2024-2025学年苏科版八年级上册全等和轴对称专题复习 讲义

全等与轴对称综合复习 部分一、图形变换与三角形全等 一、图形的平移与三角形全等 1、如图甲，已知AB=AC，M是BC的中点，点D是线段AM上的动点。 （1）求证：BD=CD； （2）如图乙，若点D在线段MA的延长线上，BD与CD还相等吗？为什么？ （3）如图丙，若M不是BC的中点，且BM=CM，则（1）中的结论还成立吗？为什么？ ( C B A M D ) ( A D C M B ) ( B M A D C ) 解答 证明：（1）∵AB=AC，M是BC的中点， ∴AM⊥BC，∴AM是BC的垂直平分线， ∴BD=CD； （2）BD=CD， ∵AB=AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC， ∴AM是BC的垂直平分线，∴BD=CD； （3）∵AB=AC，BM=CM， ∴AM是BC的垂直平分线，∴BD=CD； 2、如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB=CD。 （1）如图①，若EF与BD相交于点G，试证明EG=FG； ( A D C F B E G ) ( E D C G B F A )（2）如图②，若△DEC沿AC方向平移到图中所示的位置，其余条件不变，则（1）中的结论是否还成立？为什么？ (1)设BD与EF的交点为G，RT△ABF和RT△CDE中，AB=CD，又因为AE=CF，所以有AE+EF=CF+EF，即AF=CE，直角三角形中一条直角边和一条斜边相等，则两个三角形全等。即RT△ABF全等于RT△DEC，则有BF=DE。RT△BFG和RT△DEG中，两对顶角相当，两直角相当，BF=DE，所以△BFG全等于△DEG，则有EG=FG，G为EF的中点，所以BD平分EF （2）仍然成立 由于△DEC的边沿AC方向移动不改变△DEC和△ABF的形状，所以仍有RT△ABF全等于RT△DEC，即DE=BF，RT△DEG和RT△BFG中，直角相等，两对顶角相等，DE=BF，所以△BFG全等于△DEG，则有EG=FG，G为EF的中点，所以BD平分EF 二、图形的翻折与三角形全等 3、如图，在△ABC中，∠C＝90，将ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转度（<∠BAC），得到RtA△DE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于G、H。 （1）求证：∠AFC=∠AGD； （2）求证：△AFB≌△AGE。 （1） ( A C B D H F E G )∠CAF=∠DAG． 理由：∵Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE， ∴∠BAC=∠EAD， ∵∠BAC=∠CAF+∠BAE，∠EAD=∠DAG+∠BAE， ∴∠CAF=∠DAG； （2）证明：∵将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE， ∴AC=AD，∠C=∠D=90°， 在△ACF和△ADG中， ∠C＝∠D AC＝AD ∠CAF＝∠DAG ∴△ACF≌△ADG（ASA）． 4、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。 （1）当直线MN绕点C旋转到如图①的位置时，求证：DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图②的位置时，求证：DE=AD—BE； ( 图 ① N B M E D C A ) ( 图 ② B E N M A D C ) ( A E C B D N M 图 ③ )（3）当直线MN绕点C旋转到如图③的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不用证明。 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB、AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CE，连接EF。 （1）求证：△BCD≌△FCE； （2）若EF//CD，求∠BDC的度数。 ( A D C E F B )（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE， ∴CD=CE，∠DCE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE， 在△BCD和△FCE中， CB＝CF ∠BCD＝∠FCE CD＝CE ， ∴△BCD≌△FCE（SAS）． （2）由（1）可知△BCD≌△FCE， ∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE， ∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°， ∵EF∥CD， ∴∠E=180°-∠DCE=90°， ∴∠BDC=90°． 6、由正多边形的定义知等边三角形的三条边都相等，每个内角都等于60°。如图①，△ABC、△CDE都等边三角形。 （1）试确定AE、BD之间的大小关系； （2）若把△CDE绕C点按逆时针旋转到图②的位置时，上述结论仍成立吗？请说明理由。 ( C B D E A ) ( B D C A E ) 7、在同一平面内，把两个大小不同的等腰直角三角板将直角顶点又叠合放置。 （1）图①是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD，连接EC并延长与BD交于点F。请指出线段BD和EC的位置关系，并说明理由； ( 图 ② C D B A E ) ( F D B A E C 图 ① )（2）图②是将大三角板旋转的一种位置及由它抽象出的几何图形，其中B、C、D在同一条直线上，连接EC。