清单02 有理数的运算（知识导图+11个考点清单&题型解读）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

清单02 有理数的运算 （考点梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】有理数的加减混合运算 3 【考点题型二】有理数加减法中的简便运算 4 【考点题型三】有理数加减混合运算的应用 5 【考点题型四】有理数乘除混合运算 6 【考点题型五】有理数的乘方运算 8 【考点题型六】乘方的应用 9 【考点题型七】用科学记数法表示较大的数 10 【考点题型八】有理数的四则混合运算 10 【考点题型九】有理数四则混合运算的实际应用 11 【考点题型十】程序流程图与有理数计算 13 【考点题型十一】含乘方的有理数混合运算 14 期中真题拔高训练15题 15 知识点01:有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点02:有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点03:科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【考点题型一】有理数的加减混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 【变式1-1】（23-24七年级上·吉林松原·期中）根据给出的数轴，回答下列问题． (1)写出点表示的数的相反数和点表示的数的绝对值； (2)将点先向右移动1个单位长度，再向左移动5个单位长度，得到点，在数轴上表示出点，并写出点表示的数． 【变式1-2】（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期中）某环卫清扫车在一条南北大道上来回清扫大街，一天早晨，清扫车从岗亭出发，中午停留在环卫驿站，规定向北方向为正，当天上午连续行驶情况记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)环卫驿站在岗亭何方？距离岗亭多远？在给定的数轴上标示出环卫驿站和岗亭的位置 (2)在清扫过程中，该车离开岗亭最远的距离是多少千米？（计算或用数轴表示均可） (3)若清扫车每行驶千米耗油升，上午共耗油多少升？ 【考点题型二】有理数加减法中的简便运算 【精讲题】（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1) ； (2)． 【变式2-1】（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算：． 【考点题型三】有理数加减混合运算的应用 【精讲题】（22-23七年级上·广西贺州·期中）十一黄金周期间，某市在这七天中外出旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，单位：万人） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6 10月7日 人数变化 (1)若9月30日外出旅游人数记为m，请用含m的式子表示10月3日外出旅游的人数； (2)请判断这七天中外出旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)如果最多一天的出游人数为4.5万人，求m的值． 【变式3-1】（22-23七年级上·广西河池·期中）已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 【变式3-2】（18-19七年级上·全国·期中）股民李华星期五买某公司股票1000股，每股元，下表为第二周周一至周五每日该股票涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股为多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知李华买进股票时付了成交额的手续费，卖出时付了成交额的手续费和成交额的交易税，如果李华在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【考点题型四】有理数乘除混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点C对齐刻度．    (1)在图1的数轴上，______个单位长度；在图2中，______cm；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的______cm，在数轴上点所对应的数______． (2)在图2的数轴上标出下列数字：，0，1． (3)在图1的数轴上有一动点，当时，求点在图2中对应刻度尺上的读数． 【变式4-1】（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第______________步，错误原因是______________； 第二处是第______________步，错误原因是______________； (2)请写出正确的结果______________． 【变式4-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）老师布置了一道练习：计算． 嘉嘉和淇淇的解答过程如下： 嘉嘉的解答过程解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 淇淇的解答过程解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)①嘉嘉解题过程中开始出现错误的是第______步； ②淇淇解题过程中开始出现错误的是第______步． (2)把正确的解题过程写出来． (3)计算：． 【考点题型五】有理数的乘方运算 【精讲题】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）若a、b、c、d是互不相等的整数，且，则 ． 【变式5-1】．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空：　 　，　 　； (2)计算：； (3)若，，求的值． 【变式5-2】（22-23七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果  的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①；② (2)将下列对数式改为指数式： ①=2 ② (3)计算： 【考点题型六】乘方的应用 【精讲题】（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值： ； ； ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P在数轴上运动，点A到点B的距离是 ，点B到点C的距离是 ，点P到点A、B、C的距离之和的最小值是 ． (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动，则经过t秒钟时，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值． 