2.2.1 函数的概念（3知识点+6题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

2.2.1 函数的概念 课程标准 学习目标 1.理解函数是描述变量之间的相互关系的数学模型，理解集合与对应语言刻画的函数概念2.掌握常见的三种函数的表示方法，会根据不同的需要选择恰当的方法(如列表法、解析法图像法)表示函数 3.了解分段函数并能进行简单应用。 1.掌握函数解析式的几种求法，理解并能表示分段函数 2.求分段函数或复合函数的函数值;判断两个函数是否为同一函数 知识点01 函数的概念 函数 两集合A、B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 【即学即练1】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 【即学即练2】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列对应关系中是A到B的函数的是（   ） A．，， B．，，对应关系如图： C．，，f： D．，，f： 知识点02函数的有关概念 1.函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2.函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 3.函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 【即学即练3】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的定义域是 .（结果写成集合或区间形式，否则不得分） 【即学即练4】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 知识点03 同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 【即学即练5】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型1：函数的概念】 例1．（2024高三·全国·专题练习）下列图象中，不能作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（多选）（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合到集合的对应关系是函数的是（    ） A．，，：A中的数平方 B．，，：A中的数开方 C．，，：A中的数取倒数 D．，，：A中的数取绝对值 变式4．（多选）（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 变式5．（24-25高一上·上海·课前预习）下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 变式6．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列关于函数的说法正确的是 ． ①是的函数；②是的函数；③对于不同的，也不同；④表示当时，的函数值是一个常数． 【题型2：函数求值】 例2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 变式1．（23-24高一上·新疆·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 变式2．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知函数满足，且，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 变式3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，则 ． 变式5．（23-24高三上·湖北·期中）对于任意的实数、，函数满足关系式，则 ． 变式6．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【题型3：同一个函数的判断】 例3．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）下列各组中的函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 变式2．（18-19高一上·湖南益阳·阶段练习）下列函数中与函数相等的函数是（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式4．（2024高三·北京·专题练习）下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；②，；③，；④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 变式5．（多选）（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．若是一次函数，且，则 C．函数的图象与y轴最多有一个交点 D．函数在上是单调递减函数 变式6．（多选）（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式7．（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式8．（多选）（24-25高一上·广东梅州·开学考试）下列各组中不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，. 【方法技巧与总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数 【题型4：函数的定义域】 例4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·广西钦州·开学考试）函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数的定义域为（    ） A． B．且 C． D．或 变式2．（22-23高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式3．（22-23高一上·湖北·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式4．（22-23高二下·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 变式5．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 变式6．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7．（2023高一·江苏·专题练习）函数的定义域为，值域为，则 【方法技巧与总结】 求函数定义域常见结论： (1)分式的分母不为零； (2)偶次根式的被开方数不小于零； (3)对数函数的真数必须大于零； (4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； (5)零次幂的底数不能为零； (6)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 【题型5：函数解析式的求法】 例5．