精品解析：2023年山东省滕州市第一中学自主招生模拟训练试题

自主招生模拟练习 1. 如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是________． 2. 如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则___________°． 3. 如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为___________． 4. 若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________． 5. 《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为___________． 6. 如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是______． 7. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____． 8. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（ ） A. 36 B. 18 C. 12 D. 9 9. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；当点M的位置变化时，DF长的最大值为________． 10. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． （结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 11. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 12. 【经典回顾】 梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线． 在中，，四边形、和分别是以的三边为一边的正方形．延长和，交于点，连接并延长交于点，交于点，延长交于点． （1）证明：； （2）证明：正方形的面积等于四边形的面积； （3）请利用（2）中的结论证明勾股定理． （4）【迁移拓展】 如图2，四边形和分别是以的两边为一边的平行四边形，探索在下方是否存在平行四边形，使得该平行四边形的面积等于平行四边形、的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由． 13. 如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 （1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； （2）点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； （3）如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自主招生模拟练习 1. 如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光， 任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果， 小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比． 2. 如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则___________°． 【答案】35 【解析】 【分析】连接并延长，交于点，连接，首先根据圆周角定理可得，再根据为的切线，可得，可得，再根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，连接． 为的直径， ， ， 为的切线， ， ， ， ． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 3. 如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由旋转的性质可得由锐角三角函数可求从而得出由扇形面积公式即可求解． 【详解】解： ∵矩形中， 由旋转可知， ∵， ∴ ∴线段AB扫过的面积 故答案为： 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解此题的关键． 4. 若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可． 【详解】解：点到轴的距离小于2， ， 点在二次函数的图象上， ， 当时，有最小值为1． 当时，， 的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键． 5. 《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先由直线与轴的夹角是45°，得出，，…都是等腰直角三角形， ，，，…，得出点的横坐标为1，得到当时，，点的坐标为，，点的横坐标，当时，，得出点的坐标为，以此类推，最后得出结果． 【详解】解：直线与轴的夹角是45°， ，，…都是等腰直角三角形， ，，，… 点的坐标为，点的横坐标为1， 当时，，点的坐标为， ， 点的横坐标， 当时，， 点的坐标为， ，…… 以此类推，得，，，，……，， ， 的最小值为2． 【点睛】本题考查了此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，探究以几何图形为背景的问题时，一是要破解几何图形之间的关系，二是实现线段长度和点的坐标的正确转换，三是观察分析所得数据并找出数据之间的规律． 6. 如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理得出，根据的面积是2，求出点到的距离为，根据的面积，求出点到的距离为，即可得出点到的距离为，根据相似三角形的判定与性质，得出，求出，，根据等角对等边求出，即可求出，即可得出最后结果． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵的面积是2， ∴点到的距离为， 在中，点到的距离为， ∴点到的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是求出点到的距离为，点到的距离为． 7. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点． 平分，，， ， ， ， 设，则， ，， ， ， 设，则， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 8. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（ ） A. 36 B. 18 C. 12 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3，），C（3-t，+t），由点C在反比例函数y=的图象上，推出t=3-，进而求出点B的坐标（3，6-），再点C在反比例函数y=的图象上，整理后，即可得出结论． 【详解】解：连接AC，与BD相交于点P， 设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）． ∴点D的坐标为（3，）， ∴点C的坐标为（3-t，+t）． ∵点C在反比例函数y=的图象上， ∴（3-t）（+t）=k2，化简得：t=3-， ∴点B的纵坐标为+2t=+2（3-）=6-， ∴点B的坐标为（3，6-）， ∴3×（6-）=，整理，得：+=18． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出，之间的关系． 9. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；当点M的位置变化时，DF长的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解. 