2.3 函数的单调性和最值（3知识点+11题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

2. 3 函数的单调性和最值 课程标准 学习目标 1.理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。 2.学会分析问题，认识问题和创造性的解决问题。 3.掌握数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值最小值。 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义 知识点01 单调性的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 【即学即练1】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】利用单调性的定义及充分、必要条件的定义即可. 【详解】显然由推不出函数单调，个别情况推不出整体的单调性，不满足充分性； 反之函数在区间是严格增函数，可知，满足必要性. 即“”是“函数在区间是严格增函数”的必要不充分条件. 故选:B 【即学即练2】（多选）（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数单调性及，得到，进而判断出ABC正确，D错误. 【详解】AB选项，在是减函数，且，故， ，AB正确； CD选项，因为，，所以， ，C正确，D错误. 故选：ABC 知识点02单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 【即学即练3】（多选）（23-24高一下·全国·随堂练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在 上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 【答案】BD 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果． 【详解】对于A，B选项，由函数图象可得，在和上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确； 对于C选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故C错误； 对于D选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故D正确； 故选：BD． 【即学即练4】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 【答案】 【分析】根据图象的变化情况直接求解即可. 【详解】由的图象看，图象在是上升的，在上是下降的， 所以此函数的增区间是. 故答案为： 知识点03 函数的最值 1.概念 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 2.求函数最值的5种常用方法 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不 等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 导数法 先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 【即学即练5】（23-24高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质判断即可. 【详解】二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 【即学即练6】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的最小值与最大值之和为 ． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由于在上单调递减， 故当时，取最大值，当时，取最小值， 故最小值与最大值之和为 故答案为：3 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)当时，求方程的解集； (2)设在的最小值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把当时，解方程即得. （2）通过讨论a的取值，确定函数在区间的最小值为． 【详解】（1）当时，， 由，得，解得或，则或， 所以方程的解集为. （2）当时，， 当时，函数在上单调递减， 则，即； 当时，函数，其图象的对称轴为， 当时，函数在上单调递减， 则，即； 当，即时，函数在上单调递增， 则，即； 当，即时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，即， 综上所述：. 【题型1：函数单调性的概念理解】 例1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的单调区间是 D．不是增函数就是减函数 【答案】D 【分析】根据函数的单调性逐一分析即可. 【详解】在上单调递减，在上单调递增，故错误； 在和上是增函数，故错误； 的单调区间为和，故错误； 时，是增函数， 时，是减函数，故正确. 故选：. 变式1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 变式2．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）“函数在区间上单调递增”是“函数在区间上有最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分与必要条件的性质判断即可. 【详解】“函数在区间上单调递增”，则函数在区间上有最大值； 但“函数在区间上有最大值”不能得出“函数在区间上单调递增”. 故“函数在区间上单调递增”是“函数在区间上有最大值”的充分不必要条件. 故选：A 变式3．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数的定义域为，则“为增函数”是“的最小值为，最大值为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用函数单调性判断得充分性成立，再举反例说明必要性不成立，从而得解. 【详解】当函数在上为增函数时， 则的最小值为，最大值为，故充分性成立； 当的最小值为，最大值为时，如图，    显然该函数满足条件，但在上不单调，故必要性不成立； 所以“为增函数”是“的最小值为，最大值为”的充分不必要条件. 故选：B. 变式4．（23-24高一上·北京西城·期中）已知是定义在上的函数，那么“存在实数，使得对任意总有”是“函数存在最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据最大值的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】只有“存在实数，使得对任意总有”且“存在，使得”，这时的最大值才是，所以充分性不满足， 当的最大值是时，对任意总有恒成立，所以必要性满足， 所以，“存在实数，使得对任意总有”是“函数存在最大值”的必要不充分条件. 故选：. 变式5．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 【答案】BC 【分析】对于A，举例分析判断，对于B，根据减函数的定义分析判断，对于C，根据增函数的定义分析判断，对于D，举例判断. 【详解】解：对A：如，满足，但不是R上的增函数，所以A错误； 对B：若函数在R上为减函数，则对于任意且，则定成立， 则若，函数在R上不是减函数，故B正确； 对C：若定义在R上的函数在区间上时增函数，在上也是增函数， 则满足对于任意且，则定成立，则函数在R上是增函数，故C正确； 对D：设函数是定义在R上的函数，且在区间上是增函数，在区间上也是增函数， 而但，不符合增函数的定义，所以在R上不是增函数，故D错误； 故选：BC． 变式6．（多选）（24-25高一上·广西钦州·开学考试）当时，函数值随的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当时是增函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由一次函数与反比例函数的增减性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，一次函数，，函数值随的增大而减小，故A错误； ，一次函数，，函数值随的增大而增大，故B正确； ，反比例函数，，在二四象限内，函数值随的增大而增大， 将函数图像向左平移1个单位长度可得， 则当，的函数值随的增大而增大，故C正确； ，反比例函数，，在一三象限内，函数值随的增大而减小，故D错误； 故选：BC 变式7．（多选）（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质，整理不等式，利用减函数的性质，可得答案. 【详解】由，则， 因为函数在上是减函数，所以， 则，. 故选：CD. 【方法技巧与总结】 判断函数单调性的基本方法： 1.定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论. 2.复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数. 3.图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性. 【题型2：基本初等函数的单调性与单调区间】 例2．（23-24高一下·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 变式1．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为 【答案】和 【分析】分离常数即可求解. 【详解】， 所以的单调递增区间为和 故答案为：和 变式2．（22-23高三上·江西九江·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【详解】的对称轴为， 因为，所以的图象开口向上， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 变式3．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用分离常数法，得，结合的范围可得答案. 【详解】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 变式4．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的增区间为 ． 【答案】 【分析】根据给定的函数，利用函数单调性定义分析求解即得. 【详解】若的单调递增区间为， 任取，， 因为，，可得恒成立， 即，解得或（舍去）， 所以函数的增区间为． 故答案为： 变式5．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，,根据图象写出它的单调区间．． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】根据二次函数的性质作出函数图象，即可根据图象求解单调区间. 【详解】 函数图象如图所示． 由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 变式6．（24-25高一上·全国·课前预习）画出函数的图象，并指出函数的单调区间 【答案】图形见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为. 【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，再根据图象可求出函数的单调区间. 【详解】， 函数的图象如图实线部分所示． 由函数的图象知，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）分别作出下列函数的大致图像，并指出它们的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）分别画出函数的图象，根据图象即可得到函数的单调区间. 【详解】（1）令，解得：或， 令，解得：， ，图象如图所示： 单调减区间：；单调增区间. （2），图象如图所示： 单调减区间：；单调增区间. 【方法技巧与总结】 一次函数 当时，在R上单调递增； 当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【题型3：函数单调性的判断与证明】 例3．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 变式1．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可. （2）利用（1）的结论，利用单调性求出函数值域. 【详解】（1）函数，， 则， 当时，，则，即， 所以函数在区间上单调递减. （2）由（1）知，函数在上单调递减，则， 而，所以函数的值域为. 变式2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由配凑法可得函数解析式； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减. 变式3．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明函数在区间上单调递减． 【答案】证明见解析 【分析】根据单调性的定义，即可作差求证. 【详解】证明:，且， ． 因为， 所以，，，， 所以， 即． 所以函数在上单调递减． 变式4．（2024高一·全国·专题练习）已知定义在上且，，当，时，有试判断函数在上是增函数还是减函数，并证明． 【答案】增函数，证明见解析 【分析】结合已知条件，利用函数单调性定义证明即可. 【详解】任取，且，则，又， 所以， 因为当，时，有， 所以， 又，则，即， 所以在上是增函数. 变式5．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 【答案】(1)在上单调递减；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果； （2）利用单调性求最值，即可得到值域. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递减. （2）在上单调递减，所以 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 故值域为. 变式6．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得到方程组，可求出答案； （2），且，变形判断符号可得结论. 【详解】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 变式7.（24-25高一上·江西上饶·开学考试）（1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）求出函数的值域． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据题意，任取，令，利用作差法单调性的定义分析证明； （2）根据（1）中可知：在区间上单调递增，可证在区间上单调递减，根据单调性分析最值，进而可得值域. 【详解】（1）证明：任取，令， 则 ， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递增； （2）由（1）可知：在区间上单调递增， 任取，令， 则 ， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递减， 因为，且， 可知函数的最大值为，最小值为2， 所以函数的值域为． 【方法技巧与总结】 定义法：使用前提：一般函数类型 解题步骤： 第一步：取值定大小：设任意，且； 第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； 第三步：定符号，得出结论. 注意：同向递增，异向递减 【题型4：复合函数的单调性】 例4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性求解即可． 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域满足，即． 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以函数的单调递增区间为． 故选：D． 变式1．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再确定在上单调递增，结合复合函数单调性，即可求得答案. 【详解】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为， 故选：C 变式2．（23-24高一上·山东淄博·期中）函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得的定义域，然后根据复合函数单调性的知识求得正确答案. 【详解】由得或，即函数的定义域为， 设，则函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 是增函数， 根据复合函数的单调性的性质可知，函数的递增区间是， 故选：B 变式3．（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）关于函数的结论，下列说法正确的有（    ） A．的单调减区间是 B．的单调增区间是 C．的最大值为2 D．没有最小值 【答案】BC 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得的单调区间，进而求得的最值. 【详解】由，得， 解得，所以的定义域是， 函数的开口向下，对称轴为， 根据复合函数单调性同增异减可知， 的单调减区间是，A选项错误. 的增区间是，B选项正确. 所以的最大值是，C选项正确. 的最小值是，D选项错误. 故选：BC 变式4．（2024高一·全国·专题练习）函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【答案】 【分析】先确定的定义域，然后利用的单调性和的单调性即可确定的单调性. 【详解】函数的定义域为，故函数的定义域为，即的定义域为. 由于在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故单调递增区间是. 故答案为：. 变式5．