（16-17高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，那么等于（   ） A． B． C． D． 变式1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 变式3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）若函数，且，则实数a的值为 . 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，，则 ． 变式5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式解集.（其中） 变式6．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数满足，且图像被轴截得的线段长度是. (1)求的解析式； (2)若，求的最大值. 变式7．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数满足，且.求的解析式. 变式8．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （2）已知，求的解析式． 【方法技巧与总结】 函数解析式的求法 (1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法． 【题型6：新定义习题】 例6．（2023高一上·上海·专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 变式1．（18-19高一上·上海徐汇·期末）如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是 A． B． C． D． 变式2．（多选）（20-21高一·全国·单元测试）对，表示不超过的最大整数，十八世纪，被数学王子高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（    ） A． B． C．， D．若，使得，…，同时成立，则正整数的最大值是5 变式3．（19-20高一上·山东潍坊·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点在函数的图像上，若函数是点B的“界函数”，则m的取值范围是 ． 变式4．（18-19高一上·上海徐汇·期末）已知，定义表示不小于x的最小整数，若，则正数x的取值范围为 ． 变式5．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么， （1）求函数的“不动点”和“稳定点”； （2）求证：； （3）若，且，求实数的取值范围． 变式6．（19-20高一上·江西抚州·期中）若为定义域上的单调函数,且存在区间（其中,使得当时, 的取值范围恰为,则称函数是上的“优美函数”. 函数是否为“优美函数”？若是,求出的值；若不是，请说明理由. 若为“优美函数”，求实数的取值范围. 若函数为“优美函数”，求实数的取值范围. 变式7．（19-20高一上·北京海淀·期中）已知为实数，用表示不超过的最大整数. （1）若函数，求的值； （2）若函数，求的值域； （3）若存在且，使得，则称函数是函数，若函数 是函数，求的取值范围. 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（    ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车的存车费是每辆一次3元，普通车的存车费是每辆一次2元．若普通车存车数为辆次，存车费总收入为元，则关于的函数关系式是（    ） A．（，且为整数） B．（，且为整数） C．（，且为整数） D．（，且为整数） 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·浙江·期中）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ） A． B．1 C． D．2 10．（23-24高一上·湖北·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．，为奇数 B．，二次函数的图象关于轴对称 C．“”是“”的必要条件 D．与是同一函数 11．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数，则函数的解析式为 ． 13．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是 14．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围为 . 四、解答题 15．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数. (1)若函数定义域为R，求a的取值范围； (2)若函数值域为，求a的取值范围. 16．（23-24高一上·天津·期末）函数， (1)若的解集是或，求实数，的值； (2)当时，若，求实数的值； (3)，若，求的解集. 17．（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 19．（22-23高一上·吉林·期末）已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围 (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 函数的概念 课程标准 学习目标 1.理解函数是描述变量之间的相互关系的数学模型，理解集合与对应语言刻画的函数概念2.掌握常见的三种函数的表示方法，会根据不同的需要选择恰当的方法(如列表法、解析法图像法)表示函数 3.了解分段函数并能进行简单应用。 1.掌握函数解析式的几种求法，理解并能表示分段函数 2.求分段函数或复合函数的函数值;判断两个函数是否为同一函数 知识点01 函数的概念 函数 两集合A、B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 【即学即练1】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义一一判定选项即可. 【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应， 显然A、B、C符合题意， 而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义. 故选：D 【即学即练2】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列对应关系中是A到B的函数的是（   ） A．，， B．，，对应关系如图： C．，，f： D．，，f： 【答案】B 【分析】利用函数的定义求解即可. 【详解】对于A，，一个可以对应两个，不属于函数，故A错误； 对于B，集合中每一个在集合中都有唯一对应的，符合函数的定义，故B正确； 对于C，中，，而 ，故集合中的元素2在集合中没有对应的函数值，故C错误； 对于D，，所以，集合，故集合中有的元素在集合中没有对应的函数值，故D错误. 故选：B 知识点02函数的有关概念 1.函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2.函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 3.