专题01 三角形（考点清单，知识导图+11个考点清单+9种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题01 三角形（考点清单，知识导图+11个考点清单+9种题型解读） 【清单01】三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【清单02】三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点归纳： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 【清单03】三角形的分类 1.按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 【清单04】三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【清单05】三角形的稳定性     三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点归纳： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．  （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．   （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【清单06】三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点归纳：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 【清单07】直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余. 判定1：有一个角是直角的三角形式直角三角形 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形 【清单08】三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点归纳： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【清单09】多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图： 凸多边形 凹多边形 要点归纳： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 【清单10】多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点归纳： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 【清单11】多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点归纳： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【考点题型一】三角形的三边关系 【例1】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）一个三角形的两边长分别为和，则此三角形周长可能是（  　） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）三条线段，，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（    ） A．1个 B．3个 C．5个 D．无法确定 【变式1-2】（23-24八年级上·新疆和田·期中）长分别为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形 种选法． 【变式1-3】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知是的三边长，满足为整数，则 ． 【变式1-4】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 【考点题型二】三角形的高线、中线与角平分线 【例2】（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，是的中线，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2-1】（22-23八年级上·广西防城港·期中）如图，、分别是、的中点，，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【变式2-2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．若，则 ．    【变式2-3】（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是 ． 【变式2-4】（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，分别是的高，，求的长．    【考点题型三】三角形的内角和定理 【例3】（22-23八年级上·河南三门峡·期中）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级上·云南昭通·期中）在中，，，则度数为 ． 【变式3-3】（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在中，，，P是内一点，且，则 °． 【变式3-4】（22-23八年级上·吉林·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，，，求和的度数． 【考点题型四】三角形的外角 【例4】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在图中，（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24八年级上·河南许昌·期中）点P是内一点，连结并延长交于D，连结，则图中、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，中，，，分别平分，，则 ． 【变式4-3】（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，D是延长线上一点，，，则等于 ． 【变式4-4】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）如图，在中，，平分外角．求证：． 【考点题型五】多边形的内角和与外角和 【例5】（22-23八年级上·山东临沂·期中）一个多边形的内角和是，则从这个多边形一个顶点出发所画对角线条数是（    ） A．11 B．13 C．9 D．10 【变式5-1】（23-24八年级上·河北承德·期中）若一个多边形的每个内角都为，则它的边数为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式5-2】（22-23八年级上·河南商丘·期中）一个 n 边形的内角和等于，则 ． 【变式5-3】（22-23八年级上·甘肃平凉·期中）一个多边形的一个内角和是，则它是 边形． 【变式5-4】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【考点题型六】建模思想 【例6】（23-24八年级上·河南许昌·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，小明沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，小亮从点出发前进，向右转，再前进，又向右转……这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了 ． 【变式6-3】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，他在何处？ 【变式6-4】（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【考点题型七】整体思想 【例7】（23-24八年级上·河南三门峡·期中）如图，（       ）度．    A．450 B．540 C．630 D．720 【变式7-1】（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，的值等于（    ）    A．360° B．450° C．540° D．720° 【变式7-2】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，求 ． 【变式7-3】（20-21八年级上·山东德州·期中）如图，度数为 ． 【变式7-4】（23-24八年级上·天津武清·期中）如图，已知，则等于 度． 【考点题型八】方程思想 【例8】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知一个三角形三个内角度数的比是l：2：3，则其最大内角的度数为（   ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【变式8-1】（23-24八年级上·河南许昌·期中）一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形最大内角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，中，若，且，则 ． 【变式8-3】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，相交于点O，，分别平分，，且交于点P．    （1）若，，则 °； （2）若，则 ． 【变式8-4】（21-22八年级上·新疆和田·期中）若的三个内角度数之比为∶∶，则相应的外角度数之比为多少？ 【考点题型九】分类讨论思想 【例9】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上一点，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式9-1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式9-2】（22-23八年级上·河南商丘·期中）在中，，是高，，则的度数为 ． 【变式9-3】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F．若中有两个角相等，则 ． 【变式9-4】（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形（考点清单，知识导图+11个考点清单+9种题型解读） 【清单01】三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【清单02】三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点归纳： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 【清单03】三角形的分类 1.按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 【清单04】三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【清单05】三角形的稳定性     三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点归纳： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．  （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．   （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【清单06】三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点归纳：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 【清单07】直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余. 判定1：有一个角是直角的三角形式直角三角形 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形 【清单08】三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点归纳： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【清单09】多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图： 凸多边形 凹多边形 要点归纳： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 【清单10】多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点归纳： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 【清单11】多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点归纳： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【考点题型一】三角形的三边关系 【例1】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）一个三角形的两边长分别为和，则此三角形周长可能是（  　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三条边的关系判断即可． 【详解】解：由三角形三条边的关系可得第三边长， 即第三边长， ∵， ∴周长， 只有C符合， 故选C． 【变式1-1】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）三条线段，，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（    ） A．1个 B．3个 C．5个 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边c的范围，根据c的值为整数，即可确定c可能的值．从而确定三角形的个数． 【详解】解：根据三角形三边关系可知：， 即， ∵c的值为整数， ∴c的值可以是3，4，5，6，7，共5个数， ∴由a、b、c为边可组成三角形5个， 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级上·新疆和田·期中）长分别为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形 种选法． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，判断三条线段是否能构成三角形的三边的判定方法是解题关键，根据三角形的三边关系判断即可得解。 【详解】解：从11，8，6，4的四根木条中选三根有4种选法，它们分别是①11，8，6；②11，8，4；③ 11，6，4；④8，6，4． 其中①②④符合三角形的三边关系，②不符合三角形的三边关系． 故有3种选法， 故答案为：3． 【变式1-3】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知是的三边长，满足为整数，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是绝对值，偶次方的非负性的应用，三角形的三边关系的应用，本题先根据非负数的性质可得，，再由三角形的三边关系可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∵是的三边长， ∴， ∵为整数， ∴， 故答案为： 【变式1-4】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了三角形的三边关系， （1）直接根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可； （2）先求出周长的范围，再根据其为偶数进行求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， 即； （2）∵，设的周长为x， ∴，即， ∵的周长为偶数， ∴其周长为16 【考点题型二】三角形的高线、中线与角平分线 【例2】（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，是的中线，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的定义，掌握相关结论即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故选：B． 【变式2-1】（22-23八年级上·广西防城港·期中）如图，、分别是、的中点，，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线性质，熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．先利用点是的中点，可得，然后再利用点是的中点，可得，即可解答． 【详解】解：，点是的中点， ， 点是的中点， ， 故选：B． 【变式2-2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．若，则 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵根据作法可知：是的平分线， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键 【变式2-3】（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形中线的性质，先根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是的中线， ∴， ∵是的高，且， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式2-4】（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，分别是的高，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式的应用，掌握“三角形的面积底高”是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型三】三角形的内角和定理 【例3】（22-23八年级上·河南三门峡·期中）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题综合考查了三角形的内角和定理和对顶角相等的性质．