专题1 构造全等三角形的六种辅助线作法-2024-2025学年八年级上册数学提优专题训练及试卷测试（人教版）

专题1 构造全等三角形的六种辅助线作法（原卷版） 类型一 “倍长中线法”构造全等三角形 1．（2022秋•天门期中）如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE． 2．如图，AD为△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于F，交AC于G． （1）求证：AF＝AG；（2）求证：BF＝CG； （3）求的值． 3．阅读下列材料，然后解决问题： （1）如图①，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 　 　． （2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF． 类型二 作垂线构造全等三角形 4．如图，△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC的中点，AD⊥BM，交BC于点D，连接DM，求证：∠1＝∠2． 类型三 作平行线法构造全等三角形 5．△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP＝BQ+AQ．（有多种辅助线作法） 类型四 “截长补短法”构造全等三角形 6．（2021春•商河县期末）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE；（图1） （2）求∠FAE的度数；（图1） （3）如图2，延长CF到G点，使BF＝GF，连接AG．求证：CD＝CG；并猜想CD与2BF+DE的关系． 7．（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于H，求证：AHBC． （2）在如图②和图③的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请分别求出两图中点A到BP的距离． 8．（合肥期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．（想一想，你会几种方法） 类型五 “翻折法”构造全等三角形 9．（2020秋•北关区月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E在边BC上，∠CAE＝∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE，试问：BD与AC相等吗？请说说你的理由． 类型六 “旋转法”构造全等三角形 10．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是DC上一点，∠EAF＝45°． （1）如图①，若BE＝DF＝1，求EF的长． （2）如图②，求证：BE+DF＝EF． （3）如图③，点E为CB延长线上一点，点F为DC延长线上一点，∠EAF＝45°．请直接写出线段BE、DF、EF的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 构造全等三角形的六种辅助线作法（解析版） 类型一 “倍长中线法”构造全等三角形 1．（2022秋•天门期中）如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE． 【思路引领】过B作BF∥AC交CE的延长线于F，由E为AB中点，得到AE＝EB，再由BF与AC平行，得到两对内错角相等，利用AAS得到△ACE≌△BFE，可得到CE＝EF，AC＝BF，即CF＝2CE，再由已知角相等，利用等角对等边得到AC＝AB，根据B为AD中点，得到AC＝AB＝BD＝BF，利用外角性质及等量代换得到夹角相等，利用SAS得到三角形CBD与三角形CBF全等，利用全等三角形对应边相等得到CD＝CF，等量代换即可得证． 【解答】证明：过B作BF∥AC交CE的延长线于F， ∵CE是中线，BF∥AC， ∴AE＝BE，∠A＝∠ABF，∠ACE＝∠F， 在△ACE和△BFE中， ， ∴△ACE≌△BFE（AAS）， ∴CE＝EF，AC＝BF， ∴CF＝2CE， 又∵∠ACB＝∠ABC，CB是△ADC的中线， ∴AC＝AB＝BD＝BF， ∵∠DBC＝∠A+∠ACB＝∠ABF+∠ABC， ∴∠DBC＝∠FBC， 在△DBC和△FBC中， ， ∴△DBC≌△FBC（SAS）， ∴DC＝CF＝2CE． 【总结提升】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2．如图，AD为△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于F，交AC于G． （1）求证：AF＝AG； （2）求证：BF＝CG； （3）求的值． 【思路引领】（1）由角平分线的定义可知∠1＝∠2，由平行线的性质可知∠F＝∠1，∠2＝∠3，故此∠F＝∠3，由等角对等边可知AF＝AG； （2）延长FE到H使FE＝EH．先证明△BFE≌△CHE，从而得到∠H＝∠F，BF＝CH，由∠H＝∠4，可知HC＝CG，故此BF＝CG； （3）根据AB+AC＝AB+AG+CG＝AB+AF+CG＝BF+GC，可知AB+AC＝2GC． 【解答】解：（1）如图1所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2． ∵AD∥EF， ∴∠F＝∠1，∠2＝∠3． ∴∠F＝∠3． ∴AF＝AG． （2）如图2，延长FE到H使FE＝EH． 在△BFE和△CHE中， ， ∴△BFE≌△CHE． ∴∠H＝∠F，BF＝CH． 又∵∠F＝∠3＝∠4， ∴∠H＝∠4． ∴HC＝CG． ∴BF＝CG． （3）2． 【总结提升】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 3．阅读下列材料，然后解决问题： （1）如图①，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 　2＜AD＜10　． （2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF． 【思路引领】（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围； （2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论． 【解答】解：（1） ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ∵， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC＝8， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20， ∴2＜AD＜10； 故答案为：2＜AD＜10； （2）如图所示：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM， 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM＝CF， ∵DE⊥DF，DM＝DF， ∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF． 