边长大． （2）①， ② ， ③， ④ ， 故答案为：②③④． 【考点评析】本题考查了代数式的意义及列代数式，能够根据题意列出正确的代数式是解决问题的关键． 【考点题型五】代数式书写方法 【精讲题】（20-21七年级上·四川达州·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据代数式的书写要求逐一判断即可． 【规范解答】解：A．符合代数式书写要求； B．应为； C．应为； D．应为； 故选：A． 【考点评析】本题考查代数式的书写要求，掌握代数式的书写要求是解题的关键． 【变式5-1】（19-20七年级上·四川遂宁·期中）下列各式：①②③ ④ ⑤千克 ，不符合代数式书写要求的是（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【思路点拨】根据代数式书写要求判断即可． 【规范解答】解：①，不符合要求； ②，符合要求； ③= ，不符合要求； ④符合要求； ⑤千克= 千克，不符合要求； 因此有3个书写不符合要求， 故选：C． 【考点评析】此题考查了代数式，弄清代数式的书写要求是解本题的关键． 【变式5-2】（19-20七年级上·广西南宁·阶段练习）下列代数式书写规范的是（   ） A． B． C．米 D． 【答案】A 【思路点拨】根据代数式的书写要求判断各项． 【规范解答】A．符合代数式的书写，故A选项正确； B．原式，不符合题意； C．后面有单位的应加括号，应为米，故C选项错误； D．带分数应写成假分数，故D选项错误． 故选：A． 【考点评析】代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【变式5-3】（2022七年级上·浙江·专题练习）下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 个． 【答案】2 【思路点拨】根据代数式的书写规则即可得出答案． 【规范解答】解：应该写成， 应该写成， ，符合书写规范， 综上所述，符合代数式书写规范的有2个， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键． 【考点题型六】代数式表示的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·湖南永州·期中）月日零陵区第二届学生运动会在永州工商职业中专隆重召开，开幕式上蘋洲校区七年级三百多人为大家表演了一场精彩绝伦，美轮美奂的集体舞．学校为每位表演的同学购买了一套演出服装，下面是商家给出购买服装的优惠措施：①若购买服装不足套按每套标价元出售；②若购买服装不足套，超过套部分按标价折出售；③若购买服装超过套，超过套部分按标价折出售．若学校购买的服装为套，则应付款 元（用含的代数式表示，结果要化简）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列代数式的实际应用，根据题意分段求出应付款再相加即可，读懂题意采用分段式列式，再化简是解题关键． 【规范解答】解：学校购买的服装为套， 根据题意，应付款为： ， ， 则应付款元， 故答案为：． 【变式6-1】（23-24七年级上·广东茂名·期中）某电动车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天计划生产300辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正减产为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减情况 +5 +13 +16 (1)本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车多少辆？ (2)根据记录可知本周共生产电动车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆电动车可得a元，若超额完成，则超额部分每辆再奖b元（），少生产一辆扣b元，求该厂工人这一周的工资总额． 【答案】(1)26辆 (2)2109辆 (3)（）元 【思路点拨】（1）判断出产量最多的一天和最少的一天，即可求解； （2）求出增减情况的和，再加上一周计划生产量，即可求解； （3）计件工资额加上超额工资额，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得 （辆）， 答：本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车辆． （2）解：由题意得 （辆）； 答：本周共生产电动车多2109辆； （3）解：由题意得 这一周的工资总额为（）元． 【考点评析】本题考查了有理数的实际应用，列代数式，理解有理数的实际意义是解题的关键． 【变式6-2】（22-23七年级上·福建厦门·期中）如图，是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：m）．    (1)用式子表示图中阴影部分的面积： (2)按照图所示的尺寸设计并画出一个新的图形，使其面积等于． 【答案】(1) (2)图形见解析 【思路点拨】（1）分析出图形中由四个图形组成，长方形、正方形，三角形，圆形，很容易用式子表示该图形中阴影部分的面积； （2）根据面积为分析出可以由一个边长为的正方形，一个直角边分别为，的三角形，一个半径为的圆形组成． 【规范解答】（1）解：分析图形可知， ， 阴影部分的面积为：， （2）解：要使其面积为， 则可以由一个边长为的正方形，一个直角边分别为，的三角形，一个半径为的圆形组成， 示意图可以表示为下图所示，   ． 【考点评析】本题考查了图形的面积，解题关键是分析出图形的所有形状，按照各图形面积公式求解即可． 【变式6-3】（22-23七年级上·福建泉州·期中）某网店在年的“庆国庆”活动中对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：①如果一次性购物在元以内，按标价给予九折优惠；②如果一次性购物超过元的，可以先享受“天猫”每满元减元的优惠政策（满元减元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠． (1)程叔叔在该网店购买了一台标价元的吸尘器，他应付多少元？ (2)王老师先在该网店为女儿购买了一台台灯，付款元．后来想到家里的榨汁机坏了，又上这家网店花了元买了一台榨汁机，如果王老师一次性购买，只需要付款多少元？ (3)某顾客在该网店两次购物的商品标价共计元．若第一次购物商品标价为元，且少于第二次购物商品的标价．求该顾客两次购物的实际付款共多少元？（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)当时，两次购物的实际付款共元；当时，两次购物的实际付款共元；当时，两次购物的实际付款共元； 【思路点拨】（1）根据优惠条件，将元减去元，再乘以即可； （2）求出台灯、榨汁机的标价，再根据两种物品的总价和优惠条件进行计算即可； （3）根据题意先求出的范围，再分类讨论即可； 【规范解答】（1）解：（元） 答：他应付元； （2）解：台灯的标价为：（元） 榨汁机的标价为：（元） 因此，合在一起买应付：（元） 答：如果王老师一次性购买，只需要付款元； （3）解：由题意可得： 解得： ①当时 则： 两次购物的实际付款共为：元； ②当时 则： 两次购物的实际付款共为：元； ③当 则： 两次购物的实际付款共为：（元） 综上所述，当时，两次购物的实际付款共元，当时，两次购物的实际付款共元，当时，两次购物的实际付款共元． 【考点评析】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，理解优惠方案及分类讨论思想的应用． 【考点题型七】已知字母的值，求代数式的值 【精讲题】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）为了参加校园文化艺术节，书画社计划买一些宣纸和毛笔，现了解情况如下：甲、乙两家文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每张4元．甲商店的优惠办法是：买1支毛笔送1张宣纸；乙商店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．书画社想购买毛笔10支，宣纸x张． (1)若到甲商店购买，应付_____________元；若到乙商店购买，应付_____________元（用含x的代数式表示）； (2)若时，去哪家商店购买较合算？请计算说明； (3)若时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付多少元？ 【答案】(1)， (2)到甲商店购买较为合算 (3)先到甲商店购买10支毛笔，送10张宣纸，再到乙商店购买张宣纸，费用为272元 【思路点拨】本题考查了列代数式的知识，代数式求值及有理数四则运算的实际应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． （1）到甲商店购买的费用：10支毛笔的费用张宣纸的费用；到乙商店购买的费用：（10支毛笔的费用张宣纸的费用），把相关数值代入求解即可； （2）把代入（1）得到的式子进行计算，然后比较结果即可； （3）先到甲商店购买10支毛笔，送10张宣纸，再到乙商店购买张宣纸即可． 【规范解答】（1）解：到甲商店购买的费用：（元）； 到乙商店购买的费用：（元）； 故答案为：，； （2）解：当时， 到甲商店购买的费用：（元）； 到乙商店购买的费用：（元）； ， 则到甲商店购买较为合算； （3）解：当时， 先到甲商店购买10支毛笔，送10张宣纸，再到乙商店购买张宣纸， 则费用为：（元）． 【变式7-1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）七年级新学期，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在课桌面上，小英对其高度进行了测量，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： (1)每本数学课本的厚度是 cm； (2)若课本数为（本），整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度的整式为 （用含的整式表示）； (3)现课桌面上有48本此规格的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取出13本，求余下的数学课本距离地面的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查列代数式，代数式求值，弄清高度就是数学课本的高度与讲台的高度之和是解题关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据一本课本的厚度，课本距离地面的高度就是讲台的高度加上课本的高度； （3）叠放桌上课本的数学课本数是，即为x值，代入即可求得代数式的值． 【规范解答】（1）解：一本课本的高度． 故答案为：0.5． （2）解：讲台高度为：， ∴整齐叠放在桌面上的数学课本距离地面的高度为． 故答案为： （3）解：当时， 原式 答：余下的数学课本距离地面的高度． 【变式7-2】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，池塘边有一块长为21米，宽为18米的长方形土地，现在将其余两面留出宽都是x米的小路，余下的长方形部分做菜地． (1)长方形菜地的面积为_____________平方米（用含x的代数式表示，不需要化简）； (2)当时，长方形菜地的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)菜地的面积为平方米 【思路点拨】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握长方形的面积公式． （1）由长方形的面积公式即可列出代数式； （2）把代入代数式即可求得答案． 