熟练掌握定理与性质是解决问题的关键 根据对顶角相等和三角形的内角和定理知，． 【详解】如图，设与交于点O， ∵， ∴． 故选：A． 【变式3-1】（23-24八年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，先根据平行线的性质求出，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选A． 【变式3-2】（23-24八年级上·云南昭通·期中）在中，，，则度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角问题，利用三角形内角和定理即可求解，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在中，，，P是内一点，且，则 °． 【答案】 【分析】本题综合考查了三角形的内角和定理．对相等的角进行等量代换转化为一个角是解答本题的关键．由已知条件根据三角形的内角和定理，求得，再根据和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-4】（22-23八年级上·吉林·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识点，先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据垂直的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ． 平分， ． 在中，，， ， ． ， ． 在中，，， 【考点题型四】三角形的外角 【例4】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在图中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 【变式4-1】（23-24八年级上·河南许昌·期中）点P是内一点，连结并延长交于D，连结，则图中、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 直接根据三角形外角的性质可排除选项． 【详解】解：由题意得： ，， ∴． 故选：D． 【变式4-2】（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，中，，，分别平分，，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，利用角平分线的定义得出，，利用三角形外角的性质得出，，进而得出，即可求解． 【详解】解∶∵，分别平分，， ∴，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 故答案为∶35． 【变式4-3】（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，D是延长线上一点，，，则等于 ． 【答案】/71度 【分析】本题考查的是三角形的外角性质．根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”即可求解． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式4-4】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）如图，在中，，平分外角．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角的定义以及性质，角平分线的定义， 由三角形外角的定义以及性质可得出，再由角平分线的定义可得出，等量代换可得出， 即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分外角． ∴， 即， ∴， ∴． 【考点题型五】多边形的内角和与外角和 【例5】（22-23八年级上·山东临沂·期中）一个多边形的内角和是，则从这个多边形一个顶点出发所画对角线条数是（    ） A．11 B．13 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．先根据多边形的内角和公式求出，再根据从多边形一个顶点出发所画对角线条数是求解即可． 【详解】∵多边形的内角和为 ∴，解得： ∴ ∴从这个多边形一个顶点出发所画对角线条数是10 故选：D． 【变式5-1】（23-24八年级上·河北承德·期中）若一个多边形的每个内角都为，则它的边数为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的外角问题，理解任意多边形的外角和都是是解题关键．首先求得每个外角的度数，然后利用360度除以外角的底数即可求解． 【详解】解：外角的度数是：， 则多边形的边数为：． 故选：B． 【变式5-2】（22-23八年级上·河南商丘·期中）一个 n 边形的内角和等于，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的内角和．根据多边形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵一个 n 边形的内角和等于， ∴， 解得：． 故答案为：6 【变式5-3】（22-23八年级上·甘肃平凉·期中）一个多边形的一个内角和是，则它是 边形． 【答案】五 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设这是n边形， ， 解得：， ∴这是一个五边形， 故答案为：五． 【变式5-4】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【答案】(1) (2)，五边形外角和的度数是 【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可进行求解； （2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：五边形中，， ∵，，， ∴ ； 五边形外角和的度数是． 【考点题型六】建模思想 【例6】（23-24八年级上·河南许昌·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和是，由多边形的外角和是列式计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式6-1】（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，小明沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和的知识，根据身体每次转过的角度为五边形的一个外角，再求外角和即可． 【详解】解：∵身体每次转过的角度为五边形的一个外角， ∴他每跑完一圈时，身体转过的角度之和为五边形的外角和． 故答案为：D 【变式6-2】（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，小亮从点出发前进，向右转，再前进，又向右转……这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了 ． 【答案】240 【分析】任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数可直接让除以一个外角度数即可求出答案． 【详解】解：小亮从点出发最后回到出发点时正好走了一个正多边形， 根据外角和定理可知正多边形的边数为， 则一共走了米． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【变式6-3】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，他在何处？ 【答案】他在点A处 【分析】根据题意可得，某人行走的路线正好是一个正多边形，利用多边形的外角和即可解决问题． 【详解】解：360°÷72°＝5， ∴某人行走的路线正好是一个正五边形， ∵某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米， ∴一共走了：10×5＝50（米）， ∴最后他在点A处． 【点睛】本题主要考查根据多边形的外角和解决实际问题．解题的关键是明确多边形的外角和是360°，明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形 【变式6-4】（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了120米 (2)这个多边形的内角和是． 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形， ∴，（米）； 答：小明一共走了120米； （2）解：根据题意得： ， 答：这个多边形的内角和是． 