第五章　二元一次方程组 同步训练课件 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第五章　二元一次方程组 1　认识二元一次方程组 同步训练 北师 八年级上册 知识点1二元一次方程(组)的定义 1. 含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都 是 的方程叫做二元一次方程.共含有两个未知数的两 个一次方程所组成的一组方程叫做 ⁠. 两　 1　 二元一次方程组　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　落实四基 2. 下列方程：①2 x －3 y ＝5；② xy ＝3；③ x ＋ ＝3；④3 x －2 y ＋ z ＝0；⑤ x2＋ y ＝6.其中，二元一次方程有 (　A　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. [2024毕节期末]下列方程组中是二元一次方程组的是 (　D　) A. B. C. D. D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 知识点2二元一次方程(组)的解 4. 适合一个二元一次方程的一组 ⁠叫做这个二 元一次方程的一个解，在二元一次方程中，只要给定其中 一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值， 因此二元一次方程有 个解.二元一次方程组中各 个方程的 叫做这个二元一次方程组的解. 未知数的值　 无数　 公共解　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 5. [教材P105随堂练习T2变式]已知是方程3 x ＋2 y ＝10的一个解，则 m 的值是 ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. [2024荣德原创]在①②③三 对数值中， 是方程2 x － y ＝4的解， ⁠是 方程6 x ＋ y ＝4的解， 是方程组的 解.(填序号) ②③　 ①③　 ③　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7. 若和是某二元一次方程的解，则这个 方程为 ⁠. x － y ＝3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 知识点3根据实际问题列方程(组) 8. 【情境题·社会热点】由于洪水袭击，造成某路段水电站 受损，市政府决定对该路段水电站水库进行加固.现有4辆 板车和5辆卡车一次能运27吨水电站加固材料，10辆板车 和3辆卡车一次能运20吨水电站加固材料，设每辆板车每 次可运 x 吨货，每辆卡车每次能运 y 吨货，则可列方程组 (　D　) D A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 9. [教材P106习题T1变式]已知甲种物品每个重5 kg，乙种物 品每个重3 kg.现有甲种物品 x 个，乙种物品 y 个，共重40 kg.列出关于 x ， y 的二元一次方程为 ⁠. 若乙种物品有10个，则甲种物品有 个. 5 x ＋3 y ＝40　 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 10. 已知是方程 ax ＋ by ＝3的解，则代数式2 a ＋4 b －5的值为(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　提升四能 11. 【情境题·生活应用】某班级为筹备运动会，准备用3 650元钱购买两种运动服，其中甲种运动服200元/套，乙 种运动服250元/套，在钱用完的条件下，共有购买方案 (　D　) A. 5种 B. 3种 C. 2种 D. 4种 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 点拨：设购买甲种运动服 x 套，乙种运动服 y 套，由题 意，得200 x ＋250 y ＝3 650. 因为 x ， y 为正整数， 所以或或或 所以共有4种购买方案. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 12. 【易错题】已知关于 x ， y 的方程(2 m －6) xn＋1＋( n ＋2) ＝0是二元一次方程. (1)求 m ， n 的值； 解：(1)因为关于 x ， y 的方程(2 m －6) xn＋1＋( n ＋2) ＝0是二元一次方程， 所以解得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)若 y ＝－2，求 x 的值. 解：(2)把 n ＝0， m ＝－3代入方程可得 －12 x ＋2 y ＝0. 把 y ＝－2代入－12 x ＋2 y ＝0，得－12 x －4＝0， 解得 x ＝－ . 12. 【易错题】已知关于 x ， y 的方程(2 m －6) xn＋1＋( n ＋2) ＝0是二元一次方程. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. [教材P105随堂练习T2变式]某项球类赛事期间，小李在 网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总 价为5 800元，其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票 每张700元.设小李预订的小组赛和淘汰赛球票分别为 x 张， y 张. (1)列出相应的方程组. 解：(1)由题意，得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)是方程组的解吗？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：(2)将代入所列方程组，每个方程的左右 两边均相等，因此是方程组的解. 14. 魏子航和朱明浩共同解方程组解完 以后在交流时有如图所示的一段对话： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 根据魏子航和朱明浩两名同学的对话，求 a2 024＋ b 的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：把代入方程②，得－12＋ b ＝－2，解得 b ＝10.把代入方程①，得5 a ＋20＝15，解得 a ＝－1.所以 a2 024＋ b ＝(－1)2 024＋10＝1＋10＝11. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. 【新视角·新定义题】把 y ＝ ax ＋ b (其中 a ， b 是常 数， x ， y 是未知数)这样的方程称为“雅系二元一次方 程”.当 y ＝ x 时，“雅系二元一次方程 y ＝ ax ＋ b ”中 x 的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”.例如： 当 y ＝ x 时，“雅系二元一次方程” y ＝3 x －4化为 x ＝3 x －4，其“完美值”为 x ＝2. (1)“雅系二元一次方程” y ＝－5 x ＋6的“完美值” 为 ⁠； x ＝1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　发展素养 (2) x ＝3是“雅系二元一次方程” y ＝3 x ＋ m 的“完美 值”，求 m 的值； 解：(2)由已知可得 x ＝3 x ＋ m ， x ＝3，解得 m ＝－6. 15. 【新视角·新定义题】把 y ＝ ax ＋ b (其中 a ， b 是常 数， x ， y 是未知数)这样的方程称为“雅系二元一次方 程”.当 y ＝ x 时，“雅系二元一次方程 y ＝ ax ＋ b ”中 x 的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”.例如： 当 y ＝ x 时，“雅系二元一次方程” y ＝3 x －4化为 x ＝3 x －4，其“完美值”为 x ＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (3)“雅系二元一次方程” y ＝ kx ＋1( k ≠0， k 是常数)存 在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若 不存在，请说明理由. 15. 【新视角·新定义题】把 y ＝ ax ＋ b (其中 a ， b 是常 数， x ， y 是未知数)这样的方程称为“雅系二元一次方 程”.当 y ＝ x 时，“雅系二元一次方程 y ＝ ax ＋ b ”中 x 的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”.例如： 当 y ＝ x 时，“雅系二元一次方程” y ＝3 x －4化为 x ＝3 x －4，其“完美值”为 x ＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：(3)当 k ＝1时，不存在“完美值”，当 k ≠1， k ≠0时，存在“完美值”. 若“雅系二元一次方程” y ＝ kx ＋1( k ≠0， k 是常数) 存在“完美值”， 则有 x ＝ kx ＋1，所以(1－ k ) x ＝1. 所以当 k ＝1时，不存在“完美值”. 当 k ≠1， k ≠0时，存在“完美值” x ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第五章　二元一次方程组 2　求解二元一次方程组 第1课时　代入消元法 同步训练 北师 八年级上册 知识点1直接用代入消元法解二元一次方程组 1. [2024南大附中期末]用代入法解方程组 时，下列说法正确的是(　A　) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 A. 直接把①代入②，消去 y B. 直接把①代入②，消去 x C. 直接把②代入①，消去 y D. 直接把②代入①，消去 x 2. [2024株洲模拟][教材P108例1变式]对于二元一次方程组 将①式代入②式，消去 y 可以得到 (　B　) A. x ＋2 x －1＝7 B. x ＋2 x －2＝7 C. x ＋ x －1＝7 D. x ＋2 x ＋2＝7 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. [教材P109随堂练习变式]用代入消元法解方程组： (1)　　 解：(1)将①代入②，得2 y － y ＝6，解得 y ＝6. 将 y ＝6代入①，得 x ＝12. 所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：(2)将②代入①，得4 x －( x －4)＝1，解得 x ＝－1. 将 x ＝－1代入②，得 y ＝－1－4＝－5. 所以原方程组的解为 (2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 知识点2变形后用代入消元法解二元一次方程组 4. [教材P109例2变式]用代入法解方程组 比较合理的变形是(　D　) A. 由①，得 x ＝ B. 由①，得 y ＝ C. 由②，得 x ＝ D. 由②，得 y ＝2 x －5 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 5. [2024荣德原创]用代入消元法解方程组： 解：由②，得 y ＝ ⁠.③ 将③代入①，得2 x ＋ ＝5. 3－ x 　 3－ x 　 解得 x ＝ ⁠. 将 x ＝ 代入③，得 y ＝ ⁠. 所以原方程组的解为 ⁠. 2　 2　 1　 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. [2024无锡东林中学期末]二元一次方程组 的解为 　　. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7. 【新考向·数学文化】我国明代数学读本《算法统宗》一 书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托， 对折索子来量竿，却比竿子短一托(其大意为：现有一根 竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如 果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺).则索长 为 尺. 20　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 8. 用代入消元法解下列方程组： (1)　 解：(1)由②，得 y ＝4 x －1.③ 将③代入①，得3 x ＋2(4 x －1)＝9，解得 x ＝1. 将 x ＝1代入③，得 y ＝3. 所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：(2)由①，得 x ＝2 y ＋2.③ 将③代入②，得 (2 y ＋2)＋3 y ＝5. (2) 解得 y ＝1. 将 y ＝1代入③，得 x ＝4. 所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 9. [教材P108例1变式]下列用代入法解方程组 的步骤，其中最简单的是(　D　) D A. 由①，得 x ＝ ③；把③代入②，得3× ＝11－2 y B. 由①，得 y ＝3 x －2③；把③代入②，得3 x ＝11－2(3 x －2) C. 由②，得 y ＝ ③；把③代入①，得3 x － ＝2 D. 把②整体代入①，得11－2 y － y ＝2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　提升四能 10. [2024荣德原创]由方程组可得出 x 与 y 的 关系是(　A　) A. 4 x ＋ y ＝8 B. 4 x ＋ y ＝－8 C. 4 x － y ＝8 D. 4 x － y ＝－8 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 11. 若4 x3 a＋4 by5与－3 xya－ b 是同类项，则 ba ＝ ⁠. －8　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 12. 【新视角·新定义题】对于任意实数，规定新运算： x ※ y ＝ ax ＋ by － xy ，其中 a ， b 是常数，等式右边是通 常的加减乘除运算.已知2※1＝1，(－3)※2＝－2，则 a ※ b 的值为 ⁠. 7　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. 已知｜ x ＋ y －6｜与 互为相反数，求 xy 的立方根. 解：根据题意可知｜ x ＋ y －6｜＋ ＝0. 所以解得 所以 xy ＝8.所以 xy 的立方根为2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. 解方程组 解：原方程组化简，得 由①得 y ＝ ，③ 把③代入②，得10 x －9× ＝－8， 解这个方程，得 x ＝1，把 x ＝1代入③，得 y ＝2， 所以这个方程组的解是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. 【新考法·阅读类比法】阅读材料： 善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法. 解：将方程②变形，得4 x ＋10 y ＋ y ＝5， 即2(2 x ＋5 y )＋ y ＝5.③ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　发展素养 把方程①代入③，得2×3＋ y ＝5， 所以 y ＝－1. 把 y ＝－1代入①，得2 x －5＝3，解得 x ＝4. 所以方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解方程组： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：将方程②变形，得3(3 x －2 y )＋2 y ＝19.③ 把方程①代入③，得3×5＋2 y ＝19，解得 y ＝2. 把 y ＝2代入方程①，得3 x －4＝5，解得 x ＝3. 所以方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第五章　二元一次方程组 2　求解二元一次方程组 第2课时　加减消元法 同步训练 北师 八年级上册 知识点1直接用加减消元法解二元一次方程组 1. 二元一次方程组最适宜用哪种方法直接消 元(　B　) A. 代入消元法 B. 加减消元法 C. A，B都可以 D. A，B都不对 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1星题　落实四基 2. 解方程组时，由①－②可得(　D　) A. －2 y ＝－1 B. －2 y ＝1 C. 4 y ＝1 D. 4 y ＝－1 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3. [教材P112随堂练习变式]用加减消元法解下列方程组： (1)　 解：(1)①＋②，得2 x ＝8，解得 x ＝4. 将 x ＝4代入①，得4＋ y ＝5，解得 y ＝1. 所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：(2)②－①，得 y ＝1，将 y ＝1代入①，得 x ＋2＝4，解得 x ＝2. 所以原方程组的解为 　(2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 知识点2变形后用加减消元法解二元一次方程组 4. 用加减消元法解方程组先消去 y ，下面 运算正确的是(　C　) A. ①×5＋②×4 B. ①×5－②×4 C. ①×4＋②×5 D. ①×4－②×5 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5. [2024山西阳泉期末]下面是小希同学解二元一次方程组的 过程，请认真阅读并完成相应任务. 解方程组： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 现有两种思路，思路一：第一步将①转化为用含 y 的代数 式表示 x ，得到方程③；第二步将③代入②，可消去未知 数 x . 思路二：第一步给①×3，得到方程③；第二步用③－ ②，可消去未知数 x . 任务： (1)我选择思路 ，该思路解二元一次方程组的 方法为 ⁠； 一(或二)　 代入消元法(加减消元法)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：思路一：由①得 x ＝1－3 y ，③ 将③代入②，得3(1－3 y )＋ y ＝－5，解得 y ＝1. 