【规范解答】（1）解：根据题意得菜地的面积为：平方米， 故答案为：平方米． （2）解：当米时， 平方米 答：菜地的面积为平方米． 【变式7-3】（23-24七年级上·新疆喀什·期中）学校需要到印刷厂印刷份材料，甲印刷厂提出：每份材料收0.2元印刷费，另收400元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收0.4元印刷费，不收制版费． (1)两印刷厂的收费各是多少元？（用含的代数式表示） (2)学校要印刷2400份材料，不考虑其他因素，选择哪家印刷厂比较合算？试说明理由． 【答案】(1)甲：元，乙：元 (2)选择甲印刷厂比较合算，见解析 【思路点拨】本题考查了列代数式、求代数式的值，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）根据甲、乙两厂的收费方式列出代数式即可； （2）把代入（1）中所求的代数式，分别计算出甲、乙两厂的费用，比较即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：甲印刷厂的收费为：元， 乙印刷厂的收费为：元； （2）解：当时， 甲印刷厂的收费为：（元）． 乙印刷厂的收费为：（元） 因为， 所以选择甲印刷厂比较合算． 【考点题型八】已知式子的值，求代数式的值 【精讲题】（20-21七年级上·湖北黄冈·期中）已知，则整式的值是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了整体代入法，代数式求值，将化为包含的式子，再将代入求解，即可解题． 【规范解答】解：， 将代入得： 故选：C． 【变式8-1】（23-24七年级上·北京东城·期中）是为1的有理数，我们把称为的差倒数．例如：2的差倒数是，的差倒数 ，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差的倒数，，则 ，依此类推 . 【答案】 【思路点拨】本题考查了代数式求值，数字类规律的探索，掌握数字类探索规律的方法是解答本题的关键．根据题中倒数差的定义，可逐步求得，，的值；根据，，，的值所显示的规律可知，每3个一组重复出现，由此可判断，即可求得答案． 【规范解答】①是的差倒数， ， 是的差倒数， ， 是的差的倒数， ， 故答案为：． ②由①可知， 由此可知，差倒数每3个一组重复出现， 因为， 所以． 故答案为：． 【变式8-2】（22-23七年级上·广西贺州·期中）已知互为相反数，互为倒数，x的绝对值是2，求的值． 【答案】或7 【思路点拨】本题主要考查整式加减的代入求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．由题意可得：，，，把相应的值代入运算即可． 【规范解答】解：因为互为相反数，互为倒数，x的绝对值是2， 所以 当时， ． 当时， ． 综上，所求代数式的值为3或7． 【变式8-3】（22-23七年级上·浙江·期中）（1）已知的值为3，求的值． （2）已知当时，代数式的值为18，求的值． 【答案】（1）11；（2）32 【思路点拨】本题考查代数式求值，结合已知条件将代数式进行适当的变形是解题的关键． （1）由题意可得，然后将变形后代入已知数值计算即可； （2）将代入可得，整理可得，然后将变形后代入已知数值计算即可． 【规范解答】解：（1）由题意可得， 则， 那么； （2）将代入可得， 则， 那么． 【考点题型九】程序流程图与代数式求值 【精讲题】（22-23七年级上·广东广州·期中）按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路点拨】将每个选项中的m、n的值代入分别进行计算即可． 【规范解答】解：A．当，时，，则，因此选项A不符合题意； B．当，时，，则，因此选项B不符合题意； C．当，时，，则，因此选项C符合题意； D．当，时，，则，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查代数式求值，理解数值加工机的运算程序是正确解答的关键． 【变式9-1】（18-19七年级上·四川巴中·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2021次输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【思路点拨】根据流程图求出第4次、第5次的输出结果，发现除去前2次的输出结果，后面的输出结果以4，2，1为一个循环，用2021减去2，再除以3，即可求出结果． 【规范解答】解：第1次输出结果是16， 第2次输出结果是8， 第3次输出结果是4， 第4次输出结果是， 第5次输出结果是， 第6次输出结果是， 下面开始循环， 除去前2次的输出结果，后面的输出结果以4，2，1为一个循环， ， ∴第2021次输出结果是1． 故选：A． 【考点评析】本题考查找规律，解题的关键是掌握循环问题的解决方法． 【变式9-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）下面是一组数值转换机的示意图．    (1)写出图（b）中的转化步骤：①_____，②_____，③_____； (2)图（b）中，若，求输出的值； (3)图（a）中，若，求x的值． 【答案】(1)，， (2) (3)3或 【思路点拨】（1）根据图形和算式得出答案即可； （2）把代入，再求出答案即可； （3）把代入，再求出答案即可． 本题考查了求代数式的值，能根据图形得出算式是解此题的关键． 【规范解答】（1）解：由图形和算式为得到图（b）中的转化步骤是： ①，②，③． 故答案为：，，； （2）当时， ； （3）由题意可得，图（a）中的算式为， 当时， ， 解得：或， 答：x的值为3或． 【变式9-3】（22-23七年级上·吉林·期中）如图是数值转换机示意图． (1)写出输出结果______（用含的式子表示）； (2)填写下表； 的值 … 0 1 2 3 … 输出值 … ______ 13 ______ 1 ______ ______ 28 … (3)输出结果的值有什么特征？