【考点题型七】整体思想 【例7】（23-24八年级上·河南三门峡·期中）如图，（       ）度．    A．450 B．540 C．630 D．720 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形内角和定理，根据，，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵， ∴ 故选：B 【变式7-1】（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，的值等于（    ）    A．360° B．450° C．540° D．720° 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和定理，利用四边形的内角和得到，，从而有，，然后利用三角形的内角和求的度数． 【详解】解：如图，连接，    ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：C． 【变式7-2】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，求 ． 【答案】/度 【分析】连接，则，求的度数就是求四边形的内角和，结合四边形内角和定理，即可求出结论；本题考查了三角形内角和定理以及四边形内角和定理，牢记“三角形内角和是”及“四边形内角和是”是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，交于一点O， ∴在中， ∵ ∴ 在四边形中， 故答案为： 【变式7-3】（20-21八年级上·山东德州·期中）如图，度数为 ． 【答案】/度 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：，，，，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：：，，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 【变式7-4】（23-24八年级上·天津武清·期中）如图，已知，则等于 度． 【答案】 【分析】连接．由四边形的内角和定理可推得，然后证明，则可证． 【详解】解：连接．设与相交于点O．    由四边形的内角和可得：， ∵， ∴． 在与中， ， ∴ ， 即 即． 故答案为：． 【考点题型八】方程思想 【例8】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知一个三角形三个内角度数的比是l：2：3，则其最大内角的度数为（   ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的内角和180°，据此设未知数列式进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设一个三角形三个内角度数分别为， 则， 解得， 则， 故选：C． 【变式8-1】（23-24八年级上·河南许昌·期中）一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形最大内角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理．已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x，根据三角形的内角和等于列方程，求出三个内角的度数，从而确定三角形的最大角的度数． 【详解】解：根据题意可设该三角形的三个内角分别为、、． 三角形的内角和为， ． ． 最大内角为． 故选：B． 【变式8-2】（22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，中，若，且，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角，三角形的内角和定理；由，可知，，再根据外角和内角和得出结果即可． 【详解】解：， ，， 设， ， ， ， 在中， ， ， 解得：． 故答案为：． 【变式8-3】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，相交于点O，，分别平分，，且交于点P．    （1）若，，则 °； （2）若，则 ． 【答案】 65 3 【分析】本题考查了三角形内角和定理，与角平分线有关的角度计算，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，通过外角将已知量和待求量联立起来建立方程是解题关键． （1）设，在和利用三角形内角和求得和，由角平分线的定义可得和，再根据是和的公共外角建立方程求解即可； （2）设，，，，结合（1）解答依次求得和，和，再根据外角建立方程求解即可； 【详解】解：（1）由对顶角相等可得，设， 中，， ∴， 中，， ∴， 是的外角，则， 是的外角，则， ∴， ∴， 故答案为：65； （2）设，，，， 由（1）解答可得： ， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3； 【变式8-4】（21-22八年级上·新疆和田·期中）若的三个内角度数之比为∶∶，则相应的外角度数之比为多少？ 【答案】∶∶ 【分析】先根据三个内角的度数比为∶∶及三角形内角和定理求出三角形三个内角的度数，再由平角的性质求出与之对应的三个外角的度数即可． 【详解】解：设较小的一个内角为，则另外两个内角分别为，，依题意，得： ， 解得：， ∴，，， ∵，，， ∴与之对应的外角分别为，，， ∵∶∶＝∶∶． ∴相应的外角度数的比是∶∶． 【点睛】本题考查三角形内角和定理及内角与外角的关系．解答此题的关键是根据三角形内角和定理列出方程求解． 【考点题型九】分类讨论思想 【例9】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上一点，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角的和与差，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． 根据为直角三角形可得或，分两种情况讨论：①若，根据三角形的内角和即可求得，进而可求解；②若，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】∵为直角三角形， ∴或， ①若， ∵，， ∴， ∴． ②若， ∵， ∴． 综合所述，或． 故选：C 【变式9-1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据三角形是直角三角形，对分为直角和锐角两种情况讨论即可求解，运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当为直角时，； 则； 当为锐角时，依题意得，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴或， 故选：． 【变式9-2】（22-23八年级上·河南商丘·期中）在中，，是高，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．分两种情况：当点D在的延长线上时；当点D在边上时，结合三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵如图，当点D在的延长线上时，， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图，当点D在边上时，， ∵， ∴， ∵，， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或 【变式9-3】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F．若中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键． 由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 【变式9-4】（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为； (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】（）利用邻补角互补求出外角，用外角和除以一个外角的度数即可求解； （）分三种情况，根据多边形的内角和计算公式即可求解； 本题考查了正多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和计算及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）设正多边形的一个外角的度数为，则与其相邻的内角的度数等于， ∴， 解得，     答：这个多边形的边数为； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， 当多边形为九边形时， 内角和； 当多边形为八边形时， 内角和； 当多边形为七边形时， 内角和． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 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