将 y ＝1代入③，得 x ＝－2， 所以原方程组的解为 (2)按(1)中选择的思路，完成此方程组的解题过程； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 ③－②，得8 y ＝8，解得 y ＝1. 将 y ＝1代入①，得 x ＋3＝1，解得 x ＝－2， 所以原方程组的解为(根据(1)问任选一 种即可) 思路二：①×3，得3 x ＋9 y ＝3，③ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (3)上述解二元一次方程组过程中体现的数学思想 是 ⁠. A. 转化 B. 公理化 C. 演绎 D. 数形结合 A　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 6. [教材P114习题T2变式]选择适当的方法解下列方程组： (1) 解：(1)②×5＋①，得16 m ＝52，解得 m ＝ ，将 m ＝ 代入①，得 ＋5 n ＝7，解得 n ＝ . 所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：(2)方程组整理得 (2) ②－①×2，得－5 x ＝5，解得 x ＝－1. 把 x ＝－1代入①，得－4＋ y ＝5，解得 y ＝9. 故原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 7. 小明在解关于 x ， y 的二元一次方程组时得 到了正确结果后来发现“ⓧ”“⊕”处污损了， 则“ⓧ”“⊕”处的数字分别是(　B　) B A. 3，1 B. 2，1 C. 3，2 D. 2，2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2星题　提升四能 8. 【新考法·同解求值法】已知关于 x ， y 的方程组 与有相同的解，则 a 和 b 的 值为(　C　) C A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 9. [2024成都锦江区期中]若方程组有无数组 解，则 a ＋ b ＝(　D　) A. 2 B. 3 C. －1 D. 0 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10. 若方程组的解满足 x ＋ y ＝0，则 k 的 值是 ⁠. 1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11. 阅读下面的材料，解决问题. 解方程组时，有时可根据方程的未知数的系数特征，将 几个方程直接进行整体加减.如： 解方程组 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 ①＋②，得10 x ＋10 y ＝30，即 x ＋ y ＝3.③ 将①变形为3 x ＋3 y ＋5 y ＝14， 即3( x ＋ y )＋5 y ＝14.④ 把③代入④，得3×3＋5 y ＝14，求得 y ＝1. 再把 y ＝1代入③，得 x ＝3－1，即 x ＝2. 从而比较简便地求得原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 上述这种方法我们称它为“整体加减法”.你若留心观 察，有很多方程组都可采用此法解，请你用这种方法解 方程组　 解： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 ①＋②，得4 045 x ＋4 045 y ＝4 045， 即 x ＋ y ＝1.③ 将①变形为2 022 x ＋2 022 y ＋ y ＝2 021， 即2 022( x ＋ y )＋ y ＝2 021.④ 把③代入④，得2 022×1＋ y ＝2 021，解得 y ＝－1. 再把 y ＝－1代入③，得 x －1＝1，解得 x ＝2. 所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 12. 【新考法·阅读类比法】请阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组若设 x ＋ y ＝ m ， x － y ＝ n ，则原方程组可变形为 用加减消元法解得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3星题　发展素养 所以再解这个方程组得 由此可以看出，在上述解方程组的过程中，把某个式子 看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方 程组的方法叫做换元法. 问题：请你用上述方法解方程组 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：设 x ＋ y ＝ m ， x － y ＝ n ，则原方程组可变形为 解得 所以解得 所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 $$第五章　二元一次方程组 3　应用二元一次方程组——鸡兔同笼 同步训练 北师 八年级上册 知识点1用二元一次方程组解决和差倍分问题 1. [2024嘉兴模拟]“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规 则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某校足 球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分.那 么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了 x 场，平了 y 场，根据题意可列方程组为(　A　) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 A. B. C. D. 1星题　落实四基 2. 上学期某班的学生都是双人桌，其中 男生与女生同桌， 这些女生占全班女生的 ，本学期该班新转入4个男生 后，男女生刚好一样多.设上学期该班有男生 x 人，女生 y 人，根据题意可得方程组为(　A　) A A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 知识点2用二元一次方程组解决古代数学问题 3. [2023绍兴]《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛(斛：古代容量单位)；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为 x 斛，小容器的容量为 y 斛，则可列方程组是(　B　) B A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4. [教材P116习题T4变式]《九章算术》是中国传统数学重要 的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷中记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱.问人数、物价各多少？”设人数为 x 人，物价为 y 钱，根据题意，下面所列方程组正确的是(　B　) B A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5. [2024济宁模拟]《孙子算经》中记载了一道题，大意是： 100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹 小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有 x 匹大马， y 匹小马，根据题意可列方程组 为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6. 【新考向·传统文化】幻方是古老的数学问题，我国古代 的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入 幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线 上的3个数之和相等，例如图①就是一个幻方.图②是一个 未完成的幻方，则 x 与 y 的和是(　D　) D A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2星题　提升四能 点拨：因为每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个 数之和相等，所以最左下角的数为6＋20－22＝4. 所以最中间的数为 x ＋6＋20－20－4＝ x ＋2或 x ＋6＋20 －22－ y ＝ x － y ＋4. 最右下角的数为6＋20－( x ＋2)＝24－ x 或 x ＋6－ y ＝ x － y ＋6. 所以解得所以 x ＋ y ＝12. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7. 【新考向·数学文化】“两果问价”问题出自我国古代算 书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果 买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱.试问甜苦果 几个？