专题6 等腰三角形中的数学思想方法（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学提优专题训练及试卷测试（人教版）

专题6 等腰三角形中的数学思想方法（原卷版） 类型一 方程思想 1．（武汉）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 2．（南通期末）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的度数为（　　） A．30° B．36° C．45° D．48° 3．如图，△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AC、AB上的点，且BD＝BC，AD＝DE＝EB，求∠A的度数． 4．已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA． （1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数； （2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为　 　（直接写出结果）； （3）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？ 类型二 分类讨论思想 5．（2020秋•川汇区校级月考）已知等腰三角形的一边长为4，一边长等于9，则它的周长为（　　） A．22 B．17 C．17或22 D．26 6．（2023秋•定南县期末）△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，底角∠B的度数为 　 　． 7．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，D、E是边BC上的两点，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，则∠BAC的度数是　 　． 8．（1）若等腰三角形的一个角为80°，则顶角为 　． （2）若等腰三角形的一个角为110°，则顶角为 　 　． （3）若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其底角为 　 　． （4）已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少20°，则顶角度数为 　 　． 9．（2022秋•西乡塘区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（4，0），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 第9题 第11题 10．（2023秋•潜江期中）如果过等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为　 度． 11．（2023•泰州）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 　 　． 12．如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，请问是否存在某一时刻t，使得△POQ是等腰三角形． 类型三 化归思想 13．（2022•大英县自主招生）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 　 　m． 14．（2020秋•朝阳区校级期中）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题 如图，在△ABC中，D为△ABC外一点． （1）若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD； （2）若∠ACB＝90°，AC＝BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF延长线于点D，且BF是∠CBA的角平分线．求证：2AD＝BF 15．（2022春•利津县期末）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD． （1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数； （2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN． ①补全图2； ②若BN＝DN，求证：MB＝MN． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 等腰三角形中的数学思想方法（解析版） 类型一 方程思想 1．（武汉中考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【思路引领】先根据三角形外角性质，用∠C表示出∠AED，再根据等边对等角和三角形内角和定理，列出等式即可求出∠C的度数，再求∠DAE也就不难了． 【解答】解：设∠C＝x，∵AB＝AC ∴∠B＝∠C＝x ∴∠AED＝x+10° ∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝x+10° 根据三角形的内角和定理，得x+x+（20°+x+10°）＝180° 解得x＝50°，则∠DAE＝60° 故选：C． 【总结提升】此题能够根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质，用同一个未知数表示各角，进一步根据三角形的内角和定理列方程求解． 2．（南通期末）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的度数为（　　） A．30° B．36° C．45° D．48° 【思路引领】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE＝∠AEC＝x+y，∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解方程即可求出∠DCE的大小． 【解答】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y． ∵AE＝AC， ∴∠ACE＝∠AEC＝x+y， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y． 在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°， ∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°， 解得x＝45°， ∴∠DCE＝45°． 故选：C． 【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键． 3．如图，△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AC、AB上的点，且BD＝BC，AD＝DE＝EB，求∠A的度数． 【思路引领】根据等腰三角形的性质得到∠EBD＝∠EDB，根据外角的性质得到∠A＝∠AED＝2∠EBD，∠C＝∠BDC＝3∠EBD，根据三角形的内角和列方程∠A+∠ABC+∠C＝7∠EBD＝180°，即可得到结论． 【解答】解：∵ED＝EB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵DA＝DE， ∴∠A＝∠AED＝2∠EBD， ∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC＝3∠EBD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3∠EBD， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝8∠EBD＝180°， 解得∠EBD＝22.5°， ∴∠A＝2∠EBD＝45°． 