函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 【即学即练3】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的定义域是 .（结果写成集合或区间形式，否则不得分） 【答案】 【分析】根据二次根式有意义及分母不为0列不等式计算即可. 【详解】由题意知，，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【即学即练4】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 知识点03 同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 【即学即练5】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需判断各函数与题述函数对应法则以及定义域是否相同即可求解. 【详解】解：对于A，（），与（）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B，（），与（）的对应关系不同，不是同一函数； 对于C，（），与（）的定义域不同，不是同一函数； 对于D，（），与（）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D． 【即学即练6】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相同函数的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是. 故选：D 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒成立，分和两种情况求出实数的取值范围即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，，即，解得：， 综上，实数的取值范围是; 故选：D 【题型1：函数的概念】 例1．（2024高三·全国·专题练习）下列图象中，不能作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义知，定义域内的任意的自变量，只能有唯一的与对应，逐项判定，即可求解. 【详解】根据函数的定义知，对于定义域内的任意的自变量，只能有唯一的与对应， 选项ABD中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以表示函数； 选项C中，出现一个都有两个与对应，不满足函数的定义，不可以表示函数. 故选：C. 变式1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 变式2．（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 变式3．（多选）（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合到集合的对应关系是函数的是（    ） A．，，：A中的数平方 B．，，：A中的数开方 C．，，：A中的数取倒数 D．，，：A中的数取绝对值 【答案】AD 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为， 所以集合中的任意元素都在集合中对应着唯一的函数值，所以A正确， 对于B，集合中的元素1对应集合B中的元素，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件，所以B错误， 对于C，集合中的元素0取倒数没有意义，不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求，所以C错误， 对于D，因为任意实数的绝对值都是非负的，且是唯一的， 所以集合中的任意元素都在集合中对应着唯一的函数值，所以D正确， 故选：AD 变式4．（多选）（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AC 【分析】根据函数的概念，结合对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，集合，，可得为多对一对应， 所以是函数关系，符合题意； 对于B中，集合，可得集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意； 对于C中，集合，，可得为多对一对应， 所以是函数关系，符合题意； 对于D中，集合，，可得集合中的一个元素，在集合中有两个元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意. 故选：AC. 变式5．（24-25高一上·上海·课前预习）下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 【答案】② 【分析】根据函数的定义，即可求解. 【详解】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确； 若函数,定义域为，但值域为，故②错误， 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确， 由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确， 故答案为：② 变式6．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列关于函数的说法正确的是 ． ①是的函数；②是的函数；③对于不同的，也不同；④表示当时，的函数值是一个常数． 【答案】①④ 【分析】根据函数的知识确定正确答案. 【详解】对于函数有： 是的函数，①正确，②错误. 对于不同的，可能相同，③错误. 是一个常数，④正确. 故答案为：①④ 【题型2：函数求值】 例2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先赋值求出，接着赋值，求出，再赋值求出，最后赋值，即可求解. 【详解】令，得，所以； 令，，得， 又，所以；令，得； 令，，得. 故选：D. 变式1．（23-24高一上·新疆·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】代入解析式求值即可. 【详解】由，得. 故选：C. 变式2．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知函数满足，且，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】分别取代入，联立可解得，然后可求. 【详解】因为函数满足， 所以有，， 又，所以， 解得，则. 故选：A． 变式3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，令，代入运算求解. 【详解】因为， 则，即，解得. 故选：C. 变式4．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，则 ． 【答案】21 【分析】代入求值即可． 【详解】由，可得． 故答案为：21. 变式5．（23-24高三上·湖北·期中）对于任意的实数、，函数满足关系式，则 ． 【答案】 【分析】先令，可得恒成立，再用赋值法即可得答案. 