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买 了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四 文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜 果买了 x 个，苦果买了 y 个，根据题意，可列方程组 为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8. 为了解某校信息竞赛同学对其他竞赛科目的兴趣程度，老 师对同学们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查 (每名同学都填了调查表，且只选择数学、物理、化学、 生物其中一个科目)，其中选物理的人数比选生物的少8 人；选数学的人数是选生物人数的整数倍；选生物与数学 的人数之和是物理与化学的人数之和的5倍；选化学与数 学的人数之和比选物理与生物的人数之和多24人，则喜欢 数学的共有 人. 30　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 点拨：设选物理的人数有 x 人，选化学的人数有 y 人，则 选生物的人数有( x ＋8)人，选数学的人数有 a ( x ＋8)人( a 为正整数)，依题意有， ​ 将②变形为( a －1)( x ＋8)＝24＋ x － y ，③ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ①－③得3 y ＋ x ＝20. 因为 x ， y 均为正整数， 所以或或或或 或 由③得 a ＝ . 当时， a ＝ 为整数，此时 a ＝3.所以喜 欢数学的共有3×(2＋8)＝30(人). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9. 李老师在给学生上“探索规律”一课时，组织学生分别用 火柴棍连续搭建了如图所示的正三角形和正方形，学生搭 建正三角形和正方形共用了176根火柴棍，正三角形的个 数比正方形的个数多12个，搭建的正三角形和正方形的个 数分别是多少？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：设搭建了 x 个正三角形， y 个正方形， 根据题意，得解得 因此，搭建了42个正三角形，30个正方形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. 【新考法·表格信息法】某工地因道路建设需要开挖土 石方，计划每小时挖掘土石方540 m3.现决定向某大型机 械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工 作(两种型号都要租用)，租赁公司提供的挖掘机有关信 息如下表所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3星题　发展素养 租金/[元 /(台·时)] 挖掘土石方量 /[m3/(台·时)] 甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成 每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需 多少台？ 解：(1)设甲、乙两种型号的挖掘机各需 x 台、 y 台. 依题意得解得 所以甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：(2)设租用 m 台甲型挖掘机， n 台乙型挖掘机.依 题意得60 m ＋80 n ＝540， 化简得3 m ＋4 n ＝27.所以 m ＝9－ n ，取正整数解 有 或 (2)如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每 小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 当 m ＝5， n ＝3时，支付的租金为100×5＋120×3＝ 860(元)＞850元，不符合题意； 当 m ＝1， n ＝6时，支付的租金为100×1＋120×6＝ 820(元)＜850元，符合题意. 所以只有一种租用方案，即租用1台甲型挖掘机和6台 乙型挖掘机. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $$第五章　二元一次方程组 4　应用二元一次方程组——增收节支 同步训练 北师 八年级上册 知识点1用二元一次方程组解决百分率问题 1. 【情境题·生活应用】买甲、乙两种纯净水共用250元， 其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲 种水的桶数的75％，设买甲种水 x 桶，乙种水 y 桶，则所 列方程组正确的是(　A　) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 A. B. C. D. 1星题　落实四基 2. 某公司2022年的利润为200万元，2023年的总产值比2022年增加了12％，总支出比2022年减少了8％，2023年的利润为500万元.若设2022年的总产值是 x 万元，2022年的总支出是 y 万元，则所列方程组正确的是(　A　) A A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3. 某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付 利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7％，乙种贷款每 年的利率是6％，求这两种贷款的数额各是多少万元.若设 甲、乙两种贷款的数额分别为 x 万元和 y 万元，则(　A　) A. x ＝15， y ＝20 B. x ＝12， y ＝23 C. x ＝20， y ＝15 D. x ＝23， y ＝12 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4. 5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200 t.进入夏季用水 高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月 份，甲工厂用水量比5月份减少了15％，乙工厂用水量比5 月份减少了10％，两个工厂6月份用水量共为174 t，求两 个工厂5月份的用水量各是多少.设甲工厂5月份的用水量 为 x t，乙工厂5月份的用水量为 y t，根据题意列关于 x ， y 的方程组为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 知识点2用二元一次方程组解决图表信息问题 5. [教材P117例题变式]用甲、乙两种原料配制营养液，已知 这两种原料的维生素C含量及价格如下表所示. 种类 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/(单位·kg－1) 600 100 原料价格/(元·kg－1) 8 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 现要配制一种含5 000单位的维生素C的营养液，且买原料 的费用为72元，则应买甲种原料 kg，乙种原 料 kg. 8　 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6. 小明家种植水果，去年收支相抵后，结余12 000元；今年 因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增 加5％，支出比去年减少15％，今年比去年多结余11 400 元.如果设小明家去年收入为 x 元，支出为 y 元，那么： (1)将有关的数据填写在下表中： 项目 收入/元 支出/元 结余 去年 x y 12 000 今年 (1＋5％) x (1－15％) y 23 400 (1＋5％) x (1－15％) y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)根据表格列方程 组 ⁠， 解得 ⁠. 　 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7. 商店卖出两件衣服，每件600元，其中一件赚25％，另一 件赔25％，那么这两件衣服售出后商店是(　B　) A. 赚80元 B. 亏80元 C. 不赚不亏 D. 以上都不对 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2星题　提升四能 8. 【情境题·农业技术】在当地农业技术部门的指导下，小 明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收.如图 是小明、爸爸、妈妈的一段对话. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 请你用所学过的知识帮助小明算出他们家今年种植菠萝的 收入(收入－投资＝净赚). 解：设小明家去年种植菠萝的收入是 x 元，投资是 y 元.依 题意得 　 解得 (1＋35％)×12 000＝16 200(元). 因此，小明家今年种植菠萝的收入是16 200元. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9. [教材P119习题T4变式]“一带一路”促进了中欧贸易的发 展，某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销.