则（1）中的结论还成立吗？若成立请给予证明，若不成立请说明理由。 （1）△ABD≌△ACE．（1分） ∵△ABC是直角三角形， ∴AB=AC，∠BAC=90°．（1分） 同理 AD=AE，∠EAD=90°．（1分） ∴∠BAC=∠EAD． ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD． 即∠BAD=∠CAE．（1分） 在△ABD和△ACE中， AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE ∴△ABD≌△ACE． （2）在△ABD和△ACE中， AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE ∴△ABD≌△ACE． 部分二、等腰三角形中辅助线的运用 一、利用“三线合一”作辅助线 （一）有底边中点时作底边上的中线 ( B E C A F D )1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A作EF//BC，且AE＝AF，求证：DE＝DF。 证明：如图，连接AD． ∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵EF∥BC， ∴AD⊥EF， 又AE=AF， ∴AD垂直平分EF， ∴DE=DF． 2、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE＝CF。求证：△DEF是等腰直角三角形。 ( B E A D F C ) 证明：连接AD，如图所示： ∵D是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC， ∴AD=0.5BC=CD=BD，∠C=∠DAE=45°，∠ADC=90°， 在△ADE和△CDF中， AD=CD   ∠DAE=∠C   AE=CF   ∴△ADE≌△CDF（SAS） ∴DE=DF，∠CDF=∠ADE， ∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°， ∴∠ADF+∠ADE=90°， 即∠EDF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形． （二）没有底边中点时作底边上的高 3、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC＝2∠DBC。 ( C D B A ) ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠BAC=180°-2∠C=2×（90°-∠C） ∵BD⊥AC ∴△BCD是直角三角形 ∴∠DBC=90°-∠C ∴∠BAC=2∠DBC 4、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E在AC上，且AD＝AE，求证：DE⊥BC。 ( C B E A D )理由：利用两个等腰三角形的顶角互补，由计算可得两个等腰三角形的底角互余。 即∠B+∠D=90°，∴DE⊥BC。 证明：延长DE交BC于F， ∵AB=AC，∴∠B=∠C=1/2(180°-∠BAC)=90°-1/2∠BAC，， ∵AD=AE，∴∠D=∠AED=1/2(180°-∠DAE)=90°-1/2∠DAE， ∴∠B+∠D=180°-1/2(∠BAC+∠DAE)=180°-90°=90°， ∴∠DFB=90°， ∴DE⊥BC。 二、构造等腰三角形 （一）利用垂线，构造等腰三角形 5、已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D。 求证：BF＝2CD。 利用等腰三角形三线合一 【解】： 分别延长CD,BA交于点E  在Rt△BDC与Rt△BDE中 ∠CBD=∠EBD,BD=BD 所以,Rt△BDC≌Rt△BDE 则,CD=ED 可得,CE=CD+ED=2CD 因为,∠DCF+∠CFD=90° ,∠ABF+∠AFB=90° ,∠CFD=∠AFB（对顶角） 所以,∠DCF=∠AFB（等角的余角相等） ( A C B D F )在Rt△CAE与Rt△BAF中 ∠ECA=∠FBA ,AC=AB 所以,Rt△CAE≌Rt△BAF 可得,CE=BF 因为,CE=2CD所以,BF=2CD Q.E.D. （二）利用平行线，构造等腰三角形 6、如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D。 （1）如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD； ( B A P Q C D 图 ① ) ( B A P Q C D E 图 ② )（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由。 （三）利用截长补短，构造等腰三角形 7、如图，在△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB＝CD+BC。 ( D B A C ) 解；方法一：在AB上取BE=BC， ∵BD平分∠ABC交AC于D， ∴∠CBD=∠EBD， ∵在△CBD和△EBD中， BE＝BC ∠CBD＝∠EBD BD＝BD ∴△CBD≌△EBD（SAS），∴CD=ED，∠C=∠BED， ∵∠C=2∠A，∴∠BED=2∠A，∵∠BED=∠A+∠ADE，∴∠A=∠ADE， ∴AE=DE，∴AE=CD，∵AB=BE+AE，∴AB=CD+BC； 方法二：延长BC至F，使CF=CD， 则∠F=∠CDF，∵∠ACB=∠F+∠CDF，∴∠ACB=2∠F， ∴∠ACB=2∠A，∴∠A=∠F， 在△ABD和△FBD中， ∠ABD＝∠FBD ∠A＝∠F BD＝BD ∴△ABD≌△FBD（AAS），∴AB=BF，∵BF=BC+CF， ∴BF=BC+CD， ∴AB=BC+CD． 