上海市八年级上学期期中真题必刷常考60题（25个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

期中真题必刷常考60题（25个考点专练） 一．二次根式有意义的条件（共3小题） 1．（2021秋•宝山区校级期中）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则的取值范围是 　　． 3．（2022秋•静安区校级期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　． 二．二次根式的性质与化简（共3小题） 4．（2022秋•宝山区校级期中）化简的结果是　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•虹口区校级期中）已知，，化简　　． 6．（2021春•越秀区校级期中）　　． 三．最简二次根式（共2小题） 7．（2023秋•闵行区期中）下列各式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 8．（2022秋•奉贤区校级期中）在式子、、、中，是最简二次根式的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 四．二次根式的乘除法（共3小题） 9．（2023秋•浦东新区期中）式子成立的条件是　　 A． B． C． D． 10．（2022秋•普陀区校级期中）计算：　　． 11．（2022秋•宝山区校级期中）计算：． 五．分母有理化（共3小题） 12．（2023秋•浦东新区期中）的有理化因式是　　 A． B． C． D． 13．（2022秋•闵行区校级期中）如果，，那么和的关系是　　 A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 14．（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：　 　． 六．同类二次根式（共3小题） 15．（2021秋•宝山区校级期中）下列根式中，不能与合并的是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•浦东新区期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 17．（2022秋•奉贤区校级期中）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则　　． 七．二次根式的加减法（共3小题） 18．（2022秋•长宁区校级期中）计算：　　． 19．（2022秋•宝山区校级期中）化简：． 20．（2021秋•浦东新区期中）　　． 八．二次根式的混合运算（共2小题） 21．（2023秋•静安区校级期中）下面计算正确的是　　 A． B． C． D． 22．（2022秋•静安区校级期中）计算：． 九．二次根式的化简求值（共3小题） 23．（2022秋•宝山区校级期中）已知，，求的值． 24．（2022秋•静安区期中）先化简：，再求当，时的值． 25．（虹口区校级期中）已知，那么　 　． 一十．二次根式的应用（共2小题） 26．（2023秋•静安区校级期中）不等式的解集是 　　． 27．（2021秋•奉贤区校级期中）解不等式： 一十一．一元二次方程的定义（共2小题） 28．（2022秋•长宁区校级期中）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 29．（嘉定区期中）若方程是关于的一元二次方程，则　 　． 一十二．一元二次方程的一般形式（共2小题） 30．（长宁区期中）把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是　　 A．2， B．， C．2， D．， 31．（2023秋•青浦区校级期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　 　． 一十三．一元二次方程的解（共3小题） 32．（2021秋•徐汇区校级期中）已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•青浦区校级期中）若是方程的根，计算　　． 34．（2023秋•崇明区期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是　　． 一十四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题） 35．（2020秋•黄浦区校级期中）方程的根是　　． 36．（2022秋•浦东新区期中）方程的解是 　　． 一十五．解一元二次方程-配方法（共3小题） 37．（浦东新区期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程是　　 A． B． C． D． 38．（庐阳区校级期中）把方程用配方法化为的形式，则的值是　　． 39．（2020秋•闵行区期中）用配方法解方程：． 一十六．解一元二次方程-公式法（共2小题） 40．（2021秋•浦东新区期中）解方程：． 41．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，按照这个规定，方程，的解为　　． 一十七．解一元二次方程-因式分解法（共3小题） 42．（2020秋•静安区校级期中）一元二次方程的解为　　 A． B． C．且 D．或 43．（2023秋•松江区期中）方程的根为　 　． 44．（2021秋•奉贤区校级期中）解方程：． 一十八．根的判别式（共3小题） 45．（2023秋•杨浦区校级期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　． 46．（2022秋•杨浦区校级期中）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大非零整数时，求方程的两个根． 47．（2022秋•普陀区校级期中）如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D． 一十九．根与系数的关系（共2小题） 48．（虹口区校级期中）若实数、分别满足，，且，求的值． 49．（2020秋•杨浦区期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是　　． 二十．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 50．（2023秋•崇明区期中）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为 　　． 二十一．一元二次方程的应用（共1小题） 51．（2022秋•宝山区校级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为元，则可以卖出件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的，如果商店计划要赚400元，那么每件商品售价是多少元？ 二十二．函数自变量的取值范围（共2小题） 52．（2022秋•虹口区校级期中）函数自变量的取值范围是　　． 53．（2020秋•黄浦区校级期中）函数的定义域是　　． 二十三．函数值（共2小题） 54．（2022秋•静安区期中）已知函数，那么　　． 55．（2022秋•宝山区校级期中）已知，如果（a），那么　 　． 二十四．正比例函数的定义（共2小题） 56．（2022秋•静安区校级期中）下列关于的函数中，是正比例函数的为　　 A． B． C． D． 57．（黄浦区期中）若、是变量，且函数是正比例函数，则　　． 二十五．正比例函数的性质（共3小题） 58．（松江区期中）已知正比例函数，若随的增大而增大，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 59．（2021秋•金山区校级期中）如果函数是正比例函数．则的值是　　． 60．（浦东新区期中）已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在轴上能否找到一点，使的面积为5？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷常考60题（25个考点专练） 一．二次根式有意义的条件（共3小题） 1．（2021秋•宝山区校级期中）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：，据此求得的取值范围． 【解答】解：依题意得：， 解得． 故选：． 【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零． 2．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则的取值范围是 　　． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案． 【解答】解：二次根式有意义，则， 故的取值范围是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 3．（2022秋•静安区校级期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意的，， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 二．二次根式的性质与化简（共3小题） 4．（2022秋•宝山区校级期中）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的概念求出的符号，根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由二次根式的概念可知，，又， ， 化简的结果是， 故选：． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键，注意二次根式的被开方数是非负数． 5．（2022秋•虹口区校级期中）已知，，化简　　． 【分析】首先利用，把原式写成的形式，然后根据性质：即可化简． 【解答】解：，， ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的化简当时，表示的算术平方根；当时，；当时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 6．（2021春•越秀区校级期中）　　． 【分析】根据简得到原式，然后根据绝对值的意义去绝对值即可． 【解答】解：原式． 故答案为． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：．也考查了绝对值的意义． 三．最简二次根式（共2小题） 7．（2023秋•闵行区期中）下列各式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：、，故不是最简二次根式，故选项错误； 、是最简二次根式，符合题意，故选项正确； 、，故不是最简二次根式，故选项错误； 、，故不是最简二次根式，故选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键． 8．（2022秋•奉贤区校级期中）在式子、、、中，是最简二次根式的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，被开方数不含能开得尽方的因数，也没有分母，是最简二次根式； ，被开方数不含能开得尽方的因式，也没有分母，是最简二次根式； 综上所述，是最简二次根式的个数是2个． 故选：． 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 四．二次根式的乘除法（共3小题） 9．（2023秋•浦东新区期中）式子成立的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解． 【解答】解：由二次根式的意义可知，且， 解得． 故选：． 【点评】注意：根号里的数必须为非负数且分母不能为0． 10．（2022秋•普陀区校级期中）计算：　　． 【分析】先将二次根式化为最简后再进行乘除运算． 【解答】解：原式， ， ． 故填． 【点评】本题考查二次根式的乘除运算，比较简单，注意在运算时要细心． 11．（2022秋•宝山区校级期中）计算：． 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 五．分母有理化（共3小题） 12．（2023秋•浦东新区期中）的有理化因式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号解答即可． 【解答】解：的有理化因式是． 故选：． 【点评】本题主要考查了分母有理化因式的定义，比较简单，熟记定义是解题的关键． 13．（2022秋•闵行区校级期中）如果，，那么和的关系是　　 A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【分析】计算和的积与和，即可求得． 【解答】解：， ， 和互为倒数， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的加法和乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． 14．（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：　　． 【分析】根据平方差公式可得出的有理化因式为，再化简即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为． 【点评】本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 六．同类二次根式（共3小题） 15．（2021秋•宝山区校级期中）下列根式中，不能与合并的是　　 A． B． C． D． 【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果． 【解答】解：、，本选项不合题意； 、，本选项不合题意； 、，本选项合题意； 、，本选项不合题意； 故选：． 【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 16．（2023秋•浦东新区期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】各式化简为最简二次根式，再利用同类二次根式定义判断即可． 【解答】解：， 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 17．（2022秋•奉贤区校级期中）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则　2　． 【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求即可． 【解答】解：， ， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 七．二次根式的加减法（共3小题） 18．（2022秋•长宁区校级期中）计算：　　． 【分析】原式两项化为最简二次根式，合并即可得到结果． 【解答】解：原式． 故答案为： 【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握法则是解本题的关键． 19．（2022秋•宝山区校级期中）化简：． 【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键． 20．（2021秋•浦东新区期中）　　． 【分析】根据二次根式的性质，将，分别化简，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】考查二次根式的性质，及二次根式的加减法，先将每一个二次根式化简，再合并同类二次根式是常用的方法． 八．二次根式的混合运算（共2小题） 21．（2023秋•静安区校级期中）下面计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断． 【解答】解：、4与不能合并，所以选项错误； 、原式，所以选项的计算正确； 、原式，所以选项错误； 、原式，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 22．（2022秋•静安区校级期中）计算：． 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 九．二次根式的化简求值（共3小题） 23．（2022秋•宝山区校级期中）已知，，求的值． 【分析】首先将已知分母有理化，进而代入求出即可． 【解答】解：，， ． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确分母有理化是解题关键． 24．（2022秋•静安区期中）先化简：，再求当，时的值． 【分析】首先将原式分子提取公因式，进而分子分母约分得出化简即可，进而将，代入即可． 【解答】解：原式 ， 当，时，原式 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确将分子分解因式得出是解题关键． 25．（虹口区校级期中）已知，那么　　． 【分析】直接利用完全平方公式得出，进而得出的值． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式的应用，正确应用完全平方公式是解题关键． 