今 年第一季度这两种产品的销售总额为2 060万元，总利润 为1 020万元(利润＝售价－成本).每件产品的成本和售价 信息如下表： 产品 A B 成本/(万元/件) 2 4 售价/(万元/件) 5 7 该公司A，B两种产品的销售件数分别是多少？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：设该公司A，B两种产品的销售件数分别为 x 件、 y 件. 由题意得解得 因此，该公司A，B两种产品的销售件数分别是160 件、180件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. 某学校现有甲种材料35 kg，乙种材料29 kg，计划制作 A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表所示： 需甲种材料/kg 需乙种材料/kg 1件A型工艺品 0.9 0.3 1件B型工艺品 0.4 1 (1)利用这些材料恰好能制作A，B两种型号的工艺品分别 多少件？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3星题　发展素养 解：(1)设利用这些材料恰好能制作A型工艺品 x 件，B 型工艺品 y 件. 由题意，得解得 因此，利用这些材料恰好能制作A型工艺品30件，B型 工艺品20件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. 某学校现有甲种材料35 kg，乙种材料29 kg，计划制作 A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表所示： 需甲种材料/kg 需乙种材料/kg 1件A型工艺品 0.9 0.3 1件B型工艺品 0.4 1 (2)在(1)的条件下，若甲、乙两种材料的价格分别为8元 /kg、10元/kg，则制作A，B两种型号的工艺品所需的 材料费分别是多少？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：(2)制作1件A型工艺品需要的材料费为0.9×8＋0.3×10 ＝10.2(元)，则制作A型工艺品所需的材料费为10.2×30＝306(元). 制作1件B型工艺品需要的材料费为0.4×8＋1×10＝13.2(元).则制作B型工艺品所需的材料费为13.2×20＝264(元). 因此，制作A，B两种型号的工艺品所需的材料费分别为306元，264元. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $$第五章　二元一次方程组 5　应用二元一次方程组——里程碑上的数 同步训练 北师 八年级上册 知识点1数字问题 1. 一个两位数，个位数字比十位数字大2，若把个位数字和十位数字对调，则所得的新的两位数比原数的两倍少17.若设原数的个位数字为 x ，十位数字为 y ，则下列方程组正确的是(　C　) C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 A. B. C. D. 1星题　落实四基 2. 哥哥与弟弟的年龄之和是18岁，弟弟对哥哥说：“当我的 年龄是你现在年龄的时候，你就是18岁.”设现在弟弟的 年龄是 x 岁，哥哥的年龄是 y 岁，则下列方程组正确的是 (　D　) D A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，且十 位数字比个位数字的2倍少1，则符合条件的两位数是 (　B　) A. 23 B. 32 C. 14 D. 41 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 知识点2行程问题 4. A ， B 两地相距100海里，某船从 A 地顺流到 B 地需5 h， 从 B 地逆流到 A 地需8 h，设船在静水中的速度为每小时 x 海里，水流的速度为每小时 y 海里，根据题意，列方程组 正确的是(　C　) C A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 5. 甲、乙两人分别从相距40 km的两地同时出发，若同向而 行，则5 h后，快者追上慢者；若相向而行，则2 h后，两 人相遇，那么快者的速度和慢者的速度(单位：km/h)分别 是(　A　) A. 14和6 B. 24和16 C. 28和12 D. 30和1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 点拨：设快者的速度是 x km/h，慢者的速度是 y km/h，根 据题意，得解得 则快者的速度是14 km/h，慢者的速度是6 km/h. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 6. 甲、乙两人在一环行跑道上同时从 A 点匀速跑步，已知甲 的速度比乙的速度快，若两人同向出发，则两人在6分钟 时第1次相遇；若两人背向出发，则两人在3分钟时第1次 相遇，那么甲的速度是乙的速度的(　B　) A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 5倍 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 7. [2024合肥38中月考]有一个三位数，现将最左边的数字移 到最右边，则比原来的数小45.又知百位数字的9倍比这个 三位数去掉百位数字后剩下的两位数小3，求原三位数. 解：设原三位数的百位数字为 x ，去掉百位数字后剩下的 两位数为 y . 根据题意，得 解得 则4×100＋39＝439.故原三位数为439. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2星题　提升四能 8. [教材P133复习题T12变式]一艘轮船在相距90 km的甲、乙 两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了6 h，逆 流航行比顺流航行多用了4 h. (1)求该轮船在静水中的速度和水流速度. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解：(1)设该轮船在静水中的速度是 x km/h，水流速度 是 y km/h. 依题意得解得 因此，该轮船在静水中的速度是12 km/h，水流速度是3 km/h. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到 丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，则甲、丙 两地相距多少千米？ 8. [教材P133复习题T12变式]一艘轮船在相距90 km的甲、乙 两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了6 h，逆 流航行比顺流航行多用了4 h. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解：(2)设该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的 航行时间均为 z h. 依题意得(12＋3) z ＋(12－3) z ＝90， 解得 z ＝3.75. 所以(12＋3)×3.75＝56.25(km). 所以甲、丙两地相距56.25 km. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 9. [2024阜新实验中学月考]一列快车长100 m，一列慢车长 300 m，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所 用时间为10 s；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开 所用时间为2 s.求两车各自的平均速度. 解：设快车的平均速度为 x m/s，慢车的平均速度为 y m/s. 根据题意，得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解得 因此，快车的平均速度为120 m/s，慢车的平均速度为80 m/s. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 10. [教材P119习题T3变式]甲、乙二人在一环行跑道上从 A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4 min后 两人首次相遇，此时乙还需要跑200 m才跑完第一圈.求 甲、乙二人的速度及环行路道的周长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解：设乙的速度为 x m/min，环行跑道的周长为 y m，则 甲的速度为2.5 x m/min. 根据题意，得解得 2.5×100＝250(m/min). 所以甲的速度为250 m/min，乙的速度为100 m/min，环 行跑道的周长为600 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 11. 【情境题·游戏活动型】小明和小华在一起玩数字游 戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数， 小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和 恰好是9.”