专题4.1 二次函数多结论压轴小题精选30道（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（沪科版）

专题4.1 二次函数多结论压轴小题精选30道 【沪科版】 1．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（　　） ①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024•宝安区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a+b+c＝2，③a④0＜b＜1中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 3．（2024•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2024•汝阳县一模）图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①ab＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④|a+c|＜|b|．其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024•斗门区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＞0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关于x的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x1x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；⑤直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（2024•旺苍县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2． 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（2023秋•龙港区期中）函数y＝ax2+bx+c与y＝kx的图象如图所示，下列结论： ①b2﹣4ac＞0； ②a+b+c＝0； ③x＝﹣2时，函数y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c有最大值； ④关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝﹣3， 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2023•石城县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤ 10．（2024•苍溪县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中结论正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2024•高青县校级一模）小明从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息： ①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（2024•沂源县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2024•桃江县一模）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣a）（如图所示），则下列说法：①abc＜0；②（a+b）2≥c；③关于x的方程ax2+bx＝0有两个不相等的实数根；④﹣1≤a≤0．则正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2023秋•中山市校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①2a+b＝0；②3a+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④若A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2＝2，其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 15．（2023秋•西城区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论： ①a＜0；②9a+3b+c＞0；③c＞0；④﹣30 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 16．（2023•东港区校级三模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论： ①b2﹣4c＞0；②b+c＝0；③2b+c+3＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0 其中正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 17．（2023•双台子区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出四个结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③对于任意实数m，有am2+bm+c＜a﹣b+c；④，其中正确的有（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 18．（2023•遂溪县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线l，则以下说法：①a﹣b+c＝0；②4a+b＝0；③0；④16a+5b+2c＞0，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2023秋•义乌市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③ 20．（2023秋•铜梁区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①abc＞0； ②2a+b＜0； ③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n； ④3|a|+|c|＜2|b|． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（2023•仁怀市模拟）如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 ⑥一定存在实数x0，使得axbx0＞a﹣b成立．上述结论，正确的是（　　） A．①②⑤ B．②③④ C．②③⑥ D．③④⑤ 22．（2023•广东模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对任意实数m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 23．（2023•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②④ C．①④ D．②③④ 24．（2024•黄石模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中﹣1＜x1＜0．下列四个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2b﹣c＜0；④不等式ax2+bx+cx+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的序号为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 25．（2024•殷都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣3＜x＜2时，y1＞y2；②x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣4，t1），（1，t2）是抛物线上的两点，则t1＞t2；④对于抛物线，当﹣3＜x＜2时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．（2024•东港区校级一模）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（　　） ①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3； ②9a2﹣b2＜0； ③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为，x2＝﹣1； ④6≤3n﹣2≤10． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二．填空题（共4小题） 27．（2024•射洪市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x＝h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③若OC＝2OA，则2b﹣ac＝4；④3a﹣c＜0．其中正确的有 　 　．（只填写序号） 28．（2023秋•太康县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①b＞0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k2a+kb（k为常数，且k≠1）．其中正确的结论序号是 　 　． 29．（2023秋•青山区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，c），且满足a﹣b+c＝0．下列四个结论： ①抛物线的对称轴是直线x＝1； ②b与c同号； ③若a+2b+4c＞0，则不等式ax2+bx+c＜﹣2ax﹣a﹣b的解集﹣2＜x＜2； ④抛物线上的两个点M（m﹣1，y1），N（m+2，y2），当c＜0，且y1＞y2时，． 其中一定正确的是 　 　.（填写序号） 30．（2023秋•城厢区校级月考）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上． ①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a﹣b+c＜4m+n；⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4． 其中正确的是 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 二次函数多结论压轴小题精选30道 【沪科版】 1．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（　　） ①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图上给的信息，结合二次函数的性质去判断对错即可． 【解答】解：①如图所示，图象开口向上， ∴a＞0， ∵图象与y轴的交点在x轴下方 ∴c＜0， ∵图象的对称轴在y轴的左边，且a＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②根据图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确； ③由图可得，当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，故③正确； ④由图可得，1， ∵a＞0， ∴2a＞b， ∴2a﹣b＞0，故④正确； ⑤当x＝1时，a+b+c＝2， ∴a+c＝2﹣b， ∵a﹣b+c＜0， ∴2﹣b﹣b＜0，解得：b＞1， ∴2﹣b＜1， ∴a+c＜1，故⑤正确； 综上所述，共有4个是正确的； 故选：D． 2．（2024•宝安区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a+b+c＝2，③a④0＜b＜1中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点的位置，可以得出a、b、c的符号，进而确定abc的符号，对①做出判断；把（1，2）代入可对②做出判断；而无法判断③④一定正确，综合得出答案． 【解答】解：因为抛物线开口向上，可知a＞0， 对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故b＞0， 抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0， ∴abc＜0，故①正确； 把（1，2）代入得a+b+c＝2，故②正确； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， 又∵a+b+c＝2， ∴2b＞2，即：b＞1，因此④不正确， 因为对称轴x介在﹣1与0之间，因此1，得2a＞b，而b＞1，∴a，因此③正确． 故选：B． 3．（2024•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题． 【解答】解：开口向下，a＜0； 对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0； 抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0， ∴abc＜0， 所以①正确，符合题意； 当x＝﹣1时图象在x轴下方，则y＝a﹣b+c＜0， 即a+c＜b， 所以②不正确，不符合题意； 对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方， 则y＝4a+2b+c＞0， 所以③正确，符合题意； ，则，而a﹣b+c＜0， 则，2c＜3b， 所以④正确，符合题意； 开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c； 当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c， 则a+b+c＞am2+bm+c， 即a+b＞m（am+b）（m≠1）， 所以⑤错误，不符合题意． 故①③④正确， 故选：B． 4．（2024•汝阳县一模）图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①ab＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④|a+c|＜|b|．其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再根据抛物线的对称性和增减性对四个结论依次进行判断即可． 【解答】解：由所给函数图象可知， a＜0，b＜0， 所以ab＞0． 故①正确． 抛物线上横坐标为﹣2的点在x轴下方， 所以4a﹣2b+c＜0． 故②正确． 因为抛物线的对称轴在直线x＝﹣1和y轴之间， 所以， 则2a﹣b＜0． 故③正确． 当x＝1时，函数值小于零， 则a+b+c＜0； 当x＝﹣1时，函数值大于零， 则a﹣b+c＞0； 所以（a+b+c）（a﹣b+c）＜0， 即（a+c）2﹣b2＜0， 所以（a+c）2＜b2， 所以|a+c|＜|b|． 故④正确． 故选：D． 5．（2024•斗门区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＞0； ②3a+c＞0； ③（a+c）2﹣b2＜0； ④a+b≤m（am+b）（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①，由a与b的关系及x＝﹣1时y＜0可判断②，利用（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），根据x＝﹣1时y＞0，x＝1时y＜0可判断③，由x＝1时y取最小值可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴为直线 ∴b＝﹣2a＜0， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0 ∴abc＞0，故①正确． ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，故②不正确． ∵（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）， 且a+b+c＜0，a﹣b+c＝0， ∴（a+c）2﹣b2＝0，故③不正确． ∵x＝1时，y＝a+b+c为最小值， ∴a+b≤m（am+b），故④正确． 故选：A． 6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关于x的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x1x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；⑤直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据抛物线与方程、不等式的关系及二次函数的性质求解． 【解答】解：由图象得：a＜0，c＞0，b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①是正确的； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴0＝ax2+bx+c有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，故②是错误的； 根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点的横坐标分别为：﹣2，4， ∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝8a+c＝0，故③是正确的； 由图象得：抛物线与y＝﹣1的交点的横坐标分别位于﹣2的左边，4的右边， ∴x1＜﹣2，x2＞4；故④是正确的； ∵直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c）和（4，0）， ∴于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0即：ax2+bx+c＞kx﹣4k的解集是0＜x＜4，故⑤是正确的； 故选：B． 7．（2024•旺苍县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0； ②b2＜4ac； ③2c＜3b； ④a+b＞m（am+b）（m≠1）； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2． 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】①由二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0； ②由于二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac； ③由1，得b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以2a﹣2b+2c＜0，把b替换成a计算； ④x＝1时函数有最大值，所以当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，即a+b+c＞m（am+b）+c，所以a+b＞m（am+b）（m≠1）成立； ⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4． 【解答】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号， ∴b＞0， ∵与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①错误； ∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则Δ＝b2﹣4ac＞0． ∴b2＞4ac． 故②错误； ∵1， ∴b＝﹣2a． 又∵当x＝﹣1时，y＜0． 即a﹣b+c＜0． ∴2a﹣2b+2c＜0． ∴﹣3b+2c＜0． ∴2c＜3b． 故③正确； ∵x＝1时函数有最大值， ∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值， 即a+b+c＞m（am+b）+c ∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立， 故④正确． 将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可， 由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4， 故⑤错误． 综上：③④正确， 故选：A． 8．（2023秋•龙港区期中）函数y＝ax2+bx+c与y＝kx的图象如图所示，下列结论： ①b2﹣4ac＞0； ②a+b+c＝0； ③x＝﹣2时，函数y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c有最大值； ④关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝﹣3， 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据抛物线与x轴交点个数与Δ＝b2﹣4ac的关系即可判断①；由x＝1时，二次函数的函数值即可判断②；由抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1得到，解得k﹣b＝﹣4a，代入y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c得到y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c＝﹣ax2﹣4ax﹣c＝﹣a（x+2）2+4a﹣c，根据二次函数的性质即可判断③；抛物线与直线的交点的坐标与函数解析式的关系即可判断④． 【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故选项①错误； 由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故选项②错误； ∵抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1， ∴， ②﹣①得﹣8a+2b＝2k，即k﹣b＝﹣4a， ∴y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c＝﹣ax2﹣4ax﹣c＝﹣a（x+2）2+4a﹣c， ∵﹣a＜0． ∴x＝﹣2时，函数y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c有最大值，故选项③正确； ∵抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1， ∴方程ax2+bx+c与y＝kx的解为x1＝﹣1，x2＝﹣3， ∴关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝﹣3，故选项④正确． 故选：B． 9．（2023•石城县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤ 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0． 抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0． 抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0． 所以abc＜0． 