专题4 添加辅助线构造含30°角的直角三角形的几种方法-2024-2025学年八年级上册数学提优专题训练及试卷测试（人教版）

专题4 添加辅助线构造含30°角的直角三角形的几种方法（原卷版） 第一部分 【典例剖析】 类型一 连接两点构造直角三角形 1．（2022春•临漳县期末）如图所示，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC＝6cm，则AD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．2.8 2．（2023春•莱州市期末）如图，点B为线段AQ上的动点，AQ＝8，以AB为边作等边△ABC，以BC为底边作等腰△PCB，则PQ的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 类型二 作延长线构造直角三角形 3．（2021•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长为（　　）cm． A．6 B．7 C．8 D．9 类型三 作垂线构造直角三角形 4．（2023秋•河东区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．6 C．9 D．16 5．（2021春•驿城区校级期末）如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（　　） A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm 6．如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为 　 　． 7．（2023•虎林市校级二模）已知CD是△ABC的高，∠BAC＝2∠BCD，P是直线BC上一点． （1）当点P在BC的延长线上，且∠APC＝60°时，如图1，求证：PB+PC＝PA； （2）当点P在边BC上，且∠APC＝60°时，如图2；当点P在边BC上，且∠APC＝120°时，如图3，请直接写出线段PB，PC，PA之间的数量关系，不需要证明． 第2部分 专题提优训练 1．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（2023秋•交城县期中）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是线段AC上一点，连接BE并延长至D，连接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，则线段CE长为 　 ． 3．（2023•通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 　 　s． 4．（2022秋•鼓楼区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠BAD＝∠ADE＝60°，DE＝3，AB＝10，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则AD的长为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 添加辅助线构造含30°角的直角三角形的几种方法（解析版） 第一部分 【典例剖析】 类型一 连接两点构造直角三角形 1．（2022春•临漳县期末）如图所示，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC＝6cm，则AD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．2.8 【思路引领】连接BD，根据三角形的内角和定理可得∠A＝∠C＝30°，利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形性质求出AD＝BD，∠CBD＝90°，即可得DC＝2AD，即可求出答案． 【解答】解：连接BD． ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C（180°﹣∠ABC）＝30°， ∵AB的垂直平分线是DE， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝30°， ∴∠CBD＝120°﹣30°＝90°， ∴DC＝2BD， ∴DC＝2AD， ∵AC＝6， ∴AD6＝2， 故选：A． 【总结提升】本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出AD＝BD和DC＝2BD是解此题的关键． 2．（2023春•莱州市期末）如图，点B为线段AQ上的动点，AQ＝8，以AB为边作等边△ABC，以BC为底边作等腰△PCB，则PQ的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路引领】连接AP，证明△ABP≌△ACP（SSS），得∠CAP＝∠BAP＝30°，从而点P在射线AP上运动，再利用垂线段最短解决问题． 【解答】解：连接AP， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠CAB＝60°， 在△ABP和△ACP中， ， ∴△ABP≌△ACP（SSS）， ∴∠CAP＝∠BAP， ∴∠PAQ＝30°， ∴点P在射线AP上运动， 当QP⊥AP时，PQ的值最小， ∴PQAQ＝4． 故选：B． 【总结提升】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线AP上运动是解题的关键． 类型二 作延长线构造直角三角形 3．（2021•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长为（　　）cm． A．6 B．7 C．8 D．9 【思路引领】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE＝6，DE＝2，进而得出△BEM为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案． 