写出一个你的发现． 【答案】(1) (2)，，， (3)见解析 【思路点拨】本题考查了列代数式、求代数式的值，读懂程序流程图是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）把相应的的值代入（1）中的式子计算即可得出答案； （3）根据表格得出结论即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：输出结果为：； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填写表格如下： 的值 … 0 1 2 3 … 输出值 … 13 1 28 … （3）解：由表格可得，互为相反数的的输出结果相等． 【考点题型十】用表格表示变量间的关系 【精讲题】（23-24七年级下·河南平顶山·期中）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．根据下表，回答以下问题： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … (1)由表可知，距离地面高度每上升1千米，温度降低________摄氏度． (2)写出气温t与海拔高度h的关系式；并求出当海拔高度是7千米时，其气温是多少？ (3)某航班飞机在执行飞行任务至一定高度时，驾驶舱突现险情，此时舱外气温为．两名飞行员冷静应对，创造了世界航空史上的奇迹，请你计算出该飞机发生险情时的海拔高度（假设当时所在位置的地面温度为）． 【答案】(1)6 (2) (3)9.7千米 【思路点拨】本题考查了用表格和关系式表示变量间的关系，根据表格找出两个变量的变化规律是解题的关键． （1）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律，即可解答； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：每增加1千米，气温就下降，即可解答； （3）把代入中，进行计算即可解答． 【规范解答】（1）由表格中数据可以得出，距离地面高度每上升1千米，温度降低摄氏度； 故答案为：6； （2）气温与海拔高度的关系式：， 当时，， 所以气温t与海拔高度h的关系式为； 当海拔高度是7千米时，其气温是； （3）当时，即， 解得：， 答：该飞机发生险情时的海拔高度9.7千米． 【变式10-1】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【答案】D 【思路点拨】本题考查函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义判断A即可；通过观察数据即可得出结论BC；根据C计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断D． 【规范解答】解：∵声速随温度的变化而变化， ∴自变量是温度，声速是温度的函数， ∴A正确，不符合题意； 从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢， ∴B正确，不符合题意； 从数据可知，温度每升高时，声速增加， ∴C正确，不符合题意； 由C可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 【变式10-2】（21-22七年级上·山东菏泽·期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润=票款收入-支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： X（人） ．．． 200 250 300 350 400 ．．． y（元） ．．． -200 -100 0 100 200 ．．． 根据表格中的数据，回答下列问题： (1)观察表中数据可知，当乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损； (2)请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y= ； (3)当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？ 【答案】(1)300； (2)2x-600； (3)当乘车人数为800人时，利润为1000元 【思路点拨】（1）由表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，进行解答即可； （2）由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出关系式即可解答； （3）把y＝1000代入（2）中的关系式进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损， 故答案为：300； （2）由题意得： y＝0＋×100＝2x−600， ∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x−600， 故答案为：2x−600； （3）把y＝1000代入y＝2x−600中可得： 2x−600＝1000， 解得：x＝800， 答：当乘车人数为800人时，利润为1000元． 【考点评析】本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键． 【变式10-3】（18-19七年级下·陕西咸阳·期中）某地移动公司的通话时间（分）和需要的电话费（元）之间有如下表所示的关系： 通话时间/分 1 2 3 4 5 6 7 … 电话费/元 0．4 0．8 1．2 1．6 2．0 2．4 2．8 … （1）上面表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）用x表示通话时间，用y表示电话费，请写出随着x的变化，y的变化趋势是什么？ 【答案】（1）上表反映了时间与电话费之间的关系；通话时间是自变量，电话费是因变量；（2）y随着x的增大而增大. 