第七章 平面向量及其应用-【高考一线·真题研究】2025年高考数学分类必刷题

高考一线 真题研究 数学 第七章 平面向量及其应用 7.1 线性运算与基本定理 【解题·小帮手】 ▶向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求 两 个 向 量 和 的 运 算 ab a b 三角形法则 aba b 平行四边形法则 交换律: a+b=b+a; 结合律: (a+b)+c=a+ (b+c) 减法 求 a 与 b 的 相 反 向 量 -b 的 和的运算 ab a b 三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 求 实 数 λ 与 向 量 a 的 积 的 运 算 |λa|=|λ||a|,当 λ>0时,λa 与a 的方向相同;当λ <0时,λa 与a 的 方向相反;当λ= 0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+ μa; λ(a+b)=λa+ λb ▶平面向量基本定理 如果e1,e2 是同一平面内的两个不共线向 量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且 只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2(不 共线的向量e1,e2 叫作表示这一平面内所有 向量的一组基底). ▶(1)向量b 与a(a≠0)共线或平行的充要条 件是存在唯一实数λ,使得b=λa. (2)在平面内A,P,B 三点共线的充要条件 是存在唯一的λ,使得AB→=λPB→. (3)若平面内三点A,P,B 满足关系OP→= λOA→+μOB →(O 为平面内异于A,P,B 的任 一点),则 A,P,B 三点共线的充要条件是 λ+μ=1. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 454.(2022·新高考全国一,3)在△ABC 中, 点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA→=m, CD→=n,则CB→= ( ) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 455.(2020·新高考全国二,3)在△ABC 中,D 是AB 边上的中点,则CB→= ( ) A.2CD→+CA→ B.CD→-2CA→ C.2CD→-CA→ D.CD→+2CA→ 456.(2020·新高考全国一,4)如图,已知平行 四边形ABCD,点E,F 分别是AB,BC 的 中点,设AB→=a,AD→=b,则EF→= ( ) D A E B F C A. 1 2 (a+b) B.12 (a-b) C. 1 2 (b-a) D.12a+b 457.(2018·新课标全国一,6)在△ABC 中, AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点, 则EB→= ( ) A. 3 4AB →- 1 4AC → B. 1 4AB →- 3 4AC → C. 3 4AB →+ 1 4AC → D. 1 4AB →+ 3 4AC → 458.(2016·北京,4)设a,b是向量,则“|a|= |b|”是“|a+b|=|a-b|”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 459.(2015·新课标全国一,7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC→=3CD→,则 ( ) A.AD→=-13AB →+ 4 3AC → B.AD→=13AB →- 4 3AC → 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 66 第七章 平面向量及其应用 C.AD→=43AB →+ 1 3AC → D.AD→=43AB →- 1 3AC → 460.(2015·新课标全国二,13)设向量a,b 不 平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数 λ= . 461.(2015·北京,13)在△ABC 中,点 M,N 满足AM→=2MC→,BN→=NC→,若 MN→= xAB→+yAC →,则x= ,y= . 462.(2014·新课标全国一,4)设点D,E,F 分 别是△ABC 的边BC,CA,AB 的中点,则 EB→+FC→= ( ) A.AD→ B.12AD → C.BC→ D.12BC → 463.(2014·新课标全国一,15)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若AO→=12 (AB→+AC→), 则AB→与AC→的夹角为 . 464.(2014·福建,10)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所 在 平 面 内 任 意 一 点,则 OA→+ OB→+OC→+OD→= ( ) A.OM→ B.2OM→ C.3OM→ D.4OM→ 465.(2013·江苏,13)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB ,CE= 2 3BC ,若DE→=λ1AB →+λ2AC →(λ1,λ2 为实 数),则λ1+λ2 的值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.2 坐标运算 【解题·小帮手】 ▶设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= (x1+x2,y1++y2),a-b=(x1-x2,y1- y2),λa=(λx1,λy1),|a|= x21+y21,和a 同向的单位向量为 a |a|= a x21+y21 . ▶设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB →=(x2-x1, y2-y1),|AB →|= (x2-x1)2+(y2-y1)2. ▶设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b,则 x1y2-x2y1=0. ▶设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a⊥b,则 x1x2+y1y2=0. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 466.(2024·新高考全国一,3)已知向量a= (0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 467.(2023·新高考全国一,3)已知向量a= (1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+ μb),则 ( ) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 468.(2015·新课标全国一,2)已知A(0,1), B(3,2),向量 AC→=(-4,-3),则向量 BC→= ( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 469.(2015·江苏,6)已知向量a=(2,1),b= (1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R), 则m-n的值为 . 470.