故①错误． ②∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0， 故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最大值为：y＝a+b+c； ∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm， 故③错误； ④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧， ∴当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， 故④错误； ⑤∵bx1bx2， ∴bx1bx2＝0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， 而x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2， ∵b＝﹣2a， ∴x1+x2＝2， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②⑤． 故选：C． 10．（2024•苍溪县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中结论正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性，利用数形结合的思想对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由函数图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， 所以abc＞0． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 所以1， 即2a﹣b＝0． 故②正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且x＝1时，函数值小于零， 所以x＝﹣3时，函数值小于零， 则9a﹣3b+c＜0． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下， 所以当x＝m时，am2+bm+c≤a﹣b+c， 即am2﹣a+bm+b≤0， 所以a（m2﹣1）+b（m+1）≤0． 故④正确． 由函数图象可知， 当x＝1时，函数值小于零， 则a+b+c＜0， 又因为b＝2a， 所以3a+c＜0． 故⑤正确． 故选：D． 11．（2024•高青县校级一模）小明从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息： ①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】观察图象易得a＞0，，所以b＜0，2a﹣3b＞0，因此abc＞0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的； 当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣b+c＞0③是正确的； 当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0⑤是正确的． 【解答】解：∵抛物线开口方向向上， ∴a＞0， ∵与y轴交点在x轴的下方， ∴c＜0， ∵， ∵a＞0， ∴b＜0， 2a﹣3b＞0， ∴abc＞0， ∴①②是正确的， ④对称轴x， ∴3b＝﹣2a， ∴2a+3b＝0， ∴④是错误的； 当x＝﹣1，y＝a﹣b+c， 而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限， ∴a﹣b+c＞0是正确的； 当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b， 而点（2，c﹣4b）在第一象限， ∴c﹣4b＞0． 故选：C． 12．（2024•沂源县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向可判定a的符号；结合抛物线的对称轴b的符号可判断①；通过x＝﹣1和x＝3的对称性判断②；将不等式的两边加上c，进而判断出③；将b＝﹣2a，a﹣b+c＝0可推出④． 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为：x1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ∵2×1﹣3＝﹣1，当x＝3时，y＞0， ∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0， ∴a+c＞b， ∵b＝﹣2a＞0， ∴a+c＞0， 故②正确； ∵b＝﹣2a， ∴2a+3b＝2a﹣6a＝﹣4a＞0， 故③正确， ∵当x＝1时，y＝a+b+c，a＜0， ∴函数的最大值为：a+b+c， ∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠0）， ∴a+b＞am2+bm， 故④正确， ∴②③④正确， 故选：C． 13．（2024•桃江县一模）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣a）（如图所示），则下列说法：①abc＜0；②（a+b）2≥c；③关于x的方程ax2+bx＝0有两个不相等的实数根；④﹣1≤a≤0．则正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由二次函数图象的性质及二次函数图象与系数的关系逐一判定即可． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣a）， ∴2， ∴b＝﹣4a＞0， ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①错误； ∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣a）， ∴4a+2b+c＝﹣a， ∵b＝﹣4a， ∴4a﹣8a+c＝﹣a，即c＝3a， ∴（a+b）2﹣c＝9a2﹣3a＝3a（3a﹣1）， ∵a＜0， ∴3a（3a﹣1）＞0， ∴（a+b）2﹣c＞0， ∴（a+b）2＞c，故②错误； 由图可知抛物线与直线y＝c有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝c，即ax2+bx＝0有两个不相等的实数根，故③正确； ∵a为抛物线二次项系数， ∴a≠0，故④错误． 故选：A． 14．（2023秋•中山市校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①2a+b＝0；②3a+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④若A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2＝2，其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【分析】根据对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，当x＝1时取得最大值，即可判断①③，根据x＝3时，y＜0，即可判断②，根据对称性即可判断④． 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确； ∵x＝3时，y＝9a+3b+c＜0， 即9a+3×（﹣2a）+c＜0， ∴3a+c＜0，故②不正确； 抛物线对称轴为直线x＝1，开口向下， ∴函数的最大值为a+b+c， ∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥am2+bm，故③不正确； ∵A（x1，0），B（x2，0），对称轴为直线x＝1，则x1+x2＝2， 故④正确， 故选：C． 15．（2023秋•西城区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论： ①a＜0；②9a+3b+c＞0；③c＞0；④﹣30 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据开口方向判断a的符号，当x＝3时，判断9a+3b+c＞0；根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号；根据抛物线对称轴的位置判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，故①正确； 由图可以看出，对称轴﹣3＜x0， 故④正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为x1，由题意得， 对称轴x0， 解得x1＜3， ∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故②错误； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0，故③正确． 综上所述，①③④正确． 故选：B． 16．（2023•东港区校级三模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论： ①b2﹣4c＞0；②b+c＝0；③2b+c+3＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0 其中正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】①根据开口方向判定a的符号，根据对称轴判断b的符号，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据抛物线与x轴的交点情况判断b2﹣4ac的符号； ②当x＝1时，y＝1，判断b+c+1的符号，由b+c+1＝1，可得b+c＝0； ③根据对称轴求b的值，由b+c＝0，代入可作判定； ④由抛物线和直线所处的位置判断x2+bx+c＜x，得出x2+（b﹣1）x+c＜0． 【解答】解：①∵函数y＝x2+bx+c与x轴没交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＜0， ∵a＝1， ∴Δ＝b2﹣4c＜0， 故①错误； ②∵函数y＝x2+bx+c与y＝x的交点的横坐标为1， ∴交点为：（1，1），（3，3）， ∴b+c+1＝1， ∴b+c＝0； 故②正确； ③由图象得：抛物线的对称轴是：x，且a＝1， ∴， ∴b＝﹣3， ∴2b+c+3＝b+0+3＝0， 故③正确； ④由图象可知：当1＜x＜3时，抛物线在直线的下方， ∴x2+bx+c＜x， ∴x2+（b﹣1）x+c＜0， 故④正确． 故选：B． 17．（2023•双台子区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出四个结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③对于任意实数m，有am2+bm+c＜a﹣b+c；④，其中正确的有（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的系数确定了抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点等．对于①，先根据二次函数图象的性质判断a，b，c的正负，进而得出答案；对于②，令x＝﹣2求出y值，判断即可；对于③，先求出当x＝﹣1时，求初最大值，再比较即可；对于④，根据对称轴求出a，b的关系，再将x＝1，y＝0代入关系式，即可判断． 【解答】解：①∵对称轴位于x轴的左侧， ∴， ∴即ab＞0． ∵与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0．故①正确； ②∵x＝﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0， 故②正确； ③当x＝﹣1时，y最大＝a﹣b+c， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴有am2+bm+c≤a﹣b+c，故③错误； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴b＝2a． ∵x＝1时，y＝0， ∴a+b+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴， 故④错误； 正确的结论有：①②， 故选：A． 18．（2023•遂溪县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线l，则以下说法：①a﹣b+c＝0；②4a+b＝0；③0；④16a+5b+2c＞0，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先由抛物线与x轴交点为（5，0），对称轴为x＝2，可以得到抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0）可以判断①；利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②；先由抛物线的开口方向判断出a＞0，进而判断出b＜0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③；先求出b＝﹣4a，c＝﹣5a，然后代入16a+5b+2c即可判断． 【解答】解：有图象知，抛物线过点（5，0），对称轴为直线x＝2， ∴抛物线过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴2， ∴4a+b＝0， 故②正确； 由图象知，抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵4a+b＝0， ∴b＜0， 而抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∴0，故③正确； ∵4a+b＝0， ∴b＝﹣4a， ∵a﹣b+c＝0， ∴c＝﹣5a， ∴16a+5b+2c＝16a﹣20a﹣10a＝﹣14a＜0， 故④错误． 故选：C． 19．（2023秋•义乌市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③ 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴有两个交点可判断②，由当x＝1时函数取最大值可判断③，由函数最大值大于1且抛物线开口向下可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，①错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，②正确； ∵x＝1时函数取最大值， ∴am2+bm+c＜a+b+c（m≠1）， ∴am2﹣a+bm﹣b＜0，即a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1），③正确． ∴由图象可得函数最大值大于2， ∴ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根x1，x2， ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根x3，x4， ∵图象对称轴为直线x＝1， ∴x1+x2＝2，x3+x4＝2． ∴x1+x2+x3+x4＝4， ∴④正确． 故选：B． 20．（2023秋•铜梁区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①abc＞0； ②2a+b＜0； ③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n； ④3|a|+|c|＜2|b|． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴2a＜0， ∵对称轴x1，b＞0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故选项①正确； 对称轴x1，又a＜0，则﹣b＜2a，则2a+b＞0，故②错误； ∵﹣1＜m＜n＜1，则﹣2＜m+n＜2， ∴抛物线对称轴为：x1，2，m+n，故选项③正确； 当x＝1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，则3a+2b+c＞0， ∴3a+c＞﹣2b， ∴﹣3a﹣c＜2b， ∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴）， ∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b＝2|b|，故④选项正确． 