7.1.1 条件概率教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019)选择性必修第三册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 春季 课题 条件概率 教科书 书 名：普通高中数学教科书数学选择性必修第三册A版教材 出版社：人民教育出版社 教学目标 （1） 在真实的情境中，直观感受条件概率，通过列举试验样本空间，知道条件概率本质是样本空间缩小后的概率，然后从特殊到一般，抽象出条件概率的定义。 （2） 辨析随机事件之间的逻辑关系，知道条件概率定义中符号、具体含义，能够借助条件概率蕴含的化繁为简思想把复杂的随机事件用简单的随机事件表示出来。 （3） 通过具体实例，探究计算条件概率的两种方法，能够利用条件概率定义推导乘法公式，明晰事件独立的充要条件，通过类比得到条件概率的满足概率性质。 教学内容 教学重点： （1）条件概率的概念及本质，概率的乘法公式及应用。 教学难点： （1）对条件概率中“条件”的正确理解，条件概率与无条件概率的比较； （2）正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题。 教学过程 1 复习回顾 引出问题 导入新课 问题1 法国著名数学家拉普拉斯曾说过“ 生活中最重要的问题，其中占大多数的实际上是概率问题。”请大家回忆一下我们在高一学习过的那些概率知识？ 师生活动：由学生举例说明，老师补充。如随机试验、样本空间、互斥事件、对立事件、古典概型等。 追问1 那么什么是古典概型？如何计算古典概型中随机事件发生的概率？ 师生活动：由学生叙述：首先样本空间的样本点个数是有限的，其次每个样本点发生的可能性是相等的。随机事件发生的概率。 追问2 在前面学习中我们重点学习了和事件和积事件，它们的概率又如何计算？ 师生活动：学生回忆，，当相互独立时，。 追问3 当事件不相互独立时， 师生活动：由生活经验结合已学概率知识，发现问题暂时无法解决，有待进一步学习。 设计意图：通过概率知识的复习，梳理学习过的概率知识，构建概率知识脉络(图2)，引出现阶段还有待解决的不独立时积事件概率计算问题，为学生进入新课做好铺垫。 2 实际情境 建构概念 问题2 ：高二某班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示. 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表.记事件A:选到一人是团员；记事件B:选到一人是男生 (1) 选到一人是团员的概率是多少？选到一人是男生的概率是多少？选到一人既是男生又是团员的概率是多少？ 师生活动：由学生自主思考，确定这是一个古典概型问题，通过计算基本事件的个数即样本空间的样本点总数和事件、事件以及事件包含的基本事件，然后由古典概率公式可得 追问1： 事件与事件是否独立？ 师生活动：通过计算，事件与事件不独立。即事件发生或不发生对事件发生的概率是有影响的，那么在事件发生的条件下，事件发生的概率是多少？暂时把这个概率记为。 (2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？ 师生活动：问题中包含了那些基本事件？这些基本事件具有怎样的特征？它是我们学习过的古典概型吗？怎样去计算它发生的概率？学生分组讨论、交流。发现在发生的条件下，事件发生，即在新的样本空间中事件发生，就是积事件发生（图3）。积事件包含的样本点是16，事件包含的样本点是30，所以在事件发生的情况下，事件发生的概率是。 追问2：在这个过程中，样本空间有什么变化吗？ 师生活动：在事件发生的情况下去求事件发生的概率，相当于在缩小的样板空间下求积事件发生的概率，即 。图3 设计意图：通过实际例题的分析，使学生认识到，在事件发生的条件下，试验的样本空间转化为,事件发生的概率就是事件在样本空间中发生的概率。引导学生关注样本空间的变化，使学生对条件概率的产生有一个初步的感受，形成初步的感性认识。 3 诱导深入 建构概念 问题3：上述问题中，得到了随机事件的概率： 能否用、、中的某几个来表示吗？ 师生活动：由学生仔细观察运算，发现 追问1：这个关系是在特定事件发生条件下得到的，那它对一般的古典概型是否也成立？ 师生活动：由学生思考、交流，引导学生从新的样本空间研究事件，转向原空间上研究事件。从而得到对一般的古典概型也成立。 设计意图：通过具体实例，具体数据，让学生自主发现、、的关系，并让学生经历从特殊到一般探究过程，提升学生的核心素养。 4 分析结构 生成概念 问题4：在前面推导的概率关系式中，有一个新的表达式，如何去定义它？ 师生活动：由学生观察公式结构，分类讨论，等价转化得 师生活动：共同给出条件概率定义：一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率。同时把叫做概率的乘法公式。 