8、如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=CD +AB。 ( C A B D ) 法1：（截长法）在BC上取点E使BE=BA，连DE， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD， 在△ABD和△EBD中， AB＝EB ∠ABD＝∠EBD BD＝BD ，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠BAC=∠BED=108°，AB=EB，∴∠DEC=72゜， ∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=36°，∴∠CDE=72°，∴∠CDE=∠CED=72°，∴CD=CE， 则BC=BE+EC=AB+CD； 法2：（补短法）延长BA至E，使BE=BC，连DE， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD， 在△EBD和△CBD中， EB＝CB ∠ABD＝∠CBD BD＝BD ，∴△EBD≌△CBD（SAS），∴DE=DC，∠E=∠C=36°， ∵∠EAD=72°，∴∠EDA=∠EAD=72°，∴EA=ED，∴CD=DE=AE， 则BC=BE=AB+AE=AB+CD． ( B C A D )9、如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C的度数。 在DC上截取DE=BD，连接AE，如图所示， ∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE=90°， 在△ABD和△AED中， AD＝AD ∠ADB＝∠ADE DB＝DE ，∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴AB=AE， ∴∠B=∠AEB，又AB+BD=CD，DE=BD， ∴AB+DE=CD，而CD=DE+EC，∴AB=EC，∴AE=EC， 故设∠EAC=∠C=x， ∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x， ∴∠B=2x，∠BAE=180°-2x-2x=180°-4x，∵∠BAC=120°， ∴∠BAE+∠EAC=120°，即180°-4x+x=120°， 解得：x=20°， 则∠C=20°． 部分三、含30°角的直角三角形的性质 1、如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，若BC＝6，则AB等于（　　） A、2 B、3 C、 9 D、12 解答 解：因为∠A：∠B：∠C=1：2：3， 设∠A为x，∠B为2x，∠C为3x， 可得：x+2x+3x=180°，解得：x=30°， 所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∵BC=6，∴AB=2BC=12，故选D 2、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　） A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7 选D 3、如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为1.5米，为了方便下货，常用一块木板搭成一个斜面，要使斜面与水平地面的夹角不大于30°，则这块木板的长度至少为（　　　） ( B C A 第1题 )A、 3米 B、2.5米 C、2.6米 D、0.75米 ( 第3题 ) ( B C A P 第2题 ) 如图：AC为车厢底板离地面的高度 3/2米， AB是要求木板的长度， 因为在直角三角形ABC中，∠B=30°， 所以AB=2AC=2×3/2=3（米）． 故选：A． 4、如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A、3cm B、4cm C、 5cm D、6cm ∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC=15°， ∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°， ∵AD⊥BC， ∴AD=1/2AC=1/2×10=5cm． 故选C． 5、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm ，若∠BAC＝120°，则底边上的中线AD＝　　　。 ( B D A C 第5题 ) ( B C D A 第4题 )解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵AB=AC=12，AD是△ABC底边的中线， ∴AD⊥BC， ∴AD=1/2AB=1/2AB=6， 故答案为6． 6、如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，则CE的长为　　　。 ∵ED垂直平分BC，∴BE=CE，∠EDB=90°， ∵∠B=30°，ED=3，∴BE=2DE=6， ∴CE=6．故答案为：6． 7、如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为　　　　米。 ( D C E A B 第6题 ) ( 30 ° 第7题 )　 ∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，∴AB=2CB， 而BC=4米，∴AB=8米， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米．故答案为：12． 8、 将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝10cm，则阴影部分的面积是　　　　。 ∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=10cm， ∴AC=5cm． 由题意可知BC∥ED， ∴∠AFC=∠ADE=45°， ∴AC=CF=5cm． 故S△ACF= 1 2 ×5×5=12.5（cm2）． 故答案为12.5． 9、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，求证：BD＝AB。 ( C D B A ) ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60度， ∵CD是高，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=30°， ∵BD=2cm，∴BC=4cm，∴AB=8cm． 故答案为8． 巩固提升 1、如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA,PD⊥OB,若PC＝10，则PD等于（　　） ( A B E C D 第2题 )A、10 B、7.5 C、5 D、2.5 ( C D B P O A 第1题 ) ( A C B 20cm 30cm 第4题 ) 过点P作PM⊥OB于M． ∵PC∥OA，∴∠COP=∠CPO=∠POD=15°， ∴∠BCP=30°，∴PM= 1 2 PC=5． ∵PD=PM，∴PD=5． 故填5． 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（　　） A、∠CAD=30° B、AD=BD C、BD=2CD D、CD=ED D 3、已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为（　　） A、45° B、75°或45° C、45°或75°或15 D、60° ①如图1，点A是顶点时，∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD， ∵AD= 1 2 BC， ∴AD=BD=CD， 在Rt△ABD中，∠B=∠BAD= 1 2 （180°-90°）=45°； ②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时， ∵AD= 1 2 BC，AC=BC， ∴AD= 1 2 AC， ∴∠ACD=30°， ∴∠BAC=∠ABC= 1 2 ×30°=15°； ③如图3，点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时， ∵AD= 1 2 BC，AC=BC， ∴AD= 1 2 AC， ∴∠C=30°， ∴∠BAC=∠ABC= 1 2 （180°-30°）=75°； 综上所述，△ABC底角的度数为45°或15°或75°． 故选C． 二、填空题 4、某市在旧城改造中，计划在一块如图所示△ABC的空地上种植草皮以美化环境，已知A＝150°，这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要　　　　　元。 如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D， ∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°， ∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m， ∵AB=20m，∴S△ABC= 1 2 AB×CD= 1 2 ×20×15=150m 2 ， ∵每平方米售价a元， ∴购买这种草皮的价格：150a元． 故选B． 5、如图，等边△ABC中，BD⊥ACD，E⊥BC若EC＝1，则△ABC的周长是　　　　。 ( E B A D C 第5题 )6、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AC，则AE：EC＝　　　　　。 ( B D C E A 第6题 ) ∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠ABC=∠ACB=30° 连接AD ∵DE⊥AC ∴∠AED=∠DEC=90°，∠ADE=30°（等腰三角形三线合一定理） 设AE=x，则AD=2x，AC=2AD=4x ∴EC=3x 即AE：EC=x：3x=1：3． 故填1：3． 三、解答题 7、如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F。 （1）求证：DE＝DF； （2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长。 ( F B A C D E 第7题 ) 8、如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点，过点E作EF⊥AC于点F。 （1）若AD＝2，求AF的长； （2）求当AD取何值时，DE＝EF。 ( C E B F D A ) 9、如图，在△ABC中，AB＝AC，D为三角形内一点，且△DBC为等边三角形。 （1）求证：直线AD垂直平分BC； （2）以AB为一边，在AB的右侧画等边△ABE，连接DE，试判断以DA，DB，DE三条线段是否能构成直角三角形？请说明理由。 ( C B D A E ) （1）因，AB=AC，A在BC垂直平分线上，又因，BCD是等边三角形，DB=DC，D在BC垂直平分线上，所以，AD垂直平分BC。 （2）以DA．DB．DE三条线段能构成直角三角形.设AD的延长线交BC于F，DF垂直平分BC，因，BCD是等边三角形，角BDC=60度，角BDF=1/2角BDC=30度，角ADF=180度-角BDF=150度。 连接CE，因，三角形ABE，BCD都是等边三角形，AB=AE，BD=BC，角ABE=角DBC=60度， 角ABD=角EBC=60度-角DBE，所以，三角形ABD全等于三角形EBC， 所以，CE=AD，角ECB=角角ADF=150度，角BCD=60度， 角DCE=角ECB-角BCD=150度-60度=90度，三角形CDE是直角坐标三角形， 因，DC=DB，CE=AD，所以，以DA．DB．DE三条线段能构成直角三角形。 部分四、最短路径问题 一、利用轴对称确定最短路径问题 1、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则AP+BP的最小值是（　　） A、4 B、5 C、6 D、7 在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5， ∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90° ∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称， AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长， 由勾股定理得：AC= BC2-AB2 =4．故选D． 2、点P是直线上的一点，线段AB//，能使PA+PB取得最小值的点P的位置应满足的条件是（　　） A、点为点到直线的垂线的垂足　　　　 B、点为点到直线的垂线的垂足 ( B F A P E C 第1题 ) ( A B P 第2题 )C、PB=PA D、PB=AB 如图，作点A关于直线l的对称点A′， 连接A′B与直线l的交点即为使PA+PB取得最小值的点P， 由轴对称的性质得，PA=PA′，所以，∠A′=∠PAA′， ∵线段AB∥L，AA′⊥直线L，∴AA′⊥AB，∴∠PA′A+∠PAB=90°，∠A′+∠B=90°， ∴∠PAB=∠PBA，∴PA=PB．故选C． 3、如图，A、B在直线异侧，在直线上取一点P，使PA+PB最小。 ( B A . . ) 解：连接AB交直线于点P，则P即为所求。 4、如图，某牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500米。 （1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？ （2）最短路程是多少？ ( A C D B ) 试题解析：（1）作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长． （2）易得△A′CM≌△BDM，AC=BD， 所以A′C=BD， 则 ，  所以CM=DM，M为CD的中点， 由于A到河岸CD的中点的距离为500米， 所以A′到M的距离为500米， A′B=1000米． 故最短距离是1000米． 二、利用轴对称和平移确定最短路径问题 5、有一位以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄A和B村庄，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两岸之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（　　） ( D a b N M A B ) ( C a b A B M N ) ( B a b A B N M ) ( A a b A B N M ) 巩固提升 1、如图，四边形OABC为正方形，边长为3，点AC分别在轴，轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（1,0），P是OB上的一动点，则“求PD+PA和的最小值”要用到的数学依据是（　C　） A、“两点之间，线段最短”　　 　B、“轴对称的性质” C、“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”　　　D、以上答案都不正确 ( 第1题 C P B O D y A x ) ( 第2题 O 1 O n A O 2 O n+1 Q B P ) 2、如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长（　　） A、不断变化　　B、不断变小　　　C、先变小再变大　　D、先变大再变小 作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O， ∵两点之间线段最短，且PQ为定值， ∴当点O运动到此点时三角形的周长最短， ∴这些三角形的周长变化为先变小再变大． 故选C． 2、 填空题 3、如图，∠AOB＝60°，点P在AOB的角平分线上，OP＝10cm，点E、F是∠AOB两边OA，OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF的距离是　　　　。 4、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是　130　　。 ( F P B A E O ) ( D M C N B A ) 5、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题（用直尺画图）： （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小； （3）在DE上画出点Q，使QA+QC最小。 ( C A B ) ( A ) 6、如图，A、B在直线的同侧，在直线上求一点P，使PB—PA的值最大。 ( B A · · l ) 7、如图，△ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小。 ( P · B A C ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$