专题03 轴对称（考点清单，知识导图+5个考点清单+7种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题03 轴对称（考点清单，知识导图+5个考点清单+7种题型解读） 【清单01】轴对称 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 要求归纳：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 要点归纳: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 要点归纳： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 【清单02】作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 【清单03】等腰三角形 1.等腰三角形 　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点归纳：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ． （2）等腰三角形性质 　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）. 要点归纳：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理． 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 要点归纳：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【清单04】含30°角的直角三角形的性质（重点） （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 【清单05】最短路径问题（重点） 1.垂直线段最短问题 动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 2.将军饮马问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 3.“造桥选址”问题 方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．A M N 【考点题型一】轴对称与轴对称图形 【例1】（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．    B．   C．   D．   【变式1-1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）    A． B．l垂直平分 C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，和关于直线l对称，连接，其中与直线l交于点O，点D为直线l上一点，且不与点O重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段被直线l垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线l上 【变式1-3】（21-22八年级上·江西上饶·期中）如图，，，与关于直线对称，则 ．    【变式1-4】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)若，，求的度数． 【考点题型二】线段垂直平分线的判定 【例2】（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（23-24八年级上·四川资阳·期中）如图，四边形的对角线、相交于，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 【变式2-3】．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【变式2-4】（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【考点题型三】等腰三角形的性质与判定 【例3】（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式3-1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式3-2】（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰三角形中，是底边上的高线，于点E，交于点F．若，，则的长为 ． 【变式3-3】（22-23八年级上·吉林·期中）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式3-4】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为等腰直角三角形，是上一点．于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【考点题型四】等边三角形的性质与判定及含30°角的直角三角形的性质 【例4】（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是4，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，，是高．若，则 ． 【变式4-3】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，是等边三角形，，分别是边，上的点，，交于点，于点，若．求证：． 【变式4-4】（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 【考点题型五】最短路径问题 【例5】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式5-1】（23-24八年级上·广东云浮·期末）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D．16 【变式5-2】（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 【变式5-3】（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    【变式5-4】（23-24八年级上·河南濮阳·期中）在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 【考点题型六】转化思想 【例6】（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式6-1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在等腰三角形中，，若和分别垂直平分和，垂足为、，点、都在边上，且，则的长度为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式6-2】（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点D、E．若，，则的周长为 【变式6-3】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 【变式6-4】（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点B处，交于点E． (1)试判断重叠部分的形状，并证明你的结论； (2)若平分，，求的长．（提示：长方形的四个角都是．） 【考点题型七】分类讨论思想 【例7】（22-23八年级上·北京海淀·期中）已知，是等边三角形．点D是边上的一个动点，点E是边上的一个动点，且，与交于点F．若是等腰三角形，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式7-1】（23-24八年级上·河南新乡·期中）在等腰中，，，点为边上一动点（不与点、重合），当为等腰三角形时，的度数为 ．    【变式7-2】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与直线相交于点，并且互相垂直，点和点分别是直线和上的两个动点，且线段长度不变，点是关于直线的对称点，连接，若，则的度数是 ． 【变式7-3】（22-23八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 【变式7-4】（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (2)则当t为何值时，是直角三角形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称（考点清单，知识导图+5个考点清单+7种题型解读） 【清单01】轴对称 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 要求归纳：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 要点归纳: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 要点归纳： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 【清单02】作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 【清单03】等腰三角形 1.等腰三角形 　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点归纳：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ． （2）等腰三角形性质 　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）. 要点归纳：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理． 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 要点归纳：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【清单04】含30°角的直角三角形的性质（重点） （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 【清单05】最短路径问题（重点） 1.