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的 两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数 大9.” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3星题　发展素养 解：(1)设他们取出的两张卡片上的数字分别为 x ， y ，则第一次拼成的两位数为10 x ＋ y ，第二次拼成的 两位数为10 y ＋ x . 根据题意，得解得 所以他们取出的两张卡片上的数字分别是4，5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 11. 【情境题·游戏活动型】小明和小华在一起玩数字游 戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数， 小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和 恰好是9.”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的 两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数 大9.” 那么，你能回答以下问题吗？ (2)第一次他们拼成的两位数是多少？ 解：(2)根据(1)得十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (3)第二次他们拼成的两位数又是多少呢？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解：(3) x ， y 的位置调换，根据(1)得十位数字是5，个 位数字是4. 所以第二次他们拼成的两位数是54. $$第五章　二元一次方程组 6　二元一次方程与一次函数 同步训练 北师 八年级上册 知识点1一次函数与二元一次方程的关系 1. 以关于 x ， y 的二元一次方程 y － kx ＝ b ( k ≠0)的解为坐 标的点组成的图象就是一次函数 ⁠的 图象.直线 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0)对应的函数表达式就是一个 关于 x ， y 的 方程. y ＝ kx ＋ b ( k ≠0)　 二元一次　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　落实四基 2. 已知点(2，4)在一次函数 y ＝3 x －2的图象上，则方程 y － 3 x ＝－2的一个解为(　B　) A. B. C. D. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. 以下四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方 程 x －2 y ＝2的解的是(　C　) C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 4. 若以二元一次方程 x ＋2 y － b ＝0的解为坐标的点( x ， y ) 都在直线 y ＝－ x ＋ b －1上，则常数 b 等于(　B　) A. B. 2 C. －1 D. 1 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 知识点2一次函数与二元一次方程组的关系 5. 确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的 ⁠ ；反过来，解一个 ⁠相当于 确定相应两条直线交点的坐标. 二元一次方 程组的解　 二元一次方程组　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. [2024梧州模拟][教材P124随堂练习T1变式]如图，在平面 直角坐标系中，直线 y ＝2 x ＋ b 与直线 y ＝－3 x ＋6相交 于点 A ，则关于 x ， y 的二元一次方程组的 解是(　B　) B A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7. [教材P124习题T2变式]已知直线 y ＝2 x 与 y ＝－ x ＋ b 的 交点的坐标为(1， a )，则方程组的解是 (　B　) B A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 8. [教材P124随堂练习T2变式]直线 y ＝ k1 x ＋ b1与直线 y ＝ k2 x ＋ b2没有交点，则方程组的解的情况 是(　D　) A. 有无数组解 B. 有一组解 C. 有两组解 D. 没有解 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 9. [教材P123做一做变式]小明用作图象的方法解二元一次方 程组时，他作出了相应的两个一次函数的图象(如图)，则 他解的这个方程组是(　D　) D A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 10. 【新考法·以形助数法】在平面直角坐标系中，一次函 数 y ＝－ x ＋4的图象如图所示. (1)在同一平面直角坐标系中，作出一次函数 y ＝2 x －5 的图象； 解：(1)如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)利用图象解方程组： 10. 【新考法·以形助数法】在平面直角坐标系中，一次函 数 y ＝－ x ＋4的图象如图所示. 解：(2)由(1)中的图象可 以看出两直线的交点坐 标为(3，1)，所以方程组 的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 11. [2024荣德原创]若关于 x ， y 的方程组 无解，则直线 y ＝－ kx ＋ k ＋1不经过(　B　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　提升四能 12. 【新考法·表格信息法】下表分别是一次函数 y ＝ k1 x ＋ b1和 y ＝ k2 x ＋ b2图象上一部分点的坐标： x … －1 0 1 2 … y ＝ k1 x ＋ b1 … －1 1 3 5 … y ＝ k2 x ＋ b2 … 5 4 3 2 … 则方程组的解为 　　. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. 已知一次函数 y ＝ mx ＋3与 y ＝ nx －4的图象在 x 轴上相 交于一点，则 m ∶ n ＝ ⁠. －3∶4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. 如图，直线 l1： y ＝ x ＋1与直线 l2： y ＝ mx ＋ n 相交于 点 P (2， b ). (1)求 b 的值； 解：(1)将点 P (2， b )的坐标代入 y ＝ x ＋1，得 b ＝2＋1＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)直接写出方程组的解； 解：(2)方程组的解为 14. 如图，直线 l1： y ＝ x ＋1与直线 l2： y ＝ mx ＋ n 相交于 点 P (2， b ). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (3)若 l1交 x 轴于点 A ， l2交 x 轴于点 B ，且 S△ PAB ＝9，求 l2对应的函数表达式. 14. 如图，直线 l1： y ＝ x ＋1与直线 l2： y ＝ mx ＋ n 相交于 点 P (2， b ). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：(3) S△ PAB ＝ × AB ×3＝9，解得 AB ＝6. 由题易知 A (－1，0)，所以 OA ＝1. 所以 OB ＝5. 所以点 B 的坐标为(5，0). 所以将点 P (2，3)， B (5，0)的坐标 分别代入 y ＝ mx ＋ n ，得 解得 所以 l2对应的函数表达式为 y ＝－ x ＋5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. 【学科素养·模型观念】已知直线 l1： y ＝－ x －4与 l2： y ＝2 x － b ＋2. (1)若 l1与 l2交于点(2，－1)，求 a ， b 的值及关于 x ， y 的 方程组的解； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　发展素养 解：(1)将点(2，－1)的坐标代入 y ＝－ x －4中， 得－ a －4＝－1，解得 a ＝－3. 将点(2，－1)的坐标代入 y ＝2 x － b ＋2中，得4－ b ＋ 2＝－1，解得 b ＝7. 由题意知方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)若 l1∥ l2，求 a 的值及方程组 的解的个数； 解：(2)若 l1∥ l2，则－ ＝2，所以 a ＝－4. 由题意知方程组的解的个数为0. 15. 【学科素养·模型观念】已知直线 l1： y ＝－ x －4与 l2： y ＝2 x － b ＋2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (3)若 l1与 l2重合，求 a ， b 的值及方程组 的解的个数. 