一十．二次根式的应用（共2小题） 26．（2023秋•静安区校级期中）不等式的解集是 　　． 【分析】先移项，再合并同类项，把的系数化为1即可． 【解答】解：移项得，， 合并同类项得，， 的系数化为1得，． 故答案为：． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 27．（2021秋•奉贤区校级期中）解不等式： 【分析】先去括号、再移项、合并同类项、化系数为1，即可求出的取值范围． 【解答】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得， 即． 【点评】本题考查的是不等式的基本性质及求不等式解集的步骤，化系数为1时，注意判断系数的符号． 一十一．一元二次方程的定义（共2小题） 28．（2022秋•长宁区校级期中）下列方程是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：、方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程，故本选项错误； 、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； 、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误； 、由原方程得到：，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 29．（嘉定区期中）若方程是关于的一元二次方程，则　　． 【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于0，即可求得的值． 【解答】解：方程是一元二次方程， ，即． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 一十二．一元二次方程的一般形式（共2小题） 30．（长宁区期中）把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是　　 A．2， B．， C．2， D．， 【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：一元二次方程， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 其二次项系数与一次项分别是2，． 故选：． 【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号． 31．（2023秋•青浦区校级期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　　． 【分析】方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出的值即可． 【解答】解：方程整理得：， 由常数项为0，得到， 解得：（舍去）或， 则， 故答案为： 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，其一般形式为． 一十三．一元二次方程的解（共3小题） 32．（2021秋•徐汇区校级期中）已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是　　 A． B． C． D． 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把代入方程，即可求解． 【解答】解：方程有一个根是， ， 又， 等式的两边同除以，得， 故． 故选：． 【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论． 33．（2023秋•青浦区校级期中）若是方程的根，计算　0　． 【分析】利用整体代入的思想解决问题即可． 【解答】解：是方程的根， ， ，， ． 故答案为：0． 【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型． 34．（2023秋•崇明区期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是　　． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得的值． 【解答】解：把代入方程， 得， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解，注意方程有意义，其二次项系数不能为0． 一十四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题） 35．（2020秋•黄浦区校级期中）方程的根是　，　． 【分析】利用直接开平方法求解可得． 【解答】解：， 或， 解得，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 36．（2022秋•浦东新区期中）方程的解是 　，　． 【分析】直接开平方法求解可得． 【解答】解：， ， ， 即，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 一十五．解一元二次方程-配方法（共3小题） 37．（浦东新区期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断． 【解答】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 故选：． 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 38．把方程用配方法化为的形式，则的值是　　． 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：， ， ， ， ，， ， 故答案为： 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 39．（2020秋•闵行区期中）用配方法解方程：． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【解答】解：， ， 则，即， ， ，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 一十六．解一元二次方程-公式法（共2小题） 40．（2021秋•浦东新区期中）解方程：． 【分析】找出，，的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：这里，，， △， ， 则，． 【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 41．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，按照这个规定，方程，的解为　或　． 【分析】分为两种情况：①当时，得出方程，②当时，得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：分为两种情况： ①当，即时，， 解得：，， 舍去； ②当，即时，， 解得：，， 舍去； 所以方程，的解为2或， 故答案为：2或． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 一十七．解一元二次方程-因式分解法（共3小题） 42．（2020秋•静安区校级期中）一元二次方程的解为　　 A． B． C．且 D．或 【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：， ， 或， 所以，． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 43．（2023秋•松江区期中）方程的根为　，　． 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：， 或， 所以，． 故答案为，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 44．（2021秋•奉贤区校级期中）解方程：． 【分析】先移项得到：，然后把方程看作关于的一元二次方程，再利用因式分解法解方程． 【解答】解：， ， 或， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 一十八．根的判别式（共3小题） 45．（2023秋•杨浦区校级期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　且　． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两不等式解集的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得且△， 解得且． 