（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）设函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的单调递增区间是；单调递减区间是 (3)； 【分析】（1）根据定义域的定义和一元二次不等式的解法求解即可 （2）根据复合函数的单调性求解即可 （3）根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 （2）由（1）知的定义域， 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 （3）由（2）知在单调递增，在单调递减， 在区间的最大值为，又 所以在区间的最小值为， 故在区间的最大值为，最小值为， 变式6.（23-24高一下·全国·随堂练习）求函数的单调递减区间． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间． 【详解】由题意可知，解得或． 易知函数由，复合而成， 且在单调递减，在单调递减，在上单调递增； 利用复合函数单调性可得的单调递减区间为. 【方法技巧与总结】 确定复合函数单调性的步骤: （1）求出复合函数的定义域； （2）分解复合函数为几个基本初等函数； （3）判断每一个分解函数的单调性； （4）根据复合函数单调性的确定方法确定函数的单调性. 【题型5：抽象函数的单调性】 例5．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】利用函数单调性的定义即可判断. 【详解】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 变式1．（20-21高一上·河北承德·阶段练习）定义域在R的单调增函数满足恒等式（x，），且．则= 【答案】2 【分析】利用赋值法即可求得结果. 【详解】令可得， 令，∴ ∴ ∴; 故答案为：2. 变式2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 变式3．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，当时，． (1)求的值； (2)证明：函数在上为单调减函数； (3)解不等式． 【答案】(1)-1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，代入题意中的等式即可求解； （2）由题意可得，令，利用定义法即可证明函数的单调性； （3）将原不等式转化为，由（1）得，结合（2）建立不等式组，解之即可求解. 【详解】（1）由题意知，令， 则，得； （2）当时，有，且当时， ，且，则，. 由，得， 有， 即，所以函数在上为单调减函数； （3）由，得， 由，得， 即，由（1）知， 所以， 由（2）知函数在上为单调减函数， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 变式4．（20-21高一·全国·单元测试）已知函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，．求证：在上是单调减函数． 【答案】证明见解析. 【分析】由得，，再令，，可证恒成立，再根据单调性证法设，将变形成即可求证. 【详解】对于任意实数，，恒有，且当时，． 令，，则，且由时，， ；设，，，，，， ．即当时，有． 即恒成立， 设，则， ， ， ，即，在上单调递减． 【点睛】本题考查由函数所给性质证明抽象函数单调性，解题关键在于合理赋值与恰当的拼凑，属于中档题 变式5．（19-20高一上·江西南昌·阶段练习）已知定义在上的函数满足：当时，且对任意都有 （1）求的值，并证明是上的单调增函数. （2）若解关于的不等式 【答案】（1），证明详见解析（2） 【分析】（1）令，代入即可解出的值．利用函数单调性的定义证明利用等式化简判断正负即可． （2）依次计算出将等价变形为 ，即，再利用单调性等价变形为，解出即可． 【详解】（1）令 任取则 则可得证：是上的单调增函数. （2） 或， 【点睛】本题考查隐函数的单调性，利用单调性解不等式，属于中档题． 变式6．（18-19高一上·北京·阶段练习）函数满足如下四个条件： ①定义域为； ②； ③当时，； ④对任意满足. 根据上述条件，求解下列问题： ⑴求及的值. ⑵应用函数单调性的定义判断并证明的单调性. ⑶求不等式的解集. 【答案】(1)0;   (2)见解析;  (3) 【分析】(1) 在中,令可得:; 在中,令,可得. (2) 为 上的增函数.设,利用,, 可得 ,结合时,,利用单调性的定义可证. (3)根据,可得,所以原不等式可化为 ,再利用单调性可解得. 【详解】(1)在中, 令,得,解得. 在中,令. 得, 得, 得, 所以. (2) 为 上的增函数. 证明如下:设,则 所以. 因为== , 即. 根据增函数的定义可知, 为 上的增函数. (3)因为, 所以, 又因为,所以, 所以 , 所以 , 由(2)知函数在上单调递增, 所以,解得:. 所以不等式的解集是. 【点睛】本题考查了抽象函数求函数值,抽象函数的单调性的判断和证明,抽象函数不等式的解法,解题关键是对已知恒等式中的合理赋值.,容易漏掉定义域.属中档题 变式7．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上是严格增函数，且． (1)求证：； (2)已知，且，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）依题意求得即可得证. （2）由题意求得，故可将不等式转化成，再根据函数定义域和单调性即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以， 因为函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 【方法技巧与总结】 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数. 判断抽象函数单调性的方法: （1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 【题型6：函数单调性求参数问题】 例6．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故选项中A正确，B、C、D错误. 故选：A. 变式1．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 变式2．（22-23高一上·山东日照·阶段练习）函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得， 故选：B． 变式3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 变式4．（2023高一上·福建宁德·专题练习）已知函数，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据复合函数单调性得出二次函数的单调性应用单调性求参. 【详解】因为在上y随x的增大而增大， 所以在上y随x的增大而减小， 则,且, 因为,所以, 所以只需要, 即. 故答案为：. 变式5．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 因为函数在区间上单调递增， 所以， 解得. 故答案为：. 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将解析式进行分离变形，即可结合反比例函数的单调性求解. 【详解】因为， 所以， 所以在上严格增函数 所以，． 故答案为： 变式7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据的图像性质即可求解. 【详解】形如的图像如图所示： 所以在 即时取得最小值 因为在严格减函数， 所以时符合题意，即． 故答案为： 变式8.（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若函数在上为严格减函数，求实数的取值范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求出二次函数的对称轴，则根据二次函数的性质可得即可求解. （2）结合单调性的定义，转化为恒成立的问题，即可得解. 【详解】（1），开口向上，对称轴为． 由二次函数的性质可得，解得． （2）任取，且， 因为函数在区间上是严格增函数 所以恒成立， ∴，即， 整理得． ∵，∴，∴． ∵，∴，， ∴， ∴，即实数的取值范围是． 【题型7：函数的最值与值域问题】 例7．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的单调性可求出函数的值域. 【详解】因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故选：C 变式1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在定义域A上的值域为，则区间A可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先求出函数的单调区间，然后逐个根据二次函数的性质分析判断即可. 【详解】因为函数的图象是开口向上的抛物线，以直线为对称轴， 所以函数在区间上单调递减，上单调递增. 当时，函数的最小值为，最大值为，得函数的值域为； 当时，函数的最小值为，最大值为，得函数的值域为； 当时，函数的最小值为， 因为， 所以最大值为，所以函数的值域为； 当时，最小值为， 因为， 所以最大值为，得函数的值域为， 根据以上的讨论可得区间A不可能为. 