【详解】依题意，取，有，则恒成立， 取，则. 故答案为：. 变式6．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数解析式代入运算可得解； （2）根据函数解析式列式运算可得证； （3）由（2）的结论，组合运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以； （2）证明：为定值； （3）由（2）可知，，， 所以 ． 【题型3：同一个函数的判断】 例3．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）下列各组中的函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据定义域及对应关系判断是否是同一函数. 【详解】选项A，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 选项B，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 选项C，，，两个函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 选项D，，，即，是同一函数， 故选:D． 变式1．（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数. 【详解】对于A，和定义域均为R， ， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为R，定义域为， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 变式2．（18-19高一上·湖南益阳·阶段练习）下列函数中与函数相等的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数相等的判断方法，即从函数定义域和对应法则一一分析即可. 【详解】对A，的定义域为，而的定义域，故两者不是相等函数，故A错误； 对B，，其定义域为，则其与为相等函数，故B正确； 对C，的定义域为，而的定义域为，故两者不是相等函数，故C错误； 对D，，与的对应法则不同，故两者不是相等函数，故D错误. 故选：B. 变式3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的定义为， 函数的定义域为    ， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意； 对于B中，由函数与函数， 其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同， 所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意； 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意. 故选：C. 变式4．（2024高三·北京·专题练习）下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；②，；③，；④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据题意，结合同一函数的概念，逐个判定，即可求解. 【详解】对于①中，函数与， 则两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于②中，函数，与的对应关系不同，所以不是同一函数； 对于③中，函数，与， 可得两函数的的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于④中，函数，与， 可得两函数的的定义域不同，所以不是同一函数． 综上，是同一函数的只有③． 故选：C． 变式5．（多选）（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．若是一次函数，且，则 C．函数的图象与y轴最多有一个交点 D．函数在上是单调递减函数 【答案】ABD 【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D. 【详解】A：函数的定义域为，函数的定义域为R， 所以这两个函数不表示同一个函数，故A符合题意； B：设，则， 又，所以，解得或， 所以或，故B符合题意； C：由函数的定义知，函数图象至多与y轴有一个交点，故C不符合题意； D：函数在上是单调递减函数，故D符合题意. 故选：ABD 变式6．（多选）（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 变式7．（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 变式8．（多选）（24-25高一上·广东梅州·开学考试）下列各组中不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同课判断. 【详解】选项A：的定义域为，此时，故两个函数是同一个函数； 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数； 选项C：两个函数的定义域都是，，故是同一个函数； 选项D：函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故不是同一函数， 故选：BD 【方法技巧与总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数 【题型4：函数的定义域】 例4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出的解析式，由二次根式内部的代数式大于等于0即可求解的定义域. 【详解】由题可得：，所以，解得：, 则的定义域为； 故选：A 变式1．（24-25高一上·广西钦州·开学考试）函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数的定义域为（    ） A． B．且 C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意知，解不等式即可求解. 【详解】根据题意，要使函数有意义，需满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 变式2．（22-23高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整体代入法求函数的定义域，再由有意义的条件，求定义域. 【详解】因为函数的定义域是，由，解得， 所以函数的定义域为. 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是. 故选：. 变式3．（22-23高一上·湖北·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得的取值范围，此范围也即为中的范围，也即通过函数的定义域求解，从而可得结论． 【详解】函数的定义域是，，所以的定义域是， 故对于函数，有，解得， 从而函数的定义域是， 故选：D. 变式4．（22-23高二下·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意，可得，即的定义域为，进而根据，解不等式即可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以，即的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 变式5．