【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN＝CN， ∵∠EBC＝∠E＝60°， ∴△BEM为等边三角形， ∵BE＝6cm，DE＝2cm， ∴DM＝4cm， ∵△BEM为等边三角形， ∴∠EMB＝60°， ∵AN⊥BC， ∴∠DNM＝90°， ∴∠NDM＝30°， ∴NM＝2cm， ∴BN＝4cm， ∴BC＝2BN＝8cm． 故选：C． 【总结提升】此题主要考查了等腰三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键． 类型三 作垂线构造直角三角形 4．（2023秋•河东区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．6 C．9 D．16 【思路引领】过B作BD⊥AC于D，根据30°的角所对的边等于斜边的一半求得，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图， 过B作BD⊥AC于D， ∵AC＝6，∠A＝∠ABC+∠ACB＝30°， ∴， ∴△ABC的面积， 故选：C． 【总结提升】本题考查了含 30°角的直角三角形的性质，三角形的面积的求法，熟知在直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半是解题的关键． 5．（2021春•驿城区校级期末）如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（　　） A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm 【思路引领】过点P作PE⊥OB于点E，根据△PCD为等腰三角形，则E为CD的中点，再由△POE为直角三角形，∠AOB＝60°，即可得出答案． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，则PE⊥CD， ∵PC＝PD， ∴△PCD为等腰三角形， ∴点E为CD的中点， ∵OC＝5cm，OD＝8cm， ∴CD＝3cm， ∴OE＝6.5cm， ∵∠AOB＝60°， ∴∠OPE＝90°﹣60°＝30°， ∴OP＝2OE＝13cm， 故选：A． 【总结提升】本题主要考查等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，掌握含30度角的直角三角形的性质的运用是解题的关键． 6．如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为 　4　． 【思路引领】过点E作EF⊥AO于点F，根据角平分线的性质得出EF＝EC＝2，根据平行线的性质和角平分线的定义推出∠DEO＝∠DOE＝15°，则∠FDE＝30°，DE＝OD，最后根据含30°角直角三角形的特征，即可求解． 【解答】解：过点E作EF⊥AO于点F， ∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，EF⊥AO，EC＝2， ∴EF＝EC＝2， ∵OE平分∠AOB，∠AOE＝15°， ∴∠COE＝∠AOE＝15°， ∵DE∥OB， ∴∠DEO＝∠COE＝15°， ∴∠DEO＝∠DOE＝15°， ∴∠FDE＝30°，DE＝OD， ∵∠FDE＝30°，EF⊥AO， ∴DE＝OD＝2AE＝4， 故答案为：4． 【总结提升】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，等角对等边，含30°角直角三角形的特征，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等；含30°角直角三角形，30°角所对的边是斜边的一半． 7．（2023•虎林市校级二模）已知CD是△ABC的高，∠BAC＝2∠BCD，P是直线BC上一点． （1）当点P在BC的延长线上，且∠APC＝60°时，如图1，求证：PB+PC＝PA； （2）当点P在边BC上，且∠APC＝60°时，如图2；当点P在边BC上，且∠APC＝120°时，如图3，请直接写出线段PB，PC，PA之间的数量关系，不需要证明． 【思路引领】（1）如图1，过点A作AH⊥BC，垂足为H．先证明△ABH≌△ACH可得BH＝CH，再解直角三角形可得2PH＝PA，最后根据线段的和差表示出PB，PC，最后根据线段的和差即可解答； （2）分∠APC＝60°、∠APC＝120°两种情况分别画出图形，然后根据（1）的方法即可解答． 【解答】（1）证明：如图1，过点A作AH⊥BC，垂足为H． ∵CD是△ABC的高， ∴∠AHB＝∠AHC＝∠BDC＝90°， ∴∠BAH+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°． ∴∠BAH＝∠BCD， ∵∠BAC＝2∠BCD， ∴∠BAC＝2∠BAH． ∴∠BAH＝∠CAH． 在△ABH和△AHC中， ， ∴△ABH≌△ACH（ASA）， ∴BH＝CH． ∵∠APC＝60°， ∴∠ACP＝90°﹣60°＝30°， ∴PA＝2PH． ∵PB＝PH﹣BH，PC＝PH+HC， ∴PB+PC＝PH﹣BH+PH+CH＝2PH＝PA． （2）解：图2：PC﹣PB＝PA．图3：PB﹣PC＝PA．理由如下： 当点P在边BC上，且∠APC＝120°时，如图2，过点A作AH⊥BC，垂足为H． ∵CD是△ABC的高， ∴∠AHB＝∠AHC＝∠BDC＝90°， ∴∠BAH+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°． ∴∠BAH＝∠BCD， ∵∠BAC＝2∠BCD， ∴∠BAC＝2∠BAH． ∴∠BAH＝∠CAH． 在△ABH和△AHC中， ， ∴△ABH≌△ACH（ASA）， ∴BH＝CH． ∵∠APC＝60°， ∴∠PAH＝90°﹣60°＝30°， ∴PA＝2PH． ∴2PH＝PA． ∵PB＝BH﹣PH，PC＝PH+HC， ∴PC﹣PB＝PH+HC﹣BH+PH＝2PH＝PA，即PC﹣PB＝PA； ∴∠AHB＝∠AHC＝∠BDC＝90°， 当点P在边BC上，且∠APC＝120°时，如图3，过点A作AH⊥BC，垂足为H． ∵CD是△ABC的高， ∴∠BAH+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°． ∴∠BAH＝∠BCD， ∵∠BAC＝2∠BCD， ∴∠BAC＝2∠BAH． ∴∠BAH＝∠CAH． 