故选：ABC 变式2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）函数在的值域是 . 【答案】 【分析】先分离变形，然后结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增，故，且， 所以函数的值域为； 故答案为： 变式3．（23-24高一下·全国·随堂练习）函数，的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象和性质，可得当时，单调递减，在时取得最小值． 【详解】函数的图象是开口朝下，且以直线为对称轴的抛物线， 当时，单调递减，在时取得最小值， 故答案为： 变式4．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上的最小值是 ． 【答案】0 【分析】根据函数的单调性求出最小值即可. 【详解】是单调递增的， 所以. 故答案为：0. 变式5．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为2，最小值为 【分析】作出图象，数形结合即可求解． 【详解】作出函数的图象如图所示． 由图象可知，当时，取最大值为2； 当时，取最小值为. 所以的最大值为2，最小值为. 变式6．（2024高一·全国·专题练习）已知二次函数．若，试求的最小值． 【答案】 【分析】易知函数的图象开口向下，对称轴为直线，在，，或三种情况下，的最小值都取和中较小的一个． 【详解】， 函数图象开口向下，对称轴为直线， 易知函数的最小值在或处取得． 而，， 当，即时，； 当，即时，． 所以. 变式7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（x＞0）. (1)求证：在上单调递增； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为，无最小值. 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明，设，是区间上的任意两个实数，且，然后化简，判断符号可得结论； （2）先判断在上的单调性，再结合（1）可求得函数的最值. 【详解】（1）证明  设，是区间上的任意两个实数，且，则 . 由， 得，， 所以， 即， 所以在上单调递增. （2）当时，由（1）知 ， 因为，， 所以， 即， 所以在上单调递减. 所以结合（1）可知， ，无最小值. 【方法技巧与总结】 第一步：观察函数中的特殊函数； 第二步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 【题型8：利用单调性解不等式】 例8．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】读懂题意，能把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】函数是定义域为，且对，且，有， 即， 为单调递增函数， ， 整理得到：， 为单调递增函数， 解得：， 故选：C． 变式1．（21-22高二下·陕西西安·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 变式2．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 变式3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可. 【详解】任取， 从而 , 因为，所以， 所以， 则在R上单调递增． 不等式等价于不等式 ， 即． 因为在R上单调递增， 所以，解得． 故选：A. 变式4．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用函数单调性可得答案. 【详解】因为函数在定义域上是减函数， 需满足，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 变式5．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，可求出，再由题意可得出，结合函数的定义域和单调性可得，解不等式即可得出答案. 【详解】令，则，则， 由可得：， 因为是定义在区间上的增函数， 所以，解得：. 则的取值范围为:. 故答案为：. 变式6．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数的单调性，将抽象不等式化成一元二次不等式，结合二次函数的图象即得. 【详解】因是定义在R上的增函数，故由可得 ，即，解得. 故答案为：. 变式7．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，则实数x的取值范围． 【答案】 【分析】根据函数的单调性，即可列不等式求解. 【详解】由题意可知， 解得， ∴x的取值范围为， 【方法技巧与总结】 若在区间上递增且 若在区间上递减且 注意：首先确定函数的定义域，然后根据单调性去符号“”；若为增函数，去掉“”不变号；若为减函数，去掉“”要变号。 【题型9：利用单调性比较大小】 例9．（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】A 【分析】先依次解出不等式、和的解，进而得函数的解析式，再通过研究函数单调性即可得解. 【详解】因为；；， 所以可得， 又将代入得；将代入得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 将代入得，将代入得， 所以函数在处取得最大值为，无最小值. 故选：A. 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性和不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，， 又因为在R上严格增，所以，， 所以. 故选：A． 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用严格增函数的性质，结合不等式性质解题即可. 【详解】由知且，由在上是严格增函数， 故，，故． 故选：A. 变式3．（2022高三上·河南·专题练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数的单调性结合充分、必要条件可判断. 【详解】因为函数在上单调递增，若，则显然成立； 若，则，则，不能得出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 变式4．（23-24高一下·全国·课后作业）若函数在上是减函数，则的大小关系为 . 【答案】 【分析】结合单调性比较大小. 【详解】因为函数在上是减函数，且，所以有. 故答案为： 变式5．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数在上是严格增函数，对于任意的，下列结论中正确的有 ． ①；②； ③；④． 【答案】①② 【分析】利用函数单调性的性质逐个判断即可. 【详解】因为函数在上是严格增函数， 所以和同号，故①，②正确， 因为的大小关系无法判断，所以的大小关系也无法判断，故③④错误. 故答案为：①② 变式6．（2024高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 【答案】（或） 【分析】由函数单调递减的性质即可求解. 【详解】因为函数对于任意的，都有， 所以在区间上是减函数， 所以，所以. 故答案为：(或). 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知二次函数，其中.比较和的大小. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性判断即可. 【详解】因为的对称轴为， 所以， 因为，所以的图象开口向上，所以在上单调递减， 所以，则 【题型10：函数恒成立与存在成立问题】 例10．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为对都恒成立，结合二次函数以及一次的性质即可求解. 【详解】，对均有成立， 在上单调递增，， 依题意有对均有成立， 即在时恒成立，∴，解得， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 变式1．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时显然恒成立，当时参变分离可得恒成立，令，，根据单调性求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式对任意均成立， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 令，， 因为与在上单调递增， 则在上单调递增，所以当时取得最大值， 即， 所以，则， 综上可得实数的取值范围为. 故选：D 变式2．（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对一切成立，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为，从而求出的最小值即可． 【详解】若不等式对一切成立，则， 当时，取最大值，故，故的最小值是. 故选：D． 