【思路点拨】（1）根据观察表格，可得变量，根据变量间的关系，可得自变量、因变量； （2）根据单价、时间、话费间的关系，可得函数关系式，根据正比例函数的性质，可得答案． 【规范解答】解：（1）上表反映了时间与电话费之间的关系；通话时间是自变量，电话费是因变量； （2）由表格数据可知y＝0.4x，y随着x的增大而增大． 【考点评析】本题考查变量，解题关键是能够看出两个变量之间的变化关系． 【考点题型十一】用关系式表示变量间的关系 【精讲题】（23-24七年级下·四川成都·期中）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______； (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度 (2) (3)小乐与燃放烟花所在地大约相距远 【思路点拨】本题主要考查变量的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）根据表格中的数据求出关系式； （3）根据求出的关系式得到声音在空气中的传播速度，从而求出小乐与燃放烟花所在地的距离． 【规范解答】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大， ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为， 故答案为：； （3） ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 【变式11-1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（    ） A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关 C．当时， D．当时， 【答案】C 【思路点拨】本题考查了函数关系式，根据给出的函数关系式结合函数的性质逐一判断即可求解，熟练掌握函数关系式的意义是解题的关键． 【规范解答】解：A、时间是自变量，水位高度是因变量，则正确，故不符合题意； B、y是变量，它的值与x有关，则正确，故不符合题意； C、当时，即， 解得：，则错误，故符合题意； D、当时，即，则正确，故不符合题意； 故选C． 【变式11-2】（23-24八年级上·四川成都·期中）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过吨，按每吨元收费．如果超过吨，未超过的部分仍按每吨元收费，超过部分按每吨元收费．设某户每月用水量为吨，应收水费为元． (1)分别写出当每月用水是未超过吨和超过吨时，与之间的函数表达式； (2)若该城市某用户月份和月份共用水吨，且月份的用水量不足吨，两个月一共交水费元，求该用户月份用水多少吨？ 【答案】(1)时，；时， (2)该用户7月份用水吨 【思路点拨】（1）根据每户每月用水量如果未超过吨，按每吨元收费．如果超过吨，未超过的部分仍按每吨元收费，超过部分按每吨元收费，可以得到与的函数关系式； （2）根据题意结合第一问中的函数关系式，列出方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，； 当时，． 即时，；时，． （2）解：设6月份的用水量为吨，7月份用水为吨， 依题意可得：， 解得：， ， 答：该用户月份用水吨． 【考点评析】本题考查函数的表达式，解题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，找出所求问题需要的条件． 【变式11-3】（20-21七年级上·广西南宁·期中）如图在直角梯形中，，，，，，点P，Q同时从点B出发，其中点P以的速度沿着点运动；点Q以的速度沿着点运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动． （1）当运动时间时，则三角形的面积为_____； （2）当运动时间时，则三角形的面积为_____； （3）当运动时间为时，请用含t的式子表示三角形的面积． 【答案】（1）16；（2）30；（3）当运动时间为时，三角形的面积 【思路点拨】（1）根据、的值和点Q的速度是，点P的速度是，求出、的值，再根据三角形面积公式计算即可； （2）求出的值，再根据三角形面积公式计算即可； （3）分三种情况讨论：根据三角形面积公式列出即可． 【规范解答】解：（1）AB=5cm，AD=8cm，BC=14cm，点Q的速度是2cm/s，点P的速度是1cm/s， 当运动时间t=4s时，QB=2t=2×4=8（cm），BP=t=4（cm）， 则三角形BPQ的面积为：， 故答案为：16； （2）当运动时间时， ∵AB=5cm，点P的速度是1cm/s， ∴点P运动到了AD上， ， 则三角形的面积为：， 故答案为：30； （3）当P在上时，此时， 则三角形的面积为； 当P在上，且Q沿着点运动时， ∵BC=14cm，点Q的速度是2cm/s， 此时，即， 则三角形的面积为； 当P在上，且Q沿着点运动时， ∵AB=5cm，AD=8cm，点P的速度是1cm/s， 此时，即， 则三角形的面积为； 综上，当运动时间为时，三角形的面积． 【考点评析】本题考查了列代数式，三角形的面积，数形结合、分类讨论是解题的关键． 【考点题型十二】用图像表示变量间的关系 【精讲题】（23-24七年级下·山东青岛·期中）1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程成为解答本题的关键．根据自由落体运动速度与事件的关系进行判定即可． 【规范解答】解：苹果从树上落下来，基本是自由落体运动， 即，g为定值，故v与t成正比例函数，v随t的增大而增大． 符合条件的只有选项B． 故选：B． 【变式12-1】（16-17七年级·辽宁丹东·期中）如图是小乐从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，从中得到如下信息：    ①学校离小乐家1000米；    ②小乐用了20分钟到家； ③小乐前10分钟走了路程的一半；    ④小乐后10分钟比前10分钟走得快， 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②/②① 【思路点拨】根据观察函数图象的横坐标、纵坐标，可得答案． 