15. 【学科素养·模型观念】已知直线 l1： y ＝－ x －4与 l2： y ＝2 x － b ＋2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：(3)若 l1与 l2重合， 则所以 由题意知方程组有无数个解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第五章　二元一次方程组 7　用二元一次方程组确定一次函数表达式 同步训练 北师 八年级上册 知识点1用待定系数法(方程组)求一次函数表达式 1. [教材P127做一做变式]已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经 过点(2，7)，(－3，2)，则该一次函数的表达式为(　A　) A. y ＝ x ＋5 B. y ＝－ x ＋3 C. y ＝ x －5 D. y ＝2 x ＋5 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1星题　落实四基 2. 一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过点 A (2，3)，当 x 每增加1 个单位长度时， y 增加3个单位长度，则此函数表达式 是 ⁠. y ＝3 x －3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3. [2024荣德原创]已知 y 是 x 的一次函数，下表中列出了 x 与 y 的部分对应值，则 p ＝ ⁠. x … －3 0 3 … y … －1 p 5 … 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 知识点2通过求一次函数表达式解决实际问题 4. 某公司营销部的个人收入 y (元)与其每月的销售量 x (万件) 成一次函数关系，其图象如图，营销人员没有销售量时最 低收入是(　B　) B A. 1 000元 B. 2 000元 C. 3 000元 D. 4 000元 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5. 【新考向·身边的数学】某品牌鞋子的长度 y cm与鞋子的 码数 x 之间满足一次函数关系，若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为 (　B　) A. 23 cm B. 24 cm C. 25 cm D. 26 cm B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6. 如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方 形.已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过点 A ， B ，则 k ＝ 　 　， b ＝ 　 　. 　 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2星题　提升四能 7. 【新考法·分类讨论法】已知一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0) 的图象经过点 A (－3，2)，与 x 轴的交点为 B ，若 OB ＝ 4，则这个一次函数的表达式为 ⁠ ⁠. y ＝－ x ＋ 或 y ＝2 x ＋8　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8. [2024西交大附中分校模拟]李叔叔承包了一片土地种植某 种经济作物，为了提高产量，通常会采用喷施药物的方法 控制其生长高度.已知在一定条件下，该种经济作物的平 均高度 y (m)与每公顷所喷施药物的质量 x (kg)之间的关系 近似满足一次函数关系.下表为该经济作物生长过程中所 记录的一些数据. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 每公顷所喷施药物的质 量x/kg … 3 5 7 10 … 该种经济作物的平均高 度y/m … 2.28 1.80 1.32 0.60 … 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (1)求 y 与 x 之间的函数表达式. 解：(1)设 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ，将 x ＝5， y ＝1.80， x ＝10， y ＝0.60代入，得 解得 所以 y ＝－0.24 x ＋3.令 y ＝0，解得 x ＝12.5. 所以 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝－0.24 x ＋3(0≤ x ≤12.5). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)李叔叔根据经验判断，该种经济作物平均高度在1.5 m 左右时产量最高，此时每公顷应喷施约多少药物？ 解：(2)将 y ＝1.5代入 y ＝－0.24 x ＋3，解得 x ＝6.25， 所以每公顷应喷施约6.25 kg药物. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9. 小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休 息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相 同路线到达观景点，如图， l1， l2分别表示小军与观光车 所行的路程 y (m)与时间 x (min)之间的关系，根据图象解 决下列问题： (1)观光车出发 min追上小军. 6　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)求 l2所在直线对应的函数表达式. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：(2)观光车到达景区的时间为 15＋3 000÷(1 800÷6)＝25(min). 设 l2所在直线对应的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ， 则解得 所以 l2所在直线对应的函数表达式为 y ＝300 x －4 500(15≤ x ≤25). (3)观光车比小军早几分钟到达观景点？ 解：(3)33－25＝8(min). 故观光车比小军早8 min到达观景点. 9. 小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休 息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相 同路线到达观景点，如图， l1， l2分别表示小军与观光车 所行的路程 y (m)与时间 x (min)之间的关系，根据图象解 决下列问题： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. 【2023广西·学科素养应用意识】【综合与实践】有言 道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心.”某 兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先 设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完 成下列方案设计中的任务. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3星题　发展素养 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得( m0＋ m )· l ＝ M ·( a ＋ y ).其中秤盘质量为 m0克，重物质量为 m 克，秤砣质量为 M 克，秤纽与秤盘的水平距离为 l 厘米，秤纽与零刻线的水平距离为 a 厘米，秤砣与零刻线的水平距离为 y 厘米. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 【方案设计】 目标：设计简易杆秤. 设定 m0＝10， M ＝50，最大可称重物质量为1 000克，零刻 线与末刻线的距离定为50厘米. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 任务一：确定 l 和 a 的值. (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关 于 l ， a 的方程； 解：(1)由题意得 m ＝0， y ＝0， 因为 m0＝10， M ＝50. 所以10 l ＝50 a ，所以 l ＝5 a . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末 刻线时，杆秤平衡，请列出关于 l ， a 的方程； 解：(2)由题意得 m ＝1 000， y ＝50， 所以(10＋1 000) l ＝50( a ＋50).所以101 l －5 a ＝250. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (3)根据(1)和(2)所列方程，求出 l 和 a 的值. 