变式3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ． 【答案】 【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案. 【详解】函数，在上单调递增，所以， 当时，在区间上单调递增，， 所以，解得， 又因为，所以，解得； 当时，在区间上单调递增，其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，在上单调增， 其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，， 此时，无解； 所以的取值范围是， 故答案为：. 变式4．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知函数对任意实数x，y满足，，当时，． (1)求，，的值； (2)已知在上单调递增，则是否存在实数a，使得不等式成立?若存在求出实数a；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)存在， 【分析】（1）利用赋值法直接求值即可； （2）根据题意将原不等式化简，结合已知条件转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）令，则，解得； 令，则，解得； 令，，则，，解得 （2）令，则，解得， 令，则，解得， 所以，又因为在上单调递增， 所以，即， 解得，所以存在满足题意的实数，且 变式5．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)若对一切实数都成立，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意对一切实数都成立，分、两种情况讨论，当时则，即可求出参数的取值范围； （2）首先求出在上的值域，令，，依题意可得在上的值域为在上的值域的子集，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为对一切实数都成立，即对一切实数都成立， 当时显然恒成立， 当时，则，解得， 综上可得，实数的取值范围. （2）当时， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以在上的值域为， 令，， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以在上的值域为在上的值域的子集， 当时为常数函数，显然不符合题意； 当时在上单调递增， 所以在上的值域为，所以，解得； 当时在上单调递减， 所以在上的值域为，所以，解得； 综上可得. 变式6．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，且满足. (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）先求得的值，再利用函数单调性定义即可求得在上的单调性； （2）先求得在上的值域和在上的值域，再利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得的取值范围. 【详解】（1）由函数满足， 可得，解之得，则， 在上单调递增，证明如下： 设任意，且，则 ， 由，可得， 又，， 则，则， 则在上单调递增. （2）对任意的，由在上单调递增， 可得，即， 则在上的值域为 对称轴， 当时，在上为增函数， 值域为， 由题意可得，则，解之得； 当时，在上为减函数， 值域为， 由题意可得，则，解之得， 综上，实数的取值范围为. 变式7．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）先求和在区间上的值域，然后列不等式组来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 由， 解得或， 所以不等式的解集为. （2）当时，， 对称轴为，且，， 所以对任意的，. 时，是增函数，， 由得， 若对任意的，总存在，使成立， 所以，解得， 所以正实数的取值范围是. 【题型11：函数新定义问题】 例11．（多选）（23-24高一下·贵州六盘水·期中）高斯是德国著名的数学家，被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：，，其中表示不超过x的最大整数，例如：，.令函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．是周期函数 C．在上单调递增 D． 【答案】ABD 【分析】根据“高斯函数”的含义结合函数周期性以及单调性一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，表示不超过x的最大整数，故，A正确； 对于B，函数，则， 即是周期函数，B正确； 对于C，不妨取以及，则， 即在上不单调递增，C错误； 对于D，，， 则，即，D正确， 故选：ABD 变式1．（多选）（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在区间，使得满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据“倍值区间”的定义分别判断各选项. 【详解】根据题意，函数中存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，其次有或， 依次分析选项： 对于A，，在区间在上是增函数，其值域是，则区间为函数的“倍值区间”； 对于B，，在区间上是增函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”； 对于C，，在区间上是减函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”； 对于D，，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若函数存在倍值区间，则有或， 对于，有，解可得，不符合题意， 对于，有，变形可得且，必有，不符合题意， 故当时，不存在“倍值区间”；同理可得当时，不存在“倍值区间”， 故在定义域内不存在“倍值区间”， 故选：ABC. 变式2．（23-24高一上·四川乐山·期中）若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由二次函数的性质可得函数单调区间，分类讨论结合二次函数根的分布分别求解，最后再求并集即得答案． 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 由，即函数在有两个不等的实数根； 设， 所以，解得． 若，则， 由， 两式相减可得，所以， 从而，即， 同理可得， 设， 所以，解得． 综上可得，实数的取值范围为． 故答案为：． 变式3．（23-24高一下·云南普洱·期末）对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，直接，再由二次函数的最值求解. 【详解】， 因为，所以， 则， 故函数与的“偏差”为. 故答案为： 变式4．（2022高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分， 从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点， 即， 所以． 故答案为：2. 变式5．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出 的值域, 将问题转化为, 然后分 ， 讨论即可求解. 【详解】因为函数 在上单调递增, 所以当 时, , 依题意, 对任意 时, 都有, 对任意 时, 都有, 即, 因为 , 所以当 , 即 时, , 解得 ; 又因为，所以，解得. 当 , 即 时, , 解得 (舍去)； 当 , 即 时, ，化简得：, 解得 ， 又因为，，解得. 综上, 实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 变式6．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”. (1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由； ； . (2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由. 【答案】(1)无下界，理由见解析； 有下界，为8； (2)答案见解析，无“上界”，理由见解析 【分析】（1）根据称为函数在上的“下界”的定义，判断即可； （2）类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间上有“上界”的定义即可；通过讨论的范围，判断函数是否有“上界”即可. 【详解】（1）因为，所以，无“下界”； 因为，，当且仅当时“”成立， 所以有“下界”，为8. （2）对于定义在区间上的函数， 若存在，对任意的，都有， 则称函数在区间上有“上界”，把称为函数在上的“上界”. 由题，， 当时，， ，易得在上单调递减， 当时，，无“上界”； 当时，， ，易得在上单调递增， ； 综上，函数无“上界”. 变式7．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干函数的性质求解； （2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解. 【详解】（1）， 设 则. 由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又当时，，当时，， 所以，即的值域为. （2）因为在上为减函数，故. 由题意，的值域是的值域的子集， . 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数 在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 【答案】B 【分析】 根据单调函数的定义、函数的单调性和单调区间的概率依次判断即可. 【详解】 对A，由函数单调性的定义知，应为对于任意，没有“任意”二字，故A错误； 对B，该二次函数是一条对称轴为，开口向上的抛物线， 函数在上为增函数，故B正确； 对C，函数在和上分别为增函数， 但不能说定义域内单调递增，故C错误； 对D，函数在和上分别为减函数， 同时区间不能用 “”符号连接，故D错误. 故选：B 2．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性求出值域. 【详解】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为. 故选：D 3．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得. 【详解】函数的单调递减区间是，依题意，，则，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：D 4．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 5．（23-24高一上·四川成都·期中）函数在区间上是减函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性可得最值. 【详解】由函数在区间上是减函数， 可知当时，函数取最小值为， 故选：B. 6．（23-24高一上·云南昭通·期中）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出各选项中函数的定义域，并判断单调性即得. 【详解】对于A，函数在定义域上单调递减，A不是； 对于B，函数在定义域上不单调，B不是； 对于C，函数在定义域上单调递增，C是； 对于D，函数在定义域上没有单调性，D不是. 故选：C 7．（23-24高一上·江苏徐州·期中）函数，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性即可求解函数值域. 【详解】当时，函数在上单调递增，单调递减，所以, 当时，函数单调递减，所以. 所以函数的值域为. 故选：. 8．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 二、多选题 9．（21-22高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对于一切恒成立，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意利用参变分离可得，结合对勾函数单调性求其最小值，进而可得结果. 【详解】因为，且，可得， 因为在内单调递减，则， 可得，即， 结合选项可知ABC正确，D错误. 故选：ABC. 10．（22-23高一上·河北石家庄·期末）已知函数在上单调递减，则不可能等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】AD 【分析】分段函数单调递减，需满足在每一段上均单调递减，且分段处的左端点函数值大于等于右端点的函数值，得到不等式，求出的取值范围，得到答案. 【详解】的对称轴为， 故，解得. 故不可能等于和2. 故选：AD 11．（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，满足“，都有”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合单调性的定义，由题意可得函数在区间上单调递减，结合常见函数单调性即可判断求解. 【详解】，都有， 知是在上单调递减的函数， 对于A，在R上是增函数，不合题意； 对于B，在R上是减函数，符合题意； 对于C，为二次函数，其开口向下且对称轴为， 所以在上单调递减，符合题意； 对于D，由反比例函数的单调性可得是上的增函数，不合题意. 故选：BC 三、填空题 12．（23-24高一上·安徽淮北·期中）写出使得函数的值域为的一个定义域 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出当和2时所对应的值，再根据二次函数的性质即可得到答案. 【详解】由得， 即，得， 由得，即或， 则根据二次函数的性质可举例定义域为. 故答案为：. 13．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）函数在区间上的最小值为，最大值为，则 【答案】 【分析】结合函数的单调性计算即可得. 【详解】由在上单调递减，故，， 即. 故答案为：. 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数和，若在上恒成立，则 ， ． 【答案】 -1 0 【分析】分别令、，结合平方数的非负性可依次求得的值. 【详解】当时，． 当时，． 当时，时， ， 故满足题意. 故答案为：-1，0. 四、解答题 15．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递增. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，由列出方程，代入计算，即可求得； （2）根据题意，由单调性的定义，带入计算，即可证明. 【详解】（1）且，解得. 所以函数的解析式为. （2）证明：，且， 则 因为，所以， 又，所以， 则， 则，即，即 所以函数在上单调递增. 16．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值是1，最大值是 【分析】（1）根据单调性的定义，先任取，且，然后作差，变形判断符号可得结论； （2）由在上递增，可求出其最大值和最小值. 【详解】（1）证明：，且，则 由，得，， 所以，即. 所以函数在区间上单调递增. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间的两个端点上分别取得最小值和最大值， 即时取得最小值，最小值为， 时取得最大值，最大值为. 故的最小值是1，最大值是 17．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用求得，由可求得，即得答案； （2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得恒成立，再令，，求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）由题意设， 由得； 由得， 即恒成立，故，则， 故； （2）因为当时，的图象恒在图象的上方， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 令，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 18．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)当单价为元时，取得最大利润为元 (3)件 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若， 则利润， 其开口向下，对称轴为，所以当时， 利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 由整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 19．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2. 3 函数的单调性和最值 课程标准 学习目标 1.理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。 2.学会分析问题，认识问题和创造性的解决问题。 3.掌握数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值最小值。 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义 知识点01 单调性的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 【即学即练1】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【即学即练2】（多选）（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 【即学即练3】（多选）（23-24高一下·全国·随堂练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在 上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 【即学即练4】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 知识点03 函数的最值 1.