在△ABH和△AHC中， ， ∴△ABH≌△ACH（ASA）， ∴BH＝CH． ∵∠APC＝120° ∴∠APB＝60° ∵∠APC＝120°， ∴∠HAP＝120°﹣90°＝30°， ∴PA＝2PH． ∴2PH＝PA． ∴2PH＝PA． ∵PB＝BH+PH，PC＝HC﹣PH ∴PB﹣PC＝BH+PH﹣HC+PH＝2PH＝PA，即PB﹣PC＝PA． 【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、30°所对的直角边是斜边的一半等知识点，作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键． 第2部分 专题提优训练 1．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【思路引领】由角平分线的定义和平行线的性质可推出∠AMN，∠NMC，∠B，∠NCM，∠BCM之间的关系，进而求出∠B＝∠AMN＝30°；在Rt△AMN中，利用含30°角的直角三角形的性质，结合AN的长度，可求出MN，进而得出NC；观察图形，AC＝AN+NC，由此求出AC的长度，再次利用含有30°角的直角三角形的性质，即可求出BC的长度． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC， ∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC， ∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC， ∴∠B＝30°， ∵AN＝1， ∴MN＝2， ∴AC＝AN+NC＝3， ∴BC＝6， 故选：B． 【总结提升】本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 2．（2023秋•交城县期中）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是线段AC上一点，连接BE并延长至D，连接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，则线段CE长为 　　． 【思路引领】作BM⊥AC，垂足为M，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACB＝30°，AM＝CM，根据含30度角的直角三角形的性质得出BMAB，那么可证BM＝CD．再利用AAS证明△MEB≌△CED，得出ME＝CE，设CE＝x，根据AM＝CM列出方程，求解即可． 【解答】解：作BM⊥AC，垂足为M， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠ACB＝30°，AM＝CM， ∴BMAB， ∵AB＝2CD， ∴BM＝CD． ∵∠DCB＝120°， ∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ACB＝120°﹣30°＝90°， ∴∠BMC＝∠DCE＝90°． 在△EMB和△ECD中， ， ∴△MEB≌△CED（AAS）， ∴ME＝CE． 设CE＝x，则ME＝x，AM＝AE﹣ME＝7﹣x． ∵AM＝CM， ∴7﹣x＝2x， ∴x， ∴线段CE长为． 故答案为． 【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型． 3．（2023•通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 　1　s． 【思路引领】根据等边三角形的性质得到角与边的等量关系，从而证明△BDP≌APQ，由此得到边之间的关系，进而求解． 【解答】解：设点P需移动t秒，点D落在BC边上，如图所示． ∵三角形PQD是等边三角形， ∴∠DPQ＝60°， ∴∠BPD＝180°﹣∠APQ﹣∠DPQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠BDP＝180°﹣∠B﹣∠BPD＝180°﹣60°﹣30°＝90°． ∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°． ∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°， ∴△BDP≌△APQ（ASA）． ∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，BD＝AP＝2t， ∵∠BPD＝30°， ∴BDBP，即2t（6﹣2t）， ∴t＝1． 故答案为：1． 【总结提升】本题通过动点问题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质的运用． 4．（2022秋•鼓楼区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠BAD＝∠ADE＝60°，DE＝3，AB＝10，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则AD的长为 　7　． 【思路引领】延长DE交AB于F，延长CE交AB于G，如图所示，根据题意得到△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质有AD＝AF＝DF，∠AFD＝60°，再根据等腰三角形三线合一得到，设AD＝AF＝DF＝a，则，从而由AF﹣GF＝AG得到，解方程即可得到答案． 【解答】解：延长DE交AB于F，延长CE交AB于G，如图所示： ∵∠BAD＝∠D＝60°， ∴AF＝DF， ∴△ADF是等边三角形， ∴AD＝AF＝DF，∠AFD＝60°， ∵CA＝CB，CE平分∠ACB， ∴CG⊥AB，即， 设AD＝AF＝DF＝a， 在Rt△GEF中，∠AFD＝60°，EF＝DF﹣DE＝a﹣3，则， 由AF﹣GF＝AG得，， 解得a＝7， 故答案为：7． 【总结提升】本题考查三角形背景下求线段长，涉及等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、含30°的直角三角形性质等知识，熟练掌握特殊三角形的判定与性质是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$