专题03 代数式（考点串讲，4个常考点+6种重难点题型+3个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（人教版2024）

七年级新人教版（2024）数学上册期中考点大串讲 专题03 代数式 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 六大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选3道期中真题对应考点练 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点1代数式 例1 下列各式中，是代数式的有(　B　) ①3 xy2；②π r ；③ S ＝π r2；④ b ；⑤5＋1＞2；⑥ . A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 B 【变式1-1】 [2024贵阳华中师大附中期中]下列各式中，符合代数式书 写规范的是(　B　) A. 3 m B. 4 n C. 5 x ÷2 D. a ×6 B 【变式1-2】 [教材P71例2变式]下列关于代数式的意义不正确的是 (　A　) A. ＋4表示 a 的3倍与4的和的一半 B. 2( a ＋5)表示 a 与5的和的2倍 C. 2 a ＋5表示 a 的2倍与5的和 D. ( a ＋ b )2表示 a 与 b 的和的平方 A 考点2列代数式 例2 [2024邯郸丛台区期末]小明和小华各收集了一些邮票，已知小华收集了 x 枚邮票，小明收集的邮票数量比小华的2倍少5枚，则两人一共收集邮票(　A　) A. (3 x －5)枚 B. (3 x ＋5)枚 C. 枚 D. 枚 A 【变式2-1】 如图，将边长为3 a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两 块长方形.若拿掉边长为2 b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块长方形，则这块长方形较长的一边长为(　A　) A. 3 a ＋2 b B. 3 a ＋4 b C. 6 a ＋2 b D. 6 a ＋4 b A 【变式2-2】【新视角·规律探究题】归纳“T”字形，用棋子摆成的 “T”字形如图所示，按照这个规律摆下去，摆成第 n ( n 为正整数)个“T”字形需要的棋子个数为 ⁠. 3 n ＋2　 考点3反比例关系 例3 [教材P74例5变式]俊俊想存钱购买一套售价为6 000元的户外活动装备，若他目前已有存款2 000元，后期每个月计划存相同金额，用式子表示他存够买装备的钱所需月数 y 与每个月存款额 x 元之间的关系， y 与 x 成什么比例关系？ 解： 由题意得， y ＝ ＝ ， 即 y ＝ ， y 与 x 成反比例关系. 考点4求代数式的值 例4 [2023无锡]当 a ＝2， b ＝－3时，代数式( a － b )2＋2 ab 的 值为(　A　) A. 13 B. 27 C. －5 D. －7 A 【变式4-1】 若( a －2)2＋｜ b ＋3｜＝0，则 ab ＝ ⁠. －6 【变式4-2】 [2024唐山路南区期末]已知当 x ＝0时，代数式 ax3＋ bx ＋ c 的值为5. (1)求 c 的值； 解： (1)当 x ＝0时， ax3＋ bx ＋ c ＝ a ×0＋ b ×0＋ c ＝ c ＝5，所以 c 的值是5. (2)当 x ＝1时，该代数式的值为3.求－ a － b 的值. 解： (2)把 x ＝1代入 ax3＋ bx ＋5＝3中， 得， a ＋ b ＋5＝3，即 a ＋ b ＝－2， 所以－ a － b ＝－( a ＋ b )＝2. 【变式4-3】某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1 500元后，每人收费240元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折(九折即原价的90％). (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是 x ( x ＞50)人时， 用方案一共收费 元； 用方案二共收费 元； (1 500＋240 x ) (270 x －1 350) (2)当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？ 说说你的理由. 解： (2)采用方案二省钱.理由：方案一：把 x ＝80代 入1 500＋240 x ＝1 500＋240×80＝20 700(元). 方案二：把 x ＝80代入270 x －1 350＝270×80－1 350 ＝20 250(元). 因为20 250＜20 700，所以采用方案二省钱. 题型剖析 题型一：数式中的排列规律 例5观察下面的一组代数式：－ x ，2 x2，－4 x3，8 x4，－16 x5，…，根据其中的规律，得出第10个代数式是(　B　) A. －29 x10 B. 29 x10 C. －29 x9 D. 29 x9 B 【变式5-1】 【新趋势27】观察下面三行数： 第①行：2，4，6，8，10，12，…； 第②行：3，5，7，9，11，13，…； 第③行：1，4，9，16，25，36，…. 设 x ， y ， z 分别为第①，②，③行的第100个数，则2 x － y ＋ z 的值为(　A　) A A. 10 199 B. 10 201 C. 10 203 D. 10 205 【变式5-2】 观察下列一组数： ，1， ， ， ，…，它们是按一 定规律排列的，那么这组数的第 n 个数是 .