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解. 【详解】由题意得函数的定义域是， 令，所以，即，解得， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 变式6．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 变式7．（2023高一·江苏·专题练习）函数的定义域为，值域为，则 【答案】 【分析】根据函数值域，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】当时，显然不符合题意， 当时，因为该函数的定义域为全体实数，值域为， 所以，解得， 故答案为：． 【方法技巧与总结】 求函数定义域常见结论： (1)分式的分母不为零； (2)偶次根式的被开方数不小于零； (3)对数函数的真数必须大于零； (4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； (5)零次幂的底数不能为零； (6)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 【题型5：函数解析式的求法】 例5．（16-17高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的解析式，用代换，即可得的解析式. 【详解】因为函数，所以 故选：D. 变式1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】代入求解，即可求解. 【详解】，，，     所以，，BD正确，AC错误， 故选：BD 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 变式3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）若函数，且，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】先求出函数解析式，进而求解结论. 【详解】函数，又的值域为， ， ，可得，解得. 故答案为：. 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，，则 ． 【答案】 【分析】直接由的定义即可代入得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 变式5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数， 令， 则， 所以. （2）由（1）知， 即不等式转化为， 则， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 变式6．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数满足，且图像被轴截得的线段长度是. (1)求的解析式； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出的解析式，然后利用待定系数法求得正确答案. （2）利用基本不等式求得的最大值. 【详解】（1）设， 依题意，则， 由于，所以， 整理得，所以， 所以， 设方程的两个根为， 则，即， 解得，则，所以. （2）若，则 ， 当且仅当时等号成立. 变式7．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数满足，且.求的解析式. 【答案】 【分析】设，利用建立恒等式求解即可. 【详解】设二次函数， 因为，所以， 由，得， 得， 所以，得， 故. 变式8．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （2）已知，求的解析式． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即得. （2）根据给定条件，利用方程法求解即得. 【详解】（1）由是二次函数，设， 由，得，由，得， 化简并整理得，因此，解得， 所以. （2）用替换中的x，得， 由，解得， 所以. 【方法技巧与总结】 函数解析式的求法 (1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法． 【题型6：新定义习题】 例6．（2023高一上·上海·专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可． 【详解】对应关系若能构成从到的函数， 须满足：对中的任意一个数，通过对应关系在中都有唯一的数与之对应， 对于①，，当时，，故不满足题意； 对于②，，当时，，故不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意； 对于④，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意． 故选：C. 变式1．（18-19高一上·上海徐汇·期末）如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件将问题转化为方程在上有解的问题即可得解． 【详解】解： 函数为“可拆分函数”， 存在实数，使成立， 方程在上有解， 即在上有解， ， ， ， 的取值范围为：． 故选 【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题． 变式2．（多选）（20-21高一·全国·单元测试）对，表示不超过的最大整数，十八世纪，被数学王子高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（    ） A． B． C．， D．若，使得，…，同时成立，则正整数的最大值是5 【答案】CD 【分析】分和两种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用取整函数的基本性质可判断C选项的正误；利用取整函数的定义可判断D选项的正误. 【详解】解：对于AB选项，当时，； 当时，设，则，则. 综上，，AB选项均错误； 对于C选项，由上可知，，设，则. 若，则； 若，则. 综上，，，C选项正确； 对于D选项，由题意可得，则同时成立， ，若，则不存在满足与同时成立， 只有当时，存在满足题意，D选项正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合不等式的性质，利用取整函数的定义，依次判断各选项求解. 变式3．（19-20高一上·山东潍坊·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点在函数的图像上，若函数是点B的“界函数”，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对分成三种情况，结合，都有进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】函数开口向下，对称轴为轴.由于在函数的图像上，所以.依题意，都有，即：，都有. 当，即时，函数在上递增，最小值为，最大值为，所以，此不等式在时无解. 当，即时，函数在上，最大值为，最小值在区间的端点取得，故，解得. 