【总结提升】本题考查了三角形的内角和定理，等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 4．已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA． （1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数； （2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为　45°　（直接写出结果）； （3）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？ 【思路引领】根据三角形的内角和得到∠ACB的度数，根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠E，根据三角形的外角的性质得到∠E，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ADB，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝45°， ∵CE＝AC， ∴∠CAE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝45°， ∴∠E＝22.5°， ∵AB＝DB， ∴∠ADB（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°； （2）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∵CE＝AC， ∴∠CAE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝30°， ∴∠E＝15°， ∵AB＝DB， ∴∠ADB（180°﹣60°）＝60°， ∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°； 故答案为：45°； （3）设∠BAC＝α，∠B＝β°， ∴∠ACB＝180°﹣α﹣β， ∵CE＝AC， ∴∠CAE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝180°﹣α﹣β， ∴∠E＝90°αβ， ∵AB＝DB， ∴∠ADB（180°﹣β）＝90°β， ∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝90°β﹣（90°αβ）α； ∴∠BAC＝2∠DAE． 【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 类型二 分类讨论思想 5．（2020秋•川汇区校级月考）已知等腰三角形的一边长为4，一边长等于9，则它的周长为（　　） A．22 B．17 C．17或22 D．26 【思路引领】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：分两种情况： 当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形； 当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22． 故选：A． 【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 6．（2023秋•定南县期末）△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，底角∠B的度数为 　70°或20°　． 【思路引领】当△ABC为锐角三角形时，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，先求得∠A，再由三角形内角和定理可求得∠B；同理，当△ABC为钝角三角形时，可求得∠DAB的度数，再利用等腰三角形和三角形外角的性质可知，由此可解． 【解答】解：分两种情况： 当△ABC为锐角三角形时， 如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E， ∵∠ADE＝50°，DE⊥AB， ∴∠A＝90°﹣50°＝40°， ∵AB＝AC， ∴； 当△ABC为钝角三角形时， 如图2，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E， ∵∠ADE＝50°，DE⊥AB， ∴∠DAB＝90°﹣50°＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B+∠C＝∠DAB， ∴； 综上可知∠B的度数为70°或20°， 故答案为：70°或20°． 【总结提升】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，注意分类讨论是解题的关键，否则就会漏解． 7．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，D、E是边BC上的两点，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，则∠BAC的度数是　110°或70°　． 【思路引领】根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：如图1，∵DC＝DA，EA＝EB， ∴∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C， ∠EAB+∠B+∠DAC+∠C+∠DAE＝180°， 则2（∠B+∠C）＝140°， 解得，∠B+∠C＝70°， ∴∠BAC＝110°； 如图2，∵DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°， ∴∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C， ∠EAB+∠B+∠DAC+∠C﹣∠DAE＝180°， 则2（∠B+∠C）＝220°， 解得，∠B+∠C＝110°， ∴∠BAC＝70°， 故答案为：70°或110°． 【总结提升】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 8．（1）若等腰三角形的一个角为80°，则顶角为 　80°或20°　． （2）若等腰三角形的一个角为110°，则顶角为 　110°　． （3）若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其底角为 　72°或45°　． （4）已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少20°，则顶角度数为 　44°或80°或140°　． 【思路引领】（1）分两种情况：当等腰三角形的顶角为80°时；当等腰三角形的一个底角为80°时；然后进行计算即可解答． （2）根据110°的角判断出只能是等腰三角形的顶角； （3）分底角是顶角的2倍；顶角是底角的2倍两种情况，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求等腰三角形的底角； （4）设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，然后分①x是顶角，2x﹣20°是底角，②x是底角，2x﹣20°是顶角，③x与2x﹣20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【解答】解：（1）分两种情况： 当等腰三角形的顶角为80°时， ∴等腰三角形的两个底角都50°； 当等腰三角形的一个底角为80°时，另一个底角也为80°， ∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×80°＝20°； 综上所述：它的顶角度数为80°或20°， 故答案为：80°或20°； （2）∵等腰三角形的一个角是110度，三角形的内角和为180°， ∴等腰三角形的顶角为110°， 故答案为：110°； （3）解：①底角是顶角的2倍，底角为180°÷（2+2+1）×2＝72°； ②顶角是底角的2倍，底角为180°÷（2+1+1）＝45°； 故它的底角是72°或45°． 故答案为：72°或45°； （4）解：设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°， ①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°， 解得x＝44°， 所以，顶角是44°； ②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°， 解得x＝50°， 所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°； ③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°， 解得x＝20°， 所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°． 故答案为：44°或80°或140°． 【总结提升】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 9．（2022秋•西乡塘区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（4，0），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【思路引领】由点A、B的坐标可得到AB＝2，然后分类讨论：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，确定C点的个数． 【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，4）、B（4，0）． ∴AB＝2， ①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）， ∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个； ②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； ③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； 综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个． 故选：A． 【总结提升】本题考查等腰三角形的判定，坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思考思考问题，属于中考常考题型． 10．（2023秋•潜江期中）如果过等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为　36°或90°或108°或　度． 【思路引领】本题要利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论． 【解答】解：设该等腰三角形的底角是x； ①当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC＝BC，AD＝CD＝BD， 设∠A＝x°， 则∠ACD＝∠A＝x°，∠B＝∠A＝x°， ∴∠BCD＝∠B＝x°， ∵∠A+∠ACB+∠B＝180°， ∴x+x+x+x＝180， 解得x＝45， 则顶角是90°； ②如图，AC＝BC＝BD，AD＝CD， 设∠B＝x°， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝x°， ∵AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝x°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°， ∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC＝2x°， ∴∠ACB＝3x°， ∴x+x+3x＝180，x＝36°，则顶角是108°． ③当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AC＝BC，AB＝AD＝CD， 设∠C＝x°， ∵AD＝CD， ∴∠CAD＝∠C＝x°， ∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2x°， ∵AD＝AB， ∴∠B＝∠ADB＝2x°， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠B＝2x°， ∵∠CAB+∠B+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180， x＝36°， 则顶角是36°． ④当∠A＝x°，∠ABC＝∠ACB＝3x°时，也符合，如图 AD＝BD，BC＝DC， ∠A＝∠ABD＝x，∠DBC＝∠BDC＝2x， 则x+3x+3x＝180°， x， 因此等腰三角形顶角的度数为36°或90°或108°或． 故答案为：36°或90°或108°或． 【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 11．（2023•泰州）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 　22.5°或67.5°或45°　． 【思路引领】根据折叠的性质可得：∠ACD＝∠A′CD＝α∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，然后分三种情况：当A′D＝A′E时；当DA′＝DE时；当ED＝EA′时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：由折叠得：∠ACD＝∠A′CD＝α∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°， 分三种情况： 当A′D＝A′E时，如图： ∴∠A′DE＝∠A′ED（180°﹣∠A′）＝75°， ∵∠A′ED是△ACE的一个外角， ∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝45°， ∴∠ACD＝∠A′CD＝α∠ACE＝22.5°； 当A′D＝A′E时，当△ADC和△A′DC位于射线AB的同侧时，如图： ∴∠A′DE＝∠A′ED∠CA′D＝15°， ∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝135°， ∴∠ACD＝∠A′CD＝α∠ACA′＝67.5°； 当DA′＝DE时， ∴∠A′＝∠DEA′＝30°， ∵∠DEA′是△ACE的一个外角， ∴∠DEA′＞30°， ∴此种情况不成立； 当ED＝EA′时，如图： ∴∠EDA′＝∠A′＝30°， ∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝120°， ∵∠A′ED是△ACE的一个外角， ∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝90°， ∴∠ACD＝∠A′CD＝α∠ACE＝45°； 综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或67.5°或45°， 故答案为：22.5°或67.5°或45°． 【总结提升】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键． 12．如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，请问是否存在某一时刻t，使得△POQ是等腰三角形． 【思路引领】△POQ是等腰三角形，情况不唯一，需结合分类讨论思想进行求解．当点P在线段OA上时，△POQ是等腰三角形，两腰只能是PO和OQ． 【解答】解：分两种情况： （1）当点P在AO的延长线上时，经过AO时的时间已经用了10÷2＝5s， 有OQ＝OP，即2（t﹣5）＝t， 解得t＝10． （2）当点P在线段OA上时，OP＝OA﹣AP＝OQ，即10﹣2t＝t， 解得t．综上可知，当ts或10s时，△POQ是等腰三角形． 【总结提升】本题侧重考查等腰三角形的性质、解一元一次方程，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】． 类型三 化归思想 13．（2022•大英县自主招生）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 　200　m． 【思路引领】先求出∠BAC，再根据三角形的内角和定理求出∠C，从而得到∠BAC＝∠C，然后根据等角对等边可得BC＝AB． 【解答】解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东 60°方向， ∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∵C在B地的北偏东30°方向， ∴∠ABC＝90°+30°＝120°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°， ∴∠BAC＝∠C， ∴BC＝AB＝200m． 故答案为：200． 【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，方向角的定义，根据角的度数求出∠BAC＝∠C是解题的关键，也是本题的难点． 14．（2020秋•朝阳区校级期中）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题 如图，在△ABC中，D为△ABC外一点． （1）若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD； （2）若∠ACB＝90°，AC＝BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF延长线于点D，且BF是∠CBA的角平分线．求证：2AD＝BF 【思路引领】（1）在AB上取点G，使AG＝AD．证明△ADC≌△AGC（SAS），再利用等腰三角形的性质即可解决问题． （2）分别延长AD、BC交于点H．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【解答】（1）证明：在AB上取点G，使AG＝AD． ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠GAC， ∵AD＝AG，∠DAC＝∠GAC，AC＝AC（公共边） ∴△ADC≌△AGC（SAS）， ∴DC＝GC， ∠CDA＝∠CGA， 又∵∠B+∠ADC＝180°，∠CGE+∠AGC＝180°， ∴∠B＝∠CGE， ∴CB＝CG， 又∵DC＝GC， ∴CB＝DC． 解法二：如图，过点CR⊥AD交AD的延长线于R． ∵AC平分∠DAB，CR⊥AR，CE⊥AB， ∴CR＝CE， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDR+∠ADC＝180°， ∴∠CDR＝∠B， ∵∠R＝∠CEB＝90°， ∴△CRD≌△CEB（AAS）， ∴CB＝CD． （2）证明：分别延长AD、BC交于点H． ∵BD平分∠CBA， ∴∠DBC＝∠ABD， ∵AD⊥BF交BF延长线于点D， ∴∠ADB＝∠HDB＝90°， ∵∠ADB＝∠HDB，BD＝BD，∠DBC＝∠ABD， ∴△ADB≌△BDH（ASA） ∠DAB＝∠DHB，AB＝BH， ∴△ABH为等腰三角形， 又∵BD平分∠CBA， AD＝DH，即2AD＝AH， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠B＝∠CAB＝45°， ∴∠DAB＝0.5（180°﹣∠B ）＝90°﹣22.5°＝67.5， ∴∠HAC＝22.5°＝∠CBD， ∵∠HAC＝∠DBC，AC＝CB，∠ACH＝∠BDA ∴△ACH≌△BCF（ASA） ∴BF＝AH， 又∵2AD＝AH， ∴2AD＝BF． 【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 15．（2022春•利津县期末）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD． （1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数； （2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN． ①补全图2； ②若BN＝DN，求证：MB＝MN． 【思路引领】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB计算即可； （2）①根据要求画出图形即可； ②设∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，构建方程求出α，再证明∠MNB＝∠MBN即可解决问题； 【解答】（1）解：如图1中， 在等边△ACD中， ∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC． ∵E为AC的中点， ∴∠ADE∠ADC＝30°， ∵AB＝AC， ∴AD＝AB， ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°， ∴∠ADB＝∠ABD＝10°， ∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°． （2）①补全图形，如图所示． ②证明：连接AN． ∵CM平分∠ACB， ∴设∠ACM＝∠BCM＝α， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝2α．在等边△ACD中， ∵E为AC的中点， ∴DN⊥AC， ∴NA＝NC， ∴∠NAC＝∠NCA＝α， ∴∠DAN＝60°+α， 在△ABN 和△ADN 中， ∴△ABN≌△ADN（SSS）， ∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α， ∴∠BAC＝60°+2α， 在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴60°+2α+2α+2 α＝180°， ∴α＝20°， ∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°， ∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°， ∴∠MNB＝∠MBN， ∴MB＝MN． 【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$