3.1.2函数的表示法（第一课时）-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修一）

第 3 章 函数的概念及其表示 3.1.2 函数的表示法（第一课时） 人教A版2019必修第一册 1.掌握函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 3.会作函数的图象并从图象上获取有用的信息. 教学目标 情景导入 01 情景导入 在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法. ①解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 ②列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系. ③图像法，就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系. 用什么方法来表示函数呢？ 用列表法，不用计算，看表就知道函数值 用解析法，便于研究函数性质 用图像法，容易表示出函数的变化情况 函数的表示法 02 概念讲解 思考：由我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，解析法、列表法和图象法。请结合教材P60--61的问题1,2,3,4来说明？ （1）解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 例如：问题1中的S=350t, t∈{t|0≤t≤0.5} （2）图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 例如：问题3中的图象 (３)列表法:用列出的表格来表示两个变量之间的对应关系. 例如：问题４中的表格 概念讲解 例1.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法来表示函数y=f(x). y=5x,x∈{1,2,3,4,5} 用列表法可将函数y=f(x)表示为： 笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 用图象法可将函数y=f(x)表示为： 解析式法 列表法 图象法 概念讲解 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系,同一个函数可以用不同的方法表示. 在用三种方法表示函数时要注意: ①解析法必须注明函数的定义域; ②列表法中选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征; ③图象法中要注意图象是“点”还是“线” 归纳小结 概念讲解 1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 2、图像法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 3、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点: 函数关系清楚，便于研究函数性质 优点: 易知自变量与函数的对应性. 优点：直观形象。 思考1：比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？ 概念讲解 思考2：所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图像法呢？ 并不是所有函数都能用解析法表示. （1）如某地一年中每天的最高气温是日期的函数，该函数就不能用解析法表示； （2）同样，并不是所有的函数都能用图像法表示，如函数 不能用图像法表示； （3）列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无限个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段. 概念辨析 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以同解析式、列表、图象三种方法表示． (　　)(2)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示． (　　)(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． (　　) √ × × 列表、图象表示函数图象 03 概念讲解 例2.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出． x 1 2 3 f(x) 2 1 1 （1）则f ( g(1))的值为________； （2）当g ( f (x))＝2时，x＝________. 1 1 概念讲解 练习：已知函数f(x),g(x)对应值如下表: x 0 1 -1 f(x) 1 0 -1 x 0 1 -1 g(x) -1 0 1 则g(f(g(-1)))的值为(　　) A.1 B.0 C.-1 D.无法确定 C 概念讲解 方法指导　通过“列表→描点→连线”作出函数图象,借助图象求出函数值域. 概念讲解 概念讲解 练习：画出函数的图象. x y O 1 1 -1 概念讲解 归纳小结 画函数图象的常用方法： 1.描点法 2.图象的平移、对称、翻折、伸缩变换 平移：上加下减，左加右减 标出特殊点（图象的顶点、端点、与坐标轴的交点）和渐近线 求函数解析式 04 概念讲解 概念讲解 概念讲解 归纳小结 概念讲解 课堂小结 05 课堂小结 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 例3.作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=,x∈[2,+∞); (2)y=x2+2x,x∈[-2,2); (1)列表: x 2 3 4 5 … y 1 … 当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y= 图象的一部分,观察图象可知其值域为(0,1]. (2)列表: x -2 -1 0 1 2 y 0 -1 0 3 8 该函数图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x<2之间的部分.由图像可得值域为[-1,8). 方法指导　(1)利用待定系数法求解;(2)用换元法或配凑法求解;(3)构造方程组求解. 解：(1)设f(x)=kx+b(k≠0), 则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4, 所以 解得k=3,b=1或k=-3,b=-2, 所以f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2. 例4.(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式; (2)已知f(+1)=x+2,求f(x); (3)已知2f+f(x)=x(x≠0),求f(x). (2)(法一:配凑法)因为f(+1)=x+2=(+1)2-1(+1≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1). (法二:换元法)令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2(t≥1), 所以f(t)=(t-1)2+2=t2-1(t≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1). (3)f(x)+2f=x, 令x=,得f+2f(x)=. ∴解得f(x)=(x≠0). (1)待定系数法求函数解析式 当已知所要求的解析式f(x)的类型时,如是一次函数、二次函数等,即可设出f(x)的解析式,然后根据已知条件确定其系数. (2)已知f(g(x))=h(x),求f(x),常用的方法有三种: ①换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,即函数f(x)的解析式,注意换元后新元的范围. ②配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可. ③方程组法,当同一个对应关系中含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解. $$