常考不等式汇总讲义-2025届高三数学一轮复习

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 ( 景泰 艺术 中学 集合和不等式 ) 1、 集合（简单的交并补） ①考查交集：两个集合中公共元素组成的集合，记作： 设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝（　　） 解：因为集合A，B的公共元素为：2，3，5，故A∩B＝{2，3，5}。 ②考查并集：两个集合中所有的元素组成的集合，记作： 设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（　　） 解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}。 ③对于集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合叫作集合A相对于全集的补集，记作： 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝（　　） 解：根据补集的定义，∁UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件，＝{2，4，5} 二、常见的数集 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集。 三、综合性的交并补 例1：已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝ 解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}， 则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}。 例2：已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（　　） 解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝（﹣1，4），B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝{1，3}。 例3：已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U（M∪N）＝（　　） 解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}， ∴M∪N＝{1，2，3，4}，∴∁U（M∪N）＝{5}。 例4：已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（　　） 解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2， N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}。 例5：已知集合A＝{x∈N*|﹣3≤x≤3}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（　　） 解：由集合A＝{x∈N*|﹣3≤x≤3}，则A＝{1，2，3}，A∩B＝{1，2，3}。 例6：已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∪B＝（　　） 解：由x2﹣2x﹣3＞0，得（x+1）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞3， 所以B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，因为A＝{x|x＞1}， 所以A∪B＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）。 例7：已知集合A＝{x∈Z|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（　　） 解：由题意可得：A＝{x∈Z|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤4}＝{﹣1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝{0，1，2}。 例8：已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，则A∩B＝（　　） 解：A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，故A∩B＝（﹣1，2）。 4、 子集和真子集 ①子集：A中的任一元素都属于B，记作：。 ②真子集：，且B中至少有一元素不属于A，AB。 ③已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集。 例1：设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（　　） 解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，当a﹣2＝0时，解得a＝2， 此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；当2a﹣2＝0时，解得a＝1， 此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意。 例2：若集合A共有5个元素，则A的真子集的个数为（　　） 解：∵集合A共有5个元素，∴A的真子集的个数为25﹣1＝31． 例3：若集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0，x∈Z}，B＝{x|2x2﹣x﹣6＞0，x∈Z}，则A∩B的子集有（　　） 解：因为A＝{x|﹣2≤x≤5，x∈Z}，， 所以＝{﹣2，3，4，5}， 它有24＝16个子集． 例4：设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　） 解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}， 所以a+b的值可能为：1+4＝5、1+5＝6、2+4＝6、2+5＝7、3+4＝7、3+5＝8， 所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个。 五、解一元二次不等式 形式：，步骤是，将一元二次不等式先转化为一元二次方程，解出一元二次方程的两个根。 ① 当时，口诀：大于号取两端，大于大根，小于小根；小于号取中间，大于小根，小于大根。 ② 当时，不等式两边同时乘以-1，将二次项系数化为正。 例1：解不等式 解：的两个根是，上述不等式的解集为，。 例2：解不等式 解：上述不等式，两边同时乘以-1，将不等式转化为，先求的两个根，，上述不等式的解集为，。 六、恒成立问题 例：关于x的不等式x2﹣mx+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（　　） 解：，，。 七、线性规划 ：明确目标函数和约束条件 例：若x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值是　 　． 将上述不等式变为等式，且两两联立： ①，解得（-1,0）代入第三个不等式验证，成立； ② 解得（0,-1）代入第二个不等式验证，成立；③解得（2,3）代入第二个不等式验证，成立； 将三个点的坐标代入目标函数，得到三个数，-1，-2,7，则最大值为7。 八、基本不等式 基本不等式：当都是正实数，，（当且仅等时，等号成立）。算术平均数大于等于它的几何平均数。 当的和一定时，有最大值； 当的积一定时，有最小值；(一正二定三相等) 例1：设，求的最小值 解：根据基本不等式，（积一定，和有最小值），等号成立的条件是。 例2：已知，，求的最小值， 解：“1”的活用，， 等号成立的条件 例3：已知a＞0，b＞0，a+b＝2，则的最小值是（　　） 解：∵a+b＝2，∴＝1 :∴＝（）（）＝++≥+2＝（当且仅当b＝2a时等号成立） 例4：若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　） A．a2+b2＞2ab B． C． D． 解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错误对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错，∵ab＞0∴，故选：D． 例5：若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是　　． 解：∵x2+y2+xy＝1，∴（x+y）2＝1+xy，∵xy≤， ∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤， ∴x+y的最大值是。 ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$