概念 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 2.求函数最值的5种常用方法 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不 等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 导数法 先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 【即学即练5】（23-24高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 【即学即练6】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的最小值与最大值之和为 ． 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)当时，求方程的解集； (2)设在的最小值为，求的表达式. 【题型1：函数单调性的概念理解】 例1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的单调区间是 D．不是增函数就是减函数 变式1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 变式2．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）“函数在区间上单调递增”是“函数在区间上有最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数的定义域为，则“为增函数”是“的最小值为，最大值为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式4．（23-24高一上·北京西城·期中）已知是定义在上的函数，那么“存在实数，使得对任意总有”是“函数存在最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 变式6．（多选）（24-25高一上·广西钦州·开学考试）当时，函数值随的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当时是增函数的有（    ） A． B． C． D． 变式7．（多选）（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断函数单调性的基本方法： 1.定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论. 2.复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数. 3.图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性. 【题型2：基本初等函数的单调性与单调区间】 例2．（23-24高一下·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 变式1．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为 变式2．（22-23高三上·江西九江·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 变式3．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 变式4．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的增区间为 ． 变式5．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，,根据图象写出它的单调区间．． 变式6．（24-25高一上·全国·课前预习）画出函数的图象，并指出函数的单调区间 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）分别作出下列函数的大致图像，并指出它们的单调区间： (1)； (2). 【方法技巧与总结】 一次函数 当时，在R上单调递增； 当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【题型3：函数单调性的判断与证明】 例3．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 变式2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 变式3．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明函数在区间上单调递减． 变式4．（2024高一·全国·专题练习）已知定义在上且，，当，时，有试判断函数在上是增函数还是减函数，并证明． 变式5．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 变式6．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 变式7.（24-25高一上·江西上饶·开学考试）（1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）求出函数的值域． 【方法技巧与总结】 定义法：使用前提：一般函数类型 解题步骤： 第一步：取值定大小：设任意，且； 第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； 第三步：定符号，得出结论. 注意：同向递增，异向递减 【题型4：复合函数的单调性】 例4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一上·山东淄博·期中）函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 变式3．（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）关于函数的结论，下列说法正确的有（    ） A．的单调减区间是 B．的单调增区间是 C．的最大值为2 D．没有最小值 变式4．（2024高一·全国·专题练习）函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 变式5．（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）设函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间的最大值和最小值． 变式6.（23-24高一下·全国·随堂练习）求函数的单调递减区间． 【方法技巧与总结】 确定复合函数单调性的步骤: （1）求出复合函数的定义域； （2）分解复合函数为几个基本初等函数； （3）判断每一个分解函数的单调性； （4）根据复合函数单调性的确定方法确定函数的单调性. 【题型5：抽象函数的单调性】 例5．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 变式1．（20-21高一上·河北承德·阶段练习）定义域在R的单调增函数满足恒等式（x，），且．则= 变式2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 变式3．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，当时，． (1)求的值； (2)证明：函数在上为单调减函数； (3)解不等式． 变式4．（20-21高一·全国·单元测试）已知函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，．求证：在上是单调减函数． 变式5．（19-20高一上·江西南昌·阶段练习）已知定义在上的函数满足：当时，且对任意都有 （1）求的值，并证明是上的单调增函数. （2）若解关于的不等式 变式6．（18-19高一上·北京·阶段练习）函数满足如下四个条件： ①定义域为； ②； ③当时，； ④对任意满足. 根据上述条件，求解下列问题： ⑴求及的值. ⑵应用函数单调性的定义判断并证明的单调性. ⑶求不等式的解集. 变式7．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上是严格增函数，且． (1)求证：； (2)已知，且，求a的取值范围． 【方法技巧与总结】 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数. 判断抽象函数单调性的方法: （1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 【题型6：函数单调性求参数问题】 例6．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 变式1．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23高一上·山东日照·阶段练习）函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 变式3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023高一上·福建宁德·专题练习）已知函数，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是 . 