【规范解答】解：①由图象的纵坐标可以看出，学校离小乐家1000米，故①正确； ②由图象的横坐标可以看出，小乐用了20分钟到家，故②正确； ③由图象的纵坐标可以看出，小乐前10分钟走的路程较多，故③错误；    ④由图象的纵坐标可以看出，小乐后10分钟比前10分钟走得慢，故④错误； 故填：①②． 【考点评析】本题考查了用图象表达变量之间的关系，观察图象的横坐标、纵坐标，能从图象识别信息是解题的关键． 【变式12-2】（17-18七年级下·全国·单元测试）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数与生产时间的关系如图所示．    (1)根据图象填空： 甲、乙两人中， 先完成一天的生产任务在生产过程中， 因机器故障停止生产 小时 当 时，甲、乙生产的零件个数相等 (2)谁在哪一段时间内的生产速度最快，求该段时间内，他每小时生产零件的个数． 【答案】(1)甲；甲；；或 (2) 【思路点拨】（1）根据图象直接填写即可；根据图象中两函数图象交点即为甲、乙生产的零件个数相等时的信息． （2）根据图象即可得到生产速度最快的时间段，再根据题意即可求出最快的速度． 【规范解答】（1）由图象可知，甲先完成一天的生产任务在生产过程中，甲因机器故障停止生产小时 由图象可知， 当或时，两函数图象相交，即为甲、乙生产的零件个数相等 故为3或5.5时，甲、乙生产的零件个数相等． （2）由图象可知甲在时内倾斜角度最大，生产速度快； 此时甲每小时生产零件的个数为（个）． 【考点评析】本题考查了从图象中获取信息，解题的关键是根据题意得到相关的信息． 【变式12-3】（23-24七年级下·山西运城·期中）在一场比赛中，龟和兔从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点．比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)乌龟的速度为__________米/分，兔子在休息后的速度为__________米/分，比赛全程__________米； (2)骄傲的兔子在离开起点__________米时停下休息，休息了__________分； (3)请解释图中点A的实际意义：__________； (4)若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？ 【答案】(1)1，，10 (2)5，3 (3)兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米 (4)若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟 【思路点拨】本题考查了用图象表示变量之间的关系，从图象上获取信息等知识，理解图象的转折点是解题的关键； （1）根据点的意义，可得乌龟的速度，当时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为，当时，兔子休息完，时，二者同时到达终点，根据路程除以时间得到兔子休息后的速度，根据总时间乘以乌龟的速度得到路程，即可求解； （2）根据图象可得当时，兔子第一次追上乌龟，开始休息，当时，两者距离最大，兔子休息完，即可求解； （3）根据图象可得，兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米； （4）先求得兔子休息前的速度为米/分，进而求得所用时间，结合题意，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意兔子比乌龟晚出发；由图象可得乌龟的速度为：米/分； 当时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为，当时，兔子休息完，时，二者同时到达终点， ∴比赛全程为：米，兔子在休息后的速度为米/分， 故答案为：1，，10． （2）解：依题意，当时，兔子第一次追上乌龟，开始休息，当时，两者距离最大，兔子休息完， ∴骄傲的兔子在离开起点米时停下休息，休息了分钟 故答案为：，． （3）解：图中点A的实际意义：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米 故答案为：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米． （4）解：依题意，兔子休息前的速度为米/分 ∴兔子需要的时间为分钟， ∵兔子比乌龟晚出发2分钟， ∴兔子需要分钟完成比赛， 分钟 答：若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟 期中真题拔高训练15题 1．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）若，，且，则等于（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的含义，有理数的加减运算，求解代数式的值，理解绝对值与乘方的逆运算是解本题的关键． 通过可得a、b异号，再由，，，可得，或，；就可以得到的值 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或， 故选C． 2．（23-24七年级上·江西吉安·期中）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予实际意义的例子中不正确的是（   ） A．若葡萄的价格是3元/千克，则表示买a千克葡萄的金额 B．若a表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长 C．某校七年级共有3个班，每个班平均有a名女生，则表示七年级女生总数 D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个数 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系．根据各选项的表述，结合相应的等量关系进行分析即可． 【规范解答】解：A、若葡萄的价格是3元千克，则表示买千克葡萄的金额，正确，故A不符合题意； B、若表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长，正确，故B不符合题意； C、若某校七年级共有3个班，平均每个班有名女生，表示该校七年级女生总数，正确，故C不符合题意； D、若3和分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数，此选项错误，故D符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级上·广东东莞·期中）一个矩形的周长为30，若矩形的一边长用字母x表示，则此矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据已知表示出矩形的另一边长，进而利用矩形面积求法得出答案．此题主要考查了列代数式，根据题意表示出矩形的另一边长是解题关键． 【规范解答】解：一个矩形的周长为30，矩形的一边长为， 矩形另一边长为：， 故此矩形的面积为：． 故选：A． 4．（2024·浙江·模拟预测）如图所示的正方形是由四个等腰直角三角形拼成的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是列代数式，根据题意可知：阴影部分的面积=大正方形的面积-四个等腰直角三角形的面积 ，计算即可． 【规范解答】解：根据题意可知：阴影部分的面积=大正方形的面积-四个等腰直角三角形的面积 故选：C． 5．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在长方形中，，，对角线，动点从点出发，沿运动，设点的运动路程为（），的面积为（）．若与的对应关系如图所示，则图中（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查用图象表示变量的关系．根据题意，先求出当点在上运动时的面积即的值，再根据点沿运动到时的路程来求的值即可． 【规范解答】解：当点在上运动时， 由图知，点沿运动到时，路程为 ． 故选：C． 6．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）把7个长和宽分别为a，b的小长方形纸片（如图1），按如图2所示的方式放置在长方形中，则长方形中阴影部分的面积为 （用含有a，b的代数式表示．要求：表示出来即可，不需化简） 【答案】 【思路点拨】本题考查了列代数式，长方形的长为：，长方形的宽为：，由阴影面积为大长方形的面积减去个小长方形的面积即可求解；找出阴影部分的面积表示是解题的关键． 【规范解答】解：由图得 长方形的长为：， 长方形的宽为：， 长方形的面积为， 长方形中阴影部分的面积为： ； 故答案：． 7．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如，我们叫集合，其中叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出x，y的值．根据集合的定义和集合相等的条件即可判断． 【规范解答】∵ ∴，得．下分两种情况讨论： ①若，则，此时有，故符合题意； ②若，则，此时A集合有重复元素或者，不符合题意； ∴,代入下式： 故答案为：． 8．（23-24七年级上·湖南常德·期中）如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了程序框图的代数式求值．根据题意确定代数式是解题的关键． 由题意知，代数式为，将代入求解即可． 【规范解答】解：由题意知，代数式为， 将代入得，原式， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，大正方形内有四个形状大小完全相同的长方形，且每个长方形的两条边分别在大正方形的四条边上，大正方形内有个小正方形与四个长方形有重叠（阴影部分），若两个正方形的周长分别为和，且四个阴影部分的周长为，则长方形的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了列代数式，代数式求值；根据小正方形的周长减去阴影部分周长的一半等于个长方形之间的长可求出的长，再根据两正方形的周长可得和的长即可得出结论． 【规范解答】解：由图形可得：小正方形的周长减去阴影部分周长的一半等于个长方形之间的长，即个的长， 即：， ∴， 长方形的长为，宽为， ∴ ∴长方形的周长= 故答案为：． 10．（23-24七年级上·四川成都·期中）某城市青菜价格在六、七两个月中起伏较大．每日的平均菜价与前一日不是上涨，就是下降，且7月31日的平均菜价不低于6月1日的平均菜价，那么在这两个月中最少有 天的平均菜价高于前一日的平均菜价． 【答案】32 【思路点拨】此题考查列代数式问题，6月1日至7月31日共61天，如果上涨日与下降日各30天，设7月31日的菜价是6月1菜价的，分几种情况进行解答即可．本题的关键是分几种情况解答． 【规范解答】解：6月1日至7月31日共61天，如果上涨日与下降日各30天，设7月31日的菜价是6月1菜价的， 可得：， 如果上涨日比下降日多2天，则为：， 如果上涨日比下降日多4天，则为： ， ， 答：至少有32天的平均菜价高于前一日的平均菜价． 故答案为：32． 11．（23-24七年级上·吉林长春·期中）已知是5的相反数． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或21 【思路点拨】（1）根据绝对值的意义和求出a，b的值，代入计算即可； （2）结合判断出a，b，c的值，代入计算即可． 【规范解答】（1）∵ ∴ ． （2）∵c是5的相反数， ∴． ∴当时，； 当，时，． 【考点评析】本题考查了代数式求值，涉及的知识有：绝对值，相反数，有理数的乘法法则，求出a，b，c的值是解本题的关键． 