【详解】解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB， ∴AE=EB=AB=3， 在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3， tan60°=， ∴EF=3； 当AF长取得最小值时，DF长取得最大值， 由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM， ∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值， 过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形， ∴FM=DG， 在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6， ∴DG=DCsin60°=3， ∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3， 故答案为：3；6-3． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 10. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． （结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 【答案】（1）6.7m （2）4.5m 【解析】 【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． （2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图2，连接，过点作，交的延长线于． 在中，， ，所以， ，所以， 在中，m，m， 根据勾股定理得m， 答：、两点之间的距离约6.7m． 【小问2详解】 如图2，过点作，垂足为， 则四边形为矩形，m，， 所以m， 在中，m，m， 根据勾股定理得m． m． 答：的长为4.5m． 【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解 11. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：直线AF与⊙O相切． 理由如下：连接OC， ∵PC为圆O切线， ∴CP⊥OC， ∴∠OCP＝90°， ∵OF∥BC， ∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠B， ∴∠AOF＝∠COF， ∵在△AOF和△COF中， ， ∴△AOF≌△COF（SAS）， ∴∠OAF＝∠OCF＝90°， ∴AF⊥OA， 又∵OA为圆O的半径， ∴AF为圆O的切线； （2）6 （3）18﹣6π． 【解析】 【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出∠OAF=∠OCF=90°，由切线的判定可得出结论； （2）由直角三角形的性质求出∠AOF=30°，可得出AE=OA=3，则可求出答案； （3）证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC=60°，OC=6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵△AOF≌△COF， ∴∠AOF＝∠COF， ∵OA＝OC， ∴E为AC中点， 即， ∵∠， ∴， ∴∠AOF＝30°， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵AC＝OA＝6，OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°，OC＝6， ∵∠OCP＝90°， ∴， ∴S△OCP＝， ∴阴影部分的面积=S△OCP﹣S扇形AOC＝． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 12. 【经典回顾】 梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线． 在中，，四边形、和分别是以的三边为一边的正方形．延长和，交于点，连接并延长交于点，交于点，延长交于点． （1）证明：； （2）证明：正方形的面积等于四边形的面积； （3）请利用（2）中的结论证明勾股定理． （4）【迁移拓展】 如图2，四边形和分别是以的两边为一边的平行四边形，探索在下方是否存在平行四边形，使得该平行四边形的面积等于平行四边形、的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1，连接HG， ∵四边形ACHI，ABED和BCGF是正方形， ∴AC＝CH，BC＝CG，∠ACH＝∠BCG＝90°，AB＝AD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠GCH＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°， ∴∠GCH＝∠ACB， ∴△ACB≌△HCG（SAS）， ∴GH＝AB＝AD， ∵∠GCH＝∠CHI＝∠CGL＝90°， ∴四边形CGLH是矩形， ∴CL＝GH， ∴AD＝LC； （2） 证明：∵∠CAI＝∠BAM＝90°， ∴∠BAC＝∠MAI， ∵AC＝AI，∠ACB＝∠I＝90°， ∴△ABC≌△AMI（ASA）， 由（1）知：△ACB≌△HCG， ∴△AMI≌△HGC， ∵四边形CGLH是矩形， ∴S△CHG＝S△CHL， ∴S△AMI＝S△CHL， ∴正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积； （3） 证明：由正方形可得， 又，所以四边形是平行四边形， 由（2）知，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 所以， 延长交于， 同理有， 所以． 所以． （4） 存在，如图为所求作的平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和SAS证明△ACB≌△HCG，可得结论； （2）证明S△CHG＝S△CHL，所以S△AMI＝S△CHL，由此可得结论； （3）证明正方形ACHI的面积+正方形BFGC的面积＝▱ADJK的面积+▱KJEB的面积＝正方形ADEB，可得结论； （4）如图2，延长IH和FG交于点L，连接LC，以A为圆心CL为半径画弧交IH于一点，过这一点和A作直线，以A为圆心，AI为半径作弧交这直线于D，分别以A，B为圆心，以AB，AI为半径画弧交于E，连接AD，DE，BE，则四边形ADEB即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的证明等知识；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据图形面积的关系证出勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 13. 如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 （1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； （2）点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； （3）如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 【答案】（1），顶点坐标 （2）点横坐标为或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，，则，由题意可得方程，求解方程即可； （3）由题意可知Q点在平行于的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求． 【小问1详解】 解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵， ∴顶点坐标； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∴ 解得 ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时，整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； 【小问3详解】 解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $