第五章 三角函数-【高考一线·真题研究】2025年高考数学分类必刷题

第五章 三角函数 第五章 三角函数 5.1 三角函数定义 【解题·小帮手】 ▶单位圆定义法:设α 是一个任意角,它的终 边与单位圆相交于点P(x,y),则sin α=y; cos α=x;tan α=yx (x≠0). ▶比值定义法:设α是一个任意角,P(x,y)是 α终边上不与原点重合的任意一点,记点P 到原点O 的距离为r= x2+y2,则sin α= y r ;cos α=xr ;tan α=yx (x≠0). ▶符号判断:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 262.(2020·新课标全国二,2)若α 为第四象 限角,则 ( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 263.(2016·上海春,13)若sin α>0,且tan α< 0,则角α的终边位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 264.(2014·全国大纲,2)已知角α 的终边经 过点(-4,3),则cos α= ( ) A. 4 5 B. 3 5 C.- 3 5 D.- 4 5 265.(2007·北京,1)已知cos θtan θ<0,那么 θ是 ( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 266.(2005·全国三,1)已知α为第三象限角, 则α 2 所在的象限是 ( ) A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 267.(2011·江西,14)已知角θ的顶点为坐标 原点,始边为x 轴的正半轴,若P(4,y)是 角θ终边上一点,且sin θ=-255 ,则y= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5.2 诱导公式 【解题·小帮手】 ▶六组诱导公式 (1)sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)= cos α,tan(2kπ+α)=tan α,(k∈Z); (2)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α; (3)sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α, tan(π-α)=-tan α; (4)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)= -cos α,tan(π+α)=tan α; (5)sin π2-α =cos α,cosπ2-α =sin α, sinπ2+α =cos α,cosπ2+α =-sin α; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 高考一线 真题研究 数学 (6)sin3π2-α =-cos α,cos3π2-α = -sin α,sin3π2+α =-cos α,cos3π2+α = sin α. ▶记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”.“奇 变偶不变”意思是:π 2 的系数是奇数或偶数, 是奇数,则sin变cos,cos变sin;是偶数,则 函数名不变;“符号看象限”意思是:把α 看 作锐角,原来三角函数值的符号. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 268.(2021·北京,14)若点P(cos θ,sin θ)与 点Q cosθ+ π 6 ,sinθ+π6 关于y 轴对 称,写出一个符合题意的θ= . 269.(2017· 上 海 春,4)若 cos α=13 ,则 sinα- π 2 = . 270.(2014·全国三,3)设a=sin 33°,b= cos 55°,c=tan 35°,则 ( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 271.(2010·新课标全国一,2)记cos(-80°) =k,那么tan 100°= ( ) A. 1-k2 k B.- 1-k2 k C. 1 1-k2 D.- 1 1-k2 272.(2009·全国一,1)sin 585°的值为 ( ) A.- 2 2 B. 2 2 C.- 3 2 D. 3 2 273.(2007·全国二,1)cos 330°= ( ) A. 1 2 B.- 1 2 C. 3 2 D.- 3 2 274.(2007·湖北,1)tan 690°的值为 ( ) A.- 3 3 B. 3 3 C.- 3 D.3 275.(2005·湖南,2)tan 600°的值是 ( ) A.- 3 3 B. 3 3 C.- 3 D.3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5.3 恒等(1):sin,cos,tan转化 【解题·小帮手】 ▶基本公式:sin2α+cos2α=1,tan α=sin α cos α. ▶拓展公式:cos2α= cos 2α sin2α+cos2α = 1 tan2α+1 , sin2α= sin 2α sin2α+cos2α = tan α tan2α+1 . ▶sin+cos,sin-cos,sin·cos间的关系 (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α- cos α)2=1-2sin αcos α. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 276.(2023·新 课 标 全 国 乙 文,14)若θ∈ 0, π 2 ,tan θ=12,则sin θ-cos θ= . 277.(2020·上海春,14)“α=β”是“sin2α+ cos2β=1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 36 第五章 三角函数 278.(2019·江苏,13)已知 tan α tanα+ π 4 =- 2 3 , 则sin2α+ π 4 的值是 . 279.(2015·福建文,6)若sin α=-513 ,α为第 四象限角,则tan α的值等于 ( ) A. 12 5 B.- 12 5 C. 5 12 D.- 5 12 280.(2011·重庆,12)若cos α=-35 ,且α∈ π, 3π 2 ,则tan α= . 281.(2010·全国二文,13)已知α是第二象限 角,tan α=-12 ,则cos α= . 282.(2007·陕西理,4)已知sin α= 55 ,则 sin4α-cos4α的值为 ( ) A.- 3 5 B.- 1 5 C. 1 5 D. 3 5 283.(2007·全国一文,2)若α是第四象限角, cos α=1213 ,则sin α= ( ) A. 5 13 B.- 5 13 C. 5 12 D.- 5 12 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5.4 恒等(2):和差公式 【解题·小帮手】 ▶基本公式 (1)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. (2)cos(α+β)=cos αcosβ-sin αsin β, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. (3)tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β ,tan(α-β)= tan α-tan β 1+tan αtan β . ▶角的配凑:观察“已知角”和“待求角”之间的 关系,用“已知角”配凑出“待求角”. ▶注意事项:解题过程中,要注意角的范围对 正负号的影响. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 284.(2024·新高考全国一,4)已知cos(α+β)= m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= ( ) A.-3m B.-m3 C. m 3 D.3m 285.(2024·新课标全国甲理,8)已知 cos α cos α-sin α=3 ,则tanα+ π 4 = ( ) A.23+1 B.23-1 C. 3 2 D.1- 3 286.(2024·新高考全国二,13)已知α为第一 象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4, tan αtan β= 2+1,则 sin(α+β)= . 287.(2022·新高考全国二,6)若sin(α+β)+ cos(α+β)=22cosα+ π 4 sin β,则 ( ) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 288.(2020·新课标全国三理,9)已知2tan θ- tanθ+ π 4 =7,则tan θ= ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 37 高考一线 真题研究 数学 A.-2 B.-1 C.1 D.2 289.(2020·新课标全国三文,5)已知sin θ+ sinθ+ π 3 =1,则sinθ+π6 = ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 2 3 D. 2 2 290.(2019·新课标全国一文,7)tan 255°= ( ) A.-2- 3 B.-2+ 3 C.2- 3 D.2+ 3 291.(2018·新课标全国二理,15)已知sin α+ cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= . 292.(2017·新课标全国一文,15)已知α∈ 0, π 2 ,tan α=2,则cosα-π4 = . 293.(2017·北京,12)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β 均以Ox 为始边,它们的终 边关于y 轴对称,若sin α=13 ,则cos(α- β)= . 294.(2015·新课标全国一,2)sin 20°cos 10°- cos 160°sin 10°= ( ) A.- 3 2 B. 3 2 C.- 1 2 D. 1 2 295.(2015·江苏,8)已知tan α=-2,tan(α+ β)= 1 7 ,则tan β的值为 . 296.(2014·新课标全国一,8)设α∈ 0, π 2 , β∈0, π 2 ,且tan α=1+sin β cos β ,则 ( ) A.3α-β= π 2 B.3α+β= π 2 C.2α-β= π 2 D.2α+β= π 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5.5 恒等(3):倍角公式 【解题·小帮手】 ▶降角升幂公式:sin 2α=2sin αcos α,cos 2α =cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α= 2tan α 1-tan2α . ▶降幂升角公式:sin αcos α=12sin 2α,cos2α = 1+cos 2α 2 ,sin2α=1-cos 2α 2 . ▶sin+cos,sin-cos,sin·cos间的关系 (sin α+cos α)2=1+sin 2α,(sin α-cos α)2 =1-sin 2α. ▶齐次式化正切 把含有sin x 和cos x 的齐次式(所有项的 次数 相 等),通 过 “同 除 法”,化 简 成 只 有 tan x 的式子,常见的四种类型如下: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 38 第五章 三角函数 (1) asin x+bcos x csin x+dcos x ,分子分母同除以cos x, 得 atan x+b ctan x+d ; (2)asin x+bcos x=0,两边同除以cos x, 得atan x+b=0; (3)asin2x+bcos2x+csin xcos x=0,两边 同除以cos2x,得atan2x+b+ctan x=0; (4)asin2x+bcos2x+csin xcos x= asin2x+bcos2x+csin xcos x sin2x+cos2x = atan2x+b+ctan x tan2x+1 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 297.(2023·新高考全国一,8)已知sin(α-β) = 1 3 ,cos αsin β= 1 6 ,则cos(2α+2β)= ( ) A. 7 9 B. 1 9 C.- 1 9 D.- 7 9 298.(2023·新高考全国二,7)已知α为锐角, cos α=1+ 54 ,则sin α 2= ( ) A. 3- 5 8 B. -1+ 5 8 C. 3- 5 4 D. -1+ 5 4 299.(2022·浙江,13)若3sin α-sin β= 10, α+β= π 2 ,则sin α= ,cos2β= . 300.(2021·新高考全国一,6)若tan θ=-2, 则sin θ(1+sin2θ) sin θ+cos θ = ( ) A.- 6 5 B.- 2 5 C. 2 5 D. 6 5 301.(2021·新课标全国乙文,6)cos2 π 12- cos2 5π 12= ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 302.