(2014·福建,8)在下列向量组中,可以把 向量a=(3,2)表示出来的是 ( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 67 高考一线 真题研究 数学 7.3 数量积 【解题·小帮手】 ▶数量积:若a=x1,y1 ,b=x2,y2 ,a 与b 的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos<a,b>= x1x2+y1y2. ▶运算律:(1)交换律:a·b=b·a;(2)结合 律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)分配 律:a+b ·c=a·c+b·c. ▶模:(1)若a=(x1,y1),则|a|= a·a= x12+y12;(2)|a±b|= a±b 2 = a2±2a·b+b2. ▶夹角:cos θ=a ·b |a||b|= x1x2+y1y2 x12+y12 x22+y22 . ▶极化恒等式:(1)a·b= (a+b)2 4 - (a-b)2 4 = |a+b|2 4 - |a-b|2 4 . (2)三角形模型:如图(1)所示,在ΔABC 中, D 为BC 的中点,则 AB→·AC→=|AD→|2- |BD→|2=|AD→|2-|CD→|2=|AD→|2 - 1 4|BC →|2. (3)平行四边形模型:如图(2)所示,在平行 四边形ABCD 中,AB→·AD→=14 (|AC→|2- |BD→|2). C A B D 图(1) BA D C O 图(2) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 471.(2024·新高考全国二,3)已知向量a,b满 足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则 |b|= ( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D.1 472.(2024·天津,14)在边长为1的正方形 ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点, CE=12DE ,BE→=λBA→+μBC →,则λ+μ= ;若F 为线段BE 上的动点,G 为 AF 中点,则 AF→·DG→ 的最小值为 . C A E B D 473.(2023·新课标全国甲理,4)向量|a|= |b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos<a- c,b-c>= ( ) A.- 1 5 B.- 2 5 C. 2 5 D. 4 5 474.(2023·全国课标全国乙文,6)正方形 ABCD 的边长是2,E 是AB 的中点,则 EC→·ED→= ( ) A.5 B.3 C.25 D.5 475.(2023·北京,3)已知向量a,b满足a+b= (2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2= ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 476.(2023·新高考全国二,13)已知向量a,b 满足|a-b|= 3,|a+b|=|2a-b|,则 |b|= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 68 第七章 平面向量及其应用 477.(2023·天津,14)在△ABC 中,∠A= 60°,BC=1,点D 为AB 的中点,点E 为 CD 的中点,若设AB→=a,AC→=b,则AE→ 可用a,b 表 示 为 ;若 BF→= 1 3BC →,则AE→·AF→的最大值为 . 478.(2022·新课标全国乙理,3)已知向量a, b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3,则 a·b= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 479.(2022·新课标全国甲理,13)设向量a,b 的夹角的余弦值为1 3 ,且|a|=1,|b|=3, 则(2a+b)·b= . 480.(2022·新课标全国乙文,3)已知向量a= (2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 481.(2022·新高考全国二,4)已知向量a= (3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b, c>,则t= ( ) A.-6 B.-5 C.5 D.6 482.(2022·北京,10)在△ABC 中,AC=3, BC=4,∠C=90°,P 为△ABC 所在平面 内的动点,且PC=1,则PA→·PB→ 的取值 范围是 ( ) A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 483.(2022·浙江,17) 设点P 在单位圆的内 接正八边形A1A2…A8 的边A1A2 上,则 PA1 →2+PA2 →2+…PA8 →2 的 取 值 范 围 是 . 484.(2022·上海,10)在△ABC 中,A=90°, AB=AC=2,点 M 为边AB 的中点,点P 在边 BC 上,则 MP→·CP→ 的 最 小 值 为 . 485.(2022·新课标全国甲文,13)已知向量 a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m= . 486.(多选题)(2021·新高考全国一,10)已知 O 为 坐 标 原 点,点 P1(cos α,sin α), P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+ β)),A(1,0),则 ( ) A.|OP1 →|=|OP2 →| B.|AP1 →|=|AP2 →| C.OA→·OP3 →=OP1 →·OP2 → D.OA→·OP1 →=OP2 →·OP3 → 487.(2021·新高考全国一,15)已知向量a+ b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+ b·c+c·a= . 488.(2021·新课标全国甲理,14)已知向量a =(3,1),b=(1,0),c=a+kb,若a⊥c,则 k= . 489.(2021·新课标全国乙理,14)已知向量 a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则 λ= . 490.(2021·新课标全国乙文,13)已知向量 a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= . 491.(2021·新课标全国甲文,13)若向量a,b 满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b| = . a b c 492.(2021·北京,13)已知 向量a,b,c在正方形网 格中的位置如图所示,若 网格纸上小正方形的边 长为1,则(a+b)·c= ,a·b= . 493.(2020·山东,7)已知P 是边长为2的正 六边形ABCDEF 内的一点,则AP→·AB→ 的取值范围是 ( ) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 69 高考一线 真题研究 数学 494.(2020·新课标全国一,14)设a,b 为单位 向量,且|a+b|=1,则|a-b|= . 495.(2020·新课标全国二,13)已知单位向量 a,b的夹角为45°,ka-b与a 垂直,则k= . 496.(2020·新课标全国三,6)已知向量a,b 满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a, a+b>= ( ) A.- 31 35 B.- 19 35 C. 17 35 D. 19 35 497.(2020·北京,14)已知正方形ABCD 的 边长为2,点P 满足AP→=12 (AB→+AC→), 则|PD→|= ;PB→ ·PD→ = . 498.