第一次月考卷01（测试范围：第1-2章）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

2024-2025年九年级数学上册第一次月考卷01（测试范围：第1-2章） 一、单选题 1．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列是必然事件的是（    ）． A．打开电视机，它正在播放篮球比赛； B．机选一注彩票，中百万大奖； C．从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球； D．抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面． 3．对于抛物线，下列判断正确的是( ) A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 4．把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线（    ） A． B． C． D． 5．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 6．已知k是不为0的常数，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数（）图像上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是（    ）． x … 0 30 80 … y … 2 2 … A．， B．， C． D． 8．如图，一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，则一元二次方程的根的说法正确的是（    ） A．有两个负根 B．有两个正根 C．有一正一负的两根 D．无实数根 9．如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有的函数关系，下列解释正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 10．已知二次函数，当，函数值为；当，函数值为，若，则下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．口袋里有三个红球一个白球，随机摸出一个球结果是红球的概率是 ． 12．如果抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，且开口方向，形状与抛物线y＝﹣x2相同，且过原点，那么y＝ ． 13．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为 ． 14．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小明通过多次摸球实验后发现其中投到红色、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数很可能是 个． 15．已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是 ． 16．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中O为坐标原点，点，点B在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18，C为线段的中点，P为直线上的一个动点，连接、，将沿翻折，点A的对应点为．若以、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，则点P的横坐标为 ． 三、解答题 17．已知二次函数的图象经过点，且当时，y有最小值． (1)求该二次函数的表达式． (2)试判断点是否在此函数的图象上． 18．在4张完全相同的卡片里写上1，1，2，3，将它们背面朝上． (1)若随机翻出一张卡片，求恰好翻出1的概率； (2)若随机翻出两张卡片，请用列表或画树状图等方法求取出的卡片至少有一张是1的概率． 19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，若直线与抛物线交于A、C两点，已知C点的横坐标为2． (1)求抛物线与x轴的交点坐标； (2)根据图象判断，当x满足什么条件时，？ (3)抛物线上有两点，，且，求m的取值范围． 20．某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 21．已知二次函数（a为常数，）． (1)若函数经过点，求二次函数的解析式和顶点坐标． (2)当时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数． (3)设，是该函数图象上的两点，其中，当时，都有，求a的取值范围． 22．根据以下素材，探索完成任务． 如何探测弹射飞机的轨道设计 素材1 图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系，数据如表所示．                （图1） 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行高度 0 10 16 18 16 … 素材2 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知，．                 （图2） 问题解决 任务1 确定函数表达式 求y关于t的函数表达式 任务2 探究飞行距离 当飞机落地（高度为）时，求飞机飞行的水平距离． 任务3 确定弹射口高度 当飞机落到内（不包括端点A，B），求发射台弹射口高度（结果为整数） 23．如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年九年级数学上册第一次月考卷01（测试范围：第1-2章） 一、单选题 1．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数定义进行判断即可． 【解析】解：A．是二次函数，故选项符合题意； B．不是二次函数，故选项不符合题意； C．是一次函数，故选项不符合题意； D．是正比例函数，故选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数，形如的函数叫做二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．下列是必然事件的是（    ）． A．打开电视机，它正在播放篮球比赛； B．机选一注彩票，中百万大奖； C．从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球； D．抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面． 【答案】C 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可． 【解析】解：A、打开电视机，它正在播放篮球比赛，是随机事件，故A不符合题意； B、机选一注彩票，中百万大奖，是随机事件，故B不符合题意； C、从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球，是必然事件，故C符合题意； D、抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面，是随机事件，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 3．对于抛物线，下列判断正确的是( ) A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 【答案】C 【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【解析】解：A、∵，∴抛物线的开口向下，本选项错误， B、抛物线的顶点为，本选项错误， C、抛物线的对称轴为：，本选项正确， D、把代入，解得：，本选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论． 4．把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式． 【解析】解：由题意得原抛物线的顶点为， 平移后抛物线的顶点为， 新抛物线解析式为， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点． 5．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟知概率公式是解题关键．根据题意得到圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，根据概率公式即可求解． 【解析】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份， ∴指针落在灰色区域的概率为． 故选：B． 6．已知k是不为0的常数，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况：或，分别依据一次函数和二次函数的性质和图象进行判断即可． 【解析】解：当时，抛物线开口向上，与轴正半轴相交；直线经过原点，且过第一、三象限，选项中没有符合的； 当时，抛物线开口向下，与轴正半轴相交；直线经过原点，且过第二、四象限，A选项中符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的性质和图象，熟练掌握知识点并能够运用分类讨论的思想是解题的关键． 7．已知二次函数（）图像上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是（    ）． x … 0 30 80 … y … 2 2 … A．， B．， C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和的值，从而可以得到和时对应的函数值都是，再将，代入函数解析式，整理可以得到方程，从而可以得到该方程的解． 【解析】解：由表格可知， 二次函数的对称轴是直线， 则和对应的函数值都是， 当时，，即， 当时，，即， 整理，得， 则方程的解是，， 故选：A． 8．如图，一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，则一元二次方程的根的说法正确的是（    ） A．有两个负根 B．有两个正根 C．有一正一负的两根 D．无实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据函数图象可知一次函数与二次函数图象的两个交点的横坐标都大于0，则对应方程的解为两个正根，据此可得答案． 【解析】解：∵一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，且这两点均在第一象限， ∴方程有两个正根， ∴一元二次方程有两个正根， 故选：B． 9．如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有的函数关系，下列解释正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【解析】解：的两根与，即时所用的时间， ∴小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是1s或3s，故A不符合题意； ， ∴对称轴直线为：，最大值为20，故D不符合题意； 时，，此时小球继续下降，故B不符合题意； ∵当时，，， ， ∴小球从飞出到落地要用4s，故C符合题意． 故选：C． 10．已知二次函数，当，函数值为；当，函数值为，若，则下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数的正负情况分情况讨论．分和两种情况根据二次函数的对称性确定出与的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解． 【解析】解：①时，二次函数图象开口向上， ， ， 无法确定的正负情况， ， ②时，二次函数图象开口向下， ， ， 无法确定的正负情况， ， 综上所述，表达式正确的是， 故选：D 二、填空题 11．口袋里有三个红球一个白球，随机摸出一个球结果是红球的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了简单随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．根据题意可知随机摸出一个球结果有种，其中是红球的有种结果，再利用概率公式即可解答． 【解析】解：口袋里有三个红球一个白球， 随机摸出一个球结果是红球的概率是， 故答案为：． 12．如果抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，且开口方向，形状与抛物线y＝﹣x2相同，且过原点，那么y＝ ． 【答案】﹣x2﹣6x 【分析】先根据抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y＝﹣x2相同求出a的值，再由对称轴为直线x＝﹣2求出b的值，根据抛物线过原点可求出c的值，即可求得抛物线的解析式． 【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y＝﹣x2相同， ∴a＝﹣， ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2， ∴﹣＝﹣2，即，解得b＝﹣6； ∵抛物线过原点， ∴c＝0， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x； 故答案为：﹣x2﹣6x． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟知知抛物线的对称轴方程直线x＝﹣是解答此题的关键． 13．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1降价的百分率）的平方，即可得解． 【解析】解：由题意得：， 故答案为：． 14．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小明通过多次摸球实验后发现其中投到红色、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数很可能是 个． 【答案】 【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黑色球的概率为5%和15%，则摸到白球的概率为80%，然后根据概率公式可计算出口袋中白色球的个数． 【解析】∵摸到红色、黑色球的概率为5%和15%，则摸到白球的概率为80%， ∴袋中白球的数目=20×80%=16个. 故答案为16. 【点睛】解答此题关键是要先计算出口袋中篮球的比例再算其个数.部分的具体数目=总体数目相应频率. 15．已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得m的取值范围． 【解析】解：∵二次函数， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或． 16．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中O为坐标原点，点，点B在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18，C为线段的中点，P为直线上的一个动点，连接、，将沿翻折，点A的对应点为．若以、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，则点P的横坐标为 ． 【答案】或， 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式为，过点作轴于点，过点作延长线于点，设点，利用，求得的值，得到，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，从而设，然后分两种情况讨论：①当是平行四边形对角线时；②当是平行四边形对角线时，利用平行四边形的性质，折叠的性质，以及坐标两点的距离公式，分别求出的值，即可得到答案． 【解析】解：抛物线的对称轴是直线， ， ， 将代入，得：， 联立①②，解得：， 抛物线解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作延长线于点， 设点， ，，，， 的面积为18， ， 解得：，， 点B在第一象限内， ，则， ， C为线段的中点， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， P为直线上的一个动点， 设， ①如图，当是平行四边形对角线时， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 整理得：， ， 点P的横坐标为； ②如图，当是平行四边形对角线时， 四边形是平行四边形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， 整理得：， ， 点P的横坐标为， 综上可知，点P的横坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行四边形的面积，坐标两点的距离公式等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 三、解答题 17．