第二十二章 二次函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十二章 二次函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列函数：①y＝3﹣；②y＝；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 3．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．在二次函数y＝﹣x2+2x﹣3的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 5．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．当x＞1时，函数的最大值为2；当x≤1时，函数的最大值为1，则b﹣c＝（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．6 6．抛物线与坐标轴的交点的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若OA＝12m，抛物线的顶点P到OA的距离为9m，则抛物线对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数y＝﹣x2+ax+3图象的对称轴为直线x＝2，关于x的方程﹣x2+ax+3﹣m＝0（m为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，则m的取值范围是（　　） A．6≤m＜7 B．m＜7 C．﹣2≤m＜6 D．﹣2＜m≤7 9．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，③4a+2b+c＞0，④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．点A（，b）是抛物线y＝x2上的一点，则b＝　 　． 12．抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为　 　． 13．如图，某农场要盖一排三间同样大小的长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24m，设羊圈的总面积为S（m2），垂直于墙的一边长为x（m），则S关于x的函数关系式为 　 　．（不必写出自变量的取值范围） 14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的最小值为a﹣b+c，且该二次函数图象经过点P（2，m2+3）、Q（n，2m）两点，则n的取值范围是 　 　． 15．如图，二次函数y＝的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．现有一长为3的线段DE在直线y＝上移动，且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE左端点D的横坐标为t，则t的取值范围是 　 　． 3、 解答题：共8题，共75分. 16．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3）． （1）求二次函数的解析式． （2）P点是抛物线上一个动点，且△ABP的面积为8，求出点P的坐标． 17．（8分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题． （1）求方程ax2＝﹣bx﹣c的解； （2）如果方程ax2+bx+c+m＝0无实数根，求m的取值范围． 18．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过（﹣1，0）、（3，0）两点． （1）求该函数解析式； （2）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在该函数图象上； ①若﹣4＜x1＜﹣1，6＜x2＜8，比较y1与y2的大小，并说明理由； ②若x1+x2＝6，求y1+y2的最小值． 19．（8分）在二次函数y＝﹣x2+2tx+2（t＞0，且t为常数）的图象上有点A（m，a）和B（m+2，a）． （1）当m＝0时，求该函数解析式； （2）若点D（4，b）也在这个二次函数的图象上，且满足a＞b＞2．求m的取值范围． 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为（3，0），则t＝　 　； ②求t的取值范围； ③求OD•DB的最大值． 21．（9分）阅读理解： 自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：x2﹣5x＞0． 解：设x2﹣5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y＝x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为x＜0或x＞5． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透的数学思想有 　 　； （2）借助阅读材料直接写出一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为 　 　； （3）用类似的方法解一元二次不等式：﹣x2﹣3x+4＞0． 22．（12分）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 23．（13分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，则△ACD的面积为　 　； （3）点P是坐标平面内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列函数：①y＝3﹣；②y＝；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数的定义．版权所有 【答案】C 【分析】利用二次函数定义进行分析即可． 【解答】解：①y＝3﹣；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个， 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的左右两边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 【考点】二次函数的定义．版权所有 【答案】B 【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数， ∴|a+3|＝2且a+1≠0， 解得a＝﹣5， 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 3．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．版权所有 【答案】D 【分析】分a＞0与a＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论． 【解答】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点； ②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点． 对照四个选项可知D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键． 