(2021·新 课 标 全 国 甲 理,9))若α∈ 0, π 2 ,tan 2α= cos α 2-sin α ,则tan α= ( ) A. 15 15 B. 5 5 C. 5 3 D. 15 3 303.(2020·新课标全国一理,9)已知α∈(0, π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= ( ) A. 5 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 5 9 304.(2020·江苏理,8)已知sin2 π4+α =23, 则sin 2α= . 305.(2020·浙江,13)已知tan θ=2,则cos 2θ = ,tanθ- π 4 = . 306.(2019·新课标全国二理,10)已知α∈ 0, π 2 ,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α= ( ) A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 25 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 39 高考一线 真题研究 数学 307.(2019·江苏,13)已知 tan α tanα+ π 4 =- 2 3 , 则sin2α+ π 4 的值是 . 308.(2016· 新 课 标 全 国 二 理,9)若 cosπ4-α =35,则sin 2α= ( ) A. 7 25 B. 1 5 C.- 1 5 D.- 7 25 309.(2016·新课标全国三理,5)若tan α=34 , 则cos2α+2sin 2α= ( ) A. 64 25 B. 48 25 C.1 D. 16 25 310.(2015·四川文,13)已知sin α+2cos α= 0,则 2sin αcos α - cos2α 的 值 是 . 311.(2014·新课标全国一,4)若tan α>0,则 ( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0 312.(2013·浙江,6)已知α∈R,sin α+2cos α = 10 2 ,则tan 2α= ( ) A. 4 3 B. 3 4 C.- 3 4 D.- 4 3 313.(2012·新课标全国,7)已知α为第二象限 角,sin α+cos α=33 ,则cos 2α= ( ) A.- 5 3 B.- 5 9 C. 5 9 D. 5 3 314.(2012·辽宁,7)已知sin α-cos α= 2, α∈(0,π),则tan α的值是 ( ) A.-1 B.- 2 2 C. 2 2 D.1 315.(2012· 江 苏,11)设 α 为 锐 角,若 cosα+ π 6 =45,则 sin2α+π12 的 值 为 . 316.(2011·重庆,14)已知sin α=12+cos α, 且 α ∈ 0, π 2 ,则 cos 2α sinα- π 4 的 值 为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5.6 化简A型 【解题·小帮手】 ▶辅 助 角 公 式:asin x+bcos x= a2+b2 a a2+b2 sin x+ b a2+b2 cos x = a2+b2 sin(x+φ),其 中,辅 助 角 φ,由sin φ= b a2+b2 ,cos φ= a a2+b2 ,或tan φ= b a 及 a,b的符号确定. ▶说明:本节部分试题标注了“改”字,是对原 来高考试题解题过程中化简解析式这一步 的单独提练. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 317.(2022·北京,13)若函数f(x)=Asin x - 3cos x 的 一 个 零 点 为 π3 ,则 A = ,f π 12 = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 40 第五章 三角函数 318.(2019·浙江,18)设函数f(x)=sin x(x∈ R). (1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函 数,求θ的值; (2)求函数y= fx+ π 12 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 2 + fx+ π 4 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 2 的值域. 319.(2017·浙江,18(改))化简:f(x)=sin2x -cos2x-23sin xcos x(x∈R). 320.(2016·浙江,10)已知2cos2x+sin 2x= Asin(ωx +φ)+b(A >0),则 A = ,b= . 321.(2015·重庆理,18(改))化简:f(x)= sinπ2-x sin x- 3cos2x. 322.(2013·天津理,15(改))化简:f(x)= - 2sin2x+ π 4 +6sin xcos x-2cos2x+ 1(x∈R). 323.(2013·新课标全国一理,15)设当x=θ 时,函数f(x)=sin x-2cos x 取得最大 值,则cos θ= . 324.(2011· 湖 北,3)已 知 函 数 f(x)= 3sin x-cos x(x∈R),若f(x)≥1,则x 的取值范围为 ( ) A.xkπ+ π 3≤x≤kπ+π ,k∈Z B.x2kπ+ π 3≤x≤2kπ+π ,k∈Z C.xkπ+ π 6≤x≤kπ+ 5π 6 ,k∈Z D.x2kπ+ π 6≤x≤2kπ+ 5π 6 ,k∈Z 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 高考一线 真题研究 数学 5.7 图象(1):基础 【解题·小帮手】 ▶根据图象求y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)中的A, ω,φ. (1)确定A:A=f(x)max=-f(x)min; (2)确定ω:ω=2πT ; (3)确定φ:代入一个已知点,求出φ 值(首 选极值点,不易出错) ①y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),如图①;  KL% L% % % ωxφk? x ωxφk?? ωxφk? ? ωxφk? ? 图① ②y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0),如图②.  KL% L% % % ωxφk? x ωxφk?? ωxφk? ? ωxφk? ? 图② ▶图象与周期:(1)相邻的两个最大(小)值点 的横坐标之差的绝对值为一个周期T;(2) 相邻的两个零点之差的绝对值为半个周期 T 2 ;(3)相邻的一个最大值与最小值点的横 坐标之差的绝对值为半个周期 T 2 ;(4)一个 最大(小)值点的横坐标和相邻的零点之差 的绝对值为四分之一个周期 T 4. ▶图象与零点:(1)y=sin x 在一个周期[0, 2π]内,包括3个零点,1个最大值点,1个最 小值点;(2)y=cos x 在一个周期[0,2π]内, 包括2个零点,2个最大值点,1个最小值点. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 325.(2024·新高考全国一,7)当x∈[0,2π] 时,曲线y=sin x 与y=2sin3x- π 6 的 交点个数为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 326.(2023·新 高 考 全 国 二,16)已 知 函 数 f(x)=sin(ωx+φ),如图A,B 是直线y= 1 2 与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|= π 6 ,则f(π)= . A B xO y  ? 327.(2022·新课标全国甲,11)设函数f(x) =sinωx+ π 3 在区间(0,π)恰有三个极值 点、两个零点,则ω 的取值范围是 ( ) A.53 ,13 6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 B.53,196􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 C.136 ,8 3 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 D.136 ,19 6 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 第五章 三角函数 328.(多选题)(2020·新高考全国一,10)下图 是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则 sin(ωx+φ)= ( )  O y x   ? ? A.sinx+ π 3 B.sinπ3-2x C.cos2x+ π 6 D.cos5π6-2x 329.(2021·新课标全国甲理,16)已 知 函 数 f(x)=2cos(ωx+φ)的 部 分 图 象 如 图 所 示,则 满 足 条 件 f(x)-f - 7π 4 f(x)-f 4π 3 >0的最小正整数x 为 .    O y x  ? ? 330.(2020·新 课 标 全 国 三,16)关 于 函 数 f(x)=sin x+ 1sin x 有如下四个命题: ①f(x)的图象关于y 轴对称. ②f(x)的图象关于原点对称. ③f(x)的图象关于直线x= π 2 对称. ④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是 . 331.(2020·新课标全国一理,7)设函数f(x) =cosωx+ π 6 在[-π,π]的图象大致如 图,则f(x)的最小正周期为 ( )  ? ?? O y x A. 10π 9 B. 7π 6 C. 4π 3 D. 3π 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5.8 图象(2):平移与伸缩 【解题·小帮手】 ▶函数y=Asin(ωx+φ)的图象的基本变换 yTJO xφ yTJO ωxφ yATJO ωxφ yTJO
x 3 / φ  / φ ]φ] 3J A 4- A  +A
ω 4 +  yTJO ωxφ yTJO
ωx ω
ω yATJO ωxφ yTJO
x 4 +  3 3J A 4- A / φ  / φ ]φ]   +A  注意:两个变换过程,结果相同,但平移量 不同. ▶无论是平移还是伸缩的顺序如何,都要遵循 两个基本原则,平移是针对x 进行“左加右 减”变形的. ▶伸缩是把x 前的系数进行扩大或缩小,如果 函数图象伸长,那么周期扩大,则ω 减小;如 果函数图象压缩,那么周期减小,则ω 增大. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 332.(2023·新课标全国甲理,10)函数y= f(x)的图象由y=cos2x+ π 6 的图象向 左平移π 6 个单位长度得到,则y=f(x)的图 象与直线y= 1 2x- 1 2 的交点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43 高考一线 真题研究 数学 333.(2022·浙江,6)为了得到函数y=2sin3x 的图象,只要把函数y=2sin3x+ π 5 图象 上所有的点 ( ) A.向左平移 π 5 个单位长度 B.向右平移 π 5 个单位长度 C.向左平移 π 15 个单位长度 D.向右平移 π 15 个单位长度 334.(2021·新课标全国乙理,7)把函数y= f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π 3 个单位长度,得到函数y=sinx- π 4 的图 象,则f(x)= ( ) A.sinx2- 7π 12 B.sinx2+π12 C.sin2x- 7π 12 D.sin2x+π12 335.(2018·天津理,6)将函数y=sin2x+ π 5 的 图象向右平移π 10 个单位长度,所得图象对 应的函数 ( ) A.在区间 3π4 ,5π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递增 B.在区间 3π4 ,π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递减 C.在区间 5π4 ,3π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递增 D.在区间 3π2 ,2π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递减 336.(2017·新课标全国一理,9)已知曲线C1: y=cos x,C2:y=sin2x+ 2π 3 ,则下面结 论正确的是 ( ) A.把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平 移π 6 个单位长度,得到曲线C2 B.把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平 移π 12 个单位长度,得到曲线C2 C.把C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平 移π 6 个单位长度,得到曲线C2 D.把C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平 移π 12 个单位长度,得到曲线C2 337.(2016·新课标全国三理,14)函数y= sin x-3cos x 的图象可由函数y=sin x+ 3cos x的图象至少向右平移 个 单位长度得到. 338.(2015· 山 东 理,3)要 得 到 函 数 y= sin4x- π 3 的图 象,只 需 要 将 函 数 y= sin 4x 的图象 ( ) A.向左平移 π 12 个单位 B.向右平移 π 12 个单位 C.向左平移 π 3 个单位 D.向右平移 π 3 个单位 339.(2014·浙江理,4)为了得到函数y= sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数y= 2cos 3x 的图象 ( ) A.向右平移 π 4 个单位 B.向左平移 π 4 个单位 C.向右平移 π 12 个单位 D.向左平移 π 12 个单位 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 44 第五章 三角函数 5.9 性质(1):对称性 【解题·小帮手】 ▶正弦函数y=Asin(ωx+φ) (1)对 称 轴:ωx +φ=kπ+ π 2 ⇒x = 1 ω kπ+ π 2-φ (k∈Z); (2)对 称 中 心 横 坐 标:ωx+φ=kπ⇒x= 1 ω (kπ-φ)(k∈Z); (3)y=Asin(ωx+φ)是 奇函数⇒φ=kπ, 偶函数⇒φ=kπ+ π 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (k∈Z). ▶余弦函数y=Acos(ωx+φ) (1)对称轴:ωx+φ=kπ⇒x= 1 ω (kπ-φ) (k∈Z); (2)对称中心横坐标:ωx+φ=kπ+ π 2⇒x= 1 ω kπ+ π 2-φ (k∈Z). (3)y=Acos(ωx+φ)是 奇函数⇒φ=kπ+ π 2 , 偶函数⇒φ=kπ. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (k∈Z). ▶正切函数y=tan(ωx+φ) 对称中 心:ωx+φ= kπ 2 ⇒x= 1 ω kπ 2-φ (k∈Z). 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 340.(2022· 新 课 标 全 国 甲 文,5)将 函 数 f(x)=sinωx+ π 3 (ω>0)的图象向左平 移π 2 个单位长度后得到曲线C,若C 关于y 轴对称,则ω 的最小值是 ( ) A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 341.(2020·江苏,10)将函数y=3sin2x+ π 4 的图象向右平移π 6 个单位长度,则平移后 的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 . 342.(2019·浙江,18(改))设函数f(x)= sin x,x∈R.已知θ∈[0,2π),函数f(x+ θ)是偶函数,则θ的值是 . 343.(2018·江苏,7)已知函数y=sin(2x+ φ)- π 2<φ< π 2 的图象关于直线x=π3对 称,则φ 的值为 . 344.(2016·新课标全国二理,7)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移π12 个单位长 度,则平移后的图象的对称轴为 ( ) A.x=kπ2- π 6 (k∈Z) B.x=kπ2+ π 6 (k∈Z) C.x=kπ2- π 12 (k∈Z) D.x=kπ2+ π 12 (k∈Z) 345.(2014·安徽理,11)若将函数f(x)= sin2x+ π 4 的图象向右平移φ 个单位,所 得到的图象关于y 轴对称,则φ 的最小正 值是 . 346.(2012·全国卷文,3)若函数f(x)= sin x+φ 3 (φ∈[0,2π])是偶函数,则φ= ( ) A. π 2 B. 2π 3 C. 3π 2 D. 5π 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45 高考一线 真题研究 数学 347.(2009·新课标全国一理,8)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点 4π 3 ,0 中 心对称,那么|φ|的最小值为 ( ) A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 348.(2008·湖北文,7)将函数y=sin(x-θ) 的图象F 向右平移π3 个单位长度得到图象 F'.若F'的一条对称轴是直线x=π4 ,则θ 的一个可能取值是 ( ) A. 5π 12 B.- 5π 12 C. 11π 12 D.- 11π 12 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5.10 性质(2):单调性 【解题·小帮手】 ▶用“整体思想”求单调区间(ω>0) (1)y=Asin(ωx+φ),①求 递 增 区 间: - π 2+2kπ≤ωx+φ≤ π 2+2kπ (k∈Z),解关 于x 的 不 等 式 即 可;②求 递 减 区 间:π2+ 2kπ≤ωx+φ≤ 3π 2+2kπ (k∈Z),解关于x 的不等式即可. (2)y=Acos(ωx+φ),①求递增区间:-π+ 2kπ≤ωx+φ≤2kπ(k∈Z),解关于x 的不 等式即可;②求递减区间:2kπ≤ωx+φ≤ π+2kπ(k∈Z),解关于x 的不等式即可. (3)y=Atan(ωx+φ),求递增区间:- π 2+ kπ<ωx+φ< π 2+kπ (k∈Z),解关于x 的 不等式即可. ▶求单调区间时,一定要注意用诱导公式将x 的系数化为正数 (1)当A>0时,y=Asin(ωx+φ)+B(ω> 0)的单调性与y=sin(ωx+φ)相同; (2)当A<0时,y=Asin(ωx+φ)+B(ω> 0)的单调性与y=sin(ωx+φ)相反. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 349.(2022·北京,5)已知函数f(x)=cos2x -sin2x,则 ( ) A.f(x)在 - π 2 ,- π 6 上单调递减 B.f(x)在 - π 4 ,π 12 上单调递增 C.f(x)在0, π 3 上单调递减 D.f(x)在 π 4 ,7π 12 上单调递增 350.(2021·新高考全国一,4)下列区间中,函 数f(x)=7sinx- π 6 单调递增的区间是 ( ) A.0, π 2 B.π2,π C.π, 3π 2 D.3π2,2π 351.(2019·新课标全国二理,9)下列函数中, 以π 2 为周期且在区间 π 4 ,π 2 单调递增的是 ( ) A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 352.(2018·新课标全国二理,10)若f(x)= cos x-sin x 在[-a,a]是减函数,则a 的 最大值是 ( ) A. π 4 B. π 2 C. 3π 4 D.π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 46 第五章 三角函数 353.(2018·天津,6)将函数y=sin2x+ π 5 的 图象向右平移π 10 个单位长度,所得图象对 应的函数 ( ) A.在区间 3π4 ,5π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递增 B.在区间 3π4 ,π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递减 C.在区间 5π4 ,3π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递增 B.在区间 3π2 ,2π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递减 354.(2015·新课标全国一理,8)函数f(x)= cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x) 的单调递减区间为 ( )      O x y A.kπ- 1 4 ,kπ+ 3 4 ,k∈Z B.2kπ- 1 4 ,2kπ+ 3 4 ,k∈Z C.k- 1 4 ,k+ 3 4 ,k∈Z D.2k- 1 4 ,2k+ 3 4 ,k∈Z 355.(2009·重庆,6)下列关系式中正确的是) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 356.(2012·新课标全国理,9)已知ω>0,函 数f(x)=sinωx+ π 4 在 π2,π 上单调递 减,则ω 的取值范围是 ( ) A.12 ,5 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 B.12 ,3 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 C.0, 1 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 D.(0,2] 357.(2007·新课标全国一理,12)函数f(x) =cos2x-2cos2x2 的一个单调增区间是 ( ) A.π3 ,2π 3 B.π6,π2 C.0, π 3 D.-π6,π6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5.11 性质(3):周期性 【解题·小帮手】 ▶将三角函数式化成下面的三种形式,可用公 式求出最小正周期. (1)y=Asin(ωx+φ)+B⇒T= 2π |ω| ; (2)y=Acos(ωx+φ)+B⇒T= 2π |ω| ; (3)y=Atan(ωx+φ)+B⇒T= π |ω|. ▶函数y=|Asin(ωx+φ)|和y=|Acos(ωx+φ)| 的最小正周期为 π |ω|. ▶函数y=|Atan(ωx+φ)|的最小正周期为 π |ω|. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 358.(2024·上海,6)下列函数f(x)的最小正 周期是2π的是 ( ) A.sin x+cos x B.sin xcos x C.sin2x+cos2x D.sin2x-cos2x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47 高考一线 真题研究 数学 359.(2022·新 课 标 全 国 乙 理,15)记 函 数 f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最 小正周期为 T,若f(T)= 3 2 ,x=π9 为 f(x)的零点,则ω 的最小值为 . 360.(2021·浙江,18节选)设函数f(x)= sin x+cos x(x∈R),求函数y=fx+ π 2 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 2 的最小正周期. 361.(2019·新课标全国二文,8)若x1= π 4 , x2= 3π 4 是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个 相邻的极值点,则ω= ( ) A.2 B. 3 2 C.1 D. 1 2 362.(2019·北京理,9)函数f(x)=sin22x 的 最小正周期是 . 363.(2018·新课标全国三文,6)函数f(x)= tanx 1+tan2x 的最小正周期为 ( ) A. π 4 B. π 2 C.π D.2π 364.(2017·山东文,7)函数y= 3sin 2x+ cos 2x 的最小正周期为 ( ) A. π 2 B. 2π 3 C.π D.2π 365.(2016· 山 东,7)函 数 f (x)= 3sin x+cos x 3cos x-sin x 的最小 正周期是 ( ) A. π 2 B.π C. 3π 2 D.2π 366.(2016·新课标全国一文,6)将函数y= 2sin2x+ π 6 的图象向右平移14个周期后, 所得图象对应的函数为 ( ) A.y=2sin2x+ π 4 B.y=2sin2x+ π 3 C.y=2sin2x- π 4 D.y=2sin2x- π 3 367.(2016·天津理,15节选)已知函数f(x)= 4tanxsin π2-x ·cosx-π3 - 3,求 f(x)的定义域与最小正周期. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 48 第五章 三角函数 368.(2016·天津理,15节选)已知函数f(x)= sin2x-sin2x- π 6 ,x∈R,求f(x)的最小 正周期. 369.(2015·北京,15节选)已知函数f(x)= 2sin x 2cos x 2- 2sin 2x 2 ,求f(x)的最小 正周期. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5.12 性质(4):最值 【解题·小帮手】 ▶形如y=Asin(ωx+φ)+B 求最值:先将三 角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B 的形 式,再求最值. (1)若x∈R,则f(x)max=|A|+B,f(x)min =-|A|+B; (2)若x∈[a,b],利用正弦函数的单调性和 图象求最值. ▶关于sin x 或cos x 的二次函数,令t=sin x 或t=cos x,利用换元法求最值.