垂直线段最短问题 动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 2.将军饮马问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 3.“造桥选址”问题 方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．A M N 【考点题型一】轴对称与轴对称图形 【例1】（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．    B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可： 【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意； 只有D成轴对称，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）    A． B．l垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由轴对称的性质可知，，l垂直平分，，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 【变式1-2】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，和关于直线l对称，连接，其中与直线l交于点O，点D为直线l上一点，且不与点O重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段被直线l垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线l上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵和关于直线l对称， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、∵和关于直线l对称， ∴线段被直线l垂直平分，正确，不符合题意； C、∵和关于直线l对称， ∴l是线段的垂直平分线， ∴为等腰三角形，正确，不符合题意； D、∵和关于直线l对称， ∴线段所在直线的交点一定在直线l上，原说法错误，符合题意． 故选：D 【变式1-3】（21-22八年级上·江西上饶·期中）如图，，，与关于直线对称，则 ．    【答案】100°/100度 【分析】先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数． 【详解】解： 与关于直线对称， ∴， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质及三角形内角和定理是解答此题的关键 【变式1-4】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算． （1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可． （2）本题根据轴对称性质推出，从而得出，最后根据即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是， 故答案为：，． （2）解：， ， ， ． 【考点题型二】线段垂直平分线的判定 【例2】（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； 故选：D 【变式2-1】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，根据，，得到垂直平分，分割法求面积，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，故①②正确； 无法得到平分，故③错误； 四边形的面积为；故④正确； 故选C． 【变式2-2】（23-24八年级上·四川资阳·期中）如图，四边形的对角线、相交于，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，根据全等三角形的性质可得，根据平角的定义可得，即可判断①，根据全等三角形的性质得出，，结合①可得是的垂直平分线，即可判断②，根据即可证明③，不能得出结论④． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由已知条件不能判断，故④错误． 故答案为：①②③． 【变式2-3】．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2-4】（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点题型三】等腰三角形的性质与判定 【例3】（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用， 根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，先证，推出，根据等腰三角形“三线合一”可得，根据，可得，通过等量代换即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 故选C． 【变式3-2】（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰三角形中，是底边上的高线，于点E，交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【变式3-3】（22-23八年级上·吉林·期中）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 【变式3-4】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为等腰直角三角形，是上一点．于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，证明，即可得到，然后解题即可； （2）过点A作于点G，可以得到，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点A作于点G， ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴． 【考点题型四】等边三角形的性质与判定及含30°角的直角三角形的性质 【例4】（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形．熟练掌握等边三角形的边角性质，等腰直角三角形的边角性质，等腰三角形角的性质，是解答此题的关键． 根据等边三角形性质可得，，，根据等腰直角三角形性质可得，，，得到，根据等腰三角形性质可得，． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是4，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称知识，等边三角形的判定与性质．分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，此时的值最小，再根据已知条件可证是等边三角形即可． 【详解】解：分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，此时的值最小，连接，如图所示： ∵点关于的对称点为，关于的对称点为 ∴ ∵点关于的对称点为 ∴ ∴ ∵周长的最小值是4 ∴ ∴ 即 ∴，即是等边三角形 ∴ ∴． 故选：B． 【变式4-2】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，，是高．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式4-3】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，是等边三角形，，分别是边，上的点，，交于点，于点，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据证明得到，进而利用三角形外角的性质得到，由此求出，即可证明． 【详解】证明：是等边三角形， ，， 又， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，正确求出是解题的关键． 【变式4-4】（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据等量代换可得，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （3）根据垂直定义可得，从而可得，，然后根据三角形的外角性质可得，从而利用平角定义可得，最后根据等边三角形的判定即可解答； （4）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用证明，进而可得四边形的面积的面积，再根据已知可得，从而可得的面积的面积四边形的面积，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积公式求出的面积，即可解答． 【详解】（1）证明：如图：   ，为的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是正三角形； （4）解：过点作，交的延长线于点，   ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形的面积的面积， ， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积， 在中，，， ， 的面积， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【考点题型五】最短路径问题 【例5】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．首先求得点E关于直线的对称点，连接，即可求得答案． 【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点，即为点，连接，此时最短， ∵与关于直线l对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最短，即最短， ∵与直线交于点， 点应选点． 故选：C． 【变式5-1】（23-24八年级上·广东云浮·期末）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D．16 【答案】B 【分析】此题考查最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质． 【详解】如图： 连接交于点M， ∵等腰的底边长为3，点D为边的中点， ∴， ∵是腰的垂直平分线，连接， ∴， 此时的周长为： 的长为固定， ∴根据两点之间线段最短，的周长最小． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式5-2】（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：9． 【变式5-3】（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据两点之间线段最短，轴对称的性质即可得到答案． 【详解】解；如图所示：作点A的对称点，作点B的对称点，连接，交C街和D街于点， 则， 当点共线时，小明行走的路径最短， 故小明行走的最短路径是，    【变式5-4】（23-24八年级上·河南濮阳·期中）在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）    （2），理由见解析    （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、最短路径问题： （1）由等边三角形的性质可得，，，推出，进而根据“SAS”证得，由全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）证明，结合全等三角形的性质，利用线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，由全等三角形的性质得，进而根据等边三角形的性质可得，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，再根据线段的和差关系，即可得到答案． 【详解】（1）证明：，都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， . 故答案为：； （2）解：. 证明：与都是等边三角形， ，，， . 即. 在和中， ， . ， . （3）解：如图，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 等边中，是中线，且， ，，， 点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，    ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值. 【考点题型六】转化思想 【例6】（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形的性质，可得，再由线段垂直平分线的性质，可得，，，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，然后根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【变式6-1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在等腰三角形中，，若和分别垂直平分和，垂足为、，点、都在边上，且，则的长度为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据垂直平行线的性质证明，再根据等边对等角推出，进而证明是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，即可求解 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， 在中， ，， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，证明是等边三角形，并熟练进行等量代换是解题的关键． 【变式6-2】（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点D、E．若，，则的周长为 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意证得与是等腰三角形，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 由在中，与的平分线交于点，过点作，证得与是等腰三角形，即，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 的周长为 ， 故答案为：9． 【变式6-3】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 是边上的中线， ，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 【变式6-4】（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点B处，交于点E． (1)试判断重叠部分的形状，并证明你的结论； (2)若平分，，求的长．（提示：长方形的四个角都是．） 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)4 【分析】本题主要考查翻折变换、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，掌握相关性质与判定是解题的关键． （1）利用翻折的性质、平行线的性质可证，然后利用等腰三角形的判定即可得证； （2）利用角平分线的定义、翻折的性质可求，然后利用含的直角三角形的性质得出，在结合即可求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形 理由∶由题意，知，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵平分， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴ 【考点题型七】分类讨论思想 【例7】（22-23八年级上·北京海淀·期中）已知，是等边三角形．点D是边上的一个动点，点E是边上的一个动点，且，与交于点F．若是等腰三角形，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质得出，由证明，得出 设，则，分三种情况：①若，则，证出，得出的情况不存在； ②若，则，得出方程，解方程即可得出结果； ③若，则，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可得出结果． 【详解】解： 如图，∵是等边三角形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴    设， 则， 若是等腰三角形，分三种情况： ①若，则， ∴， 而， ∴的情况不存在； ②若，则， ∴， 解得：， ∴；   ③若，如图所示： 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：的度数是或． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质；关键是通过进行分类讨论求解 【变式7-1】（23-24八年级上·河南新乡·期中）在等腰中，，，点为边上一动点（不与点、重合），当为等腰三角形时，的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据题意分类讨论，分别计算即可求解． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴ 当时， ∴； 当时，此时点重合，不合题意； 当时， ∴， 故答案为：或． 【变式7-2】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与直线相交于点，并且互相垂直，点和点分别是直线和上的两个动点，且线段长度不变，点是关于直线的对称点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：当时，取的中点，连接、，当时，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定得出是等边三角形，进而依据轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质以及三角形内角和定理进行计算即可得出答案． 【详解】解：如图，当时，取的中点，连接、， ，为的中点， ， 点是关于直线的对称点， 垂直平分，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，取的中点，连接、， 同理可得，， ， ， ， ， 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、轴对称的性质等知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键 【变式7-3】（22-23八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质，分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于的一次方程是解决本题的关键． （1）由于，当时，可得到关于的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于的一次方程，求解得结论． 【详解】（1）在中， ，， ， ， ，，． 当时，为等边三角形， 即， ； 当时，为等边三角形； （2）若为直角三角形， ①当时，， 即， ， ②当时，， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 【变式7-4】（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (2)则当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)； (2)当或时，是直角三角形． 【分析】本题考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键． （1）由等边三角形的性质列方程即可求解； （2）分情况讨论，由直角三角形的性质列方程即可求解． 【详解】（1）解：能，∵为等边三角形， 根据题意得，， ， ． 时，为等边三角形， ， 解得； （2）解：根据题意得，， ， 当时， ， ， ， 即， 解得； 当时，同理 即，解得． 综上所述：当或时，是直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$