4．在二次函数y＝﹣x2+2x﹣3的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．版权所有 【答案】B 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以直接得到当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．当x＞1时，函数的最大值为2；当x≤1时，函数的最大值为1，则b﹣c＝（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．6 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．版权所有 【答案】D 【分析】根据题意得到抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即b＝4，当x＝1时，y＝﹣12+4+c＝1，求出c＝﹣2，即可得到答案． 【解答】解：， ∴抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵当x＞1时，函数的最大值为2；当x≤1时，函数的最大值为1， ∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即b＝4，如图， ∴当x＝1时，y＝﹣12+4+c＝1， 解得c＝﹣2， ∴b﹣c＝4﹣（﹣2）＝6， 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数性质和二次函数的最值，正确记忆修改知识点是解题关键． 6．抛物线与坐标轴的交点的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【考点】抛物线与x轴的交点．版权所有 【答案】A 【分析】先令y＝0，利用根的判别式判断抛物线与x轴的交点即可． 【解答】解：令＝0， ∵△＝（）2+4×7＝30＞0， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∵抛物线与y轴总有一个交点， ∴抛物线与坐标轴的交点的个数为3． 故选：A． 【点评】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点问题，解答此类问题时不要忘记抛物线与y轴的交点，这是此类题的易错点． 7．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若OA＝12m，抛物线的顶点P到OA的距离为9m，则抛物线对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【考点】根据实际问题列二次函数关系式．版权所有 【答案】D 【分析】根据题意得出A（12，0），P（5，9），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，把P（6，9）代入得y＝a（x﹣6）2+9，再把A（12，0）代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【解答】解：∵OA＝12m，抛物线的顶点P到OA的距离为9m， ∴A（12，0），P（6，9）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k， 把P（6，9）代入得：y＝a（x﹣6）2+9， 把A（12，0）代入得：0＝a（12﹣6）2+9， 解得：a＝﹣＝﹣， ∴抛物线表达式为． 故选：D． 【点评】本题主要考查了求抛物线的表达式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键． 8．已知二次函数y＝﹣x2+ax+3图象的对称轴为直线x＝2，关于x的方程﹣x2+ax+3﹣m＝0（m为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，则m的取值范围是（　　） A．6≤m＜7 B．m＜7 C．﹣2≤m＜6 D．﹣2＜m≤7 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 【答案】D 【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出a得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+3，计算x＝2的函数值得到抛物线的顶点坐标为（2，7），再计算得到x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝3时，y＝6，画出大致的函数图象，由于关于x的方程﹣x2+ax+3﹣m＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根可理解为抛物线y＝﹣x2+ax+3与直线y＝t在﹣1＜x＜3的范围内有交点，然后根据图象得到对应的t的范围． 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2， ∴a＝4， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+3， 当x＝2时，y＝﹣4+8+3＝7，则抛物线的顶点坐标为（2，7）， 当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣4+3＝﹣2； 当x＝3时，y＝﹣9+12+3＝6， 如图， ∵关于x的方程﹣x2+ax+3﹣m＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根， ∴抛物线y＝﹣x2+ax+3与直线y＝t在﹣1＜x＜3的范围内有交点， 根据图象，当﹣2＜m≤7时，抛物线y＝﹣x2+ax+3与直线y＝m在﹣1＜x＜3的范围内有交点， 所以t的取值范围为﹣2＜m≤7． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 9．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【考点】图象法求一元二次方程的近似根．版权所有 【答案】C 【分析】观察表中数据得到抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，更靠近点（1.3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程ax2+bx+c＝0一个根的近似值． 【解答】解：∵x＝1.2时，y＝ax2+bx+c＝﹣0.29； x＝1.3时，y＝ax2+bx+c＝0.14； ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，且更靠近点（1.3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0有一个根约为1.27． 故选：C． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，是解题的关键． 10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，③4a+2b+c＞0，④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象与系数的关系．