【总结提升】本题是三角形的综合问题，考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 类型二 作垂线构造全等三角形 4．如图，△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC的中点，AD⊥BM，交BC于点D，连接DM，求证：∠1＝∠2． 【思路引领】作辅助线，构建全等三角形，证明△ABM≌△CAF得AM＝CF，∠1＝∠AFC，再证明△DMC≌△DFC，得∠2＝∠AFC，所以∠1＝∠2． 【解答】证明：延长AD至F，使CF⊥AC， ∴∠FCA＝90°， ∴∠AFC+∠FAC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠FAC＝90°， ∴∠AFC＝∠BAD， ∵∠BAM＝∠FCA＝90°，AB＝AC， ∴△ABM≌△CAF， ∴AM＝CF，∠1＝∠AFC， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°， ∴∠BCF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ACB＝∠BCF， ∵M是AC的中点， ∴AM＝MC， ∴MC＝FC， ∵DC＝DC， ∴△DMC≌△DFC， ∴∠2＝∠AFC， ∴∠1＝∠2． 【总结提升】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，难度适中，本题辅助线的作法是关键，能正确构建全等三角形是本题的突破口，将所证明的两个角分别放在两个三角形中，确定一个中间量证明相等即可． 类型三 作平行线法构造全等三角形 5．△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP＝BQ+AQ．（有多种辅助线作法） 【思路引领】方法一、延长AB到D，使BD＝BP，连接PD．则∠D＝∠5．由已知条件不难算出：∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝40°＝∠C．于是QB＝QC．又∠D+∠5＝∠3+∠4＝80°，故∠D＝40°．于是△APD≌△APC（AAS），所以AD＝AC．即AB+BD＝AQ+QC，等量代换即可得证； 方法二、根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBQ＝40°，根据等角对等边的性质可得BQ＝CQ，然后过点P作PD∥BQ，求出PD＝CD，再利用“角角边”证明△ABP与△ADP全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝AD，BP＝PD，从而得证． 【解答】方法一、证明：延长AB到D，使BD＝BP，连接PD， 则∠D＝∠5． ∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°， ∴∠1＝∠2＝30°，∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∠3＝∠4＝40°＝∠C， ∴QB＝QC， 又∠D+∠5＝∠3+∠4＝80°， ∴∠D＝40°． 在△APD与△APC中， ∴△APD≌△APC（AAS）， ∴AD＝AC． 即AB+BD＝AQ+QC， ∴AB+BP＝BQ+AQ． 方法二、如图， ∴∠CBQ∠ABC80°＝40°， ∴∠CBQ＝∠ACB， ∴BQ＝CQ， ∴BQ+AQ＝CQ+AQ＝AC…①， 过点P作PD∥BQ交CQ于点D， 则∠CPD＝∠CBQ＝40°， ∴∠CPD＝∠ACB＝40°， ∴PD＝CD，∠ADP＝∠CPD+∠ACB＝40°+40°＝80°， ∵∠ABC＝80°， ∴∠ABC＝∠ADP， ∵AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠CAP， ∵在△ABP与△ADP中， ， ∴△ABP≌△ADP（AAS）， ∴AB＝AD，BP＝PD， ∴AB+BP＝AD+PD＝AD+CD＝AC…②， 由①②可得，BQ+AQ＝AB+BP． 【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，正确作好辅助线，构造全等三角形是解此题的关键，主要考查学生的推理能力，难度偏大． 类型四 “截长补短法”构造全等三角形 6．（2021春•商河县期末）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE；（图1） （2）求∠FAE的度数；（图1） （3）如图2，延长CF到G点，使BF＝GF，连接AG．求证：CD＝CG；并猜想CD与2BF+DE的关系． 【思路引领】（1）根据题意得到∠BAC＝∠DAE，利用SAS定理证明△BAC≌△DAE； （2）根据△BAC≌△DAE，得到∠BCA＝∠E＝45°，计算即可； （3）分别证明△AFB≌△AFG、△CGA≌△CDA，根据全等三角形的性质解答． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（SAS）； （2）解：∵∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴∠E＝45°， 由（1）知△BAC≌△DAE， ∴∠BCA＝∠E＝45°， ∵AF⊥BC， ∴∠CFA＝90°， ∴∠CAF＝45°， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°； （3）证明：∵AF⊥BG， ∴∠AFG＝∠AFB＝90°， 在△AFB和△AFG中， ， ∴△AFB≌△AFG（SAS）， ∴AB＝AG，∠ABF＝∠G， ∵△BAC≌△DAE， ∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED， ∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA， ∴∠G＝∠CDA， 在△CGA和△CDA中， ， ∴△CGA≌△CDA， ∴CG＝CD， ∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF， ∴CD＝2BF+DE． 【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 7．（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于H，求证：AHBC． （2）在如图②和图③的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请分别求出两图中点A到BP的距离． 【思路引领】（1）根据同角的余角相等可得∠CAH＝∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论； （2）过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD＝CP＝1，根据DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，将△APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB，可得DP＝BP+BD＝6+1＝7，进而可得点A到BP的距离． 