(2019·新课标全国一,7)已知非零向量 a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与 b的夹角为 ( ) A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 499.(2019·新课标全国三,13)已知a,b 为单 位向量,且a·b=0,若c=2a- 5b,则 cos<a,c>= . 500.(2019·浙江,9)设点A,B,C 不共线,则 “AB→与AC→ 的夹角为锐角”是“|AB→+AC→|> |BC→|”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 501.(2018·新北京,6)设a,b 均为单位向量, 则“|a-3b|=|3a+b|是“a⊥b”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 502.(2017·新课标全国二,12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA→·(PB→+PC→)的最小值是 ( ) A.-2 B.- 3 2 C.- 4 3 D.-1 503.(2017·山东,12)已知e1,e2 是互相垂直 的单位向量,若 3e-e2 与e1+λe2 的夹角 为60°,则实数λ的值是 . 504.(2017·新课标全国一,13)已知向量a,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b| = . F E A CDB 505.(2016·江苏,13)如图 所示,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是AD 上 的 两 个 三 等 分 点, BA→·CA→ =4,BF→ · CF→=-1,则BE→·CE→的值是 . 506.(2016·山东,8)已知非零向量m,n 满足 4|m|=3|n|,cos<m,n>=13. 若n⊥(tm+ n),则实数t的值为 ( ) A.4 B.-4 C. 9 4 D.- 9 4 507.(2016·新课标全国一,13)已知a=(m, 1),b=(1,2),|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m= . 508.(2015·陕西,7)对任意向量a,b,下列关 系式中不恒成立的是 ( ) A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 70 第七章 平面向量及其应用 509.(2015·四川,7)设四边形ABCD 为平行 四边形,|AB→|=6,|AD→|=4,若点 M,N 满足BM→=3MC→,DN→=2NC→,则 AM→· NM→= ( ) A.20 B.15 C.9 D.6 510.(2015·重庆,6)若非零向量a,b 满足 |a|=223|b| ,且(a-b)⊥(3a+2b),则a 与b的夹角为 ( ) A. π 4 B. π 2 C. 3π 4 D.π 511.(2014·新课标全国二,3) 设向量a,b 满 足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则a·b= ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.4 平面向量的应用 【解题·小帮手】 ▶平面几何问题 (1)|b+ta|表示的是将向量平移至共起点, 向量b的终点与ta 所在直线的距离,因为t 不确定,那么可以理解成向量a 上动点与向 量b 的终点距离,所以|b+ta|min 即为过向 量b 的 终 点 作 向 量a 所 在 直 线 的 垂 线 段 长度. 因为t∈R,若t<0,则如图1理解|b+ta|min, 若t>0,则可按图2理解. ta b 图1 bta ta b 图2 O ac bcb a c 图3 (2)若a,b,c满足(a-c)· (b-c)=0,平移a,b,c 共 起点如图3所示,c 的终点 轨迹是以a,b 的终点为直 径端点的圆O. (3)在△ABC 中,若AD→=AB→+AC→,则点D 在BC 中线上;若 AD→=t AB→ |AB→| + AC→ |AC→| (t∈R),则点 D 在∠BAC 的角平分线上; 若AD→·BC→=0,则 D 在BC 的高线上;若 OA→=OB→,则O 在AB 的中垂线上. ▶三角函数问题 把向量的平行(共线)或垂直问题,借助向量 的坐标运算转化为三角函数问题求解. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 512.(2018·浙江,9)已知a,b,e是平面向量, e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 π 3 ,向 量b 满 足b2-4e·b+3=0,则 |a-b|的最小值是 ( ) A.3-1 B.3+1 C.2 D.2- 3 513.(2014·浙江,9)设θ为两个非零向量a,b 的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小 值为1,则 ( ) A.若θ确定,则|a|唯一确定 B.若θ确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则θ唯一确定 D.若|b|确定,则θ唯一确定 514.(2011·大纲,12)设向量a,b,c 满足 |a|=|b|=1,a·b=-12 ,<a-c,b-c>= 60°,则|c|的最大值等于 ( ) A.2 B.3 C.2 D.1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 高考一线 真题研究 数学 515.(2009·全国一,6)设a,b,c是单位向量, 且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值 为 ( ) A.-2 B.2-2 C.-1 D.1- 2 516.(2009· 海 南,9)已 知 点 O,N,P 在 △ABC 所在平面内,且|OA→|=|OB→|= |OC→|,NA→+NB→+NC→=0,PA→·PB→= PB→·PC→=PC→·PA→,则点O,N,P 依次 为△ABC 的 ( ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 517.(2008·浙江,9)设a,b 是平面内两个相 互垂直的单位向量,若向量c 满足(a- c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是 ( ) A.1 B.2 C.2 D. 2 2 518.(2017·江苏,16)已知向量a=(cos x, sin x),b=(3,- 3),x∈[0,π]. (1)若a∥b,求x 的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最 小值以及对应的x 的值. 519.(2015·山东,16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m= 2 2 ,- 2 2 ,n=(sin x, cos x),x∈0, π 2 . (1)若m⊥n,求tan x 的值; (2)若m 与n 的夹角为π3 ,求x 的值. 520.(2013·江苏,15)已知a=(cos α,sin α), b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值. 521.(2013·辽宁,17)设向量a=(3sin x, sin x),b=(cos x,sin x),x∈ 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . (1)若|a|=|b|,求x 的值; (2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最 大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72 高考一线 真题研究 数学 ∵cos∠BAD=- 714 , ∴sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 3 21 14 , ∴sin∠BAC=sin∠BAD-∠CAD =sin∠BAD·cos∠CAD-cos∠BAD· sin∠CAD = 3 21 14 × 27 7 - - 7 14 × 217 = 3 2. 