14.1.1 直角三角形三边的关系（课件）2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

1.1直角三角形三边的关系 华东师大版八年级上学期 第14章 《勾股定理》 1、探索并掌握勾股定理：直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方. 学习目标： 2、用拼图的方法说明勾股定理的结论正确. 3、会应用勾股定理解决实际问题. 三角尺直角边a、直角边b、斜边c关系 探索一 测量你的两块直角三角尺的三边的长度， 并将各边的长度填入下表： 请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系. 三角尺 直角边a 直角边b 斜边c 关系 1 2 S1、 S2、S3 有什么关系？ Rt△ABC三边有什么关系？ 等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? S1+S2=S3 AB2+AC2=BC2 探索二 A B C S1 S2 S3 在方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”对这个直角三角形是否成立． 5 12 13 52+122= 169 132= 成立 169 探索三 （每一小方格表示1平方厘米） 结论：在这个直角三角形中，两直角边的 平方和等于斜边的平方也成立！ S1 S2 S3 A B C 三个正方形的面积有什么关系？ S1=32=9 S2=42=16 S3= 1 2 ×3×4+1 =25 ∵9+16=25， ∴S1+S2=S3. Rt△ABC三边的关系是： AB2+AC2=BC2 探索四 用拼图的方法验证勾股定理 a b c 准备若干个相同的直角三角形.(如图) 证法一： a b c a b c “总统证法” 用图形面积的两种求法： 整体法、局部求和法. S梯形= (a+b)2 1 2 或S梯形= ab+ ab+ c2 1 2 1 2 1 2 (a+b)2=ab+ab+c2 a2+b2=c2 a b c 证法二： a b c a b c 大正方形面积的两种求法： a b c S=(a+b)2 S= ab×4+c2 1 2 (a+b)2= ab×4+c2 1 2 a2+2ab+b2= 2ab+c2 a2+b2=c2 用拼图的方法验证勾股定理 a b c 证法三： a c a c 阴影面积的两种求法： a b c S=c2-(a-b)2 S= ab×4 1 2 =c2-(a-b)2 ab×4 1 2 2ab=c2-a2+2ab-b2 a2+b2=c2 三国时期的数学家赵爽在 《周髀算经》中作出的“弦图”. 用拼图的方法验证勾股定理 a-b 对于任意的直角三角形，如果它的两条 直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定 有a2＋b2＝c2. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 勾股定理： a b c A B C 知识点 直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方. a b c A B C 几何表达： ∵△ABC是直角三角形， ∴BC2＋AC2＝AB2. ∵∠C=90º, ∴a2＋b2＝c2. 或 知识点 a b c A B C 勾股定理应用时的变式： ∵∠C=90º, 或 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2＋b2=c2. ∴ c= a2＋b2. a= c2-b2 或 b= c2-a2 知识点 1、在Rt△ABC中，AB=c，AC=b，∠C=90º. (1) 已知a=6，c=10，求b；(2) 已知a=24，b=7，求c. 课堂练习P111(仿例1) A C B c b a 解: 根据勾股定理，可得 a2+b2=c2 (1) 当a=6，c=10时， b= c2-a2 = 102-62 =10 (2) 当a=24，c=25时， c= a2+b2 = 72+242 =25 2、如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米， 那么这个三角形的周长是多少厘米？(精确到0.1厘米) 思路: 分两种情况:(1)3+4+5=12(厘米); 3 4 3 4 (2)3+4+ =(7+ )厘米. 7 7 P 625 400 P的面积=____ 2 6 x x=？ 225 B A C AB=___ AC=___ BC=___ 及时反馈 x= 62-22 = 32 = 4 2 25 20 15 求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 81 144 x y z 625 576 144 169 x= 144+81 x= 225 x=15 y= 169-144 y= 25 y=5 z= 625-576 z= 49 z=7 及时反馈 如图，已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S7. S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S7=S5+S6 =S1+S2+S3+S4 =1+3+2+4 =10 及时反馈 为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形．通过测量，得到AC长160米，BC长128米．问从点A穿过湖到点B有多远? 如图，在直角三角形ABC中， 解: 应用举例1 答：从点A穿过湖到点B有96米． AC＝160米，BC＝128米， 根据勾股定理可得 AB= AC2-BC2 = 1602-1282 =96米 A 160m C B 128m 如图，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB．(精确到0.01米) 解: 如图，在Rt△ABC中， BC=2.16米，AC=5.41米， 根据勾股定理可得 AB= AC2-BC2 = 5.412-2.162 ≈ 4.96(米) 答:梯子上端A到墙的底边的垂直距离约为4.96米. C B A 应用举例2 1、如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形 ABCD的面积与周长．(精确到0.1) A B C D AB= 12+22 = 5 AD= 32+32 =3 2 BC= 42+22 =2 5 CD= 32+22 = 13 则四边形ABCD的周长为： 3 5 +3 2 + 13 S1 S2 S3 S4 四边形ABCD的面积为： S4 S3 S2 S1 1 2 ×5×(2+3) =12.5 课堂练习P112 解: 根据勾股定理可得 ≈12.5 2、在学校组织的国庆游园活动中，小明蒙上眼睛，按照亮亮 的提示往前走：他先往东走8米，又往北走2米，然后往西 走3米，再折向北走到6米处往东一拐，仅走1米就到了终 点. 问小明出发点A到终点B的直线距离是多少米? A B 2 C 过点B作BC⟂AC于点C. 在Rt△ABC中，AC=8-3+1=6米， BC=6+2=8米. AB= AC2+BC2 = 62+82 =10米. 解: 根据勾股定理可得 8 3 6 1 答:点A到点B的直线距离是10米. 一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上， 这时AO的距离为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙 下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.5m吗? O B D C A 补充练习 解: 由题得: 在Rt△AOB中，OA=2.4m，AB=3m， 则由勾股定理得： OB= AB2-OA2 = 32-2.42 =1.8m. 在Rt△COD中，OC=2m，CD=3m， OD= CD2-OC2 = 32-22 = 5 m. 则BD=OD-OB =( 5 -1.8)m =0.5m. 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方. 学习小结 2、通过拼图，说明勾股定理的结论正确. 3、用勾股定理可以解决一些实际问题. 1、在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠B=90°. (1) 已知a=6， b=10， 求c； (2) 已知a=24， c=25， 求b． 3、小波家买了一部新彩电，小波量了电视机的屏幕后， 发现屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多 少英寸，妈妈告诉他: “我们平常所说的电视机多少 英寸指的是屏幕对角线的长度，1英寸等于2.54厘米， 利用你所学的知识算一下电视机是多少英寸的?” 课后作业 2、如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米 和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米? 4、如图，大风将一根木制旗杆吹裂， 随时都可能倒下，十分危急. 接警 后,“119”迅速赶到现场, 并决定 从断裂处将旗杆折断. 现在需要 划出一个安全警戒区域，那么你 能确定这个安全区域的半径至少 是多少米吗？ 9m 24m ? 课后阅读 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。 $$