( n 为 正整数) 　 题型二：数表中的排列规律 例6 如图是某月的月历表，在月历表上任意圈出一个正方形， 则下列等式中错误的是(　D　) A. a ＋ d ＝ b ＋ c B. a － c ＝ b － d C. a － b ＝ c － d D. d － a ＝ c － b D 【变式6-1】 [2024深圳坪山区期末]如图，每个图形中的四个数都是按 相同规律填写的.根据此规律可确定 x 的值为(　C　) A. 135 B. 170 C. 209 D. 252 C 【变式6-2】 观察下列表格： 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 3 4 … 第2行 2 3 4 5 … 第3行 3 4 5 6 … 第4行 4 5 6 7 … … … … … … … 请猜想第 n 行第 n 列上的数是 .( n 为正整数) 2 n －1　 题型三：图形中的排列规律 例7 [2024安庆期中]用棋子摆出一组如图所示的图形： 按照这种规律摆下去，第 n ( n 为正整数)个图形中棋子的个数为(　D) A. 3 n B. 6 n C. 3 n ＋6 D. 3 n ＋3 D 【变式7-1】 【新趋势·跨学科】苯是一种有机化合物，是组成结构最 简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物.如图是某课外活动小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒，…按此规律，第 n 个图形需要(　D　)根小木棒. D A. 7 n ＋9 B. 7 n ＋7 C. 7 n ＋5 D. 7 n ＋2 【变式7-2】观察如图所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的， 依照此规律，第2 024个图形中共有 个 . 6 073　 题型四：整体思想 例8 已知， x2＋3 x ＝2 ，求2( x2＋3 x )2－3(x2＋3 x )－6的值. 解： 因为 x2＋3 x ＝2， 所以原式＝2×22－3×2－6＝－4. 题型五：从特殊到一般的思想 例9 [2023重庆]用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是(　B　) A. 39 B. 44 C. 49 D. 54 B 题型六：转化思想 例6 [2024上海静安区期中]如图，在长方形 ABCD 中， DE 是以 A 为圆心的一段圆弧， AE ＝ a ， BE ＝ b . (1)用含有 a ， b 的代数式表示阴影部分的面积； 解： (1)因为在长方形 ABCD 中， DE 是以 A 为圆心的一段圆弧， AE ＝ a ，所以 AD ＝ AE ＝ a ，∠ A ＝90°， 所以 S阴影＝ S长方形 ABCD － S扇形 DAE ＝ a ( a ＋ b )－ ×π a2＝ a2＋ ab － . (2)当 a ＝4， b ＝2时，求图中阴影部分的面积(结果保留π). 解： (2)当 a ＝4， b ＝2时， S阴影＝ a2＋ ab － ＝24－ ＝24－4π. 易错易混 易错点一 代数式的规范书写 1.下列式子符合书写要求的是( ____ ) A.- B.a-1÷b C.4 xy D.ab×3 A 【解析】解：A．- 符合代数式书写要求； B．a-1÷b不符合代数式书写要求，应该写成a- ； C.4 xy不符合代数式书写要求，应该写成 xy； D．ab×3不符合代数式书写要求，应该写成3ab. 故选：A． 2.下列各式中，符合代数式书写要求的是( ____ ) A.x•5 B.- ab C.1 x D.4m×n 【解析】解：A、字母与数字相乘时，乘号省略不写，数字写在前面，原书写错误，故此选项不符合题意； B、符合代数式的书写要求，原书写正确，故此选项符合题意； C、带分数应写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意； D、字母与字母相乘时，通常简写成“•”或者省略不写，原书写错误，故此选项不符合题意． 故选：B． B 31 【解析】解：A、正确书写格式为：18b,故此选项不符合题意； B、正确书写格式为： x,故此选项不符合题意； C、是正确的书写格式，故此选项符合题意； D、正确书写格式为： ，故此选项不符合题意． 故选：C． C 3.下列各式符合代数式书写规范的是( ____ ) A.18×b B. C. D.m÷2n 32 4.某商场进了一批商品，每件商品的进价为a元，提价10%后作为销售价，由于商品滞销，商场决定降价10%作为促销价，则商场对每件商品( ____ ) A.赚了0.01a元 B.亏了0.01a元 C.赚了0.99a元 D.不赔不赚 【解析】解：a×(1+10%)(1-10%)-a=-0.01a元．故选：B． B 易错点二 列代数式 5.如图，一个瓶子内底面半径为r,瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20厘米；倒放时，空余部分的高度为5厘米．请用含r的代数式表示瓶内溶液的体积 　　；若瓶子的容积为1.25升，则瓶子内底面面积为 　　． 【解析】解：瓶内液体的体积为：πr2×20=20πr2(cm2)， ∵1升=1立方分米，∴1.25升=1.25立方分米=1250立方厘米， 由题意得：1250-20πr2=5πr2，解得πr2=50(cm)． 故答案为：20πr2 cm2；50cm. 33 6.某超市在“十一”长假期间对顾客实行优惠，规定如下： (1)小明的爷爷一次性购200元的保健食品，他实际付款 _____ 元；小明妈妈一次性购300元的衣服，她实际付款 _____ 元；如果他们两人合作付款，则能少付 ____ 元． (2)小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品，当x大于或等于500时，她实际付款 _____________________ 元．