但要注意 中间变元t的取值范围. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 370.(2024·北京,6)设函数f(x)=sin ωx(ω> 0),已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且|x1-x2| 的最小值为π 2 ,则ω= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 371.(2024· 天 津,7)已 知 函 数 f(x)= sin 3ωx+ π 3 (ω>0)的最小正周期为π. 则函数在 - π 12 ,π 6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 的最小值是 ( ) A.- 3 2 B.- 3 2 C.0 D. 3 2 372.(2024·北京,12)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终 边关于原点对称.若α∈ π6 ,π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,则cos β 的最大值为 373.(2021·新课标全国乙,5)函数f(x)= sin x 3+cos x 3 的最小正周期和最大值分别 是 ( ) A.3π和 2 B.3π和2 C.6π和 2 D.6π和2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 49 高考一线 真题研究 数学 374.(2021·浙江,18节选)设函数f(x)=sin x+ cos x(x∈R),求函数y=f(x)fx- π 4 在 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上的最大值. 375.(2021·北京,7)已知函数f(x)=cos x- cos 2x,则该函数是 ( ) A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2 C.奇函数,最大值为 9 8 D.偶函数,最大值为 9 8 376.(2020·上海,18节选)设函数f(x)= sinωx,ω>0.已知ω=1,g(x)=f2(x)+ 3f(-x)f π 2-x ,x∈ 0,π4􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,求g(x) 的值域. 377.(2019·新课标全国一文,15)函数f(x) =sin 2x+ 3π 2 -3cos x 的 最 小 值 为 . 378.(2017·新课标全国二理,14)函数f(x) =sin2x+ 3cos x-34x∈ 0 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 的最大 值是 . 379.(2017·山东,16节选)设函数f(x)= 3sin2x- π 3 ,将函数y=f(x)的图象上 各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标 不变),再将得到的图象向左平移π 4 个单 位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在 - π 4 ,3π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上的最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 50 第五章 三角函数 5.13 图象性质综合 【解题·小帮手】 ▶常用三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象性质 (1)对称轴:最大、最小值处即为对称轴; (2)对称中心:图象与x 轴的交点; (3)单调区间:从左到右,最大值点到最小值 点为递减区间;最小值点到最大值点为递增 区间; (4)函数值相等:一个周期内,两个点的函数 值相等,则它们中间必为对称轴; (5)函数值相反:半个周期内,两个点的函数 值相反,则它们中间必为对称中心. ▶解答三角函数图象与性质的综合问题,常用 “整体 思 想”“数 形 结 合 思 想”“分 类 讨 论 思想”. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 380.(多选)(2024·全国Ⅱ卷,9)对于函数 f(x)=sin 2x 和g(x)=sin2x- π 4 ,下 列正确的有 ( ) A.f(x)与g(x)有相同零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 381.(2023·新课标全国乙理,6)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)在区间 π 6 ,2π 3 单调 递增,直线x=π6 和x=2π3 为函数y= f(x)的图象的两条对称轴,则f - 5π 12 = ( ) A.- 3 2 B.- 1 2 C. 1 2 D. 3 2 382.(2023·北京,17)设函数f(x)=sin ωxcos φ+ cos ωxsin φω>0,|φ|< π 2 . (1)若f(0)=- 3 2 ,求φ 的值. (2)已知f(x)在区间 - π 3 ,2π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递 增,f 2π 3 =1,再从条件①、条件②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知,使函 数f(x)存在,求ω,φ 的值. 条件①:f π 3 = 2;条件②:f -π3 = -1;条件③:f(x)在区间 - π 2 ,- π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上 单调递减. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问 得0分;如果选择多个符合要求的条件分 别解答,按第一个解答计分. 383.(2023·天津,5)已知函数f(x)的一条对 称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x) 的解析式可能为 ( ) A.sinπ2x B.cosπ2x C.sinπ4x D.cosπ4x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 高考一线 真题研究 数学 384.(2022·新高考全国一,6)记函数f(x)= sinωx+ π 4 +b(ω>0)的最小正周期为 T.若2π3<T<π ,且y=f(x)的图象关于 点 3π 2 ,2 中心对称,则f π2 = ( ) A.1 B. 3 2 C. 5 2 D.3 385.(2019·新 课 标 全 国 三 理,12)设 函 数 f(x)=sinωx+ π 5 (ω>0),已知f(x)在 [0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论: ①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点; ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点; ③f(x)在0, π 10 单调递增; ④ω 的取值范围是 125 ,29 10 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 . 其中所有正确结论的编号是 ( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 386.(2019·新课标全国一理,11)关于函数 f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: ①f(x)是偶函数; ②f(x)在区间 π 2 ,π 单调递增; ③f(x)在[-π,π]有4个零点; ④f(x)的最大值为2. 其中,所有正确结论的编号是 ( ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 387.(2019·天津理,7)已知函数f(x)= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇 函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得 图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小 正周期为2π,且g π 4 = 2,则f3π8 = ( ) A.-2 B.- 2 C.2 D.2 388.(2018·北 京 理,11)设 函 数 f(x)= cosωx- π 6 (ω>0).若f(x)≤f π4 对任 意的 实 数 x 都 成 立,则 ω 的 最 小 值 为 . 389.(2018·北京文,16)已知函数f(x)= sin2x+ 3sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在 - π 3 ,m 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上的最大值为3 2 , 求m 的最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 高考一线 真题研究 数学 第五章 三角函数 5.1 三角函数定义 262.D 解析:∵α 为第四象限角,∴-π2+ 2kπ<α<2kπ(k∈Z),-π+4kπ<2α<4kπ (k∈Z),∴2α是第三或第四象限角或终边 落在y 轴的非正半轴上,∴sin 2α<0,故 选D. 263.B 解析:∵sin α>0,∴α 是第一或第二 象限角,又∵tan α<0,∴α 是第二或第四 象限角,∴若sin α>0,且tan α<0,则α是 第二象限角,故选B. 264.D 解析:∵r= (-4)2+32=5, ∴cos α=xr=- 4 5 ,故选D. 265.C 解析:∵cos θtan θ<0,∴cos θ 与 tan θ 异 号,θ 是 第 三 或 第 四 象 限 角,故 选C. 266.D 解析:用等分象限法,如图,将四个象 限二等分,从x 轴正上方,依次标号①② ③④,其中③在第二象限或第四象限,得 α 2 所在的象限是第二或第四象限,故选D.







267.-8 解析:∵r= 16+y2,sin θ= - 25 5 ,∴ y 16+y2 =- 25 5 ,解得y=-8. 5.2 诱导公式 268. 5π 12 满足θ= 5π 12+kπ ,k∈Z即可 解析: ∵点P(cos θ,sin θ)与点Q cosθ+π6 , sinθ+ π 6 关于y 轴对称,∴θ,θ+π6关于 y 轴对称,∴θ+θ+ π 6 =π+2kπ(k∈Z), ∴θ=kπ+5π12 (k∈Z).当k=0时,可得θ 的一个值为5π 12. 269.- 1 3 解析:sinα- π 2 =-sinπ2-α = -cos α=-13. 270.C 解析:∵b=cos 55°=sin 35°,且当 x∈ 0, π 4 时,sin x <cos x <tan x, ∴sin 33°<sin 35°<tan 35°,∴c>b>a,故 选C. 271.B 解析:∵cos(-80°)=k,∴cos 80°= k,∴sin 80°= 1-cos280° = 1-k2, ∴tan 100°=tan(180°-80°)=-tan 80°= - sin 80° cos 80°=- 1-k2 k ,故选B. 272.A 解析:sin 585°=sin(360°+225°)= sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45°= - 2 2 ,故选A. 273.A 解析:cos 330°=cos(360°-30°)= cos 30°= 3 2 ,故选C. 274.A 解析:tan 690°=tan(720°-30°)= -tan 30°=- 3 3 ,故选A. 275.D 解析:tan 600°=tan(720°-120°)= -tan 120°=-tan(180°-60°)=tan 60°= 3,故选D. 5.3 恒等(1):sin,cos,tan转化 276.- 5 5 解析:因为θ∈ 0, π 2 ,则sin θ> 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 220 详解答案 0,cos θ>0.又因为tan θ=sin θ cos θ= 1 2 ,则 cos θ=2sin θ,由cos2θ+sin2θ=4sin2θ+ sin2θ=5sin2θ=1,解得sin θ= 55 或sin θ= - 5 5 (舍去),所以sin θ-cos θ=sin θ- 2sin θ=-sin θ=- 55. 277.A 解析:若α=β,则sin2α+cos2β= sin2α+cos2α=1,即充分性成立;若sin2α+ cos2β=1,不一定有α=β成立,如α=-β, 即必要性不成立,故选A. 278. 2 10 解 析:由 tan α tanα+ π 4 = - 2 3 ,得 tan α tan α+1 1-tan α =- 2 3 ,解得tan α=2或tan α= - 1 3 ,所 以 sin2α+ π 4 = 22 (sin 2α+ cos 2α)= 22 × 2sin αcos α+cos2a-sin2α sin2α+cos2α = 2 2× 2tan α+1-tan2α tan2α+1 = 2 10. 