精品解析：陕西省西安市第八十五中学2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷

西安市第八十五中学高2025届高三年级第一次模拟考试 数学试题 一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 4. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 5. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 6. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】 ，即. 故选：A 7. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 8. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据，赋值令，即可得结果；对于C：根据结合奇函数定义可得，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得，即可得结果；对于D：分析可知：4为的周期，结合周期性分析求解. 【详解】因为，， 对于选项A：令，可得，故A正确； 对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则， 则，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于选项B：因为，可得， 则， 即，所以的图象关于点中心对称，故B正确； 对于选项D：因为， 令，可得， 令，可得， 又因为，则， 可知4为的周期，可得，即， 因为，所以，故D错误； 故选：D 二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 最小值是4 B. “”是的充分不必要条件 C. 若，则 D. 若a，，且，则的最小值为9 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A，解不等式即可判断B，举反例即可判断C，根据基本不等式即可判断D. 【详解】当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故A错误； 由得或，所以“”是的充分不必要条件，故B正确； 当时，，但，故C错误； 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D选项正确. 故选： 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. 函数在上单调递增 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复合函数思想，结合二次函数和指数函数的性质来判断各选项. 【详解】令，则． 对于选项A，的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为，的值域为，所以函数的值域为,故B正确； 对于选项C，因为在上单调递增， 且在上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C不正确； 对于选项D，由于函数在上单调递减，则，故 D正确． 故选:ABD． 11. 已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ） A. B. 函数在定义域上是周期为2的周期函数 C. 直线与函数的图像有1个交点 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件中函数是偶函数且时，有以及时，，画出函数图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【详解】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线和函数的图象如图所示， 根据图象可知选项A中，正确； 对于选项B，函数在定义域上不是周期函数，所以B不正确； 对于选项C，根据函数图象可知与的图象有个交点，所以C正确； 对于选项D，根据图象，函数的值域是，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数是偶函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 13. 已知，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据指对数互化可得，结合求参数值即可. 【详解】由题设，则且， 所以，即，故. 故答案为： 14. 已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：；在上是增函数；的图象关与直线对称；函数在处取得最小值；函数没有最大值，其中判断正确的序号是__________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】由可得函数的图象关于点对称，结合偶函数可得是周期函数，再逐一分析各个命题判断作答. 【详解】由恒成立知，函数的图象关于点对称， 又是偶函数，由得， 则有，即，因此，是周期为4的周期函数， 对于①，在中，当时，，则，①正确； 对于②，是偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，而的图象关于点对称， 所以在上是减函数，②不正确； 对于③，函数的图象关于点对称，③不正确； 对于④，由①②的信息知，在上单调递减，由是偶函数知，在上单调递增， 由周期是4知，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最小值，④正确； 对于⑤，由④的信息知，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，⑤不正确. 故答案为：①④ 【点睛】方法点睛：函数的定义域为，，存在常数，使得，则函数图象关于点对称. 四、解答题，本题共5小题，共77分. 15. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【小问1详解】 方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. 【小问2详解】 方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） 因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 17. 已知函数且. （1）若，求函数的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）换元令，可得，结合二次函数即可得最小值； （2）换元令，可得恒成立，结合运算求解. 【小问1详解】 若，则， 令， 故原式化为， 若时，可知在上单调递增， 可知在上单调递增，可知； 若时，可知在上单调递减， 可知在上单调递减，可知； 综上所述：， 可知当时，取到最小值为1. 【小问2详解】 因为， 设， 由题意得即恒成立，即恒成立， 且，则，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【小问1详解】 ，，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . 【小问2详解】 为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第八十五中学高2025届高三年级第一次模拟考试 数学试题 一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 最小值是4 B. “”是的充分不必要条件 C. 若，则 D. 若a，，且，则的最小值为9 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. 函数在上单调递增 D. 11. 已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ） A. B. 函数在定义域上是周期为2的周期函数 C. 直线与函数的图像有1个交点 D. 函数的值域为 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数是偶函数，则______. 13. 已知，，则______． 14. 已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：；在上是增函数；的图象关与直线对称；函数在处取得最小值；函数没有最大值，其中判断正确的序号是__________． 四、解答题，本题共5小题，共77分. 15. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 16. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 17. 已知函数且. （1）若，求函数的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 18. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $