专题3 构造等腰三角形的常用方法（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级上册数学提优专题训练及试卷测试（人教版）

专题3 构造等腰三角形的常用方法（原卷版） 类型一 点在等腰三角形的边或延长线上，作平行线构造等腰三角形 1．（2022秋•黄埔区期末）在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE＝60°，EF⊥BC于F． （1）如图1，求证：CE∥AB； （2）如图1，若点D在线段BC上（不与B，C点重合），求证：BC＝DC+2CF； （3）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 2．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N． （1）请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明； （2）若点P为边AB延长线上一点，PM⊥BC，垂足为M，交DB延长线于点N，请在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明． 类型二 利用“角平分线+平行线”的模型构造等腰三角形 3．（2020秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F． （1）若CF＝6，AG＝2，求AC的长； （2）求证：BG＝CF． 类型三 利用“角平分线+垂线”构造等腰三角形 4．（2020秋•太湖县期末）已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：DE平分∠AEB． 类型四 “利用截长补短法”构造等腰三角形 5．（2021秋•拱墅区期中）如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为　 　． 6．已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于E． （1）如图（1），当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB+CE； （2）如图（2），当∠BAC＝100°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明． 类型五 利用倍角关系构造 7．（2020秋•南岗区校级月考）如图，AD平分∠BAC，∠ABC＝3∠C，BE⊥AD垂足为E，AB＝8，BE＝2.5，则AC＝　 ． 8．已知E为△ABC内部一点，AE延长线交边BC于点D，连接BE、CE，∠BED＝∠BAC＝2∠DEC． 若AC＝AB，求证：BE＝2AE； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 构造等腰三角形的常用方法（解析版） 类型一 点在等腰三角形的边或延长线上，作平行线构造等腰三角形 1．（2022秋•黄埔区期末）在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE＝60°，EF⊥BC于F． （1）如图1，求证：CE∥AB； （2）如图1，若点D在线段BC上（不与B，C点重合），求证：BC＝DC+2CF； （3）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【思路引领】（1）由△ABC为等边三角形，∠B＝∠BCA＝60°，推出∠ACF＝120°，由CE为角平分线，推出∠ECF＝∠B＝60°即可得出结论． （2）过点D作DG∥AC交AB延长线于G，证得△AGD≌△DCE，得出AD＝DE，进一步利用GD＝CE，BD＝CE得出结论． （3）证明方法同（1）得出（2）不成立． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠BCA＝60°， ∴∠ACF＝120°， ∵CE为角平分线， ∴∠ECF＝∠B＝60°， ∴CE∥AB； （2）解：如图，过点D作DG∥AC交AB于G， ∵△ABC是等边三角形，AB＝BC， ∴∠B＝∠ACB＝60°， ∴∠BGD＝60°，∠AGD＝120°， ∴△BDG是等边三角形， ∴BG＝BD， ∴AG＝DC， ∵CE是∠ACB外角平分线， ∴， ∴∠DCE＝∠AGD＝120° ∵∠ADB+∠EDC＝120°＝∠ADB+∠DAG， ∴∠EDC＝∠DAG， 在△AGD和△DCE中， ∴△AGD≌△DCE（SAS）， ∴GD＝CE， ∴BD＝CE， ∴BC＝CE+DC＝DC+2CF； （3）解：不成立，此时BC＝2CF﹣CD，理由如下：如图， ∵△AGD≌△DCE， ∴GD＝CE， ∴BD＝CE， ∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣DC＝2CF﹣CD． 【总结提升】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定，利用边角关系及等量代换求得结论． 2．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N． （1）请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明； （2）若点P为边AB延长线上一点，PM⊥BC，垂足为M，交DB延长线于点N，请在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明． 【思路引领】（1）结论：PN＝2BM．如图1中，作PF∥AC交BC于F，交BD于E．只要证明△PEN≌△BEF（ASA）即可解决问题； （2）结论不变，证明方法类似（1）； 【解答】解：（1）结论：PN＝2BM． 理由：如图1中，作PF∥AC交BC于F，交BD于E． ∵BD⊥AC，PF∥AC， ∴PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°， ∴∠BEP＝90°， ∴∠BPE＝∠PBE＝45°， ∴BE＝PE， ∵PM⊥BC， ∴∠PMB＝∠PEN＝90°， ∵∠BNM＝∠PNE， ∴∠NPE＝∠EBF， ∵∠PEN＝∠BEF＝90°， ∴△PEN≌△BEF（ASA）， ∴PN＝BF， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠PFB＝∠C， ∴PB＝PF， ∵PM⊥BF， ∴BM＝MF， ∴PN＝2BM． （2）结论不变． 理由：如图2中，作PF∥AC交CB的延长线于E，交DB的延长线于F． ∵∠ABD＝∠PBF＝∠BPF＝45°， ∴BF＝PF， ∵∠EBF＝∠EPM，∠EFB＝∠EMP，BF＝PF， ∴△BFE≌△PFN（ASA）， ∴PN＝BE， ∵∠E＝∠C＝∠ABC＝∠PBE， ∴PE＝PB， ∵PM⊥EB， ∴EM＝BM， ∴PN＝2BM． 【总结提升】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 类型二 利用“角平分线+平行线”的模型构造等腰三角形 3．（2020秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F． （1）若CF＝6，AG＝2，求AC的长； （2）求证：BG＝CF． 【思路引领】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质解答即可； （2）作CM∥AB交FE的延长线于M，欲证明BG＝CF，只要证明BG＝CM，CF＝CM即可． 