279.D 解析:由题意,得cos α= 1-sin2α= 12 13 ,则tan α=sin α cos α=- 5 12 ,故选D. 280. 4 3 解析:由题意,得sin α=- 1-cos2α= - 4 5 ,则tan α=sin α cos α= 4 3. 281.- 25 5 解析:由题意,在角α的终边上可 取点(-2,1),则r= 12+(-2)2 = 5, cos α=-2 5 =- 25 5 . 282.A 解 析:sin4α -cos4α = (sin2α + cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α= 2sin2α-1=2× 5 5 2 -1=- 3 5 ,故选A. 283.B 解析:由题意,得sin α=- 1-cos2α= - 1- 1213 2 =- 5 13 ,故选B. 5.4 恒等(2):和差公式 284.A 解析:因为tan αtan β=2,所以 sin αsin β cos αcos β =2,则sin αsin β=2cos αcos β.① 因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β- sin αsin β=m.② 由①+②得,cos αcos β=m+2cos αcos β,所 以cos αcos β=-m,则sin αsin β= -2m,所以cos(α-β)=cos αcos β+ sin αsin β=-m-2m=-3m,故选A. 285.B 解析:因为 cos α cos α-sin α= 3 ,所以 1 1-tan α= 3 ,解得tan α=1- 33 ,所以 tanα+ π 4 =tan α+1 1-tan α=23-1 ,故选B. 286.- 22 3 解析:方法一:由题意得tan(α+ β)= tan α+tan β 1-tan αtan β = 4 1- 2+1 = -22.因 为 α∈ 2kπ,2kπ+ π 2 ,β∈ 2mπ+π,2mπ+ 3π 2 ,k,m∈Z,所以α+ β∈((2k+2m)π+π,(2k+2m)π+2π), k,m∈Z.又因为tan(α+β)=-22<0,所以 α+β∈ (2k+2m)π+ 3π 2 ,(2k+2m)π+2π ,k, m∈Z,则sin(α+β)<0.在α+β 的终边 上 取 点 1,-22 ,则 sin(α+β)= -22 12+(-22)2 =- 22 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 221 高考一线 真题研究 数学 方法二:因为α为第一象限角,β为第三象 限角,则cos α>0,cos β<0,因为cos α= cos α sin2α+cos2α = 1 1+tan2α ,cos β = cos β sin2β+cos2β =- 1 1+tan2β ,所以sin(α+ β)=sin αcos β+cos αsinβ=cos αcos β(tan α+ tan β)=4cos αcos β= -4 1+tan2α 1+tan2β = -4 (tan α+tan β)2+(tan αtan β-1)2 = -4 42+2 =- 22 3 . 287.C 解析:由已知得sin αcos β+cos αsin β+ cos αcos β-sin αsin β=2(cos α-sin α)sin β, 即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+ sin αsin β=0,sin(α-β)+cos(α-β)=0, ∴tan(α-β)=-1,故选C. 288.D 解析:由题意,得2tan θ-tan θ+1 1-tan θ= 7,整 理 得tan2θ-4tan θ+4=0,解 得 tan θ=2,故选D. 289.B 解析:由题意得sin θ+12sin θ+32cos θ= 1,∴ 3 2sin θ+32cos θ=1,∴3sinθ+ π 6 =1, ∴sinθ+ π 6 = 33,故选B. 290.D 解析:tan 255°=tan(180°+75°)= tan 75°=tan(30°+45°)= tan 30°+tan 45° 1-tan 30°tan 45°= 2+ 3,故选D. 291.- 1 2 解 析: sin α+cos β=1, cos α+sin β=0, ⇒ sin2α+cos2β+2sin αcos β=1, cos2α+sin2β+2cos αsin β=0, 两 式 相 加 得 2+2sin(α+β)=1,得sin(α+β)=- 1 2. 292. 3 10 10 解析:由题意,设角α终边上一点 P (1,2),则 sin α= 2 5 ,cos α= 1 5 , cosα- π 4 = 22 (cos α+sin α)= 22 × 3 5 = 3 10 10 . 293.- 7 9 解析:∵角α 与角β 均以Ox 为始 边,它们的终边关于y 轴对称,∴sin α= sin β= 1 3 ,cos α=-cos β,∴cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α= 2sin2α-1=2× 13 2 -1=- 7 9. 294.D 解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°= 1 2 ,故 选D. 295.3 解析:tan β=tan[(α+β)-α]= tan(α+β)-tan α 1+tan(α+β)tan α= 1 7+2 1+ 1 7× (-2) =3. 296.C 解析:∵tan α=1+sin β cos β ,∴ sin α cos α= 1+sin β cos β ,∴sin αcos β=cos α+cos αsin β, ∴sin αcos β-cos αsin β=cos α,∴sin(α- β)=sin π 2-α .∵α∈ 0,π2 ,β∈ 0,π2 , ∴α-β∈ - π 2 ,π 2 ,π2-α∈ 0,π2 ,∴α- β= π 2-α ,∴2α-β= π 2 ,故选C. 5.5 恒等(3):倍角公式 297.B 解析:因 为sin(α-β)= 1 3 ,所 以 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 222 详解答案 sin αcos β-cos αsin β= 1 3 ,又cos αsin β= 1 6 ,所以sin αcos β- 1 6= 1 3 ,得sin αcos β= 1 3+ 1 6= 1 2 ,所以sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β= 1 2+ 1 6= 2 3 ,所 以cos(2α+ 2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1- 2× 23 2 = 1 9 ,故选B. 298.D 解析:因 为cos α=1-2sin2 α2= 1+ 5 4 ,α 为锐角,所以sinα2= 3- 5 8 = (5-1)2 16 = 5-1 4 ,故选D. 299. 3 10 10 ,4 5 解析:∵α+β= π 2 ,∴sin β= cos α,∴3sin α-cos α= 10,又∵sin2α+ cos2α=1,∴sin2α+(3sin α- 10)2=1,解 得sin α=3 1010 .∵α+β= π 2 ,∴β= π 2-α , 2β=π-2α,∴cos 2β=cos(π-2α)= -cos 2α=2sin2α-1=2×310 10 2 -1= 4 5. 300.C 解析: sin θ(1+sin 2θ) sin θ+cos θ = sin θ(sin θ+cos θ)2 sin θ+cos θ =sin θ(sin θ+cos θ)= sin2θ+sin θcos θ sin2θ+cos2θ = tan2θ+tan θ tan2θ+1 = 2 5 ,故 选C. 301.D 解析:cos2 π 12-cos 25π 12=cos 2 π 12- sin2 π 12=cos π 6= 3 2 ,故选D. 302.A 解析:∵tan 2α= cos α 2-sin α ,∴ sin 2α cos 2α= cos α 2-sin α ,∴ 2sin αcos α 1-2sin2α = cos α 2-sin α. ∵α∈ 0, π 2 ,∴cos α≠0,∴ 2sin α 1-2sin2α = 1 2-sin α ,解得sin α=14 ,∴cos α= 1-sin2α= 15 4 ,∴tan α=sin α cos α= 15 15 , 故选A. 303.A 解析:由3cos 2α-8cos α=5,得 3(2cos2α-1)-8cos α-5=0,解得cos α= - 2 3 或cos α=2(舍),则sin α= 1-cos2α= 5 3 ,故选A. 304. 1 3 解析:由sin2 π4+α =23,得 1-cosπ2+2α 2 = 2 3 ,∴-cos π2+2α = 1 3 ,∴sin 2α=-cosπ2+2α =13. 305.- 3 5 ,1 3 解析:cos 2θ=cos 2θ-sin2θ cos2θ+sin2θ = 1-tan2θ 1+tan2θ =- 3 5 ,tanθ- π 4 =tan θ-1 1+tan θ= 1 3. 306.B 解析:由2sin 2α=cos 2α+1,得 4sin αcos α=2cos2α,∵α∈0, π 2 ,∴cos α≠ 0,∴2sin α=cos α,∴tan α=12 ,在角α的 终边上取点P(2,1),则sin α=1 5 = 5 5 ,故 选B. 307. 2 10 解 析:由 tan α tanα+ π 4 = - 2 3 ,得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 223 高考一线 真题研究 数学 tan α tan α+1 1-tan α = - 2 3 ,即tan α×1-tan α 1+tan α= - 2 3 ,解得tan α=2或tan α=-13 , ∴sin2α+ π 4 =22sin 2α+cos 2α = 2 2 2tan α 1+tan2α+ 1-tan2α 1+tan2α .将tan α=2或 tan α=-13 代入上式,得sin2α+ π 4 = 2 10. 308.D 解析:由cosπ4-α =35,得22(cos α+ sin α)=35 ,两边平方得1 2 (1+sin 2α)= 9 25 ,解得sin 2α=-725 ,故选D. 309.A 解析:cos2α+2sin 2α= cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α = 1+4tan α tan2α+1 = 64 25 ,故 选A. 310.-1 解析:由已知sin α+2cos α=0,得 tan α= -2,则 2sin αcos α-cos2α= 2sin αcos α-cos2α sin2α+cos2α = 2tan α-1 tan2α+1 = -5 (-2)2+1 = -1. 311.C 解析:∵tan α=sin α cos α>0 ,∴sin α 和 cos α 同号,∴sin 2α=2sin αcos α>0,故 选C. 312.C 解析:由sin α+2cos α= 102 两边平 方,得sin2α+4cos2α+4sin αcos α=52 , ∴ sin2α+4cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α = 5 2 , ∴ tan2α+4+4tan α tan2α+1 = 5 2 ,解得tan α=3或 tan α=-13 ,∴tan 2α= 2tan α 1-tan2α =- 3 4 , 故选C. 313.A 解析:由sin α+cos α= 33 两边平方, 得1+sin 2α=13 ,∴sin 2α=-23 ,∵α 为 第二象限角,sin α+cos α= 33>0 ,∴α∈ π 2+2kπ ,3 4π+2kπ (k ∈ Z),∴ 2α ∈ π+4kπ, 3 2π+4kπ (k∈Z),∴cos 2α= - 1-sin22α=- 5 3 ,故选A. 314.A 解析:由sin α-cos α= 2两边平方, 得 1-sin 2α =2,∴sin 2α = -1, ∴ 2tan α 1+tan2α = -1,解 得tan α= -1,故 选A. 315. 172 50 解析:设x=α+π6 ,则α=x-π6 , 2α+ π12=2x- π 6 + π12=2x-π4,且 cos x=45.∵α∈ 0 ,π 2 ,∴x∈ π6,2π3 , ∴sin x=35 ,∴sin 2x=2sin xcos x=2425 , cos 2x=2cos2x-1=725 ,∴sin2α+ π 12 = sin 2x- π 4 = 22 (sin 2x -cos 2x)= 2 2 24 25- 7 25 =17250 . 316.- 14 2 解析:由sin α=12+cos α,得 sin α-cos α=12 ,两边平方得1-2sin αcos α= 1 4 ,∴2sin αcos α=34 ,∴(cos α+sin α)2=1+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 224 详解答案 2sin αcos α=74.∵α∈ 0 ,π 2 ,∴cos α+ sin α=72 ,∴ cos 2α sinα- π 4 = cos2α-sin2α 2 2sin α-cos α = - 2cos α+sin α =- 14 2 . 5.6 化简A型 317.1,2 解析:由题意,得f π 3 =0, 即 3 2A- 3 2=0 ,得A=1, ∴f(x)=sin x- 3cos x=2sinx- π 3 , ∴f π 12 =2sinπ12-π3 =-2sinπ4=-2. 