【解答】（1）证明：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠AHC＝90°＝∠BAC， ∴∠BAH+∠CAH＝90°，∠BAH+∠B＝90°． ∴∠CAH＝∠B， 在△ABH和△CAH中， ， ∴△ABH≌△CAH（AAS）， ∴BH＝AH，AH＝CH， ∴AHBC； （2）解：如图②，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD＝90°，交BP于点D， ∴∠BAC＝∠DAP＝90°， ∴∠BAD＝∠CAP， ∵∠BDA＝∠APC＝90°+∠APD， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD＝CP＝1， ∴DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5， ∵AH⊥DP， ∴AHDP； 如图③，过点A作AH⊥BP于点H，作∠PAD＝90°，交PB的延长线于点D， ∴∠BAC＝∠DAP＝90°， ∴∠BAD＝∠CAP， ∵∠BAC＝90°，∠BPC＝90°， ∴∠ACP+∠ABP＝180°， ∴∠ACP＝∠ABD， ∵AB＝AC， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD＝CP＝1， ∴DP＝BP+BD＝6+1＝7， ∵AH⊥DP， ∴AHDP． 综上所述：点A到BP的距离为：和． 【总结提升】本题是三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质． 8．（合肥期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．（想一想，你会几种方法） 【思路引领】AB＝AC+CD；在AB上取点E，使得AE＝AC，则可证得△AED≌△ACD，可得∠AED＝∠C＝2∠B，ED＝CD，可证得△BDE为等腰三角形，所以有BE＝DE＝CD，可得结论． 【解答】证明：在AB上取点E，使得AE＝AC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴∠AED＝∠C，AE＝AC，ED＝CD， ∵∠C＝2∠B，且∠AED＝∠B+∠BDE， ∴∠B＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴AB＝AE+BE＝AC+DE＝AC+CD． 【总结提升】本题主要考查三角形全等的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形，在证明两条线段的和等于一条线段时，通常是截取线段． 类型五 “翻折法”构造全等三角形 9．（2020秋•北关区月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E在边BC上，∠CAE＝∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE，试问：BD与AC相等吗？请说说你的理由． 【思路引领】首先证明AE⊥CD，再证明∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝30°即可解决问题． 【解答】证明：∵∠CAB＝90° ∴∠B+∠C＝90°， ∵∠CAE＝∠B， ∴∠CAE+∠C＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴AE⊥CD， ∵DE＝EC， ∴AD＝AC， ∴∠EAC＝∠DAE， ∵AD平分∠BAE， ∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝30°， ∴∠DAC＝∠C＝60°，∠B＝∠BAD＝30°， ∴DA＝DB＝CD＝AC， ∴BD＝AC． 【总结提升】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 类型六 “旋转法”构造全等三角形 10．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是DC上一点，∠EAF＝45°． （1）如图①，若BE＝DF＝1，求EF的长． （2）如图②，求证：BE+DF＝EF． （3）如图③，点E为CB延长线上一点，点F为DC延长线上一点，∠EAF＝45°．请直接写出线段BE、DF、EF的数量关系． 【思路引领】（1）作AG⊥EF于点G，先证明△ABE≌△ADF，得AE＝AF，再证明△AGE≌△BAE，得GE＝BE＝1，所以GF＝GE＝1，则EF＝2； （2）将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，可证明△AEH≌△AEF，得EH＝EF，即可证明BE+DF＝EF； （3）在DC上截取DK＝BE，连接AK，可证明△ABE≌△ADK，得AE＝AK，∠BAE＝∠DAK，可推导出∠EAK＝∠BAD＝90°，所以∠EAF＝∠KAF＝45°，即可证明△EAF≌△KAF，得EF＝KF，而KF＝DF﹣DK＝DF﹣BE，所以DF﹣BE＝EF． 【解答】（1）解：如图1，作AG⊥EF于点G，则∠AGE＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CB＝CD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠C＝90°， ∵BE＝DF＝1， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE＝∠BAE＝∠DAF＝∠GAF＝22.5°， ∴∠AGE＝∠B＝90°，AE＝AE， ∴△AGE≌△BAE（AAS）， ∴GE＝BE＝1， ∴GF＝GE＝1， ∴EF＝2； （2）证明：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，则BH＝DF， ∵∠ABH＝∠D＝90°， ∴∠ABH+∠ABC＝180°， ∴H、B、E三点在同一条直线上， ∵∠HAF＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠EAH＝∠EAF＝45°， ∵AH＝AF，AE＝AE， ∴△AEH≌△AEF（SAS）， ∴EH＝EF， ∵EH＝BE+BH＝BE+DF， ∴BE+DF＝EF． （3）解：DF﹣BE＝EF，理由如下： 如图3，在DC上截取DK＝BE，连接AK， ∵∠ABE＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADK（SAS）， ∴AE＝AK，∠BAE＝∠DAK， ∴∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠DAK+∠BAK＝∠BAD＝90°， ∴∠EAF＝∠KAF＝45°， ∵AF＝AF， ∴△EAF≌△KAF（SAS）， ∴EF＝KF， ∵KF＝DF﹣DK＝DF﹣BE， ∴DF﹣BE＝EF． 【总结提升】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$