【变式6-1】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式6-2】（22-23七年级上·宁夏吴忠·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞； (2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞． 【考点题型七】用科学记数法表示较大的数 【精讲题】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24七年级上·河南商丘·期中）在网络上用“”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为，这个数用科学记数法表示为 ． 【变式7-2】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．用四舍五入法将精确到千位的近似数是 B．用四舍五入法将精确到的近似数为 C．的原数为 D．用科学记数法表示为 【考点题型八】有理数的四则混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·四川成都·期中） （1） ；         （2）； （2） ；     （4）． 【变式8-1】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）阅读下面的解题过程： 解： ＝ ＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 回答： (1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________． (2)正确的结果是__________________． 【变式8-2】（22-23七年级上·四川成都·期中）（1）计算：； （3） 计算：． 【考点题型九】有理数四则混合运算的实际应用 【精讲题】（22-23七年级上·新疆克孜勒苏·期中）某检修小组乘汽车检修公路道路．向东记为正，向西记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：．问： (1)最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？ (2)若每千米耗油升，则今天共耗油多少升？ 【变式9-1】（22-23七年级上·山东青岛·期中）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 【变式9-2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具210个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 0 (1)根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具________个； (2)根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具________个； (3)该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成每日任务，则超过部分每个另奖2元；若未完成每日任务，少生产一个则倒扣3元，求小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ (4)“每周计件工资制”为每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成每周任务，则超过部分每个另奖2元；若未完成每周任务，少生产一个则倒扣3元，与（3）“每日计件工资制”相比，实行“_______计件工资制”小明妈妈的工资更多，多________元． 【考点题型十】程序流程图与有理数计算 【精讲题】（23-24七年级上·山东德州·期中）科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入0，则输出的结果是（    ） A．8 B．2 C．4 D．1 【变式10-1】（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加*键，再输入b，得到运算：． (1)求的值； (2)小华在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小华在输入数据时，出现了什么情况？为什么？ 【变式10-2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有以下运算程序，如图所示： 比如，输入数对，输出． (1)若输入数对，则输出 ； (2)分别输入数对和，输出的结果分别是，试比较的大小，并说明理由； (3)设，若输入数对之后，输出，请直接写出的值． 【考点题型十一】含乘方的有理数混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式11-1】（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）计算： (1) ； (2)． (2) ； (4)． 【变式11-2】（22-23七年级上·河南郑州·期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：　　； （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈n（）次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2023秋•来宾期中）徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•昆山市校级期中）小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高6分，第三次比第二次低10分，第四次又比第三次高12分．那么这四次测验的平均成绩是 A．90分 B．85分 C．87.5分 D．81分 3．（2023秋•锦江区校级期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•朝阳区校级期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（2019秋•思明区校级期中）设，，则、的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 二．填空题 6．（2023秋•兴宾区校级期中）将长方形纸片对折1次可得1条折痕，对折2次可得3条折痕，对折3次可得7条折痕，那么对折6次可得 　　条折痕． 7．（2023秋•薛城区期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则的值为 　　． 8．（2023秋•禹城市期中）若有理数，互为倒数，，互为相反数，的绝对值是2，则　　． 9．（2023秋•开州区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是　 　． 10．（2023秋•靖江市校级期中）如图，定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是11．若，则第449次“运算”的结果是 　　． 