318.解:(1)∵f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数, ∴对 任 意 实 数 x,都 有 sin(x+θ)= sin(-x+θ), ∴sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+ cos xsin θ,得2sin xcos θ=0,∴cos θ=0. ∵θ∈[0,2π),∴θ=π2 或θ=3π2. (2)y= fx+ π 12 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 2 + fx+ π 4 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 2 =sin2x+ π 12 +sin2x+π4 = 1-cos2x+ π 6 2 + 1-cos2x+ π 2 2 =1- 1 2 3 2cos 2x- 1 2sin 2x-sin 2x = 3 4sin 2x- 34cos 2x+1 = 3 2 3 2sin 2x- 1 2cos 2x +1 = 3 2sin2x- π 6 +1. ∵x∈R,∴sin2x- π 6 ∈[-1,1], ∴ 3 2sin2x- π 6 +1∈ 1- 32,1+ 32 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , ∴函数y= fx+ π 12 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 2 + fx+ π 4 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 2 的 值域为 1- 3 2 ,1+ 3 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . 319.解:f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x= -cos 2x- 3sin 2x=-(3sin 2x+ cos 2x)=-2sin2x+ π 6 . 320.2,1 解 析:∵2cos2x +sin 2x = sin 2x+cos 2x+1= 2sin2x+ π 4 +1, ∴A= 2,b=1. 321.解:f(x)=sin π 2-x sin x- 3cos2x= sin xcos x - 3cos2x = 1 2sin 2x - 3 2 1+cos x = 1 2sin 2x- 3 2cos 2x - 3 2=sin2x- π 3 - 32. 322.解:f(x)=-2sin2x+ π 4 +6sin xcos x- 2cos2x+1=(-2)× 2 2 (sin 2x+cos 2x)+ 3sin 2x-cos 2x=2(sin 2x-cos 2x)= 22sin2x- π 4 . 323.- 25 5 解析:f(x)=sin x-2cos x= 5 1 5 sin x- 2 5 cos x .令 cos φ= 15, sin φ=- 2 5 ,则f(x)= 5sinx+φ ,当 且仅当x+φ=2kπ+ π 2 (k∈Z),即x= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 225 高考一线 真题研究 数学 2kπ+π2-φ (k∈Z)时,f(x)取得最大值, 此时θ=2kπ+π2-φ (k∈Z),则cos θ= cos2kπ+ π 2-φ =sin φ=-25=-255 . 324.B 解析:∵f(x)= 3sin x-cos x= 2sinx- π 6 ≥1,∴sinx-π6 ≥12,∴2kπ+ π 6≤x- π 6≤2kπ+ 5π 6 (k∈Z),解得2kπ+ π 3≤x≤2kπ+π (k∈Z),故选B. 5.7 图象(1):基础 325.C 解析:因为函数y=sin x 最小正周期 为T=2π,函数y=2sin3x- π 6 的最小 正周期为T=2π3 ,所以在x∈[0,2π]上函 数y=2sin3x- π 6 有三个周期的图象, 在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如 图所示.由图可知,两函数图象有6个交点, 故选C.     O x y yTJO
x yTJO x       326.- 3 2 解析:设A x1, 1 2 ,B x2,12 ,则 由|AB|=π6 ,得x2-x1= π 6. 由sin x= 1 2 ,得x=π6+2kπ 或x=5π6+2kπ ,k∈Z, 由图可知,ωx2+φ-(ωx1+φ)= 5 6π- π 6= 2π 3 ,即ω(x2-x1)= 2π 3 ,所以ω=4.因为 f 2 3π =sin8π3+φ =0,所以8π3+φ=kπ, 即φ=- 8 3π+kπ ,k∈Z,所以f(x)= sin4x- 8 3π+kπ =sin4x-23π+kπ ,所以 f(x)=sin4x- 2 3π 或f(x)=-sin4x-23π .又 因为f(0)<0,所以f(x)=sin4x- 2 3π , ∴f(π)=sin4π- 2 3π =- 32. 327.C 解析:由x∈(0,π),得ωx+π3∈ π 3 ,ωπ+ π 3 .y=sin x,x∈ π3,3π 的图象 如下:             O y x 将 ωx + π3 看 作 一 个 整 体,要 使 函 数 f(x)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个 零点,则5π 2<ωπ+ π 3≤3π ,解得13 6<ω≤ 8 3 , 故选C. 328.BC 解析:由函数图象得 T 2= 2π 3- π 6= π 2 ,T=π,则ω=2ππ=2 ,排除A;∵当x= π 6+ 2π 3 2 = 5π 12 时,y=-1,∴2× 5π 12+φ= 3π 2+2kπ (k∈Z),解得φ=2kπ+ 2π 3 (k∈ Z), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 226 详解答案 ∴y=sin2x+2kπ+ 2π 3 =sin2x+2π3 = sin2x+ π 6+ π 2 =cos2x+π6 . 又cos2x+ π 6 =cos2x+π2-π3 =cosπ2+2x- π 3 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =-sin2x- π 3 =sinπ3-2x ,故选BC. 329.2 解析:由图可知 3T 4 = 13π 12- π 3= 3π 4 ,得 T=π,ω=2πT=2 ,由五点法得2× π 3+φ= π 2 ,解得φ=- π 6 ,则f(x)=2cos2x- π 6 . ∵f - 7 4π =2cos-11π3 =2cosπ3=1, f 4π 3 =2cos5π2=0, ∴由 f(x)-f - 7π 4 f(x)-f4π3 > 0,得(f(x)-1)f(x)>0,解得f(x)> 1或f(x)<0.由图形可知,最小正整数应 该满足f(x)<0,∵f(1)=2cos2- π 6 < 2cosπ2- π 6 =1不符合,f(2)=2cos4-π6 <0 符合,∴最小正整数x 为2. 330.②③ 解析:∵函数f(x)的定义域为 {x|x≠kπ,k∈Z}关于原点对称,f(-x)= sin(-x)+ 1sin(-x)=-sin x- 1sin x= -f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于原 点对称,∴①错误,②正确; ∵f π 2-x =sin π2-x + 1sinπ2-x = cos x+ 1cos x ,f π 2+x =sin π2+x + 1 sinπ2+x =cos x+ 1cos x ,∴f π 2-x = f π 2+x ,∴f(x)的图象关于直线x= π 2 对称,∴③正确; ∵当-π<x<0时,sin x<0,∴f(x)= sin x+ 1sin x<0<2 ,∴④错误. 331.C 解析:∵函数图象过点 - 4π 9 ,0 , ∴cos- 4ωπ 9 + π 6 =0.又∵ -4π9,0 函数 f(x)图象与x 轴负半轴的第一个交点, ∴- 4ωπ 9 + π 6=- π 2 ,解得ω=32 ,∴最小正 周期T=2πω= 4π 3 ,故选C. 5.8 图象(2):平移与伸缩 232.C 解析:因为y=cos2x+ π 6 向左平移π6个 单位所得函数为y=cos2x+ π 6 +π6􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 = cos2x+ π 2 = -sin 2x,所 以 f(x)= -sin 2x,而y= 1 2x- 1 2 显然过 0,- 1 2 与 (1,0)两点.作出f(x)与y= 1 2x- 1 2 的部 分大致图象(如图所示).考虑2x=-3π2 , 2x=3π2 ,2x=7π2 ,即x=-3π4 ,x=3π4 ,x= 7π 4 处f(x)与y= 1 2x- 1 2 的大小关系.当 x=-3π4 时,f - 3π 4 =-sin-3π2 =-1, y= 1 2× - 3π 4 -12=-3π+48 <-1;当x= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 227 高考一线 真题研究 数学 3π 4 时,f 3π 4 =-sin3π2=1,y=12×3π4- 1 2= 3π-4 8 <1 ;当 x=7π4 时,f 7π 4 = -sin 7π 2=1 ,y= 1 2× 7π 4- 1 2= 7π-4 8 >1 , 所以由图可知,f(x)与y= 1 2x- 1 2 的交点 个数为3,故选C.          y x x y O f x  333.D 解析:∵y=2sin3x= 2sin3x- π 15 +π5􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,∴把函数y=2sin3x+ π 5 图象上的所有点向右平移π 15 个单位长度即 可得到函数y=2sin 3x 的图象,故选D. 334.B 解析:把函数y=sinx- π 4 的图象向 左平 移π 3 个 单 位 长 度,得 到 函 数 y= sinx+ π 3- π 4 =sinx+π12 ,再把所得函 数图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2倍,得到f(x)=sin x 2+ π 12 的图象,故 选B. 335.A 解 析:平 移 后 的 函 数 为 y = sin2x+ π 5 =sin2x-π10 +π5􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =sin 2x.由 x∈ 3π4 ,5π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,得2x∈ 3π2 ,5π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,y 由-1增 大到1,A正确,故选A. 336.D 解 析:∵C2:y =sin 2x+ 2π 3 = cos2x+ 2π 3- π 2 =cos2x+π6 =cos2x+π12 , C1:y=cos x,∴把C1 上各点的横坐标缩 短到原来的1 2 倍得到y=sin 2x,再将所得 曲线向左平移π 12 个单位得到C2,故选D. 337. 2π 3 解析:∵y=sin x- 3cos x= 2sinx- π 3 ,y=sin x+3cos x=2sinx+π3 , ∴把函数y=sin x+ 3cos x 的图象向右 平移2π 3 个 单 位 长 度 得 到 y=sin x- 3cos x 的图象. 338.B 解析:∵y=sin4x- π 3 =sin4x-π12 , ∴将函数y=sin 4x 的图象向右平移π12 个 单位,到函数y=sin4x- π 3 的图象,故 选B. 339.C 解 析:∵y=sin 3x+cos 3x= 2cos3x- π 4 = 2cos 3x-π12 ,∴将函 数y= 2cos 3x 的图象向右平移π12 个单 位,得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图象, 故选C. 5.9 性质(1):对称性 340.C 解析:由题意知,曲线C 为y= sinωx+ π 2 +π3􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =sinωx+ ωπ 2+ π 3 , ∵曲线C 关于y 轴对称,∴ ωπ 2+ π 3= π 2+ kπ(k∈Z),解得ω=13+2k (k∈Z),又 ∵ω>0,∴k=0时,ω的最小值为13 ,故选C. 341.x=-5π24 解析:平移后的函数为y= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 228 详解答案 3sin2x- π 6 +π4􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =3sin 2x- π 12 ,由 2x-π12=kπ+ π 2 (k∈Z),得x=k2π+ 7π 24 (k∈Z).当k=0时,x=7π24 ;当k= -1时,x=-5π24 ,∴与y 轴最近的对称轴 的方程是x=-5π24. 342. π 2 或3π 2 解析:∵f(x+θ)=sin(x+θ)是 偶函数,∴θ=kπ+π2 (k∈Z),又∵θ∈[0, 2π),∴θ=π2 或θ=3π2. 343.- π 6 解 析:∵y =sin(2x +φ) - π 2<φ< π 2 的图象关于直线x=π3对 称,∴x=π3 时,函数取得最值,∴φ+ 2π 3= kπ+π2 (k∈Z),∴φ=kπ- π 6 (k∈Z), ∵- π 2<φ< π 2 ,∴取k=0,得φ=- π 6. 