12．（23-24七年级上·四川南充·期中）从2020年开始，我市中考总分中要加大体育分值，某校为适应新的中考要求．决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元，现有A、B两家店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的付款，已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款_____________元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款__________元（用含x的代数式表示）； (2)若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)应选择在网店购买合算，过程见解析； (3)在网店购买60个足球配送60个跳绳，再在网店购买40个跳绳，付款9480元． 【思路点拨】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，求解代数式的值，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）根据甲乙各自的优惠分式分别列代数式，再化简即可； （2）把代入（1）中的代数式，计算后进行比较即可； （3）当时，在网店购买60个足球配送60个跳绳，再在网店购买40个跳绳：此时最合算． 【规范解答】（1）A店购买可列式：元； 在网店B购买可列式：元； 故答案为：；； （2）当时, 在A网店购买需付款：(元)， 在B网店购买需付款：(元)， ∵, ∴当时,应选择在网店购买合算； （3）由(2)可知，当时，在A网店付款9600元，在B网店付款10260元，在A网店购买60个足球配送60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳合计需付款； ， ∵, ∴省钱的购买方案是：在网店购买60个足球配送60个跳绳，再在网店购买40个跳绳，付款9480元 13．（22-23七年级上·广东湛江·期中）2022年北京冬奥会在国家体育场鸟巢举行开幕式吉祥物“冰墩墩”成为2022开年“顶流”某商家销售的一款“冰墩墩”毛绒玩具，每个定价200元，钥匙扣每个定价50元，并推出两种优惠方案：方案一：购买2个毛绒玩具，赠送1个钥匙扣；方案二：购买毛绒玩具和钥匙扣一律按9折优惠，某公司要购买毛绒玩具和钥匙扣作为员工礼物，想要购买毛绒玩具20个，钥匙扣x个（不少于10个）． (1)若该公司采购员按方案一购买，需付款 元（用含x的式子表示）；若该公司采购员按方案二购买，需付款 元（用含x的式子表示）； (2)当购买钥匙扣25个时，通过计算说明按照哪种方案购买较合算？ (3)当购买钥匙扣25个时请给出一种更省钱的购买方案，并计算需要的钱数． 【答案】(1) ， (2)按照方案二购买合算 (3)先按方案一买20个毛绒玩具，再按方案二买15个钥匙扣，此时需付款4675元 【思路点拨】（1）根据题意分别列出两种方案所需付款，再化简即可； （2）把分别带入（1）所列的两个代数式中计算结果，通过比较大小即可确定较为合算的方案． （3）先按方案一购买20个毛绒玩具，则可以赠送10个钥匙扣，再按方案二买15个钥匙扣，最后计算总价即可． 本题主要考查了列代数式和代数式求值，根据题意正确的列出代数式是解题的关键． 【规范解答】（1）根据题意得： 方案一需付款： ， 方案二需付款：， 故答案为： ， （2）当时， ， ， ， ∴按照方案二购买合算． （3）先按方案一买20个毛绒玩具，再按方案二买15个钥匙扣，此时需付款：（元）． 14．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 【答案】(1)132；6；61 (2)存在点M，使，点M对应的数为或 (3)当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数为，点P和点Q一共相遇了次 【思路点拨】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离； （1）根据可得，故可得的长度，再利用时间等于路程除以速度和，即可解答；再根据求得时间，即可得到相遇点表示的数； （2）设点表示的数为，考虑两种情况，即点在点左边，点在点和点中间，再根据，列方程即可解答； （3）求出点运动的时间，即可算出点运动的路程，再求出点的位置即可，再根据点来回次数，求得和点相遇次数． 熟练利用代数式表示动点表示的位置是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据，可得，， ， （秒）， 相遇的点为； （2）解：设点表示的数为， ①当点在点左边时， ，，， 根据，可列方程， 解得； ②点在点和点中间时， ，，， 根据，可列方程， 解得； 综上所述，存在点M，使，点M对应的数为或； （3）解：点运动的时间为（秒）， ， 所以可得点总共往返6趟，且最后停止在处， 综上所述，点P和点Q一共相遇了7次． 15．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知正方形与正方形，，．根据下列条件平移正方形，解决下列问题．    (1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】（1）利用割补法即可求解； （2），利用割补法即可求解； （3），利用割补法即可求解； （4），利用割补法即可求解； 熟练掌握割补法及利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图：   ， 故答案为：． （2）延长与交于，如图：    ， 故答案为：． （3）延长延长与交于，延长与交于，如图所示：    ∵， ，， ， 故答案为：． （4）延长与交于，延长与交于，如图：   ，， ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$