版权所有 【答案】A 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵﹣＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①错误； ②∵由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故②错误； ③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误； ④当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c≤am2+bm+c， 故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故④正确， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．点A（，b）是抛物线y＝x2上的一点，则b＝　　． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】利用待定系数法把A（，b）代入y＝x2可得b的值 【解答】解：把A（，b）代入y＝x2得：b＝， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，关键是会用待定系数法计算． 12．抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为　16　． 【考点】待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】利用顶点公式（﹣，）进行解答即可． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣8，顶点在x轴上 ∴顶点纵坐标为0，即＝＝0 解得c＝16． 【点评】主要考查了抛物线的顶点坐标公式．此公式要掌握可使计算简便． 13．如图，某农场要盖一排三间同样大小的长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24m，设羊圈的总面积为S（m2），垂直于墙的一边长为x（m），则S关于x的函数关系式为 　S＝﹣4x2+24x　．（不必写出自变量的取值范围） 【考点】根据实际问题列二次函数关系式．版权所有 【答案】S＝﹣4x2+24x． 【分析】先根据栅栏的总长度24表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），再根据长方形的面积公式表示即可得到S关于x的函数关系式． 【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x）， 则：S＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x， 故答案为：S＝﹣4x2+24x． 【点评】此题主要考查了结合实际问题列二次函数解析式．关键是根据长方形的面积公式得到二次函数的解析式． 14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的最小值为a﹣b+c，且该二次函数图象经过点P（2，m2+3）、Q（n，2m）两点，则n的取值范围是 　﹣4＜n＜2　． 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【答案】﹣4＜n＜2． 【分析】由题意可得抛物线图象开口方向及对称轴，再由yP﹣yQ＞0得点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离．即可判断n的范围，进而求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的最小值为a﹣b+c， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， ∵， ∴yP＞yQ， ∴|2﹣（﹣1）|＞|n﹣（﹣1）|， ∴﹣4＜n＜2 故答案为：﹣4＜n＜2． 【点评】本题考查二次函数的最值以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 15．如图，二次函数y＝的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．现有一长为3的线段DE在直线y＝上移动，且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE左端点D的横坐标为t，则t的取值范围是 　﹣≤t≤2　． 【考点】抛物线与x轴的交点．版权所有 【答案】﹣≤t≤2． 【分析】（1）先求出点A，点B，点C坐标，分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可求解． 【解答】解：（1）∵y＝的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C． ∴点A（1，0），点B（3，0），点C（0，），对称轴为直线x＝2， 如图2， ∵线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等， ∴PA＝PB，或PB＝PC，或PC＝PA， ∵DE在直线y＝上移动， ∴点P的纵坐标为， 设点P（x，）， 若PA＝PC， ∴（x）2+（﹣）2＝（x﹣1）2+（）2， ∴x＝， ∴点P（，）， ∴PA＝PC＝1，PC＝， ∵PA+PB＜， ∴不合题意舍去； 若PB＝PC， ∴（x）2+（﹣）2＝（x﹣3）2+（）2， ∴x＝， ∴点P（，）， ∴PB＝PC＝，PA＝1， ∵PA+PB＞PC， ∴PA，PB，PC能组成三角形； 若PA＝PB， ∴（x﹣1）2+（）2＝（x﹣3）2+（）2， ∴x＝2， ∴点P（2，）， ∴PA＝PB＝，PC＝， ∵PA+PB＞PC， ∴PA，PB，PC能组成三角形； ∵点P在长为3的线段DE上， ∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为：﹣3≤t≤2， ∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为：﹣≤t≤2， 故答案为：﹣≤t≤2． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角形三边关系，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 3、 解答题：共8题，共75分 16．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3）． （1）求二次函数的解析式． （2）P点是抛物线上一个动点，且△ABP的面积为8，求出点P的坐标． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+3），把C（0，3）代入解得a＝﹣1，即可求出解析式； （2）设P（m，n），由△ABP的面积为8，得，所以n＝±4，分两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+3）， 把C（0，3）代入得﹣3a＝3， 解得a＝﹣1， 所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）， 即y＝﹣x2﹣2x+3． （2）设P（m，n）， ∵△ABP的面积为8， ∴， 解得：n＝±4， 分两种情况讨论： ①当n＝﹣4时，﹣m2﹣2m+3＝﹣4， 解得：， ∴，； ②当n＝4时，﹣m2﹣2m+3＝4， 解得：m＝﹣1， ∴P3（﹣1，4）； 综上，在这条抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为8，且点P的坐标为，，P3（﹣1，4）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和点的坐标的求法．