已知二次函数的图象经过点，且当时，y有最小值． (1)求该二次函数的表达式． (2)试判断点是否在此函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在此函数的图象上 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，故设抛物线的解析式为，待定系数法即可求解； （2）将代入二次函数的解析式，即可判断出点是否在抛物线的图象上． 【解析】（1）解：∵当时，y有最小值， 故二次函数的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， ∴二次函数的解析式为：． （2）解：当时，， ∴点不在此函数的图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 18．在4张完全相同的卡片里写上1，1，2，3，将它们背面朝上． (1)若随机翻出一张卡片，求恰好翻出1的概率； (2)若随机翻出两张卡片，请用列表或画树状图等方法求取出的卡片至少有一张是1的概率． 【答案】(1) (2)取出的卡片至少有一张是1的概率为． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次数字和为0的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解析】（1）解：随机抽出一张卡片，则恰好翻出1的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如图：    共有12个等可能的结果，取出的卡片至少有一张是1的结果有10个， ∴取出的卡片至少有一张是1的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，若直线与抛物线交于A、C两点，已知C点的横坐标为2． (1)求抛物线与x轴的交点坐标； (2)根据图象判断，当x满足什么条件时，？ (3)抛物线上有两点，，且，求m的取值范围． 【答案】(1)和 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的性质，涉及解一元二次方程和解不等式． （1）根据点C的横坐标求得其纵坐标，代入二次函数解析式即可求得点c， 令即可求得与x轴交点； （2）结合图象位置关系即可求得； （3）根据题意得求得p和q的表达式以及关系式，解不等式即可； 【解析】（1）解：将代入直线得， 将代入抛物线，得， 解得：c=3， 即， 令，得， 解得或3， 则求抛物线与x轴的交点坐标为和； （2）由图象可得：当或时，； （3）由题意得，， ∵， ∴， ． 20．某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 【答案】(1) (2) (3)A城生产20件，B城生产80件 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可直接进行代入求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解； （3）由（2）及根据二次函数的性质可进行求解． 【解析】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式为； （3）解：∵， ∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时， 答：A城生产20件，B城生产80件． 21．已知二次函数（a为常数，）． (1)若函数经过点，求二次函数的解析式和顶点坐标． (2)当时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数． (3)设，是该函数图象上的两点，其中，当时，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)该二次函数的图象与x轴没有交点 (3)且 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出a的值，即得二次函数的解析式；利用顶点坐标公式计算，即得顶点坐标； （2）计算判别式的值，即可判断该二次函数的图象与x轴的交点个数； （3）将，得坐标代入，然后计算所表示的代数式，得到，再通过，及，即可推得a的取值范围． 【解析】（1）将点的坐标代入函数解析式，得， 解得； 因此，二次函数的解析式为； ，， 该二次函数的顶点坐标为； （2）令，则， 当时， ， 则该二次函数的图象与x轴没有交点； （3），是该函数图象上的两点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 且． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键． 22．根据以下素材，探索完成任务． 如何探测弹射飞机的轨道设计 素材1 图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系，数据如表所示．                （图1） 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行高度 0 10 16 18 16 … 素材2 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知，．                 （图2） 问题解决 任务1 确定函数表达式 求y关于t的函数表达式 任务2 探究飞行距离 当飞机落地（高度为）时，求飞机飞行的水平距离． 任务3 确定弹射口高度 当飞机落到内（不包括端点A，B），求发射台弹射口高度（结果为整数） 【答案】（1）（2）（3），， 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）令二次函数代入函数解析式即可求解； （3）设发射台弹射口的高度为，则飞机的飞行高度为，结合，即可求解． 【解析】解：（1）设y关于t的函数表达式为， 将，，代入得， ， 解得，， 故y关于t的函数表达式为； （2）当飞机落地时，即， ，即 解得，或（舍去）， ， 时，， 故飞机落地时，飞行的水平距离为； （3）若飞机落在内，则， 即， ， 设发射台弹射口的高度为，则飞机的飞行高度为， 当，时，，解得，， 当，时，，解得，， ， 故发射台弹射口高度为，，． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 【答案】(1)过点，证明见详解 (2)①见详解；②8 【分析】（1）设，，，，则，，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，则，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，故，可求直线解析式为，当，故直线过定点； （2）①取中点为，连接，记交于点，交于点，由，得，则，同理可得，，则，同理可得，， 即可证明；②由得，同理可得：，故，当且仅当或时，等号成立，面积的最小值为8． 【解析】（1）解：设，，，，且分别为的中点， 则，， ∵ 设直线的解析式为，根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线解析式为， 当， 故直线过定点． （2）①解：取中点为，连接，记交于点，交于点， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵分别为的中点， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， 即：，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当或时，等号成立， ∴面积的最小值为8． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求一次函数解析式，韦达定理，三角形中位线定理，两点之间距离公式等，化简计算量较大，正确添加辅助线，细心化简是解题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$