变式5．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 变式7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ． 变式8.（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若函数在上为严格减函数，求实数的取值范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 【题型7：函数的最值与值域问题】 例7．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 变式1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在定义域A上的值域为，则区间A可能为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）函数在的值域是 . 变式3．（23-24高一下·全国·随堂练习）函数，的最小值是 ． 变式4．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上的最小值是 ． 变式5．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，求函数的最大值、最小值. 变式6．（2024高一·全国·专题练习）已知二次函数．若，试求的最小值． 变式7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（x＞0）. (1)求证：在上单调递增； (2)求函数的最大值和最小值. 【方法技巧与总结】 第一步：观察函数中的特殊函数； 第二步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 【题型8：利用单调性解不等式】 例8．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式1．（21-22高二下·陕西西安·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 变式5．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 变式6．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 变式7．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，则实数x的取值范围． 【方法技巧与总结】 若在区间上递增且 若在区间上递减且 注意：首先确定函数的定义域，然后根据单调性去符号“”；若为增函数，去掉“”不变号；若为减函数，去掉“”要变号。 【题型9：利用单调性比较大小】 例9．（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 变式3．（2022高三上·河南·专题练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4．（23-24高一下·全国·课后作业）若函数在上是减函数，则的大小关系为 . 变式5．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数在上是严格增函数，对于任意的，下列结论中正确的有 ． ①；②； ③；④． 变式6．（2024高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知二次函数，其中.比较和的大小. 【题型10：函数恒成立与存在成立问题】 例10．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对一切成立，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 变式3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ． 变式4．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知函数对任意实数x，y满足，，当时，． (1)求，，的值； (2)已知在上单调递增，则是否存在实数a，使得不等式成立?若存在求出实数a；若不存在，请说明理由． 变式5．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)若对一切实数都成立，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 变式6．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，且满足. (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 变式7．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围． 【题型11：函数新定义问题】 例11．（多选）（23-24高一下·贵州六盘水·期中）高斯是德国著名的数学家，被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：，，其中表示不超过x的最大整数，例如：，.令函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．是周期函数 C．在上单调递增 D． 变式1．（多选）（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在区间，使得满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一上·四川乐山·期中）若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围 ． 变式3．（23-24高一下·云南普洱·期末）对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为 . 变式4．（2022高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是 ． 变式5．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是 . 变式6．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”. (1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由； ； . (2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由. 变式7．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数 在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 2．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川成都·期中）函数在区间上是减函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·云南昭通·期中）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏徐州·期中）函数，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（21-22高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对于一切恒成立，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·河北石家庄·期末）已知函数在上单调递减，则不可能等于（    ） A． B．1 C． D．2 11．（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，满足“，都有”的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·安徽淮北·期中）写出使得函数的值域为的一个定义域 ． 13．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）函数在区间上的最小值为，最大值为，则 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数和，若在上恒成立，则 ， ． 四、解答题 15．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递增. 16．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 17．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 18．（24-25高一上·河北石家庄·开学考试）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 19．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$