344.B 解 析:平 移 后 的 函 数 为 y = 2sin2x+ π 12 =2sin2x+π6 ,令 2x + π 6=kπ+ π 2 (k∈Z),则x=kπ2+ π 6 (k∈Z), 故选B. 345. 3π 8 解析:将函数f(x)=sin2x+ π 4 的 图 象 向 右 平 移 φ 个 单 位,得 到 y = sin2(x-φ)+ π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =sin2x-2φ+ π 4 的图 象,∵该图象关于y 轴对称,∴-2φ+ π 4= kπ+π2 (k∈Z),∴φ=- kπ 2- π 8 (k∈Z),当 k=-1时,φ 取得最小正值 3π 8. 346.C 解析:∵f(x)=sin x+φ 3 是偶函数, ∴φ3=kπ+ π 2 (k∈Z),∴φ=3kπ+ 3π 2 (k∈ Z),又∵φ∈[0,2π],∴取k=0,得φ= 3π 2 , 故选C. 347.A 解析:∵函数图象关于点 4π3 ,0 中心 对称,∴cos4π3×2+φ =0,∴φ+8π3 = kπ+π2 (k∈Z),∴φ=kπ- 13π 6 (k∈Z), ∴k=2时,|φ|取得最小值为 π 6 ,故选A. 348.A 解析:平移后的图象F'对应的函数为 y=sinx- π 3-θ ,∵F'的一条对称轴是 直线x=π4 ,∴当x=π4 时函数取得最值, ∴ π 4- π 3-θ=kπ+ π 2 (k∈Z),θ=-kπ- 7π 12 (k∈Z),当k=-1时,θ=5π12 ,故选A. 5.10 性质(2):单调性 349.C 解 析:f(x)=cos2x -sin2x = cos 2x.对于A,当x∈ - π 2 ,- π 6 时,2x∈ -π,- π 3 ,则f(x)在 -π2,-π6 上单调 递增,错误;对于B,当x∈ - π 4 ,π 12 时, 2x∈ - π 2 ,π 6 ,则f(x)在 -π4,π12 上不 单调,错误;对于C,当x∈ 0, π 3 时,2x∈ 0, 2π 3 ,则f(x)在 0,π3 上单调递减,正 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 229 高考一线 真题研究 数学 确;对 于 D,当 x ∈ π4 ,7π 12 时,2x ∈ π 2 ,7π 6 ,则f(x)在 π4,7π12 上不单调,错 误,故选C. 350.A 解析:由2kπ-π2<x- π 6<2kπ+ π 2 (k∈Z),得2kπ-π3<x<2kπ+ 2π 3 (k∈ Z).取k=0,得函数f(x)的一个单调递增 区间为 - π 3 ,2π 3 ,∵0,π2 ⊆ -π3,2π3 , π 2 ,π ⊄ -π3,2π3 ,∴A满足条件,B不满 足条件;取k=1,得函数f(x)的一个单调 递 增 区 间 为 5π 3 ,8π 3 ,∵ π,3π2 ⊄ - π 3 ,2π 3 且 π,3π2 ⊄ 5π3,8π3 ,3π2,2π ⊄ 5π 3 ,8π 3 ,∴CD均不满足条件,故选A. 351.A 解析:作出f(x)=sin|x|图象如图 (1),知 f(x)不 是 周 期 函 数,排 除 D; ∵f(x)=cos|x|=cos x,∴周期为2π,排 除C;作出f(x)=|sin 2x|的图象如图 (2),知周期为 π 2 ,在区间 π 4 ,π 2 单调递减, 排除B,故选A.  O y yTJO]x] x         图(1)        y]TJO
x] y xO            图(2) 352.A 解 析:f(x)=cos x -sin x = - 2sinx- π 4 ,由-π2+2kπ≤x-π4≤ π 2+2kπ (k∈Z),得-π4+2kπ≤x≤ 3π 4+ 2kπ(k∈Z),取k=0,得f(x)的一个减区 间为 - π 4 ,3π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 .∵f(x)在[-a,a]是减函 数,∴ -a≥- π 4 , a≤ 3π 4 , a>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得0<a≤π4 ,∴a 的 最大值是π 4 ,故选A. 353.A 解 析:平 移 后 的 函 数 为 y = sin2x- π 10 +π5􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =sin 2x,由 - π2 + 2kπ≤2x≤π2+2kπ (k∈Z),得-π4+kπ≤ x≤π4+kπ (k∈Z),取k=1,得3π4≤x≤ 5π 4 ,故选A. 354.D 解析:由五点作图法,得 1 4ω+φ= π 2 , 5 4ω+φ= 3π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得 ω=π, φ= π 4 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则 f(x)=cos πx+ π 4 .令 2kπ<πx+π4<2kπ+π (k∈Z),解得2k- 1 4<x<2k+ 3 4 ,得f(x)的单调递减区间 为2k- 1 4 ,2k+ 3 4 ,k∈Z,故选D. 355.C 解析:∵cos 10°=sin 80°,sin 168°= sin(180°-12°)=sin 12°,且y=sin x 在 0, π 2 上是增函数,∴sin 11°<sin 12°< 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 230 详解答案 sin 80°,∴sin 11°<sin 168°<cos 10°,故选C. 356.A 解析:由 π 2+2kπ≤ωx+ π 4≤ 3π 2+2kπ (k∈Z),得 (8k+1)π 4ω ≤x≤ (8k+5)π 4ω (k∈Z), ∵f(x)在 π 2 ,π 上单调递 减,∴ π2,π ⊆ (8k+1)π 4ω , (8k+5)π 4ω 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,∴ (8k+1)π 4ω ≤ π 2 , (8k+5)π 4ω ≥π , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得8k+1 2 ≤ω≤ 8k+5 4 (k∈Z).当k=0时, 1 2≤ω≤ 5 4 ,故选A. 357.A 解析:f(x)=cos2x-2cos2 x 2= cos2x-cos x-1.令t=cos x,则t∈[-1, 1],f(x)化为y=t2-t-1=t- 1 2 2 - 5 4 ,该二次函数在 -1, 1 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递减,当 x ∈ π3 ,2π 3 时,t∈ -12,12 ,且 t= cos x 在 π3 ,2π 3 单调递减,由复合函数的 单调性知,f(x)在 π 3 ,2π 3 单调递增,故 选A. 5.11 性质(3):周期性 358.A 解 析:对 于 A,sin x+cos x= 2sinx+ π 4 ,周期T=2π,A正确;对于 B,sin xcos x=12sin 2x,周期T=2π2= π,B错误;对于C,sin2x+cos2x=1,是常 值函数,不存在最小正周期,C错误;对于 D,sin2x-cos2x=-cos 2x,周期 T= 2π 2=π ,D错误,故选A. 359.3 解析:T=2πω ,∵f(T)= 3 2 , ∴cosω· 2π ω+φ =cos(2π+φ)=cos φ= 3 2.∵0<φ <π ,∴φ = π 6 ,f(x)= cosωx+ π 6 ,又∵x=π9为f(x)的零点, ∴ π 9ω+ π 6= π 2+kπ (k∈Z),解得ω=3+ 9k(k∈Z),∵ω>0,∴当k=0时,ωmin=3. 360.解:∵f(x)=sin x+cos x, ∴f x+ π 2 =sinx+π2 +cosx+π2 = cos x-sin x, ∴y= fx+ π 2 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 2 = cos x-sin x 2= 1-sin 2x,∴其最小正周期T=2π2=π. 361.A 解析:由题意,得T=23π4- π 4 =π, 则ω=2πT=2 ,故选A. 362. π 2 解析:∵f(x)=sin22x= 1-cos 4x 2 , ∴最小正周期T=2π4= π 2. 363.C 解析:∵f(x)= tanx 1+tan2x = 1 2× 2tanx 1+tan2x = 1 2sin 2x,∴最小正周期 T= 2π 2=π ,故选C. 364.C 解析:∵y= 3sin 2x+cos 2x= 2sin2x+ π 6 ,∴最小正周期T=2π2=π, 故选C. 365.B 解析:∵f(x)=(3sin x+cos x) (3cos x -sin x)=2sin x+ π 6 · 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 231 高考一线 真题研究 数学 2cosx+ π 6 =2sin2x+π3 ,∴最小正周 期T=2π2=π ,故选B. 366.D 解析:∵y=2sin2x+ π 6 的周期T= 2π 2=π ,∴向右平移 1 4 个周期后,所得图象 对应的函数为y=2sin2x- π 4 +π6􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 = 2sin2x- π 3 ,故选D. 367.解:∵ f(x)= 4tanxsin π 2-x · cosx- π 3 - 3,∴x≠kπ+π2(k∈Z), ∴f(x)的定义域为x|x≠kπ+ π 2 ,k∈Z .又 ∵f(x)=4tanxsin π 2-x ·cosx-π3 - 3=4tanx·cos x·cosx- π 3 - 3= 4sin x· 1 2cos x+ 3 2sin x -3=sin 2x+ 23sin2x- 3=sin 2x+ 31-cos 2x - 3=sin 2x- 3cos 2x=2sin2x- π 3 , ∴f(x)的最小正周期T= 2π 2=π. 368.解:∵f(x)=sin2x-sin2x- π 6 = 1 21-cos 2x - 1 21-cos2x- π 3 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 = 1 2cos2x- π 3 -cos 2x􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 = 1 2 3 2sin 2x- 1 2cos 2x = 1 2sin2x- π 6 , ∴f(x)的最小正周期T= 2π 2=π. 369.解:∵f(x)= 2sin x 2cos x 2- 2sin 2x 2= 2 2sin x-221-cos x = 2 2sin x+cos x - 2 2=sinx+ π 4 - 22,∴f(x)的最小正周 期T=2π1=2π. 5.12 性质(4):最值 370.B 解析:由题意可知x1 为f(x)的最小 值点,x2 为f(x)的最大值点,则|x1- x2|min= T 2= π 2 ,即T=π,且ω>0,所以 ω=2πT=2 ,故选B. 371.A 解 析:f(x)=sin 3ωx+ π 3 = sin(3ωx+π)=-sin 3ωx,由T=2π3ω=π 得ω=23 ,即f(x)=-sin 2x,当x∈ - π 12 ,π 6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 时,2x∈ - π 6 ,π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . 画出f(x)=-sin 2x图象,如图.       O x y 由图可知,f(x)=-sin 2x 在 - π 12 ,π 6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上 递减,所以当x=π6 时,f(x)min=-sin π 3= - 3 2 ,故选A. 372.- 1 2 解析:因为α与β的终边关于原点 对称,所以β=α+π+2kπ(k∈Z),则 cos β=cos(α+π+2kπ)=-cos α.因为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 232 详解答案 α∈ π6 ,π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,所 以cos α 的 取 值 范 围 是 1 2 ,3 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,则 cos β 的 取 值 范 围 是 - 3 2 ,- 1 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,当 且 仅 当α=π3 ,即β= 4π 3+2kπ (k∈Z)时,cos β取得最大值,且 最大值为- 1 2. 373.C 解析:∵f(x)=sin x 3+cos x 3= 2sinx3+ π 4 ,∴f(x)的最小正周期为2π1 3 = 6π,最大值为2,故选C. 374.