(用含x的式子表示，写最简结果) (3)如果小芳奶奶两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元(200＜a＜300)，两次购物小芳奶奶实际付款多少元？(用含a的式子表示) 一次性购物金额 优惠办法 190 280 10 460或(0.8x+60) 不超过100元 不予优惠 超过100元但不超过500元 超过100元部分给予九折优惠 超过500元(超过100元但不超过500元仍按九折优惠) 超过500元部分给予八折优惠 34 【解析】解：(1)小明的爷爷一次性购200元的保健食品，他实际付款100+0.9×(200-100)=190元； 小明妈妈一次性购300元的衣服，她实际付款100+0.9×(300-100)=280元； 如果他们两人合作付款，则能少付190+280-[100+0.9×(200+300-100)]=10元． 故答案为：190；280；10． (2)小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品， ①当x=500时，她实际付款为100+0.9×400=460(元)； ②当x大于500时，她实际付款 100+360+0.8(x-500)=(0.8x+60)元． 故答案为：460或(0.8x+60)； (3)100+0.9(a-100)+100+0.9×(500-100)+0.8(900-a-500)=(0.1a+790)元． 答：两次购物小芳奶奶实际付款(0.1a+790)元 35 7.按图中程序运算，如果输入-1，则输出的结果是( ____ ) _____________A.1 B.3 C.5 D.7 【解析】解：把x=-1代入得：-1+4-(-3)-5=-1+4+3-5=1＜2，把x=1代入得：1+4-(-3)-5=1+4+3-5=3＞2，则输出的结果是3，故选：B． B 易错点三 代数式的值 8.定义：对于一个数x,我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]=x-1；若x＜0，则[x]=x+1．例 = ，[-2]=-1； 已知当a＞0，b＜0时有[a]=[b]+1，则代数式(b-a)3-3a+3b的值为 _____ ． -36 【解析】解：当a＞0，b＜0时，[a]=[b]+1，∴a-1=b+1+1，∴a-b=3， ∴(b-a)3-3a+3b=-(a-b)3-3(a-b)=-33-3×3=-27-9=-36，故答案为：-36． 36 9.某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款． 现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球x桶(x＞10)． (1)若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？(用含x的代数式表示) (2)当x=30时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当x=30时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 37 【解析】解：(1)该客户按方案一需付款：40×10+10(x-10)=(10x+300)元； 该客户按方案二需付款：(40×10+10x)×90%=(9x+360)元； 答：该客户按方案一、方案二购买，分别需付款(10x+300)元、(9x+360)元； (2)当x=30时，按方案一需付款：10×30+300=600(元)， 按方案二需付款：9×30+360=630(元)， ∵600＜630， ∴客户按方案一购买较为合算； (3)能， 先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球， 共付款：40×10+10×20×90%=580(元)， 答：能，先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，需付款580元． 38 押题预测 1.（2023秋•连云港期中）下列各式最符合代数式书写规范的是( ____ ) A.2 n B. C.3x-1个 D.a×3 B 【解析】解；A、应表示为 n,故A错误； B、两个字母相除表示为分式的形式，故B正确； C、(3x-1)个，应加上括号，故C错误； D、把数写在字母的前面，故D错误，故选：B． 2.（2023秋•八步区期中）用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是( __ ) A.(3m-n)2 B.3(m-n)2 C.3m-n2 D.(m-3n)2 A 【解析】解：∵m的3倍与n的差为3m-n, ∴m的3倍与n的差的平方为(3m-n)2．故选：A． 3.（2023秋•广陵区期中）我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示．其中大圆的半径为r,中间小圆的半径为 r,4个半径为 r的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含r的式子表示图中阴影部分的面积； (2)当r=2cm时，求图中阴影部分的面积(π取3)． 【解析】解：(1)阴影面积：πr2-π×( r)2-π×( r)2×4= πr2； (2)当r=2cm,π取3时，原式= (cm2)． 40 $$