三．解答题 11．（2023秋•铜官区校级期中）计算 （1）； （2）． 12．（2023秋•贵阳期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米），，，，13，，，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 13．（2024春•上海期中）材料一：对任意有理数，定义运算“”． ． 如：，． 材料二：规定表示不超过的最大整数，如，，． （1）　　，　　； （2）求的值； （3）若有理数，满足，请直接写出的结果． 14．（2020秋•广信区期中）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 15．（2023秋•深圳期中）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算： ；； ；； ；． （1）归纳运算的法则： 两数进行运算时，　　．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，　　． （2）计算：　　． （3）是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 有理数的运算 （考点梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】有理数的加减混合运算 3 【考点题型二】有理数加减法中的简便运算 6 【考点题型三】有理数加减混合运算的应用 7 【考点题型四】有理数乘除混合运算 11 【考点题型五】有理数的乘方运算 14 【考点题型六】乘方的应用 17 【考点题型七】用科学记数法表示较大的数 20 【考点题型八】有理数的四则混合运算 21 【考点题型九】有理数四则混合运算的实际应用 24 【考点题型十】程序流程图与有理数计算 27 【考点题型十一】含乘方的有理数混合运算 30 期中真题拔高训练15题 33 知识点01:有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点02:有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点03:科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【考点题型一】有理数的加减混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【思路点拨】本题考查了新定义运算和有理数的加减，根据新定义运算法则计算即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【变式1-1】（23-24七年级上·吉林松原·期中）根据给出的数轴，回答下列问题． (1)写出点表示的数的相反数和点表示的数的绝对值； (2)将点先向右移动1个单位长度，再向左移动5个单位长度，得到点，在数轴上表示出点，并写出点表示的数． 【答案】(1)点表示的数的相反数是，点表示的数的绝对值是2 (2)数轴见解析，点表示的数是 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、绝对值的意义、有理数的加减混合运算 【思路点拨】本题考查了在数轴上表示有理数，绝对值的性质、相反数的性质，数轴上点的移动规律：右加左减． （1）先得到点表示的数是3，点表示的数是，即可作答； （2）根据数轴上点的移动规律：右加左减．进行列式计算，得点表示的数是； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】（1）解： 由数轴可得，点表示的数是3，点表示的数是， ∴点表示的数的相反数是，点表示的数的绝对值是2． （2）解：∵点先向右移动1个单位长度，再向左移动5个单位长度，得到点，点表示的数是3， 点表示的数是， ∴点表示的数是， 在数轴上表示如图． 【变式1-2】（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期中）某环卫清扫车在一条南北大道上来回清扫大街，一天早晨，清扫车从岗亭出发，中午停留在环卫驿站，规定向北方向为正，当天上午连续行驶情况记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)环卫驿站在岗亭何方？距离岗亭多远？在给定的数轴上标示出环卫驿站和岗亭的位置 (2)在清扫过程中，该车离开岗亭最远的距离是多少千米？（计算或用数轴表示均可） (3)若清扫车每行驶千米耗油升，上午共耗油多少升？ 【答案】(1)环卫驿站在岗亭南边，距离岗亭千米，数轴见解析． (2)在清扫过程中，该车离开岗亭最远的距离是千米． (3)上午共耗油升． 【知识点】正负数的实际应用、用数轴上的点表示有理数、绝对值的意义、有理数的加减混合运算 【思路点拨】本题考查了正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解答本题的关键． （1）根据题意，计算出上午连续行驶，最终停留在环卫驿站，规定向北方向为正，得出环卫驿站在岗亭南边，距离岗亭千米． （2）根据题意，将每一次停车与岗亭的距离计算出来，最后找出该车离开岗亭最远的距离． （3）根据题意，将上午行驶的距离计算出来，然后乘以每千米耗油量，得到答案． 【规范解答】（1）解：根据题意： 当天上午连续行驶，最终停留在环卫驿站，则 （千米） 规定向北方向为正， 环卫驿站在岗亭南边，距离岗亭千米， 如下图，数轴上标示出环卫驿站和岗亭的位置， （2）第一次停下来与岗亭的距离为： （千米）； 第二次停下来与岗亭的距离为： （千米）； 第三次停下来与岗亭的距离为： （千米）； 第四次停下来与岗亭的距离为： （千米）； 第五次停下来与岗亭的距离为： （千米）； 第六次停下来与岗亭的距离为： （千米）； 第七次停下来与岗亭的距离为： （千米）； 第八次停下来与岗亭的距离为： （千米）； 即在清扫过程中，该车离开岗亭最远的距离是千米； （3）根据题意， 当天上午连续行驶总距离为： （千米）， 上午共耗油：（升）， 答：上午共耗油升． 【考点题型二】有理数加减法中的简便运算 【精讲题】（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【思路点拨】本题考查整式的加减运算： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式2-1】（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【思路点拨】本题考查了有理数的加减混合运算等知识． （1）先将减法转化为有理数加法运算，再进行计算即可求解； （2）先根据加法交换律和结合律进行同分母分数加法运算，再进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：； （2）解：． 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算：． 【答案】5 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【规范解答】解： ． 【考点评析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算的运算顺序和运算法则，以及加法运算律在有理数范围依旧适用． 【考点题型三】有理数加减混合运算的应用 【精讲题】（22-23七年级上·广西贺州·期中）十一黄金周期间，某市在这七天中外出旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，单位：万人） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6 10月7日 人数变化 (1)若9月30日外出旅游人数记为m，请用含m的式子表示10月3日外出旅游的人数； (2)请判断这七天中外出旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)如果最多一天的出游人数为4.5万人，求m的值． 【答案】(1)10月3日外出旅游的人数是万人； (2)最多的是10月4日，最少的是10月7日，它们相差1.7万人； (3)m的值为1.6． 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【思路点拨】本题考有理数加减的实际应用； （1）根据题意可以用用含的代数式表示10月3日外出旅游的人数； （2）根据表格和题意可以用含的代数式分别表示出这七天每天外出旅游的人数，从而可以得到这七天内外出旅游人数最多的是哪天，最少的是哪天，它们相差多少万人； （3）根据第（2）中的数据可以知道哪天人数最多和最多一天有出游人数4.5万人，可以计算出9月30日出去旅游的人数有多少． 【规范解答】（1）由题意可得， 10月3日外出旅游的人数是：万人， 即10月3日外出旅游的人数是万人； （2）由题意可得， 10月1日外出旅游的人数：； 10月2日外出旅游的人数：； 10月3日外出旅游的人数：； 10月4日外出旅游的人数：； 10月5日外出旅游的人数：； 10月6日外出旅游的人数：； 10月7日外出旅游的人数：； 万人， 即这七天内外出旅游人数最多的是10月4日，最少的是10月7日，它们相差1.7万人； （3）由（2）可知10月4日外出旅游人数最多为万人， ， 解得． 即9月30日出去旅游的人数有1.6万人． 答：如果最多一天的出游人数为4.5万人，m的值为1.6． 【变式3-1】（22-23七年级上·广西河池·期中）已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 【答案】(1)B地在数轴上表示的数是14或； (2)点P、点Q到A地的距离相等； (3)经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是80米 【知识点】数轴上的动点问题、有理数加减混合运算的应用 【思路点拨】本题考查了数轴，有理数加减混合运算的应用． （1）在数轴上表示的点移动30个单位后，所得的点表示为或； （2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可； （3）根据经过100次行进，可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解． 【规范解答】（1）解：，． 答：地在数轴上表示的数是14或； （2）解：第七次行进后：， 第八次行进后：， 因为点、与点的距离都是4米， 所以点、点到地的距离相等； （3）解：当为100时，它在数轴上表示的数为： ， （米． 答：经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点之间的距离是80米． 【变式3-2】（18-19七年级上·全国·期中）股民李华星期五买某公司股票1000股，每股元，下表为第二周周一至周五每日该股票涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股为多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知李华买进股票时付了成交额的手续费，卖出时付了成交额的手续费和成交额的交易税，如果李华在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)元 (2)最高元，最低元 (3)星期三收盘时，每股为元，本周内最高价每股为元，最低价每股元，最终他盈利元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【思路点拨】本题考查了正负数的应用，股票的计算，有理数加减混合运算的应用． （1）会计算每天的股票价，周一股价等于买进价加涨跌价，周二股价等于周一股价加涨跌价，周三股价等于周二股价加涨跌价，周四股价等于周三股价加涨跌价，周五股价等于周四股价加涨跌价，计算即可． （2）计算每天的股价，比较解答即可． （3）根据最终收益等于(成交股价-买进价)乘以买进股数-买进价乘买进股数交易股价交易股数交易股价交易股数计算即可． 【规范解答】（1）∵买进价为元， ∴周一股价元，周二股价元， 周三股价元， 答：星期三收盘时，每股为元． （2）∵买进价为元， ∴周一股价元，周二股价元， 周三股价元，周四股价元， 周五股价元， 答：本周最高股价为元，最低股价为元． （3）根据题意，得： （元）． 答：最终他盈利830.55元． 【考点题型四】有理数乘除混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点C对齐刻度．    (1)在图1的数轴上，______个单位长度；在图2中，______cm；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的______cm，在数轴上点所对应的数______． (2)在图2的数轴上标出下列数字：，0，1． (3)在图1的数轴上有一动点，当时，求点在图2中对应刻度尺上的读数． 【答案】(1)9，，， (2)见解析 (3)或 【知识点】有理数乘除混合运算、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【思路点拨】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式直接求解即可； （2）在图二的数轴上表示出三个数即可； （3）按照两个数轴的比例得出在图二中的数值即可． 【规范解答】（1）解：在图1的数轴上，个单位长度；在图2中，；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，在数轴上点所对应的数． 故答案为：9，，，； （2）解：∵， ∴在处， ∵， ∴0在处， ∵， ∴1在处． 如图，    （3）解：∵， ∴D在图2中对应刻度尺上的的长度为：， ∴或， ∴点D在图2中对应刻度尺上的读数为：或． 【变式4-1】（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第______________步，错误原因是______________； 第二处是第______________步，错误原因是______________； (2)请写出正确的结果______________． 【答案】(1)二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错 (2) 【知识点】有理数乘除混合运算 【思路点拨】本题考查了有理数乘除混合运算，乘除同时出现时，按照从左到右顺序依次计算不能乱了顺序． （1）从运算的顺序，运算符号，运算结果三个方面去分析求解即可． （2）按照正确的运算顺序，规范解答即可． 【规范解答】（1）根据题意，得： 第一处是第2步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算； 第二处是第3步，错误原因是符号弄错，同号得正， 故答案为：二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错． （2） ． 【变式4-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）老师布置了一道练习：计算． 嘉嘉和淇淇的解答过程如下： 嘉嘉的解答过程解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 淇淇的解答过程解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)①嘉嘉解题过程中开始出现错误的是第______步； ②淇淇解题过程中开始出现错误的是第______步． (2)把正确的解题过程写出来． (3)计算：． 【答案】(1)①二，②一 (2)见解析 (3) 【知识点】有理数乘除混合运算 【思路点拨】（1）①嘉嘉在第二步计算乘除混合运算时，应按照从左到右顺序依次计算；②淇淇第一步计算含有括号时，应该先计算括号里面的； （2）按照有理数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． （3）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：①嘉嘉解题过程中第二步计算有错误， 故答案为：二； ②淇淇解题过程中第一步有错误， 故答案为：一； （2）解： ； （3） ． 【考点评析】本题考查了有理数混合运算，在计算有理数混合运算时，有括号先计算括号里面的，再计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减，同级运算时从左往右依次进行计算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键． 【考点题型五】有理数的乘方运算 【精讲题】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）若a、b、c、d是互不相等的整数，且，则 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【思路点拨】本题主要考查乘方，由已知四个整数的积等于121，又，所以只存在，再由得出每个数，求出答案． 【规范解答】解：已知是互不相等的整数，且， 又，那么a，b，c，d四个整数之积等于121， 只有， 又已知， 所以， 那么，． 故答案为：． 【变式5-1】．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空：　 　，　 　； (2)计算：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算 【思路点拨】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （3）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出a，b的值然后解题即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 【变式5-2】（22-23七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果  的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①；② (2)将下列对数式改为指数式： ①=2 ② (3)计算： 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)6 【知识点】有理数乘方逆运算 【思路点拨】（1）根据对数的定义求解； （2）利用对数的定义写成幂的形式； （3）先利用乘方的意义得到，然后根据对数的定义求解． 【规范解答】（1）解：①； 对数式记作：； ②； 对数式记作：； （2）①； 指数式为， ②； 指数式为； （3）， ． 【考点评析】本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方． 也考查了阅读理解能力． 【考点题型六】乘方的应用 【精讲题】（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值： ； ； ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P在数轴上运动，点A到点B的距离是 ，点B到点C的距离是 ，点P到点A、B、C的距离之和的最小值是 ． (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动，则经过t秒钟时，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值． 【答案】(1)；； (2)2；4；6 (3)的值不随着时间t的变化而改变，为定值2 【知识点】数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、乘方的应用、绝对值非负性 【思路点拨】（1）根据b是最小的正整数可得，再根据非负数的性质求出a，c即可； （2）根据数轴上两点间距离的求法列式计算即可； （3）分别求出t秒后点A，B，C所表示的数，得出和，再计算的值即可． 【规范解答】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：；；； （2）∵，，， ∴点A到点B的距离，点B到点C的距离， 当点P与点B重合时，点P到点A、B、C的距离之和取最小值，最小值为， 故答案为：2；4；6； （3）的值不随着时间t的变化而改变，为定值2； 理由：∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动， ∴经过t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， 即的值不随着时间t的变化而改变，为定值2． 【考点评析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，数轴上两点间距离的求法，能够正确求出数轴上的点表示的数是解题的关键． 【变式6-1】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【思路点拨】分别求出的末位数字，再相加即可． 【规范解答】解：由题知， ，，，，，，，，， 所以的末位数字按循环出现， 又余2， 所以的末位数字是4． ，，，，，，，，…， 所以的末位数字按循环出现， 又余3， 所以的末位数字是7． 的末位数字是3 故选：A． 【考点评析】本题考查尾数特征，能根据所给的2的乘方和3的乘方的尾数发现其出现的规律是解题的关键． 【变式6-2】（22-23七年级上·宁夏吴忠·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞； (2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞． 【答案】(1)16 (2) 【知识点】乘方的应用 【思路点拨】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案； （2）经过n小时即个30分钟，根据题意，得到规律，即可得到答案． 【规范解答】（1）经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞， ∴经过2小时后，可分裂成16个细胞； 故答案为：16； （2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个； … 依此类推，第n个30分钟分裂为个细胞； 经过n小时即个30分钟分裂为个细胞； 故答案为：． 【考点评析】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键． 【考点题型七】用科学记数法表示较大的数 【精讲题】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【思路点拨】根据每一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水为升，再根据科学记数法表示绝对值较大的数的方法表示出250000． 本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法形式：，其中，n为正整数，的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1，按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． 【规范解答】∵， ∴． 故选：C． 【变式7-1】（23-24七年级上·河南商丘·期中）在网络上用“”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为，这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【思路点拨】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【规范解答】解：． 故答案为． 【变式7-2】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．用四舍五入法将精确到千位的近似数是 B．用四舍五入法将精确到的近似数为 C．的原数为 D．用科学记数法表示为 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、将用科学记数法表示的数变回原数、指出一个近似数精确到哪一位 【思路点拨】本题考查了科学记数法和近似数，根据近似数的精确度对B、C进行判断；根据科学记数法对A、D进行判断． 【规范解答】A. 用四舍五入法将精确到千位的近似数是，故该选项不正确，不符合题意； B. 用四舍五入法将精确到的近似数为，故该选项正确，符合题意； C. 的原数为，故该选项不正确，不符合题意； D. 用科学记数法表示为，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【考点题型八】有理数的四则混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·四川成都·期中）（1）；          （2）； （3）；     （4）． 【答案】（1）12；（2）；（3）8；（4） 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【思路点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的乘除混合运算，乘法运算律，含乘方的有理数的混合运算． （1）去括号后进行加减运算即可； （2）利用有理数加法运算律计算即可； （3）先计算乘方，然后进行乘除法运算，最后进行加减运算即可； （4）利用乘法运算律计算求解即可． 【规范解答】解：（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式8-1】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）阅读下面的解题过程： 解： ＝ ＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 回答： (1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________． (2)正确的结果是__________________． 【答案】(1)二、运算顺序错误、三、符号错误 (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减，乘除运算，运算法则为先乘除，后加减，进行计算，即可． 【规范解答】（1）解：在解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该从左往右依次算起；第二处是第三步，错误的原因是符号错误，因为同号得正； 故答案为：二、运算顺序错误、三、符号错误． （2）解： ． 故答案为：． 【变式8-2】（22-23七年级上·四川成都·期中）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）19；（2）． 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【规范解答】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）逆用乘法的分配律进行运算较简便． 解：（1） ； （2） ． 【考点题型九】有理数四则混合运算的实际应用 【精讲题】（22-23七年级上·新疆克孜勒苏·期中）某检修小组乘汽车检修公路道路．向东记为正，向西记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：．问： (1)最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？ (2)若每千米耗油升，则今天共耗油多少升？ 【答案】(1)最后他们没有回到出发点，在A地的东边，距离A地千米 (2)升 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【思路点拨】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （1）计算即可求解； （2）计算出检修小组行驶的总路程即可求解． 【规范解答】（1）解：（千米）， 答：最后他们没有回到出发点，在A地的东边，距离A地千米． （2）解：（千米）， （升） 答：今天共耗油升． 【变式9-1】（22-23七年级上·山东青岛·期中）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)315；29 (2)本周实际销售总量达到了计划量 (3)该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【思路点拨】本题考查有理数混合运算的实际应用； （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 理解题意并列出式子是解题的关键． 