解:∵f(x)=sin x+cos x=2sinx+ π 4 , ∴y=f(x)fx- π 4 =2(sin x+cos x)sin x = 21-cos 2x 2 + 1 2sin 2x = 2 2 sin 2x-cos 2x+1 =sin2x- π 4 + 22. ∵x∈ 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,∴2x-π4∈ - π 4 ,3π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , ∴sin2x- π 4 的最大值为1, ∴函数y=f(x)fx- π 4 在 0,π2􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上的最 大值为1+ 2 2. 375.D 解析:f(x)=cos x-cos 2x 显然为 偶函数,f(x)=cos x-cos 2x=-2cos2+ cos x+1, 令t=cos x,则t∈[-1,1],f(x)化为y= -2t2+t+1=-2t- 1 4 2 + 9 8 , ∴当t=14 时,y 取得最大值 9 8 , ∴f(x)的最大值为 9 8. 376.解:∵ω=1,∴f(x)=sin x, ∴g(x)=sin2x+ 3sin(-x)sin π 2-x = 1 21-cos 2x -3sin xcos x=-32sin 2x- 1 2cos 2x+12=-sin2x+ π 6 +12. ∵x∈ 0, π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,∴2x+π6∈ π 6 ,2π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , ∴sin2x+ π 6 ∈ 12,1􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , ∴-sin2x+ π 6 ∈ -1,-12􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , ∴-sin2x+ π 6 +12∈ -12,0􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , ∴g(x)的值域为 - 1 2 ,0 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . 377.-4 解 析:f(x)=sin 2x+ 3π 2 - 3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x- 3cos α+1=-2cos2x+ 3 2cos x +1= -2cos x+ 3 4 2 + 17 8.∵cos x∈[-1,1], ∴当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值 为-21+ 3 4 2 + 17 8=-4. 378.1 解析:f(x)=sin2x+ 3cos x-34= 1-cos2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+ 1 4. 令t=cos x,则 由 x ∈ 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,得 cos x∈[0,1],函数f(x)化为g(t)= -t2+3t+ 1 4 ,∵对称轴t= 32∈ [0,1], 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 233 高考一线 真题研究 数学 ∴g(t)max=g 3 2 =- 32 2 + 3× 3 2+ 1 4=1 ,∴f(x)的最大值为1. 379.解:将函数y=f(x)的图象上各点的横坐 标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到 函数y= 3sinx- π 3 的图象,再将得到的 图象 向 左 平 移π 4 个 单 位,得 到 g(x)= 3sinx+ π 4- π 3 =3sinx-π12 的图象.由 x∈ - π 4 ,3π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,得x-π12∈ - π 3 ,2π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,∴当 且仅当x-π12=- π 3 时,g(x)取得最小值 为- 3 2. 5.13 图象性质综合 380.BC 解析:对于A,令f(x)=sin 2x=0, 解得x=kπ2 (k∈Z),即为f(x)零点.令 g(x)=sin2x- π 4 =0,解得x=kπ2+π8 (k∈Z),即为g(x)零点.对于 A,显然 f(x),g(x)零点不同,A错误;对于B,显 然f(x)max=g(x)max=1,B正确;对于C, f(x)与g(x)的周期均为 2π 2=π ,C正确; 对于D,f(x)的对称轴满足2x=kπ+ π 2⇔x= kπ 2+ π 4 (k∈Z),g(x)的对称轴满 足2x-π4=kπ+ π 2⇔x= kπ 2+ 3π 8 (k∈ Z),显然f(x)与g(x)图象的对称轴不 同,D错误,故选BC. 381.D 解析:因为f(x)=sin(ωx+φ)在区 间 π 6 ,2π 3 单调递增,所以T2=2π3-π6=π2, 且ω>0,则T=π,ω=2πT=2. 当x=π6 时, f(x)取得最小值,则2× π 6+φ=2kπ- π 2 , k∈Z,解得φ=2kπ- 5π 6 ,k∈Z.不妨取k= 0,则f(x)=sin2x- 5π 6 ,所以f -5π12 = sin- 5π 3 = 32,故选D. 382.解:(1)因 为 f(x)=sin ωxcos φ+ cos ωxsin φ,ω>0,|φ|< π 2 , 所以f(0)=sin(ω·0)cos φ+cos(ω· 0)sin φ=sin φ=- 3 2. 因为|φ|< π 2 ,所以φ=- π 3. (2)因为f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ, ω>0,|φ|< π 2 , 所以f(x)=sin(ωx+φ),ω>0,|φ|< π 2 , 所以f(x)的最大值为1,最小值为-1. 选①,因为f(x)=sin(ωx+φ)的最大值为 1,最小值为-1,所以f π 3 = 2无解,故 条件①不能使函数f(x)存在; 选②,因为f(x)在 - π 3 ,2π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递增, 且f 2π 3 =1,f -π3 =-1, 所以T 2= 2π 3- - π 3 =π, 所以T=2π,ω=2πT=1 , 所以f(x)=sin(x+φ). 又因为f - π 3 =-1, 所以sin- π 3+φ =-1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 234 详解答案 所以- π 3+φ=- π 2+2kπ ,k∈Z, 所以φ=- π 6+2kπ ,k∈Z, 因为|φ|< π 2 ,所以φ=- π 6 , 所以ω=1,φ=- π 6. 选③,因为f(x)在 - π 3 ,2π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递增, 在 - π 2 ,- π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上单调递减,所以f(x)在 x=-π3 处取得最小值-1,即f - π 3 = -1.以下与条件②相同. 383.B 解析:对于A,T=2ππ 2 =4;对于B,T= 2π π 2 =4;对于C,T=2ππ 4 =8;对于 D,T= 2π π 4 =8,由周期性排除CD.对于A,当x= 2时,函数值sinπ2×2 =0,故(2,0)是函 数的一个对称中心,排除A;对于B,当x= 2时,函数值cosπ2×2 =-1,所以x= 2是函数的一条对称轴,故选B. 384.A 解析:由函数的最小正周期T 满足 2π 3<T<π ,得2π 3< 2π ω <π ,解得2<ω< 3.又 ∵ 函 数 图 象 关 于 点 3π2 ,2 对 称, ∴ 3π 2ω+ π 4=kπ (k∈Z),且b=2,∴ω=-16+ 2 3k (k∈Z),令k=4,得ω=52 ,满足2< ω <3,∴f(x)=sin 5 2x+ π 4 +2, ∴f π 2 =sin5π4+π4 +2=1,故选A. 385.D 解析:当x∈[0,2π]时,ωx+π5∈ π 5 ,2πω+ π 5 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 .∵f(x)在[0,2π]有且仅有 5个零点,∴5π≤2πω+π5<6π ,∴ 12 5≤ω< 29 10 ,∴④正确;由ωx+π5∈ π 5 ,2πω+ π 5 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , 2πω+π5∈ [5π,6π),知令ωx+π5= π 2 ,5π 2 , 9π 2 时取得极大值,①正确;极小值点不确 定,可能是2个也可能是3个,②不正确; 当x∈0, π 10 时,ωx+π5∈ π5,(ω+2)π10􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , 若f(x)在 0, π 10 单调递增,则(ω+2)π10 < π 2 ,解得ω<3,∵125≤ω< 29 10 ,∴③正确,故 选D. 386.C 解 析:∵f(x)的 定 义 域 为 R,且 f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|= sin|x|+|sin x|=f(x),∴f(x)是偶函 数,①正确;当x∈ π2 ,π 时,sin x>0, f(x)=2sin x 在 区 间 π2 ,π 单 调 递 减, ②错误;当x∈[0,π]时,sin x>0,f(x)= 2sin x=0,得x=0或π,∵f(x)是偶函 数,∴f(x)在[-π,π]有3个零点,③错 误;∵sin|x|≤1,|sin x|≤1,∴f(x)= sin|x|+|sin x|≤2,又 ∵f π 2 =2, ∴f(x)的最大值为2,④正确,故选C. 387.C 解析:∵f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,|φ|<π)是奇函数,∴φ=kπ(k∈Z), 又∵|φ|<π,∴φ=0,∴f(x)=Asin(ωx), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 235 高考一线 真题研究 数学 ∴g(x)=Asin ωx 2.∵g (x)的最小正周期为 2π,∴ω=2,g(x)=Asin x,又∵g π 4 =2, ∴Asinπ4=2 ,∴A=2,∴g(x)=2sin x, ∴f(x)=2sin 2x,∴f 3π 8 =2sin2×3π8 = 2sin 3π 4= 2 ,故选C. 388. 2 3 解析:∵f(x)≤f π 4 对任意的实数 x 都成立,∴当x=π4 时f(x)取得最大值, ∴cosωπ4- π 6 =1,∴ωπ4 -π6=2kπ(k∈ Z),∴ω=8k+23 (k∈Z),又∵ω>0,∴k= 0时,ω 取得最小值为23. 389.解:(1)∵f(x)=sin2x+ 3sin xcos x= 1 21-cos 2x + 3 2sin 2x=sin2x- π 6 +12, ∴f(x)的最小正周期T= 2π 2=π. (2)∵f(x)在 - π 3 ,m 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上的最大值为3 2 , ∴sin2x- π 6 =1, ∴2x-π6=2kπ+ π 2 (k∈Z), ∴x=kπ+π3 (k∈Z),令k=0,得x=π3 , ∴ π 3∈ - π 3 ,m 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , ∴m≥π3 ,∴m 的最小值为π3. 第六章 解三角形 6.1 正弦定理 390.解:(1)由sin A+3cos A=2,得12sin A+ 3 2cos A=1,即sinA+ π 3 =1. 因为A∈0,π ,所以A+ π 3∈ π 3 ,4π 3 , 所以A+π3= π 2 ,A=π6. (2)因为 2bsin C=csin 2B, 所以 2sin Bsin C =sin Csin 2B = 2sin Csin Bcos B. 又因为B,C∈(0,π),所以sin Bsin C≠ 0,所以cos B= 22 ,所以B=π4 , 所以C=π-A-B=π-π6- π 4= 7π 12 , sin C=sin(A +B)=sin Acos B + cos Asin B= 2+ 64 . 因为 a sin A= b sin B= c sin C , 所以 2 sin π 6 = b sin π 4 = c sin 7π 12 , 所以b=22,c= 6+ 2, 所以△ABC 的周长为2+ 6+32. 391.C 解析:因为acos B-bcos A=c,所以 sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin Acos B- sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+ sin Bcos A,整理得sin Bcos A=0.因为 B∈(0,π),所以sin B>0,所以cos A=0, A=π2 ,则B=π-A-C=π-π2- π 5= 3π 10 , 故选C. 392.解:∵ a sin A= c sin C ,∴sin A=asin C c = 22sin π 4 13 = 2 13 = 2 13 13 . 393.解:∵cos A=18 ,cos B=916 ,∴sin A= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 236