故选：C． 21．（2023•仁怀市模拟）如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 ⑥一定存在实数x0，使得axbx0＞a﹣b成立．上述结论，正确的是（　　） A．①②⑤ B．②③④ C．②③⑥ D．③④⑤ 【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；由对称轴为直线x＝﹣1即可得到，2a﹣b＝0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③④；由抛物线的增减性可判断结论⑤；函数的最值即可判断结论⑥． 【解答】解：∵抛物线开口向上、顶点在y轴左侧、抛物线与y轴交于负半轴， ∴a＞0，b＞0，c＜0， ∴abc＜0，故①错误； ∵1， ∴b＝2a， ∴2a﹣b＝0，故②正确； ∵抛物线过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线过点（1，0）， ∴a+b+c＝0，故③正确； ∴b＝2a，a+b+c＝0， ∴3a+c＝0，故④错误； ∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；故⑤错误； ∵函数最小值为a﹣b+c， ∴当x0≠﹣1时，则axbx0+c＞a﹣b+c，即axbx0＞a﹣b， ∴一定存在实数x0，使得axbx0＞a﹣b成立，故⑥正确； 故选：C． 22．（2023•广东模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对任意实数m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①；由x＝﹣1时y＞0及a＞0，可判断②； 由x＝﹣1时y＞0及a与b的数量关系可判断③，由x＝1时函数取最小值可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a＜0， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①错误； ∵x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∵a＞0， ∴2a﹣b+c＞0，故②错误； ∵b＝﹣2a， ∴a， 由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+cb+c＞0， ∴3b﹣2c＜0，故③正确； 由x＝1时函数取最小值可得am2+bm+c≥a+b+c， ∴am2+bm≥a+b， ∵a， ∴am2+bm， ∴2am2+2bm﹣b≥0，故④正确． 故选：D． 23．（2023•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②④ C．①④ D．②③④ 【分析】根据二次函数图象与性质，先判断a＜0，b＝﹣2a，即b＞0，c＞0，即可判断①正确；根据图象得出x＝3时y＜0，即可得出9a+3b+c＜0，通过变形可判断②错误；根据9a+3b+c＜0结合b＝﹣2a可以判断③正确；根据x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，可以判断④正确． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴，即b＝﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①正确； 由图象可知，抛物线与x轴左侧的交点在（﹣1，0）的右侧， ∵抛物线的对称轴为x＝1， ∴抛物线与x轴右侧的交点在（3，0）的左侧， ∴当x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0， ∴， 故②错误； ∵9a+3b+c＜0，b＝﹣2a， ∴， ∴2c＜3b， 故③正确； 当x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值， ∴a（k+1）2+b（k+1）+c≤a+b+c， ∴a（k+1）2+b（k+1）≤a+b， ∴（k+1）（ak+a+b）≤a+b， 故④正确； ∴正确的有①③④， 故选：A． 24．（2024•黄石模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中﹣1＜x1＜0．下列四个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2b﹣c＜0；④不等式ax2+bx+cx+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的序号为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【分析】根据题意画出函数图象，得到a、b异号，c＞0，可判断①结论；根据当x＝﹣1时，y＜0，可判断②结论；根据抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（2，0），得到，可判断③结论；令，画出一次函数图象，利用图象可判断④结论． 【解答】解：根据题意画出函数图象如下： ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中﹣1＜x1＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴在之间，与y轴交点在正半轴， ∴a、b异号，c＞0， ∴abc＜0，①结论正确； 由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，②结论错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∴， ∴， ∴2b﹣c＞0，③结论错误； 令， 当x＝0时，y＝c；当y＝0，x＝2， 函数图象如下： 由图象可知，当0＜x＜2时，抛物线y＝ax2+bx+c图象在一次函数的上方， ∴不等式的解集为0＜x＜2，④结论正确， 故选：D． 25．（2024•殷都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣3＜x＜2时，y1＞y2；②x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣4，t1），（1，t2）是抛物线上的两点，则t1＞t2；④对于抛物线，当﹣3＜x＜2时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据函数图象即可判断①②④；求出对称轴，再由开口向上得到离对称轴越远函数值越大，即可判断③． 【解答】解：由函数图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围为﹣3＜x＜2， ∴当﹣3＜x＜2时，y1＞y2，故①正确； ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为当（﹣3，0）， ∴x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，故②正确； ∵抛物线经过（2，5），（﹣3，0） ∴4a+2b﹣3＝5，9a﹣3b﹣3＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴抛物线对称轴为直线， ∵函数开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵﹣1﹣（﹣4）＝3＞1﹣（﹣1）＝2， ∴t1＞t2，故③正确； 由函数图象可知，当﹣3＜x＜2时，y2的取值范围是不是0＜y2＜5，故④错误， 故选：B． 26．（2024•东港区校级一模）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（　　） ①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3； ②9a2﹣b2＜0； ③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为，x2＝﹣1； ④6≤3n﹣2≤10． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【分析】由已知求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），则不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；再将b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入9a2﹣b2，即可判断②；将一元二次方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，即可求方程的根；由已知可得2≤c≤3，再由抛物线的顶点坐标可求n＝﹣4a，从而进一步可求n的范围为n≤4，即可求出6≤3n﹣2≤10． 【解答】解：∵顶点坐标为（1，n）， ∴b＝﹣2a， ∵与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∵对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0）， ∵抛物线开口向下， ∴不等式ax2++bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3， 即不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3， 故①正确； ∵9a2﹣b2＝9a2﹣（﹣2a）2＝5a2＞0， 故②不正确； ∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0， 即3x2+2x﹣1＝0， ∴方程的根为x1，x2＝﹣1， 故③正确； ∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间， ∴2≤c≤3， ∵顶点坐标为（1，n）， ∴n＝﹣4a， ∵c＝﹣3a， ∴nc， ∴n≤4， ∴6≤3n﹣2≤10； 故④正确； 故选：D． 27．（2024•射洪市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x＝h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③若OC＝2OA，则2b﹣ac＝4；④3a﹣c＜0．其中正确的有 　②③④　．（只填写序号） 【分析】①根据抛物线的开口向下即可得出a＜0，再根据抛物线的对称轴在x＝1和x＝2之间即可得出b＞﹣2a，②正确；②由b＞﹣2a可得出b＞0，再根据抛物线与y轴交于y轴负半轴可得出c＜0，由此即可得出abc＞0，①错误；③将代入抛物线解析式中，整理后可得出2b﹣ac＝4，③正确；④根据抛物线的对称轴可得出﹣2a＜b＜﹣4a，再由当x＝1时y＞0即可得出a+b+c＞0，进而即可得出3a﹣c＜0，④正确．综上即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线的对称轴， ∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，②成立； ∵b＞﹣2a，a＜0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错误； ∵OC＝2OA， ∴， ∴， 整理得：2b﹣ac＝4，③成立； ∵抛物线的对称轴， ∴﹣2a＜b＜﹣4a， ∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0， ∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确． 综上可知正确的结论为②③④． 故答案为：②③④． 28．（2023秋•太康县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①b＞0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k2a+kb（k为常数，且k≠1）．其中正确的结论序号是 　①③　． 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：由图象可知，a＜0， 1， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， 故①正确； 由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴b＞a+c， 故②错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝3时，函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且b＝﹣2a， 即a，代入得9（）+3b+c＜0，得cb， ∵b＞0， ∴c＜4b， 故③正确； 当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝k时，y＝ak2+bk+c， ∵k为常数，且k≠1， 所以a+b+c＞ak2+bk+c， 故a+b＞ak2+bk， 故④错误． 故①③正确． 故答案为：①③． 29．（2023秋•青山区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，c），且满足a﹣b+c＝0．下列四个结论： ①抛物线的对称轴是直线x＝1； ②b与c同号； ③若a+2b+4c＞0，则不等式ax2+bx+c＜﹣2ax﹣a﹣b的解集﹣2＜x＜2； ④抛物线上的两个点M（m﹣1，y1），N（m+2，y2），当c＜0，且y1＞y2时，． 其中一定正确的是 　①②③　.（填写序号） 【分析】根据二次函数的性质及抛物线与不等式的关系求解． 【解答】解：由题意得：4a+2b+c＝c， ∴b＝﹣2a ∴1， 故①是正确的； 又∵a﹣b+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴a、c异号，a、b异号， ∴b、c同号， 故②是正确的； ∵a+2b+4c＞0， ∴a﹣4a﹣12a＝﹣15a＞0， ∴a＜0， ∴不等式化为：x2﹣4＞0， 解得：﹣2＜x＜2， 故③是正确的； ∵c＜0， ∴a＞0， 抛物线开口向上， ∵m﹣1＜m+2，y1＞y2， ∴m+2≤1，或1﹣（m﹣1）＞m+2﹣1 解得：m≤﹣1或m， 故④是错误的； 故答案为：①②③． 30．（2023秋•城厢区校级月考）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上． ①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a﹣b+c＜4m+n；⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4． 其中正确的是 　①④　． 【分析】利用抛物线的对称轴方程得到1，则可对①进行判断；由抛物线开口向下得到a＜0，则b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；利用x＝﹣1时，y1＞0，即a﹣b+c＞0，x＝4时，y2＝0，即4m+n＝0，则可对⑤进行判断；结合函数图象可对⑥进行判断． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以②错误； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）， ∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），所以③错误； ∵抛物线的顶点坐标为（1，3）， ∴抛物线与直线y＝﹣3有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根，所以④正确； ∵x＝﹣1时，y1＞0，即a﹣b+c＞0， 而x＝4时，y2＝0，即4m+n＝0， ∴a﹣b+c＞4m+n；所以⑤错误； ∵当1＜x＜4时，y2＜y1， ∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜1或x＞4．所以⑥错误． 故答案为：①④． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$