故答案为且． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 46．（2022秋•杨浦区校级期中）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大非零整数时，求方程的两个根． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）由（1）的结论可得出可取的最大非零整数为，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根． 【解答】解：（1）关于的方程有两个实数根， △， 解得：， 的取值范围为． （2）， 当取最大非零整数时，． 当时，原方程为， 解得：，． 当取最大非零整数时，方程的两个根分别为，． 【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个实数根”；（2）代入的值，利用公式法求出一元二次方程的解． 47．（2022秋•普陀区校级期中）如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D． 【分析】需要分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程进行解答． 【解答】解：①当时，，该方程是一元一次方程，有实数根； ②当时，△， 整理的：， 解得：． 故的取值范围是且． 综合①②的取值范围是． 故选：． 【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数；（3）△方程没有实数根． 一十九．根与系数的关系（共2小题） 48．（虹口区校级期中）若实数、分别满足，，且，求的值． 【分析】根据已知得出、是方程的两个根，根据根与系数的关系得出，，求出、同号，且都为负数，根据二次根式的性质把变成，变形后代入求出即可． 【解答】解：实数、分别满足，，且， 、是方程的两个根， ，， 、同号，且都为负数， ． 【点评】本题考查了二次根式的性质，根与系数的关系的应用，解此题的关键是求出、都为负数和把变成，题目比较好，有一定的难度． 49．（2020秋•杨浦区期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是　0　． 【分析】根据是倍根方程，且，得到，或，从而得到，，进而得到． 【解答】解：是倍根方程，且，， 或， ，， ， 故答案为：0． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 二十．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 50．（2023秋•崇明区期中）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为 　　． 【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），本题可参照增长率问题进求解，如果设平均每次降价的百分率为，那么根据题意可用分别表示以后列出降价的价格，然后根据已知即可列出方程． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为， 那么根据题意可用表示两次降价后的价格为， ． 故填空答案：． 【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为（当增长时中间的“”号选“”，当降低时中间的“”号选“” ． 二十一．一元二次方程的应用（共1小题） 51．（2022秋•宝山区校级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为元，则可以卖出件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的，如果商店计划要赚400元，那么每件商品售价是多少元？ 【分析】本题的等量关系是商品的单件利润售价进价．然后根据商品的单件利润销售的件数总利润，设商品的售价为，列出方程求出未知数的值后，根据“物价局限定每次商品加价不能超过进价的”将不合题意的舍去，进而求出卖的商品的件数． 【解答】解：设每件商品售价是元， 由题意，得； 化简，得； 解得，； 又， 不合题意，舍去． 答：每件商品售价是25元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 二十二．函数自变量的取值范围（共2小题） 52．（2022秋•虹口区校级期中）函数自变量的取值范围是　　． 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，， 解得． 故答案为： 【点评】本题考查函数自变量的取值范围的知识点，关键是利用二次根式的被开方数非负数解答． 53．（2020秋•黄浦区校级期中）函数的定义域是　　． 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即，解不等式即可． 【解答】解：依题意，得， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的自变量取值范围的求法．关键是根据二次根式有意义时，被开方数为非负数建立不等式． 二十三．函数值（共2小题） 54．（2022秋•静安区期中）已知函数，那么　　． 【分析】将自变量的值代入函数关系式进行计算即可． 【解答】解：函数， ， 故答案为：． 【点评】本题考查函数值，将自变量的值代入函数关系式是正确计算的关键． 55．（2022秋•宝山区校级期中）已知，如果（a），那么　　． 【分析】根据函数值的概念得到关于的分式方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：由题意得，， 解得，， 检验：当时，， 是原方程的解， 故答案为：． 【点评】本题考查的是函数值的知识，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程． 二十四．正比例函数的定义（共2小题） 56．（2022秋•静安区校级期中）下列关于的函数中，是正比例函数的为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数的定义来判断． 【解答】解：、该函数属于二次函数，故本选项错误； 、该函数符合正比例函数的定义，故本选项正确； 、该函数属于反比例函数，故本选项错误； 、该函数是与成正比，故本选项错误； 故选：． 【点评】主要考查正比例函数的定义：一般地，两个变量，之间的关系式可以表示成形如为常数，且的函数，那么就叫做的正比例函数． 57．（黄浦区期中）若、是变量，且函数是正比例函数，则　1　． 【分析】根据正比例函数的定义条件：为常数且，自变量次数为1，即可得出的值． 【解答】解：根据正比例函数的定义可得：，， 解得；． 故答案为：1 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握． 二十五．正比例函数的性质（共3小题） 58．（松江区期中）已知正比例函数，若随的增大而增大，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出的取值范围． 【解答】解：根据随的增大而增大，知：， 即． 故选：． 【点评】了解正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小． 59．（2021秋•金山区校级期中）如果函数是正比例函数．则的值是　1　． 【分析】由正比例函数的定义：可得，且，然后解关于的一元二次方程即可． 【解答】解：由正比例函数的定义可得：，且， 解得，； 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1． 60．（浦东新区期中）已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在轴上能否找到一点，使的面积为5？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意求得点的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点的坐标． 【解答】解：（1）点的横坐标为3，且的面积为3 点的纵坐标为，点的坐标为， 正比例函数经过点， 解得， 正比例函数的解析式是； （2）的面积为5，点的坐标为， ， 点的坐标为或． 【点评】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点的坐标有两个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$