追问1：通过前面的探究，条件概率都有那些计算方法？ 师生活动：学生归纳总结，在古典概型下，可以用缩小的样本空间法计算，在一般的概率模型下可以用定义计算。 设计意图：通过辨析、、的关系，引导学生等价转化得到条件概率的定义，进一步得到概率的乘法公式，让学生完整经历概念的发生发展的全过程，并总结归纳出条件概率的计算方法。 5 典例分析 应用概念 问题5 在4道试题中有3道代数题和1道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，求：第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； 师生活动：由学生自主探究，引导学生学会用数学语言表达事件“第1次抽到代数题”和事件“第2次抽到几何题”，明确事件、事件、事件之间的关系，探究发现就是求积事件的概率。 追问1:我们用“ ”表示3道代数题，用“”表示1道几何题，那么样本空间有几个样本点？ 师生活动：由学生建立样本空间。 追问2：事件包含得样本点有多少个？积事件包含多少个样本点 师生活动：学生列举，，，得到。 追问3：如何求在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率？ 师生活动：由学生辨析“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率”，“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率”两个事件的关系及所研究的样本空间的变化， 师生共同归纳：一个基于原样本空间计算,一个基于新的样本空间求。因此在第一问的基础上，很容易得到。 设计意图：通过具体的应用场景，通过让学生分析样本空间在不同条件下的变化，再一次体会条件概率本质上就是样本空间缩小的概率模型，加深学生对条件概率本质的理解。 问题6： 在某次抽奖活动中，已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 师生活动：由学生自主思考，本题本质上要判断的是甲、乙、丙三个人中奖的概率是否相等。因此首先需要辨析各随机事件的关系，“已中奖”等价与“甲没中奖”的条件下“乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲乙都没中奖”的情况下“丙中奖”，从而可以把复杂的积事件通过条件概率转化为简单的随机事件去解决概率问题，做到化难为易、化繁为简。能快速的得到甲中奖的概率是，乙中奖的概率是，丙中奖的概率也。 设计意图：从事件“甲中奖”、“已中奖”、“”丙中奖的逻辑关系分析问题，让学生理解“先发生事件是后发生事件的条件“，从而很自然的运用条件概率和乘法公式去求中奖概率。这与前面通过缩小样本空间，计算样本点引入条件概率有所不同，相当于从另外一个角度理解条件概率产生的背景，加深学生对条件概率的概念的直观理解。 6 探究提升 理解本质 问题8：学习了概率乘法公式和事件、事件相互独立时积事件概率，观察上述两个式子，你能发现什么？ 师生活动：学生通过观察对比，发现当，事件和事件是想互独立的，即在相互独立的条件下，积事件的概率公式，可以认为是概率乘法公式的一种特殊情形，而概率乘法公式是更一般意义下的积事件的表示形式。 设计意图：让学生对比两个公式的结构特征，构建知识脉络，找到积事件概率不同表示形式下的联系与区别，让学生理解积事件概率公式是更一般意义的概率计算方法，体会特殊到一般的研究思路。 7 教学反思 7.1以大概念为核心关联知识是教学设计的关键。 在强调发展数学核心素养、倡导教师整体把握课程能力背景下，传统的课时教学设计已经不能适应新时代教学，依托大概念进行的单元教学设计成为突破问题的关键。单元教学设计是以教材为基础，运用系统论的方法对教材中的“具有某种内在关联性”的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的教学单元，强调数学知识、方法的整体性和连贯性。本课时的教学实施路径首先以大概念为核心关联知识，形成结构化知识；再通过大概念的具体化，来确定教学目标和教学重难点；然后，创设真实情境，帮助学生自主建构大概念：最后围绕大概念设计问题链，让学生在迁移应用中内化大概念。在本课时教学始终在紧紧围绕条件概率的实际应用价值展开，让学生体会数学知识来自生活，应用于生活。 7.2 依托大概念设计问题链是落实核心素养的有效途径 用大概念统摄与组织教学内容，使零散的，碎片化的知识与技能相互联系并具有一定意义，使师生既见树木又见森林。而要实现知识的相互联系整合，通过构建问题链，促进学生深度思考，自主探究，是一种非常有效的方法，在此过程中既深化了对大概念得理解，又进一步锤炼了高阶思维，提升了学生的核心素养。 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。 学科网（北京）股份有限公司 $$