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 17．（8分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题． （1）求方程ax2＝﹣bx﹣c的解； （2）如果方程ax2+bx+c+m＝0无实数根，求m的取值范围． 【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．版权所有 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝1； （2）m＜﹣8． 【分析】（1）根据函数图象与x轴的交点坐标即可求解； （2）根据函数图象即可求解． 【解答】解：（1）观察函数图象可知，图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），与y轴的交点坐标为（0，6）， 将方程ax2＝﹣bx﹣c变形为ax2+bx+c＝0， 由图象可知方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1， ∴方程ax2＝﹣bx﹣c的解为x1＝﹣3，x2＝1； （2）若方程ax2+bx+c+m＝0无实数根， 则由图象可得﹣m＞8， ∴m＜﹣8． 【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，利用数形思想解答是解题的关键． 18．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过（﹣1，0）、（3，0）两点． （1）求该函数解析式； （2）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在该函数图象上； ①若﹣4＜x1＜﹣1，6＜x2＜8，比较y1与y2的大小，并说明理由； ②若x1+x2＝6，求y1+y2的最小值． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．版权所有 【答案】（1）； （2）①y1＜y2，理由见解析；②0． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求先得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，则离对称轴越远，函数值越大，再由x2﹣1＞5＞1﹣x1即可得到答案；②先得到，，进而得到，据此可得答案． 【解答】解（1）解：把（﹣1，0）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣2中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：①y1＜y2，理由如下： ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵﹣4＜x1＜﹣1，6＜x2＜8， ∴x2﹣1＞5＞1﹣x1， ∴y1＜y2； ②∵， ∴， ∴ ＝， ＝ ＝， ∵x2＝6﹣x1， ∴ ＝ ＝， ∵， ∴当x1＝3时，y1+y2有最小值0． 【点评】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，掌握待定系数法是关键． 19．（8分）在二次函数y＝﹣x2+2tx+2（t＞0，且t为常数）的图象上有点A（m，a）和B（m+2，a）． （1）当m＝0时，求该函数解析式； （2）若点D（4，b）也在这个二次函数的图象上，且满足a＞b＞2．求m的取值范围． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【答案】（1）该函数解析式为y＝﹣x2+2x+2；（2）1＜m＜2或m＞4． 【分析】（1）函数解析式可得，该图象的对称轴为直线：，由点A（m，a）和B（m+2，a）在这个二次函数的图象上可知，图象的对称轴为直线，结合m＝0即可求解； （2）由（1）知该图象的对称轴为直线x＝m+1＝t＞0，可知A在对称轴左侧，B在对称轴右侧，抛物线y＝﹣x2+2tx+2与y轴交点为（0，2），可得其对称点为（2m+2，2），由b＞2得4＜2m+2，解得m＞1，再分两种情况①当A（m，a），D（4，b）都在对称轴左侧时，②当A（m，a）在对称轴左侧，D（4，b）在对称轴右侧时，再根据a＞b＞2即可求解． 【解答】解：（1）由函数解析式可得，该图象的对称轴为直线：， ∵m＝0，点A（m，a），B（m+2，a）在这个二次函数的图象上， ∴该图象的对称轴为直线， ∴该图象的对称轴为直线t＝1． ∴该函数解析式为y＝﹣x2+2x+2． （2）∵点A（m，a），B（m+2，a）在这个二次函数的图象上， ∴该图象的对称轴为直线x＝m+1＝t＞0， ∵m＜m+2， ∴A在对称轴左侧，B在对称轴右侧， 在y＝﹣x2+2tx+2中，令x＝0得y＝2， ∴抛物线y＝﹣x2+2tx+2与y轴交点为（0，2）， ∴（0，2）关于对称轴直线x＝m+1的对称点为（2m+2，2）， ∵b＞2， ∴4＜2m+2，解得m＞1； ①当A（m，a），D（4，b）都在对称轴左侧时， ∵y随x的增大而增大，且a＞b， ∴m＞4， ②当A（m，a）在对称轴左侧，D（4，b）在对称轴右侧时， ∵a＞b， ∴D（4，b）到对称轴直线x＝m+1距离大于A（m，a）到对称轴直线x＝m+1的距离，∴4﹣（m+1）＞m+1﹣m，解得：m＜2，此时m满足的条件是0＜m＜2， 综上所述，1＜m＜2或m＞4． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为（3，0），则t＝　6　； ②求t的取值范围； ③求OD•DB的最大值． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）C（1，4）；A（﹣2，0），B（4，0）； （2）①6； ②3＜t＜7且t≠4； ③t＝5时，OD•DB有最大值，最大值为4． 【分析】（1）根据顶点式可直接得出点C的坐标；令y＝0，解方程，可得出点A，B的坐标； （2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线x＝，再根据点C，M的坐标可得出C，M关于对称轴对称，由此可得出t的值； ②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为（，0），再由对称性可知，D（t﹣3，0），由点D在线段OB上，且与端点不重合，可得，即3＜t＜7，而当t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，由此可得3＜t＜7且t≠4； ③OD•DB＝（t﹣3）•（7﹣t）＝﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4，根据二次函数的性质可得结论． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象的顶点为C， ∴C（1，4）； 令y＝﹣（x﹣1）2+4＝0，解得x＝﹣2或x＝4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）； （2）①由题知，该函数过点B（4，0），C（1，4），D（3，0）， ∴函数的解析式为：y′＝a（x﹣4）（x﹣3）， ∴函数的对称轴为直线x＝， ∵C（1，4），M（t，4）， ∴点C，M关于对称轴对称， ∴＝， ∴t＝6， 故答案为：6； ②设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c， 将M（t，4），C（1，4）两点代入，得， ∴a（t2﹣1）+b（t﹣1）＝0， ∵t≠1， ∴﹣＝， ∴二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为（，0）， ∵B，D两点关于对称轴对称，点B（4，0）， ∴D（t﹣3，0）， ∵点D在线段OB上，且与端点不重合， ∴，即3＜t＜7， ∵t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在， ∴3＜t＜7且t≠4； ③∵OD＝t﹣3，DB＝7﹣t， ∴OD•DB＝（t﹣3）•（7﹣t）． ∴OD•DB＝﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4， ∵3＜t＜7且t≠4， ∴t＝5时，OD•DB有最大值，最大值为4． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． 21．（9分）阅读理解： 自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：x2﹣5x＞0． 解：设x2﹣5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y＝x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为x＜0或x＞5． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透的数学思想有 　转化思想和数形结合　； （2）借助阅读材料直接写出一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为 　0＜x＜5　； （3）用类似的方法解一元二次不等式：﹣x2﹣3x+4＞0． 【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．版权所有 【答案】（1）转化思想和数形结合； （2）0＜x＜5； （3）﹣4＜x＜1． 【分析】（1）根据题意容易得出结论； （2）观察图象即可写出一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集； （3）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据y＞0确定一元二次不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集即可． 【解答】解：（1）根据解题过程中，渗透了转化思想和数形结合思想． 故答案为：转化思想和数形结合． （2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴及其下方，此时y＜0，即x2﹣5x＜0， ∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5． 故答案为：0＜x＜5． （3）设﹣x2﹣3x+4＞0，解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣4与x轴的交点坐标为（﹣4，0）和（1，0）． 如图：画出二次函数y＝﹣x2﹣3x﹣4的图象， 由图象可知：当﹣4＜x＜1时，函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即﹣x2﹣3x+4＞0， ∴一元二次不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为：﹣4＜x＜1． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识点，理解二次函数图象的性质是解题的关键． 22．（12分）1．已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)2． 【分析】（1）根据抛物线过点以及对称轴公式可求得b和c的值； （2）根据二次函数的解析式可知，在的范围内，当时，二次函数取最小值，当时，取最大值，进而可得答案； （3）联立与抛物线，设点A，B的横坐标分别为，根据根与系数的关系求出，，则可得到，然后根据求得，即线段的长为，同理求出线段的长为，可得答案． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：当时，函数值y的取值范围为：； 理由：由（1）可知抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴在的范围内，当时，二次函数取最小值，最小值为， ∵， ∴在的范围内，当时，二次函数取最大值，最大值为 ， ∴当时，函数值y的取值范围为：； （3）解：联立得：， 整理得：， 设点A，B的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， 联立得：， 整理得：， 设点C，D的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， ∴线段与线段的长度之比为：． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的对称轴公式，二次函数的图象和性质以及根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键 23．（13分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，则△ACD的面积为　6　； （3）点P是坐标平面内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）c＝8，则y＝﹣x2+bx+8，将点B的坐标代入上式并解得：b＝﹣2，即可求解； （2）△ACD的面积＝DH×OA＝3×4＝6，即可求解； （3）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）c＝8，则y＝﹣x2+bx+8， 将点B的坐标代入上式并解得：b＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8； （2）如图，过点D作DH∥y轴交AC于点H， 由点A、C坐标可得，直线AC的表达式为：y＝2x+8， 抛物线与x轴交于A，则点A（﹣4，0），点的D（﹣1，9），则点H（﹣1，6），则DH＝3， △ACD的面积＝DH×OA＝3×4＝6， 故答案为6； （3）点A、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，8），设点P（m，n），而点B（2，0）； ①当AC是边时， 点A向右平移4个单位向上平移8个单位得到C，同样点P（B）向右平移4个单位向上平移8个单位得到点B（P）， 故2±4＝m，0±8＝n，解得：m＝6或﹣2，n＝8或﹣8， 故点P（6，8）或（﹣2，﹣8）； ②当AC是对角线时， 由中点公式得：m+2＝﹣4，n＝8， 解得：m＝﹣6，n＝8，故点P（﹣6，8）； 综上，点P（6，8）或（﹣2，﹣8）或（﹣6，8）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$