【规范解答】（1）解：本周前三天销售儿童滑板车：（辆）， 根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为： （辆）； 故答案为：315；29． （2）解：， ∵ ∴本周实际销售总量达到了计划量． （3）解： （元）， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元． 【变式9-2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具210个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 0 (1)根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具________个； (2)根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具________个； (3)该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成每日任务，则超过部分每个另奖2元；若未完成每日任务，少生产一个则倒扣3元，求小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ (4)“每周计件工资制”为每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成每周任务，则超过部分每个另奖2元；若未完成每周任务，少生产一个则倒扣3元，与（3）“每日计件工资制”相比，实行“_______计件工资制”小明妈妈的工资更多，多________元． 【答案】(1)26 (2)216 (3)小明妈妈这一周的工资总额是1075元 (4)周，17 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【思路点拨】本题考查了正数与负数，有理数加减混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． （1）根据记录直接计算即可； （2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解； （4）先计算超额完成几个玩具，然后再求算工资． 【规范解答】（1）解：（个）， 故答案为：26； （2）（个） （个）， 故答案为：216； （3） （元）， 答：小明妈妈这一周的工资总额是1075元； （4）（元） ， 实行“每周计件工资制”， （元）， 故答案为：周，17． 【考点题型十】程序流程图与有理数计算 【精讲题】（23-24七年级上·山东德州·期中）科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入0，则输出的结果是（    ） A．8 B．2 C．4 D．1 【答案】C 【知识点】程序流程图与有理数计算 【思路点拨】本题考查了有理数的运算，先把0输入，根据程序计算并判断计算结果是不是可以输出，若不能输出重新代入计算结果输入计算，直至输出即可．理解运算程序是解决本题的关键． 【规范解答】解：当输入0时， ． 由于2不大于2，再次输入， 所以输出4． 故选：C． 【变式10-1】（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加*键，再输入b，得到运算：． (1)求的值； (2)小华在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小华在输入数据时，出现了什么情况？为什么？ 【答案】(1) (2)输入了的数值，理由见解析 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）把当作a，当作b，代入运算程序中进行计算； （2）程序中有除法，除数不能为0，根据这个即可找出原因． 【规范解答】（1）解∶ ； （2）解∶ ∵0不能作除数， ∴小华在输入数据时可能是，即． 【变式10-2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有以下运算程序，如图所示： 比如，输入数对，输出． (1)若输入数对，则输出 ； (2)分别输入数对和，输出的结果分别是，试比较的大小，并说明理由； (3)设，若输入数对之后，输出，请直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析 (3)89或99 【知识点】化简绝对值、程序流程图与有理数计算 【思路点拨】本题考查了程序流程图与有理数计算，化简绝对值．理解程序图中的运算法则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，即； （3）当时，，则，解得，，进而可得的值；当时，，则，解得，或，不符合题意，舍去；当时，，则，解得，，进而可得的值． 【规范解答】（1）解：若输入数对，则输出， 故答案为：1； （2）解：，理由如下； 由题意知，， ， ∴； （3）解：当时，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 即， 解得，或，不符合题意，舍去； 当时，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，的值为89或99． 【考点题型十一】含乘方的有理数混合运算 【精讲题】（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)17 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算： （1）先乘方，再乘除，最后算加减； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）先乘方，再乘除，最后算加减． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【变式11-1】（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加法即可； （3）先算括号里的，再算乘除，即可解答； （4）先算乘方和括号里的，再算乘除，最后算加减． 【规范解答】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， 【变式11-2】（22-23七年级上·河南郑州·期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：　　； （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈n（）次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【答案】（1）1；（2）ABD；（3）；（4） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【思路点拨】（1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【规范解答】解：（1）由题意可得，， 故答案为：1； （2）A．因为，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B．因为，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； C．圈n次方等于它本身的数是1或，说法错误，； D．