点，即时，函数在上递减，最小值为，最大值为，所以，此不等式在时无解. 综上所述，的取值范围是. 故答案为 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式的解法，属于中档题. 变式4．（18-19高一上·上海徐汇·期末）已知，定义表示不小于x的最小整数，若，则正数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，即，对的范围进行讨论得出答案． 【详解】解：， ， 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，， ，解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题． 变式5．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么， （1）求函数的“不动点”和“稳定点”； （2）求证：； （3）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）“不动点”为4，“稳定点”为4；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1）由即可求出“不动点”，求方程中的值，即为“稳定点”； （2）若，有这是不动点的定义，此时得出，，如果，则直接满足； （3）先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论. 【详解】（1）由，解得， 由有，解得， 所以函数的“不动点”为4，“稳定点”为4； （2）证明：若，则，显然成立； 若，设，有，则有， 所以，故， 综上，； （3）因为，所以方程有实根，即有实根， 所以或，解得， 又由得：，即， 由（1）知，故方程左边含有因式， 所以，又， 所以方程要么无实根，要么根是方程的解， 当方程无实根时，或，即， 当方程有实根时，则方程的根是方程的解， 则有，代入方程得，故， 将代入方程，得，所以. 综上：的取值范围是. 【点睛】关键点睛：作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求；求稳定点，就去求，完全根据定义去处理问题.需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样. 变式6．（19-20高一上·江西抚州·期中）若为定义域上的单调函数,且存在区间（其中,使得当时, 的取值范围恰为,则称函数是上的“优美函数”. 函数是否为“优美函数”？若是,求出的值；若不是，请说明理由. 若为“优美函数”，求实数的取值范围. 若函数为“优美函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）是“优美函数”,过程见解析 （2） （3） 【分析】（1）由已知条件中“优美函数”的定义，说明函数在区间的值域是，又由函数的单调性，得到关于的方程，解出即可； （2）由题意知，函数为“优美函数”，等价于方程有两实根，利用判别式和韦达定理列不等式，解不等式可得的范围； （3）函数为“优美函数”，可得，消去，可得间的关系，再代入原方程组，可得两个结构一摸一样的方程，将方程组的问题化归为一个二次方程有两正根的问题，利用判别式和韦达定理列不等式，解不等式可得的范围． 【详解】解：因为函数在区间上单调递增，且值域为, ， ， ， 所以是“优美函数”,此时,； 因为函数为递增函数, 要使在定义域区间上存在,使得的值域, 则只需有两个不等的实根, 由得在有两个不等的实根,设为， ， 解得； 因为函数在上单调递减， 由题意得，两式相减， 得， 可得 将上式代入方程组得， 是方程的两根， 令在上有两个不同的实根，设为， 解得． 【点睛】本题考查的知识点是函数单调性和函数的值域，根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组），将新定义转化为熟悉的数学模型是解答本题的关键，其中将方程组化归为二次方程是第（3）问的关键，本题难度较大． 变式7．（19-20高一上·北京海淀·期中）已知为实数，用表示不超过的最大整数. （1）若函数，求的值； （2）若函数，求的值域； （3）若存在且，使得，则称函数是函数，若函数 是函数，求的取值范围. 【答案】（1）1，2；（2）{0，1}；（3）且且． 【分析】（1）根据取整函数的定义直接计算； （2）考虑与之间的大小关系，从而得到的值域； （3）对进行分类讨论：，利用单调性证明在时不成立，当时，再对分类讨论：，由此求解出的取值范围. 【详解】（1）f(1.2)=1,f(-1.2)=-2； （2）因为[]=[]或[]=[]+1 所以若函数的值域为{0，1} （3）当函数f（x）=x+是Ω函数时， 若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾． 若a＜0，则是一个增函数， 所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增， 此时不存在m＜0，使得f（m）=f（[m]）， 同理不存在m＞0，使得f（m）=f（[m]）， 又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形， 所以此时f（x）=x+不是Ω函数． 当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+，所以有a=m[m]，其中[m]≠0， 当m＞0时， 因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]， 所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]， 当m＜0时，[m]＜0， 因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]， 所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]， 记k=[m]，综上，我们可以得到：a＞0且∀k∈N•，a≠k2且a≠k（k+1）． 【点睛】本题考查新定义背景下的取整函数问题，主要考查学生的运算和推理能力，难度较难.取整函数是一个比较常考的一个函数，它实际上可以看做是一个分段函数，其函数图象的每一段都是平行于轴的. 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：A 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 5．（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（    ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】根据题意，求出的最大值，即为结果. 【详解】 ，故水喷出的最大高度是米. 故选：A. 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义判断. 【详解】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应. A选项中，当时，，故A不能构成函数； B选项中，当时，，故B不能构成函数； C选项中，当时，，故C不能构成函数； D选项中，当时，，当时，，当时， ，故D能构成函数. 故选：D. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车的存车费是每辆一次3元，普通车的存车费是每辆一次2元．