解：(3)由(1)(2)可得 解得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 任务二：确定刻线的位置. (4)根据任务一，求 y 关于 m 的函数表达式； 解：(4)由(3)可知 l ＝2.5， a ＝0.5， 所以2.5(10＋ m )＝50(0.5＋ y ). 所以 y ＝ m (0≤ m ≤1 000). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：(5)由(4)可知 y ＝ m (0≤ m ≤1 000)， 所以当 m ＝0时， y ＝0；当 m ＝100时， y ＝5； 当 m ＝200时， y ＝10；当 m ＝300时， y ＝15； 当 m ＝400时， y ＝20；当 m ＝500时， y ＝25； 当 m ＝600时， y ＝30；当 m ＝700时， y ＝35； 当 m ＝800时， y ＝40；当 m ＝900时， y ＝45； 当 m ＝1 000时， y ＝50. 所以相邻刻线间的距离为5厘米. (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写 出相邻刻线间的距离. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $$第五章　二元一次方程组 *8　三元一次方程组 同步训练 北师 八年级上册 知识点1三元一次方程组的有关概念 1. 方程组含有 个未知数，每个方程中所含未知数的项 的次数都是1，并且一共有 个方程，像这样的方程 组叫做三元一次方程组. 三元一次方程组中各个方程的 ，叫做这个三元 一次方程组的解. 三　 三　 公共解　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1星题　落实四基 2. 下列方程中，三元一次方程共有(　B　) (1) x ＋ y ＋ z ＝3；(2) x · y · z ＝3； (3) ＝1；(4) ＝1. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3. 下列方程组是三元一次方程组的是(　D　) A. C. D B. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4. 三元一次方程 x － y ＋ z ＝3有无数个解，下列四组值中不 是该方程的解的是(　D　) A. B. C. D. D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 知识点2三元一次方程组的解法 5. 解三元一次方程组的基本思路：通过“ ⁠” 或“ ”进行消元，把“三元”转化为“ ⁠ ”，使解三元一次方程组转化为解 ⁠ ，进而转化为解 ⁠. 代入　 加减　 二 元　 二元一次方程 组　 一元一次方程　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6. 解方程组时，第一次消去未知数 的最佳方法是(　C　) C A. 加减法消去 x ，即①－③×3，②－③×2 B. 加减法消去 y ，即①＋③，①×3＋② C. 加减法消去 z ，即①＋②，③＋② D. 代入法消去 x ， y ， z 中的任何一个 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7. [教材P131习题T1变式]解方程组： 解：②－③，得 x ＋3 z ＝5.④ 解由①④组成的方程组，得 把 代入③，得 y ＝4.所以原方程组的解是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 知识点3三元一次方程组的简单应用 8. 为了奖励学习进步的同学，某班准备购买甲、乙、丙三种 不同的笔记本作为奖品，其单价分别为2元、3元、4元， 购买这些笔记本需要花60元；经过协商，每种笔记本单价 下降0.5元，只花了49元，那么以下结论正确的是(　B　) B A. 乙种笔记本比甲种笔记本少4本 B. 甲种笔记本比丙种笔记本多6本 C. 乙种笔记本比丙种笔记本多8本 D. 甲种笔记本与乙种笔记本共12本 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9. 如下表，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其 中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，若前 m 个 格子中所填整数之和是2 030，则 m 的值为(　C　) 1 ● ○ * 12 －3 … A. 203 B. 303 C. 609 D. 909 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10. [教材P131随堂练习T1变式]一个三位数，个位、百位上 的数字之和等于十位上的数字的2倍，百位上的数字的7 倍比个位、十位上的数字之和大7，个位、十位、百位上 的数字之和是9，则这个三位数是 ⁠. 234　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 11. [教材P132复习题T4变式]在等式 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 中，当 x ＝0时， y ＝2；当 x ＝－1时， y ＝0；当 x ＝2时， y ＝ 12，则 a ＋ b ＋ c ＝(　C　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2星题　提升四能 12. [教材P122习题T3变式]小明从家到学校的路程为2 500 m，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路.如果上 坡路每分钟行60 m，平路每分钟行80 m，下坡路每分钟 行100 m，那么小明从家到学校要用33 min，从学校到家 要用31 min，求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路 各是多少米. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：设小明家到学校的上坡路是 x m，平路是 y m，下坡 路是 z m. 依题意，得解得 因此，小明家到学校的上坡路是600 m，平路是1 600 m，下坡路是300 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13. 某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或 丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套.现在 要用63天，使生产的三种零件全部配套，则这个车间生 产这三种零件各需用几天？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：设生产甲种零件用 x 天，生产乙种零件用 y 天，生产 丙种零件用 z 天. 则解得 因此，生产甲种零件用15天，生产乙种零件用30天，生 产丙种零件用18天. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14. 为了推动消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振 兴，某市人民政府决定举办“春暖瓯越·温享生活”消费 券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中 A 型1张， B 型2张， C 型2张，如下表： A 型 B 型 C 型 满168元减38元 满50元减10元 满20元减5元 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3星题　发展素养 在此次活动中，小明父母领到多期消费券. (1)若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元， 已知她用了3张 A 型消费券，5张 B 型的消费券，则用 了 张 C 型的消费券. 7　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 ①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知 C 型比 A 型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同 类型的消费券各多少张？ ②若他们共领到6期消费券(部分未使用)，用 A ， B ， C 型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们 使用哪两种消费券各多少张. (2)若小明父母使用消费券共减了230元. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：①设他们用了 A 型消费券 x 张， B 型消费券 y 张， C 型消费券 z 张，依题意有 解得 所以他们用了 A 型消费券5张， B 型消费券1张， C 型 消费券6张. ② A 型消费券5张， B 型消费券4张或 A 型消费券5张， C 型消费券8张. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 $$