根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 故答案为：ABD； （3）， 故答案为：； （4）解： ． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值． 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2023秋•来宾期中）徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是　　 A． B． C． D． 解：． 故选：． 2．（2022秋•昆山市校级期中）小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高6分，第三次比第二次低10分，第四次又比第三次高12分．那么这四次测验的平均成绩是 A．90分 B．85分 C．87.5分 D．81分 解：第一次8（5分）， 第二次（分， 第三次（分， 第四次（分， 这四次测验的平均成绩是（分． 故选：． 3．（2023秋•锦江区校级期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 解：由题意，，，， ，，，， 故选：． 4．（2023秋•朝阳区校级期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解：根据分析，可得 则所有符合条件的的值为：128、21、20、3． 故选：． 5．（2019秋•思明区校级期中）设，，则、的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 解： ， ， ． 故选：． 二．填空题 6．（2023秋•兴宾区校级期中）将长方形纸片对折1次可得1条折痕，对折2次可得3条折痕，对折3次可得7条折痕，那么对折6次可得 　63　条折痕． 解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕， 第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕， 第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕， ， 当时，， 故答案为：63． 7．（2023秋•薛城区期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则的值为 　或3　． 解：、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2， ，，， 当时， ； 当时， ； 由上可得，的值为或3， 故答案为：或3． 8．（2023秋•禹城市期中）若有理数，互为倒数，，互为相反数，的绝对值是2，则　5　． 解：、互为倒数，、互为相反数， ，，， ． 故答案为：5． 9．（2023秋•开州区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是　16　． 解：12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数， 完美指标：， 14的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数， 完美指标：， 15的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数， 完美指标：， 16的正因数有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因数， 完美指标：， 18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数， 完美指标：， 由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1， 所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16． 答：比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16． 故答案为：16． 10．（2023秋•靖江市校级期中）如图，定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是11．若，则第449次“运算”的结果是 　8　． 解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数）， 需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为1352，， 第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，， 可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8， 从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数， 这样循环计算一直到第449次“运算”，得到的结果为8． 故答案为：8． 三．解答题 11．（2023秋•铜官区校级期中）计算 （1）； （2）． 解：（1） ； （2） ． 12．（2023秋•贵阳期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米），，，，13，，，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 解：（1）， 地在地的东边20千米； （2）路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米；千米； 千米； 千米； 千米； 千米； 千米； 千米． 最远处离出发点25千米； （3）这一天走的总路程为：千米， 应耗油（升， 故还需补充的油量为：（升． 13．（2024春•上海期中）材料一：对任意有理数，定义运算“”． ． 如：，． 材料二：规定表示不超过的最大整数，如，，． （1）　　，　　； （2）求的值； （3）若有理数，满足，请直接写出的结果． 解：（1）， ， 故答案为：；； （2） ； （3）设，为整数，则，， ， ， 解得，， ， ． 14．（2020秋•广信区期中）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 解：（1）设为，为， 原式； （2）设为，为， 原式． 15．（2023秋•深圳期中）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算： ；； ；； ；． （1）归纳运算的法则： 两数进行运算时，　同号得正，异号得负，并把两数的平方相加　．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，　　． （2）计算：　　． （3）是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 解：（1）归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2） ． 故答案为：17； （3）， ，， 解得，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$