若普通车存车数为辆次，存车费总收入为元，则关于的函数关系式是（    ） A．（，且为整数） B．（，且为整数） C．（，且为整数） D．（，且为整数） 【答案】D 【分析】根据普通车存车数为辆次，则变速车存车数为辆次，再利用每辆车的存车费得出总费用即可． 【详解】根据题意可知，存车总收入（元）与的函数关系式是（，且为整数）． 故选：D. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为不等式对任意的恒成立，分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】由题意，不等式对任意的恒成立． 当时，恒成立，即符合题意． 当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一上·浙江·期中）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】BCD 【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解. 【详解】由，对称轴为， 当时，函数取得最小值为， 或2时，函数值为， 因为函数的定义域为，值域为， 所以， 实数t的可能取值为，，2. 故选：BCD. 10．（23-24高一上·湖北·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．，为奇数 B．，二次函数的图象关于轴对称 C．“”是“”的必要条件 D．与是同一函数 【答案】BC 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要条件、同一函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当是整数时，是偶数，故为假命题. B选项，二次函数的对称轴为轴，所以B选项正确. C选项，当时，， 所以“”是“”的必要条件，所以C选项正确. D选项，的定义域是，的定义域是， 所以不是同一函数，故为假命题. 故选：BC 11．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设，则由，可得，然后列方程组可求出，从而可求得答案. 【详解】由题意设， 因为， 所以， 即， 所以，解得或， 所以或， 故选：AB 三、填空题 12．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用换元法求函数解析式即可. 【详解】函数， 设，则，且， 所以，， 则． 故答案为：． 13．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是 【答案】（答案不唯一） 【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可. 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 14．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】当时，函数的开口向下， 则函数的值域不是，不符合题意. 当时，， 定义域是，值域是符合题意. 当时，函数的值域为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数. (1)若函数定义域为R，求a的取值范围； (2)若函数值域为，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可； （2）根据函数值域的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为函数定义域为R， 所以在R上恒成立， 当时，，不符合题意； 当时，要想在R上恒成立，即在R上恒成立， 只需， 所以a的取值范围为； （2）当时，，符合题意； 当时，要想函数值域为， 只需， 综上所述：a的取值范围为. 16．（23-24高一上·天津·期末）函数， (1)若的解集是或，求实数，的值； (2)当时，若，求实数的值； (3)，若，求的解集. 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值. （2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值. （3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解. 【详解】（1）不等式的解集为或， ，且的两根为，， ，，，. （2）， 得，. （3），， 即， （1）当时， （2）当时，则， ①当时，； ②当时，若，即时，或 ， 若，即时， ； 若，即时，或 ； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17．（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，结合交集的定义，即可求解； （2）先求出集合，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【详解】（1）根据题意，可得 或， 因为，则 . （2）函数 在上单调递减， 所以，且， 因为“”是“ ”的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，解得，即的取值范围是． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由的定义域，要求的定义域，解不等式组即可； （2）由的定义域为，可得，则要求的定义域，解不等式组即可. 【详解】（1）∵的定义域为，∴要求的定义域， 即解不等式组，解得或， 故的定义域为． （2）∵的定义域为，∴， 则，即的定义域为， ∴要求的定义域，即解不等式组， 解得，故的定义域为． 19．（22-23高一上·吉林·期末）已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围 (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系列出方程组并求解出结果； （2）先通过分离参数将不等式变形，然后结合基本不等式求解出的取值范围； （3）根据条件先分析出的值域关系，然后再进行分类讨论求解出的取值范围. 【详解】（1）原不等式可化为，因为该不等式解集为， 可知的两根为和3， 则，即， 故解得； （2）若对任意的恒成立， 所以对任意的，恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 又因为，， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以实数的取值范围是； （3）当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 当时，，显然不成立， 综上所述，实数的取值范围是或． 【点睛】结论点睛：本题考查函数与不等式的综合运用，其中着重考查了一元二次不等式恒成立以及函数值域相关问题，难度较难. 一般地，已知函数，, （1）若任意，任意，有成立，故； （2）若任意，存在，有成立，故； （3）若存在，存在，有成立，故； （4）若任意，存在，有，则的值域是值域的子集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$