在△ABC 中,由正弦定理得 BCsin∠BAC= AC sin∠CBA , ∴BC=ACsin∠BACsin∠CBA = 7× 3 2 21 6 =3. 6.8 射影定理 448.A 解 析:∵sin B (1+2cos C)= 2sin Acos C+cos Asin C,∴b(1+2cos C)= 2acos C+ccos A,∴b+2bcos C=acos C+b, ∴2bcos C=acos C,∵C 为锐角,∴cos C>0, ∴2b=a,故选A. 449.2 解析:∵bcos C+ccos B=2b,∴a=2b, ∴ a b=2. 450. π 3 解析:∵2bcos B=acos C+ccos A, ∴2bcos B=b,∴cos B=12. ∵B∈(0,π),∴B=π3. 451.A 解析:∵asin Bcos C+csin Bcos A=12b , ∴sin B(acos C+ccos A)=12b , ∴bsin B=12b ,∴sin B=12 , 又∵a>b,∴B 为锐角,∴B=π6 ,故选A. 452.B 解析:∵bcos C+ccos B=asin A, ∴a=asin A,∴sin A=1,∵A∈ 0,π , ∴A=π2 ,故选B. 453. π 6 解析:∵acos B+bcos A=csin C, ∴c=csin C,∴sin C=1,∵C∈(0,π), ∴C=π2.∵m⊥n ,∴ 3cos A-sin A=0, ∴tan A= 3,∵A 为 锐 角,∴A= π 3 , ∴B=π2- π 3= π 6. 第七章 平面向量及其应用 7.1 线性运算与基本定理 454.B 解析:∵CA→=m,CD→=n,∴AD→= CD→-CA→=n-m,∵BD=2DA,∴AB→= 3AD→=3(n-m),∴CB→=CA→+AB→=m+ 3(n-m)=-2m+3n,故选B. C A BD 455.C 解析:CB→=CA→+AB→=CA→+2AD→= CA→+2(CD→-CA→)=2CD→-CA→,故选C. C A BD 456.A 解析:如图,连结AC,则AC 为△ABC 的中位线,所以EF→=12AC →= 1 2a+ 1 2b ,故选A. D A E B F C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 252 详解答案 457.A 解析:根据选项可得基底是以A 为起 点的,所以对EB→ 调整起点为EB→=AB→- AE→,而AE→=12AD →= 1 4 (AB→+AC→),所以 EB→=AB→-AE→=AB→-14 (AB→+AC→)= 3 4AB →- 1 4AC →,故选A. A E D CB 458.D 解析:根据平行四边形法则可得a+b 和a-b 分别为以a 和b 为邻边的平行四 边形的对角线. 充分性:|a|=|b|即邻边相等,而邻边相等 的平行四边形是菱形,对角线不一定相 等.故充分性不成立; 必要性:|a+b|=|a-b|即对角线相等,而 对角线相等的平行四边形是矩形,其邻边 也不一定相等. 所以|a|=|b|是|a+b|=|a-b|的既不 充分也不必要条件,故选D. 459.A 解析:方法一:根据选项可得基底是以 A 为起点的,所以对BC→=3CD→ 调整起点, 则AC→-AB→=3(AD→-AC→),则 AD→= - 1 3AB →+ 4 3AC →,故选A. A B C D 方法二:由题得 AD→=AB→+BD→=AB→+ 4 3BC →=AB→+43 (AC→-AB→)=-13AB →+ 4 3AC →,故选A. 460. 1 2 解析:由题意知(λa+b)∥(a+2b), 则存在t∈R,使得λa+b=t(a+2b),又因 为a,b不共线,比较a,b的系数可得λ=t, 1=2t,解得λ=t=12. 461. 1 2 ,- 1 6 解析:由题得基底是以A 为起 点的,所以调整起点,得 MN→=AN→-AM→, 而AN→=12 (AB→+AC→),AM→=23AC →,所以 MN→=AN→-AM→=12 (AB→+AC→)-23AC →= 1 2AB →- 1 6AC →,此时x=12 ,y=- 1 6. A B N M C 462.A 解析:如图,BE→=12 (BA→+BC→),CF→= 1 2 (CB→+CA→),那么EB→+FC→=-12 (BA→+ BC→)-12 (CB→+CA→)=-12 (BA→+BC→+CB→+ CA→)=12 (AB→+AC→)=12 ·2AD→=AD→,故 选A. F A E CDB 463.90° 解析:因为AO→=12 (AB→+AC→),由 平行四边形法则得,O 为BC 的中点,所以 BC 为圆O 直径,故AB→与AC→的夹角为90°. 464.D 解析:由题意知 M 是AC 和BD 的中 点,如图所示,则OA→+OC→=2OM→,OB→+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 253 高考一线 真题研究 数学 OD→=2OM→,所以OA→+OB→+OC→+OD→= 4OM→,故选D. D C BA M O 465. 1 2 解析:由题得基底是以A 为起点的, 所以 调 整 起 来,得 DE→=AE→-AD→,而 AE→=AB→+BE→,AD→=12AB →,BE→=13BC →= 1 3 (AC→-AB→),所 以 AE→=AB→+BE→= AB→+13 (AC→-AB→)=23AB →+ 1 3AC →,因此 DE→=AE→-AD→=23AB →+ 1 3AC →- 1 2AB →= 1 6AB →+ 1 3AC →.此时λ1= 1 6 ,λ2= 1 3 ,λ1+ λ2= 1 2. A D B E C 7.2 坐标运算 466.D 解析:因为向量a=(0,1),b=(2,x), 所以b-4a=(2,x-4).又b⊥(b-4a), 所以2×2+x×(x-4)=0,即4+x2- 4x=0,解得x=2,故选D. 467.D 解析:因为a=(1,1),b=(1,-1),所 以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ, 1-μ).又因为(a+λb)⊥(a+μb),所以 (a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+ μ)+(1-λ)(1-μ)=0,化简得λμ=-1, 故选D. 468.A 解析:由题意知AB→=(3-0,2-1)= (3,1),而BC→=AC→-AB→=(-4-3,-3- 1)=(-7,-4),故选A. 469.-3 解析:由题意知ma+nb=(2m+n, m-2n)=(9,-8),即2m+n=9,m- 2n=-8,解得m=2,n=5.所以m-n= -3. 470.B 解析:通过对选项A,C,D判断可知这 三组都满足e1∥e2,且都与a 不平行,故这 三组的e1,e2 无法表示a,故选B. 这里可以深入探究下B,设a=λe1+μe2, 则(3,2)=(-λ+5μ,2λ-2μ),即-λ+ 5μ=3,2λ-2μ=2,解得λ=2,μ=1,即 a=2e1+e2. 7.3 数量积 471.B 解析:因为(b-2a)⊥b,所以(b- 2a)·b=0,即b2=2a·b.又因为|a|=1,| a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2= 4,解得|b|= 22 ,故选B. 472. 4 3 - 5 18 解析:方法一:因 为 CE= 1 2DE ,即 CE→=23BA →,则 BE→=BC→+ CE→=13BA →+BC→,则λ=13 ,μ=1,所以 λ+μ= 4 3 ;由题意可知|BC→|=|BA→|=1, BA→·BC→=0,因为F 为线段BE 上的动 点,设BF→=kBE→=13kBA →+kBC→,k∈[0, 1],则 AF→=AB→+BF→=AB→+kBE→= 1 3k-1 BA→+kBC→.