第1章 培优课2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中物理选择性必修 第二册（人教版2019）

培优课二　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 [学习目标] 1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动(科学思维).2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界、极值问题(科学思维)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 带电粒子在有界磁场中的运动问题 1．直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示． 　　 2．平行边界 　　　 　　　 3．圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示． (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度与半径的夹角为θ，出射速度与半径的夹角也为θ，如图乙所示． 　　　 4．三角形边界磁场 如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图．粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示． 　　　 【例题1】 (多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ角的不同速率，向磁场中射入两个相同的带正电粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，不计重力，则(　　) A．粒子1与粒子2的速度之比为1∶2 B．粒子1与粒子2的速度之比为1∶4 C．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶1 D．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶2 思维导引：(1)作出初速度的垂线及OA、OB的中垂线，则交点为圆心位置，同时作出粒子的运动轨迹；(2)找出两粒子的半径关系，利用r＝求得两者的速度关系；(3)找出两粒子运动的圆心角，利用t＝T求得两者的运动时间关系． 答案　AC 解析　粒子1进入磁场时速度的垂线与OA的垂直平分线的交点为粒子1在磁场中的轨迹圆的圆心；同理，粒子2进入磁场时速度的垂线与OB的垂直平分线的交点为粒子2在磁场中的轨迹圆的圆心；由几何关系可知，两个粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为r1∶r2＝1∶2，由r＝可知，粒子1与粒子2的速度之比为1∶2，选项A正确，B错误；由于粒子在磁场中做圆周运动的周期均为T＝，且两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角相同，根据公式t＝T，两个粒子在磁场中运动的时间相等，选项C正确，D错误． 【变式1】 (多选)如图所示，在边界上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同，分别带正电和负电的粒子(不计重力)，从边界上的O点以相同速度先后垂直于磁场方向射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则两个粒子在磁场中(　　) A．运动轨迹的半径相等 B．重新回到边界所用时间相同 C．重新回到边界时的速度大小和方向相同 D．重新回到边界时与O点的距离相等 答案　ACD 解析　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得qvB＝m，解得r＝，由题知q、m、v、B大小均相等，则r相等，选项A正确；粒子的运动周期T＝，由题知q、m、B大小均相同，则T相同；两粒子的运动轨迹如图所示，带正电的粒子逆时针偏转，带负电的粒子顺时针偏转，重新回到边界时，带正电的粒子的速度偏向角为2π－2θ，轨迹对应的圆心角也为2π－2θ，运动时间为t＝T＝T，同理，带负电的粒子运动时间为t′＝T＝T，所用时间不等，选项B错误；两个粒子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据对称性可知，两粒子重新回到边界时的速度大小与方向均相同，选项C正确；根据几何知识得知，两粒子重新回到边界时与O点的距离均为2rsin θ，选项D正确． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 带电粒子在有界磁场中的临界极值 1．临界条件的挖掘 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． (2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长． (3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长． (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大． 2．解决带电粒子在有界磁场中临界极值问题的思路与方法 (1)两种思路 ①以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解． ②直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而求出临界值． (2)两种方法 ①物理方法：利用临界条件求极值、利用边界条件求极值、利用矢量图求极值等． ②数学方法：用三角函数求极值、用二次方程的判别式求极值、用不等式的性质求极值、用图像法求极值等． 【例题2】 如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为q的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度v＝，不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出的区域长度为(　　) A．d B．d C．d D．d 思维导引：(1)画出粒子在磁场中的运动轨迹圆；(2)让轨迹圆以A点为轴转动，在上、下分别与右边界与左边界相切；(3)根据几何关系求切点与交点之间的竖直距离． 答案　C 解析　粒子在磁场中运动的半径R＝＝d，其中从PQ边射出的两个边界粒子的轨迹如图所示，由几何关系可知，从PQ边射出粒子的区域长度为s＝2＝d，选项C正确． 【变式2】 如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　) A．v> B．v< C．v> D．v< 答案　A 解析　由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨进与EF相切，如图所示，由几何知识得R＋Rcos θ＝d，R＝，解得v0＝，，当v>v0时，即能从边界EF射出，选项A正确． 1．(带电粒子在有界磁场中的运动问题)如图所示，一电子以与磁场方向垂直的速度v从P点沿PQ方向进入长为d、宽为h的匀强磁场区域，恰好从N处离开磁场．若电子质量为m，带电荷量为e，磁感应强度为B，则(　　) A．电子在磁场中运动的时间t＝ B．电子在磁场中运动的时间t＝ C．洛伦兹力对电子做的功为Bevh D．电子在N处的速度大小也是v 答案　D 解析　洛伦兹力不做功，所以电子在N处速度大小也为v，选项D正确，C错误；电子在磁场中的运动时间t＝，不等于，也不等于，选项A、B错误． 2. (带电粒子在有界磁场中的运动问题)如图所示，在圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径．一带正电的粒子(不计重力)从a点射入磁场，速度大小为v1，方向与ab成30°时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t.若相同的带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，速度大小为v2，也经时间t飞出磁场，则为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　设圆形区域的半径为R，带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，解得v＝，如图甲所示，当粒子从b点飞出磁场时，入射速度、出射速度与ab的夹角相等，所以速度的偏转角为60°，轨迹对应的圆心角为60°，根据几何知识可知，轨迹半径为r1＝2R，如图乙所示，当粒子从a点沿ab方向射入磁场时，经过磁场的时间也是t，说明轨迹对应的圆心角与第一种情况相等，也是60°，根据几何知识得，粒子的轨迹半径为r2＝R，联立可得＝. 　 3. (临界极值问题)(多选)如图所示，A点的粒子源在纸面内沿垂直OQ方向向上射出一束带负电荷的粒子，粒子重力忽略不计．为把这束粒子约束在OP以下的区域，可在∠POQ之间加垂直于纸面的匀强磁场．已知OA间的距离为s，粒子比荷为，粒子运动的速率为v，OP与OQ间夹角为30°.则所加磁场的磁感应强度B满足(　　) A．垂直于纸面向里，B＞ B．垂直于纸面向里，B＞ C．垂直于纸面向外，B＞ D．垂直于纸面向外，B＞ 答案　BD 解析　当所加匀强磁场方向垂直于纸面向里时，由左手定则知，带负电荷粒子向右偏转，约束在OP以下的区域的临界条件是粒子运动轨迹与OP相切，如图中大圆弧所示，由几何知识知R2＝OBsin 30°＝OB、而OB＝s＋R2，所以R2＝s，所以当粒子轨迹的半径小于s时满足约束条件，由牛顿第二定律及洛伦兹力公式可知qvB＝m，所以得B>，选项A错误，B正确．当所加匀强磁场方向垂直于纸面向外时，由左手定则知，带负电荷粒子向左偏转，约束在OP之下的区域的临界条件是粒子运动轨迹与OP相切，如图中小圆弧所示，由几何知识知道相切圆的半径为，所以当粒子轨迹的半径小于时满足约束条件，由牛顿第二定律及洛伦兹力公式可知qvB＝m，所以得B>，选项C错误，D正确． 4．(临界极值问题)如图所示，MN和PQ两板平行且板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，两板间距离及两板长均为d.一带正电的质子从MN板的正中间O点以速度v0垂直射入磁场，为使质子能射出两板间，试求磁感应强度B的取值范围(已知质子所带电荷量为e，质量为m)． 解析　分析质子在磁场中的运动，由左手定则可知，质子向上偏转，所以质子能射出两板间的条件是当磁感应强度较小时，质子从P点射出，如图所示． 此时轨道的圆心为O′， 由几何知识得R2＝d2＋2， 解得R＝d， 质子在磁场中做匀速圆周运动，则有 ev0B1＝m，所以R＝，即d＝， 得B1＝； 当磁感应强度较大时，质子从M点射出，此时质子运动了半个圆周，轨道半径R′＝，所以＝，得B2＝； 综上所述，磁感应强度B的大小满足 ≤B≤. 答案　≤B≤ 学科网（北京）股份有限公司 $$