【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AD∥EF， ∴∠DAC＝∠F，∠BAD＝∠FGA， ∴∠F＝∠FGA， ∴AG＝AF， ∵CF＝6，AG＝2， ∴AC＝CF﹣AF＝CF﹣AG＝6﹣2＝4； （2）作CM∥AB交FE的延长线于M． ∵BG∥CM， ∴∠B＝∠MCE， ∵E是BC中点， ∴BE＝EC， 在△BEG和△CEM中， ， ∴△BEG≌△CEM， ∴BG＝CM， ∵AD∥EF， ∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F， ∵∠1＝∠2， ∴∠F＝∠FGA， ∵AB∥CM， ∴∠FGA＝∠M， ∴∠F＝∠M， ∴CF＝CM， ∴BG＝CF． 【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 类型三 利用“角平分线+垂线”构造等腰三角形 4．（2020秋•太湖县期末）已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：DE平分∠AEB． 【思路引领】延长AD交BC于F，由AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，易证得∠DFE＝∠DAE，可得AE＝FE，又由ED⊥AD，根据三线合一的性质，即可证得ED平分∠AEB． 【解答】证明：延长AD交BC于F， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠DFE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD， ∵∠B＝∠EAC， ∴∠DFE＝∠DAE， ∴AE＝FE， ∵ED⊥AD， ∴ED平分∠AEB． 【总结提升】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质，垂直的定义以及三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 类型四 “利用截长补短法”构造等腰三角形 5．（2021秋•拱墅区期中）如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为　25°　． 【思路引领】在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，先由线段垂直平分线的性质得AB＝AE，则∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝50°，再由AB+BD＝DC，得到△ACE是等腰三角形，得∠EAC＝∠C，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE， ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°， ∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC， ∴AB＝CE， ∴AE＝CE， ∴∠EAC＝∠C， ∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C， ∴∠C∠AEB＝25°， 故答案为：25°． 【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 6．已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于E． （1）如图（1），当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB+CE； （2）如图（2），当∠BAC＝100°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明． 【思路引领】（1）如图1中，在BC上截取BD＝BA．只要证明△BEA≌△BED，CE＝CD即可解决问题； （2）结论：BC＝BE+AE．如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF，再证明EA＝EH＝EF＝CF即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1中，在BC上截取BD＝BA． ∵BA＝BD，∠EBA＝∠EBD，BE＝BE， ∴△BEA≌△BED， ∴BA＝BD，∠A＝∠BDE＝108°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝36°，∠EDC＝72°， ∴∠CED＝72°， ∴CE＝CD， ∴BC＝BD+CD＝AB+CE． （2）结论：BC＝BE+AE． 理由：如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF， ∴EF＝EH， ∵∠BAC＝100°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝40°， ∴∠EBA＝∠EBC＝20°， ∴∠BFE＝∠H＝∠EAH＝80°， ∴AE＝EH， ∵∠BFE＝∠C+∠FEC， ∴∠CEF＝∠C＝40°， ∴EF＝CF， ∴BC＝BF+CF＝BE+AE． 【总结提升】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 类型五 利用倍角关系构造 7．（2020秋•南岗区校级月考）如图，AD平分∠BAC，∠ABC＝3∠C，BE⊥AD垂足为E，AB＝8，BE＝2.5，则AC＝　13　． 【思路引领】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF，根据三角形外角的性质，可得∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，根据角的和差、等量代换，可得∠CBF＝∠C，根据等腰三角形的判定，可得BF＝CF，根据线段的和差、等式的性质，可得答案． 【解答】证明：如图：延长BE交AC于点F， ∵BF⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEF， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠FAE， 在△ABE和△AFE中， ， ∴△ABE≌△AFE（ASA）， ∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF＝8，BE＝EF＝2.5， ∴BF＝5， ∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF， ∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C， ∴∠C+2∠CBF＝3∠C， ∴∠CBF＝∠C， ∴BF＝CF＝5， ∴BEBFCF， ∴AC＝AF+CF＝8+5＝13， 故答案为：13． 【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等量代换，等式的性质，利用等量代换得出∠CBF＝∠C是解题关键． 8．已知E为△ABC内部一点，AE延长线交边BC于点D，连接BE、CE，∠BED＝∠BAC＝2∠DEC． 若AC＝AB，求证：BE＝2AE； 【思路引领】在EB上截取EF＝AE，利用AAS即可证得△ABF≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等即可证得； 【解答】解：在EB上截取EF＝AE，连接AF，设∠BED＝2α， ∴∠FAE＝∠AFE＝α， ∴∠AEC＝∠AFB， ∵∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝2α，∠ABE+∠BAD＝∠BED＝2α， ∴∠CAE＝∠ABE ∵在△ABF和△CAE中， ， ∴△ABF≌△CAE（AAS）， ∴BF＝AE＝EF， ∴BE＝2AE； 【总结提升】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$