又G 为AF 中点,则 DG→=DA→ +AG→ = -BC→ + 12AF → = 1 2 1 3k-1 BA→+ 12k-1 BC→, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 254 详解答案 所以AF→·DG→= 13k-1 BA→+kBC→􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 · 1 2 1 3k-1 BA→+ 12k-1 BC→􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 = 1 2 1 3k-1 2 +k 12k-1 =59k-65 2 - 3 10. 又因为k∈[0,1],所以当k=1时, AF→·DG→取到最小值-518. 方法二:以B 为坐标原点建立平面直角坐 标系,如图所示,则A(-1,0),B(0,0), C(0,1),D(-1,1),E - 1 3 ,1 , C A G F E x y B D 所以BA→=(-1,0),BC→=(0,1),BE→= - 1 3 ,1 .因为BE→=λBA→+μBC→=(-λ, μ),则 -λ=- 1 3 , μ=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以λ+μ= 4 3 ;因为点 F 在线段BE:y=-3x,x∈ - 1 3 ,0 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上, 设F(a,-3a),a∈ - 1 3 ,0 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,且G 为AF 中 点,则 G a-12 ,- 3 2a ,所 以 AF→ = a+1,-3a ,DG→=a+12 ,- 3 2a-1 ,则 AF→·DG→= (a+1)2 2 + (-3a)- 3 2a-1 = 5a+ 2 5 2 - 3 10 ,且a∈ - 1 3 ,0 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,所以当 a=-13 时,AF→·DG→取到最小值为-518. 473.D 解析:因为a+b+c=0,所以a+b= -c,即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+ 2a·b=2,所以a·b=0.如图,设OA→= a,OB→=b,OC→=c.由题意知, A D B C O bcac c a b OA=OB=1,OC= 2,所以△OAB 是等 腰直角三角形,AB 边上的高OD= 22 , AD= 22 ,所 以 CD =CO+OD = 2+ 2 2 = 32 2 ,则 tan∠ACD =ADCD = 1 3 , cos∠ACD= 3 10 ,所以cos<a-c,b-c>= cos∠ACB=cos 2∠ACD=2cos2∠ACD -1=2× 3 10 2 -1= 4 5 ,故选D. 474.B 解析:(解法一)以{AB→,AD→}为基底向 量,可知|AB→|=|AD→|=2,AB→·AD→=0, 则EC→=EB→+BC→=12AB →+AD→,ED→= EA→+AD→=-12AB →+AD→,所 以 EC→· ED→ = 12AB →+AD→ · -12AB→+AD→ = -1+4=3,故选B. (解法二)如图,以A 为坐标原点建立平面 直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2), 得EC→=(1,2),ED→=(-1,2),所以EC→· ED→=-1+4=3,故选B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 255 高考一线 真题研究 数学 A E D C y B x 475.B 解析:因为a,b 满足a+b=(2,3), a-b=(-2,1),所以|a|2-|b|2=(a+ b)·(a-b)=2×(-2)+3×1=-1,故 选B. 476.3 解析:因为|a+b|=|2a-b|,所以 (a+b)2=(2a-b)2,即a2+2a·b+b2= 4a2-4a·b+b2,整理得a2-2a·b=0, 又因为|a-b|= 3,所以(a-b)2=3,即 a2-2a·b+b2=b2=3,所以|b|= 3. 477. 1 4a+ 1 2b 13 24 解析:因为E 为CD 的中 点,则ED→+EC→=0,得 AE→+ED→=AD→, AE→+EC→=AC→, 两式 相加,得2AE→=AD→+AC→,即2AE→=12a+ b,则AE→=14a+ 1 2b. 因为BF→=13BC →,所 以2FB→+FC→=0,所以 AF→+FC→=AC→, AF→+FB→=AB→, 所 以AF→+FC→+2(AF→+FB→)=AC→+2AB→, 即3AF→=2a+b,即AF→=23a+ 1 3b , 所以AE→·AF→= 14a+ 1 2b · 23a+13b = 1 12 (2a2+5a·b+2b2).记AB=x,AC= y,则AE →·AF→=112 (2a2+5a·b+2b2)= 1 12 (2x2 + 5xycos 60° + 2y2 )= 1 122x 2+ 5xy 2 +2y 2 . 在△ABC 中,由余弦定理得BC2=x2+y2- 2xycos 60°=x2+y2-xy=1, 所 以 AE→ ·AF→ = 112 2xy+ 5xy 2 +2 = 1 12 9xy 2 +2 . F BDA E C 因为x2+y2-xy=1,所以x2+y2-xy= 1≥2xy-xy=xy,所以xy≤1,当且仅当 x=y=1取得等号,则x=y=1时,AE →· AF→有最大值1324. 478.C 解析:∵|a-2b|=3,∴|a-2b|2= a-2b 2=a2-4a·b+4b2=|a|2- 4a·b+4|b|2=9, 又∵|a|=1,|b|= 3,∴1-4a·b+12= 9,∴a·b=1,故选C. 479.11 解析:设a与b的夹角为θ,则由题意 得cosθ=13 ,又 ∵|a|=1,|b|=3, ∴2a+b ·b= 2a·b+b2=2|a||b|· cosθ+|b|2=2×1×3×13+9=11. 480.D 解析:∵a=(2,1),b=(-2,4), ∴a-b=(4,-3),∴|a-b|= 42+(-3)2=5, 故选D. 481.C 解析:∵a=(3,4),b=(1,0),∴c= a+tb=(3+t,4),又∵<a,c>=<b,c>, ∴cos<a,c>=cos<b,c>,∴ a ·c |a||c|= b·c |b||c| ,∴ a·c |a| = b·c |b| ,∴ 9+3t+16 5 = 3+t 1 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 256 详解答案 解得t=5,故选C. 482.D 解析:由题意,建立如图平面直角坐标 系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1, ∴点P 在以C 为圆心,1为半径的圆上运 动.设 P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π],则 PA→=(3-cos θ,-sin θ),PB→=(-cos θ, 4-sin θ),∴PA→·PB→=(-cos θ)×(3- cos θ)+(-sin θ)×(4-sin θ)=cos2θ- 3cos θ+sin2θ-4sin θ=1-(4sin θ+3cos θ)= 1-5sin(θ+φ),其中sin φ= 3 5 ,cos φ= 4 5.∵-1≤sin (θ+φ)≤1,∴-4≤1- 5sin(θ+φ)≤6,∴PA →·PB→∈[-4,6],故 选D. 























     

 P B y A xC 483.[12+2 2,16] 解析:以圆心为原点, A7A3 所在直线为x 轴,A5A1 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,如图所示. A A A A A A A A O P x y 则 A1 (0,1),A2 2 2 ,2 2 ,A3 (1,0), A4 2 2 ,- 2 2 ,A5 0,-1 ,A6 -22,-22 , A7(-1,0),A8 - 2 2 ,2 2 .设P(x,y),则 PA1 →2+PA2 →2+…PA8 →2=8(x2+y2)+ 8.∵cos 22.5°≤|OP|≤1,∴cos222.5°≤ |OP|2≤1,∴1+cos 45° 2 ≤x 2+y2≤1, ∴ 2+ 2 4 ≤x 2+y2≤1,∴12+2 2≤ 8(x2+y2)+8≤16,∴PA1 →2+PA2 →2+… PA8 →2 的取值范围是[12+22,16]. 484.- 9 8 解析:方法一(基底法):因为AB⊥ AC,且AB=AC=2,所以以向量AB→,AC→ 为基底表示MP→,CP→ 展开计算.设BP→= λBC→(0≤λ≤1),即 AP→=(1-λ)AB→+ λAC→,AM→=12AB →,所以MP→·CP→=(AP→- AM→)·(AP→-AC→)= (1-λ)AB→+λAC→- 1 2AB → ·[(1-λ)AB→+λAC→-AC→]= 1 2-λ AB→+λAC→􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ·[(1-λ)AB→+(λ- 1)AC→]= 12-λ (1 - λ)AB→2 + λ(λ-1)AC→2=8λ2-10λ+2.当λ=58 时, (MP→·CP→)min=- 9 8. 方法二(建系法):因为AB⊥AC,且AB= AC=2,以 A 为坐标原点,AB,AC 为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系展开计算,如 图所示. y A B P C M 所以A(0,0),B(2,0),C(0,2),M(1,0), 易得BC:x+y-2=0,设P(x,2-x)(0≤ x≤2),则 MP→=(x-1,2-x),CP→=(x, -x),所以MP→·CP→=x(x-1)-x(2- 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 257 高考一线 真题研究 数学 x)=2x2 -3x,当 x = 34 时,(MP→ · CP→)min=- 9 8. 方法三(极化恒等式):设MC 中点为N,那 么MP→·CP→=PM→·PC→=(PN→+NM→)· (PN→+NC→)=(PN→-NC→)·(PN→+ NC→)= PN→2 - NC→2,而 |NC→ |2 = |MC→| 2 2 = 5 4 ,那么(MP→·CP→)min,即求 PN→2 最小,即求(dN-BC)min. 由方法二可得N 12 ,1 ,BC:x+y-2=0, 那么 PN→min=(dN-BC)min= 1 2+1-2 2 = 2 4 , 所以(MP→·CP→)min= 2 4 2 - 5 4=- 9 8. 485.- 3 4 解析:由题意得a·b=m×1+3× (m+1)=4m+3=0,解得m=-34. 486.AC 解析:∵OP1 →= (cos α,sin α), OP→2= (cos β,-sin β),∴|OP1 →|= |OP2 →|=1,A 正确;∵AP1 →=(cos α-1, sin α),AP2 →=(cos β-1,-sin β), ∴ | AP1 → | = (cos α-1)2+sin2α = cos2α-2cos α+1+sin2α= 2(1-cos α)= 4sin2 α 2=2|sin α 2| , |AP2 →|= (cos β-1)2+sin2β = cos2β-2cos β+1+sin2β = 2(1-cos β)= 4sin2 β 2 =2|sin β 2| , ∴|sin α 2| 与|sinβ2| 不一定相等,所以B错 误;∵OA→·OP3 →=1×cos(α+β)+0× sin(α+β)= cos(α+β),OP1 → · OP2 → = cos αcos β+sin αsin(-β)=cos(α+β), ∴OA→·OP3 →=OP1 →·OP2 →,C正确;∵OA→· OP1 →=1×cos α+0×sin α=cos α,OP2 →· OP3 →=cos βcos(α+β)+(-sin β)×sin(α+ β)=cos(β+(α+β))=cos(α+2β),∴cos(α+ β)与cos(α+2β)不一定相等,∴D错误,故 选AC. 487.- 9 2 解析:∵a+b+c=0,∴(a+b+ c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c· a)=0,∴9+2a·b+b·c+c·a =0, ∴a·b+b·c+c·a=-92. 488.- 10 3 解析:∵a=(3,1),b=(1,0), ∴c=a+kb=(3+k,1), ∵a⊥c,∴a·c=0,∴3(3+k)+1×1=0, 解得k=-103. 489. 3 5 解析:∵a=(1,3),b=(3,4),∴a- λb=(1-3λ,3-4λ),又∵(a-λb)⊥b, ∴(a-λb)·b=0,∴3(1-3λ)+4(3- 4λ)=0,解得λ=35. 490. 8 5 解析:由题意得2×4=5×λ,解得 λ=85. 491.32 解析:∵|a-b|=5,∴(a-b)2= 25,∴a2-2a·b+b2=25,∴b2=18, ∴|b|=32. 492.0 3 解析:以a,b 交点为坐标原点,建 立直角坐标系如图所示. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 258 详解答案 O y xb a c 则a=2,1 ,b=(2,-1),c=(0,1), ∴a+b=(4,0),(a+b)·c=0, ∴a·b=2×2+1×(-1)=3. 493.A 解析:如下图,|AB→|=2,根据正六边 形的几何结构得|AF→|=2,∠FAB=120°, |AC→|=2 3,∠CAB=30°,可得 AP→ 在 AB→方向上的投影|AP→|cos<AP→,AB→>的范 围是(|AF→|cos 120°,|AC→|cos 30°),即(-1, 3).所以AP→·AB→的取值范围是(-2,6), 故选A. F E D C P P′ B C′F′ A 注意:为什么(-1,3)是开区间呢? 因为题 目明确说明了P 在六边形内,是不含边界 的. 494.3 解析:由|a+b|= (a+b)2 = a2+2a·b+b2= 2+2a·b=1,得a· b= -12 ,那 么|a-b|= (a-b)2 = a2-2a·b+b2=3. 495. 2 2 解析:由题意知a·b=cos 45°= 2 2 , (ka-b)·a=ka2-a·b=k- 22=0 ,即 k= 22. 496.D 解析:由题意知a·(a+b)=a2+a· b=25-6=19,且|a+b|= (a+b)2= a2+2a·b+b2=7,则cos<a,(a+b)>= a·(a+b) |a||a+b|= 19 5×7= 19 35. 故选D. 497.5,-1 解析:由题意知AP→= 1 2 (AB→+ AC→),则 P 为 BC 中 点,那 么|PD→|= 22+1= 5. C A B P D 方法一:基底法.利用 AB→ 和AD→ 表示出 PB→ 和 PD→,PB→= -12AD →,PD→=PC→+ CD→ = 12AD → -AB→,则 PB→ ·PD→ = - 1 2AD →· 1 2AD →-AB→ = -14|AD→|2 = -1. 方法二:投影法.正方形中垂直多,可以考虑 使用投影. 通过观察可得PD→ 在PB→ 方向上的投影是 -|PB→|,那么PB→·PD→=-|PB→|2=-1. 方法三:极化恒等式法.因为BD 长度为定 值,可以考虑使用极化恒等式. 设BD 中点为O,那么PB→·PD→=|PO→|2- 1 4|BD →|2=1- 1 4× (22)2=-1. 方法四:建系法.以A 为坐标原点,AB 为 x轴,AD 为y 轴,建立如图的坐标系,则 P(2,1),B(2,0),D(0,2),那么PB→=(0,-1), PD→=(-2,1),所以PB→·PD→=-1. A B x y D C P 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 259 高考一线 真题研究 数学 498.B 解析:设|a|=2|b|=2,则|a|=2, |b|=1,由题意知(a-b)·b=a·b- b2=a·b-1=0,即a·b=1,那么cos<a, b>= a ·b |a||b|= 1 2×1= 1 2 ,又<a,b>∈[0, π],所以a与b的夹角为π3 ,故选B. 499. 2 3 解析:由题意知a·c=a·(2a- 5b)=2a2- 5a·b=2,且|c|= (2a- 5b)2 = 4a2-45a·b+5b2 = 3,所以cos<a,c>=a ·c |a||c|= 2 3. 500.C 解析:充分性: 方法一:由题意知AB→ 与AC→ 的夹角锐角, 那么cos<AB→,AC→>=AB →2+AC→2-BC→2 2|AB→||AC→| > 0,即AB→2+AC→2>BC→2,且2AB→·AC→>0, 所以 AB→2+AC→2+2AB→·AC→>BC→2,即 |AB→+AC→|2>|BC→|2,故|AB→+AC→|> |BC→|,所以充分性成立. 方法二:由题意知AB→ 与AC→ 夹角为锐角, 则 AB→·AC→>0,所 以 有 AB→2+AC→2+ 2AB→·AC→>AB→2+AC→2-2AB→·AC→,即 |AB→+AC→|2>|AC→-AB→|2=|BC→|2,所以 充分性成立. 必要性:因为|AB→+AC→|>|BC→|=|AC→- AB→|,所 以 AB→2+AC→2+2AB→·AC→> AB→2+AC→2-2AB→·AC→,即AB→·AC→>0, 所以AB→与AC→夹角为锐角. 综上所述,AB→与AC→ 夹角为锐角是|AB→+ AC→|>|BC→|的充要条件,故选C. 注意:调整不等号右侧向量起点联系左右. 501.C 解析:充分性:若|a-3b|=|3a+b|, 则(a-3b)2=(3a+b)2,化简得a·b=0, 所以a⊥b.故充分性成立; 必要性:若a⊥b,则a·b=0,那么|a-3b|2- |3a+b|2=-12a·b=0,即|a-3b= |3a+b|,所以必要性成立.因此|a-3b|= |3a+b|是a⊥b的充要条件,故选C. 502.B 解析:设BC 中点为M,则|AM→|= 3,PB→+PC→=2PM→,那么PA→·(PB→+ PC→)=2PA→·PM→,再设AM 中点为N,所 以PA→·PM→=PN→2-14AM →2≥- 1 4AM →2= - 3 4 ,故[PA→·(PB→+PC→)]min=(2PA →· PM→)min=- 3 2 ,故选B. 503. 3 3 解析:由 题 意 知e1·e2=0,而 (3e1-e2)·(e1+λe2)= 3e21+(3λ- 1)e1·e2-λe22= 3-λ,|3e1-e2|= (3e1-e2)2 = 3e21-23e1·e2+e22 = 2, |e1+λe2| = (e1+λe2)2 = e21+2λe1·e2+λ2e22 = λ2+1, 则 cos<(3e1-e2),(e1+λe2)>=cos 60°= 1 2= 3-λ 2· λ2+1 ,解得λ= 33. 504.2 3 解析:|a+2b|= (a+2b)2 = a2+4a·b+4b2= 8+8cos 60°=23. 505. 7 8 解析:由题意知 BA→·CA→=AB→· AC→=AD→2-14BC →2=4,BF→·CF→=FB→· FC→=FD→2-14BC →2= 1 9AD →2- 1 4BC →2= -1,解得 AD→2=458 ,BC→2=132 ,故 BE→· CE→=EB→·EC→=ED→2-14BC →2= 4 9AD →2- 1 4BC →2= 7 8. 506.B 解析:设4|m|=3|n|=12,则|m|= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 260 详解答案 3,|n|=4,则m·n=12·cos<m,n>=4, 而n·(tm+n)=tm·n+n2=4t+16=0, 则t=-4,故选B. 507.-2 解析:由题意知a+b=(m+1,3),那么 |a+b|2=m2+2m+10,|a|2=m2+1,|b|2= 5,因为|a+b|2=|a|2+|b|2,所以 m2+ 2m+10=m2+1+5,解得m=-2. 508.B 解析:A:因为|cos<a·b>|≤1,|a·b|= ||a||b|·cos<a·b>|≤|a||b|,所以A正 确,但不合题意.B:若向量a,b同向共线,则 |a-b|=||a|-|b||,若向量a,b反向共线, 则|a-b|=||a|+|b||≥||a|-|b||,若向 量a,b 不共线,由三角形法则和三角形边 之间的关系可得|a-b|>||a|-|b||,综上 所述,|a-b|≥||a|-|b||,所以B错误, 但合题意,是正确选项.C:由|a|= a2知 (a+b)2=|a+b|2 正确,但不合题意.D: 根据数量积的运算法则知其正确,但不合 题意,故选B. 509.C 解析:利用AB→ 和AD→ 表示出AM→ 和 NM→,进而计算 AM→·NM→.AM→=AB→+ BM→=AB→+34AD →,NM→=AM→-AN→= AB→+ 3 4AD → -(AD→+DN→)=AB→+34AD→ - AD→+ 2 3AB → =13AB→-14AD→,那么AM→· NM→= AB→+ 3 4AD → · 13AB→-14AD→ = 1 3AB →2- 3 16AD →2= 1 3×6 2- 3 16×4 2=9,故 选C. 510.A 解析:设|a|=223 |b|=2 2 ,则 |a|=2 2,|b|=3,由题意知(a-b)· (3a+2b)=3a2-a·b-2b2=6-a·b= 0,即a·b=6,所以cos<a,b>= a ·b |a||b|= 6 22×3 = 2 2 ,又<a,b>∈[0,π],所以a 与 b的夹角为π4 ,故选A. 511.A 解析:a·b=14 [(a+b)2-(a- b)2]=14 (|a+b|2-|a-b|2)=14 (10- 6)=1,故选A. 7.4 平面向量的应用 512.A 解析:因为e2=1,所以b2-4e·b+ 3=b2-4e·b+3e2=(b-e)·(b-3e)= 0,设a=OA→,e=OC→,3e=OD→,b=OB→,则 B 的终点轨迹为以C,D 为直径端点的圆, |a-b|min 即为|AB →|min,那么即求定点A 和圆上动点B 的最小距离. 设圆心为E,那么OE=2,圆心E 到直线 OA 的距离为OEsinπ3= 3 ,而圆的半径为 CD 2 =1 ,那么|AB→|min= 3-1,即|a-b| 的最小值是 3-1,故选A. 513.B 解析:由题意知|b+ta|min=1,即过向 量b的终点作向量a 的垂线段距离最小值 是1,则|b|sin θ=1,若θ 确定,则|b|= 1 sin θ 唯一确定,故选B. 514.A 解析:由|a|=|b|=1,a·b=-12 得 <a·b>=120°,设a=OA→,b=OB→,c=OC→, 则∠AOB=120°,∠ACB=60°,因为四边 形对角互补,则O,A,C,B 四点共圆,那么 |c|max=|OC →|max,即圆上两点的距离最大 值,而最大值就是直径,在△AOB 中,利用 正 弦 定 理 可 得 直 径 为 |OA →| sin 30°=2 ,故 |c|max=2,故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 261 高考一线 真题研究 数学 515.D 解析:设a=OA→,b=OB→,c=OC→,因 为|a|=|b|=|c|=1,所以C 在以O 为圆 心半径为1的圆上,不妨以O 为坐标原点, OA 为x 轴,OB 为y 轴建立坐标系,则 A(1,0),B(0,1),设C(cos θ,sin θ)(θ∈ [0,2π)),那么a-c=OA→-OC→=(1- cos θ,-sin θ),b-c=OB→-OC→=(-cos θ, 1-sin θ),那么(a-c)·(b-c)=(1- cos θ)(-cos θ)+(1-sin θ)(1-sin θ)=1- (sin θ+cos θ)=-2sinθ+ π 4 +1,所以当 θ=π4 时,[(a-c)·(b-c)]min=1- 2,故 选D. 516.C 解析:由|OA→|=|OB→|=|OC→|得O 到 △ABC 三 个 定 点 的 距 离 相 等,则 O 为 △ABC 外接圆圆心,即为外心;设AB 中 点为E,则NA→+NB→+NC→=2NE→+NC→= 0,即 N,E,C 三点共线,则 N 在中线CE 上,所以N 为中线交点,即N 为重心; 由PA→·PB→=PB→·PC→=PC→·PA→ 得 PA→·PB→-PB→·PC→=0,PB→·PC→- PC→·PA→=0,即 PB→·(PA→-PC→)=0, PC→·(PB→-PA→)=0,所以PB→·CA→=0, PC→·AB→=0,所以点P 为高线交点,即P 为垂心,故选C. 517.C 解析:方法一:设a=OA→,b=OB→,c= OC→,由题意知OA→⊥OB→,CA→⊥CB→,则四边 形OACB 对角互补,故O,A,C,B 四点共 圆,那么|c|max=|OC →|max,即直径两侧圆上 两点的距离最大值,而最大值就是直径,易 得 直 径 为 |OA→|2+|OB→|2 = 2,故 |c|max= 2,故选C. 方法二:由题意知(a-c)·(b-c)=0,即 c的终点轨迹为以a,b 的终点为直径端点 的圆,设a=OA→,b=OB→,c=OC→,AB 中点 为D,则|c|=|OC→|≤|OD→|+|AB →| 2 = 2 2+ 2 2= 2 ,故选C. 518.解:(1)因为a∥b,则3sin x+ 3cos x= 23 3 2sin x+ 1 2cos x =23sinx+π6 = 0,且x∈[0,π],则x=5π6. (2)f(x)=a·b=3cos x- 3sin x= -231 2sin x- 3 2cos x =-23sinx-π3 . 当x∈ 0, 5π 6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 时,x-π3∈ - π 3 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,f(x)单 调递减; 当x∈ 5π6 ,π 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 时,x-π3∈ π 2 ,2π 3 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,f(x)单 调递增. 所以f(x)min=f 5π 6 =-23,f(x)max= max{f(0),f(π)}=max{3,-3}=f(0)=3. 519.解:(1)因为m⊥n,则m·n= 22sin x- 2 2cos x=sinx- π 4 =0, 因为x∈0, π 2 ,则x=π4,所以tan x=1. (2)由题意知|m|=|n|=1, 所以cos π 3= 1 2= m·n |m||n|=sinx- π 4 , 因为x∈0, π 2 , 所以x-π4= π 6 ,则x=π4+ π 6= 5π 12. 520.解:(1)由题意知a-b=(cos α-cos β, sin α-sin β),a·b=cos αcos β+sin αsin β, 那么|a-b|= (cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2= 2-2(cos αcos β+sin αsin β)= 2,则 cos αcos β+sin αsin β=0,即a·b=0.所 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 262 详解答案 以a⊥b. (2)由题意知a+b=(cos α+cos β,sin α+ sin β),又a+b=c=(0,1),则cos α+ cos β=0,sin α+sin β=1,因为0<β<α< π,且由cos α+cos β=0得α+β=π,则 sin α+sin β=sin α+sin(π-α)=2sin α= 1,则α=π6 或5π 6 ,又β<α,则α= 5π 6 ,β= π 6. 521.解:(1)由题意知|a|=|b|,则|a|2= |b|2,即3sin2x+sin2x=cos2x+sin2x,化 简得tan2x=13 ,因为x∈ 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , 所以tan x= 33 ,故x=π6. (2)由题意知f(x)=a·b=3sin xcos x+ sin2x= 32sin 2x+1-cos 2x 2 = 3 2sin 2x- 1 2cos 2x+12=sin2x- π 6 +12,则当x∈ 0, π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 时,2x-π6∈ - π 6 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,f(x)单调递 增;当x∈ π3 ,π 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 时,2x-π6∈ π 2 ,5π 6 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , f(x)单调递减. 所以,f(x)max=f π 3 =32. 第八章 复 数 8.1 复数的有关概念及运算 522.C 解析:因为 z z-1=1+i ,所以 z z-1- 1=1+i-1,即 1 z-1=i ,则z=1i+1=1- i,故选C. 523.C 解 析:由 z= -1-i,得|z|= (-1)2+(-1)2= 2,故选C. 524.A 解析:由z=5+i,得z=5-i,z+z= 10,i(z+z)=10i,故选A. 525.C 解析:因为 z i=i-1 ,所以z=i(i- 1)=i2-i=-1-i,故选C. 526.7- 5i 解析:(5+i)·(5-2i)=5+ 5i-25i+2=7- 5i. 527.A 解析:因 为z= 1-i2+2i= 1-i 2(1+i)= (1-i)2 2(1+i)(1-i)= -2i 4 =- 1 2i ,所以z=12i , z-z=-i,故选A. 528.C 解析:因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+ i+a=2a+(1-a2)i=2,所以 2a=2, 1-a2=0, 解得 a=1,故选C. 529.C 解析: 5(1+i3) (2+i)(2-i)= 5(1-i) 5 =1-i , 故选C. 530.B 解 析:由 题 意 得 z= 2+i 1+i2+i5 = 2+i 1-1+i= i(2+i) i2 = 2i-1 -1 =1-2i ,则z= 1+2i,故选B. 531.C 解析:由题意可2+i2+2i3=2-1- 2i=1-2i,则|2+i2+2i3|=|1-2i|= 12+(-2)2= 5,故选C. 532.A 解析:(1+2i)a+b=(a+b)+2ai= 2i,根据复数相等的含义,“实部”=“实部”, “虚部”=“虚部”,则有 a+b=0, 2a=2, 即a=1 , b=-1. 故选A. 533.B 解析:∵i·z=3-4i,∴|i·z|= |3-4i|,∴|i||z|=5,|z|=5,故选B. 534.C 解析:原式=(2-i)(2+i+i)=(2- i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=4+2i+2= 6+2i,故选C. 535.C 解析:设z=a+bi,z=a-bi,2[(a+ bi)+(a-bi)]+3[(a+bi)-(a-bi)]= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 263