精品解析：人教版2024-2025学年九年级数学上册第一次自主练习试题（第21～22章）

2024—2025学年度第一学期第一次自主练习 九年级·数学 注意事项： 1．本套试卷4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置． 3．请将答案写在答题卡规定的位置，字体工整，笔迹清楚，在试题卷上答题无效． 4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，15 B. ，15 C. 6， D. ， 4. 下列函数关系中是二次函数的是（ ） A. 正三角形面积与边长的关系 B. 直角三角形两锐角与的关系 C. 矩形面积一定时，长与宽的关系 D. 等腰三角形顶角与底角的关系 5. 若关于x的方程的一个根为3，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 一元二次方程，用配方法变形可得（ ） A B. C. D. 7. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（ ） A. B. C. D. 10. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数的图象经过平面内的四个象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A、B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤当时，有，其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③⑤ D. ①④ 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13. 一元二次方程较小的根是_______． 14. 为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据疫情防控及场地和时间等条件，赛程计划安排15天，每天安排3场比赛，设该县团委邀请x个篮球队参赛，则列方程为_______． 15. 已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：_________ (填“>”“<”或“=”)． 16. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 三、解答题(本大题共9小题，共98分) 17. 解方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中a是方程的根． 19. 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． （1）试确定a、h、k值； （2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 20. 某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 21. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 22. 中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ________， ________（用含t的代数式表示）； （2）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，已知二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B与C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 24. 亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． （1）请求出和值； （2）“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； （3）若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 25. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期第一次自主练习 九年级·数学 注意事项： 1．本套试卷4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置． 3．请将答案写在答题卡规定的位置，字体工整，笔迹清楚，在试题卷上答题无效． 4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”进行判断即可求解． 【详解】解：A、含有两个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元二次方程，故不符合题意； B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意； C、含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意； D、不是整式方程，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的的定义．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、当时，是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； B、是y关于x的二次函数，故本选项符合题意； C、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； D、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B 3. 方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，15 B. ，15 C. 6， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：方程的一次项系数和常数项分别是，． 故选D． 4. 下列函数关系中是二次函数的是（ ） A. 正三角形面积与边长的关系 B. 直角三角形两锐角与的关系 C. 矩形面积一定时，长与宽的关系 D. 等腰三角形顶角与底角的关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】A. 关系式为：s= ，故本选项正确； B. 关系式为：∠A=−∠B，故本选项错误； C. 关系式为：x= ，故本选项错误； D. 关系式为：∠A=−2∠B，故本选项错误； 故选A. ． 【点睛】二次函数的定义． 5. 若关于x的方程的一个根为3，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入，解关于m的方程即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故选C． 6. 一元二次方程，用配方法变形可得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配方进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 8. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 9. 将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线是， 故选：A． 10. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接利用根与系数的关系对各选项进行判断即可，若，是方程的两个根， 则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：D． 11. 二次函数的图象经过平面内的四个象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题目中的解析式和二次函数的性质可以求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：， 二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，顶点为， 二次函数的图象经过平面内的四个象限， 顶点在轴的下方，与轴的交点在负半轴， ， ． 故选：A． 12. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A、B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤当时，有，其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③⑤ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可． 【详解】解：①∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴， ∴，，∴，∴，故②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点， ∴另一个交点坐标为，故③错误； ④从图象可以知道，抛物线顶点为， ∴抛物线与直线有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故④正确； ⑤由图象可知，当时，，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合． 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13. 一元二次方程的较小的根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解法—因式分解法，由的形式可得或，即可求解；能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键． 【详解】解：， 或， ，， 较小的根为； 故答案：． 14. 为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据疫情防控及场地和时间等条件，赛程计划安排15天，每天安排3场比赛，设该县团委邀请x个篮球队参赛，则列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得每个队参加场比赛，共有场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案． 【详解】根据题意列方程得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，解此题的要点在于可以把实际问题转换成数学问题． 15. 已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：_________ (填“>”“<”或“=”)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，开口向上， ， 离对称轴较近， ． 故答案为：． 16. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 三、解答题(本大题共9小题，共98分) 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）方程无实数解 【解析】 【分析】本题考查了利用因式分解法和公式法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程． 【小问1详解】 解：因式分解得， 所以，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， 所以，方程无实数解． 18. 先化简，再求值：，其中a是方程的根． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．先把除法变形为乘法，再计算，然后根据一元二次方程的解的定义，可得，然后代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， ∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 19. 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． （1）试确定a、h、k的值； （2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1），， （2）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． （1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案； （2）根据二次函数的图象性质，可得答案． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； 【小问2详解】 解：二次函数，即 ∵， ∴图象开口向下， 二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 20. 某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 【答案】（1） （2）每套纪念品应定价50元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，平均每天的销售量为套， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每套纪念品应定价50元． 21. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． 【小问2详解】 抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 22. 中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ________， ________（用含t的代数式表示）； （2）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）当时，使得的面积为 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）根据路程速度时间表示出、，再由即可得到答案； （2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，使得的面积为． 23. 如图，已知二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B与C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键． （1）令得到，解方程得到，， 即可求出，，然后令，即可求出点C的坐标； （2）结合函数图像，取函数图像位于x轴下方部分，写出x取值范围即可． 【小问1详解】 令，则， 解得 ，， ∴， 令，则， ∴； 小问2详解】 ∵， ∴图像位于x轴下方， ∴x取值范围为． 24. 亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． （1）请求出和的值； （2）“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； （3）若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数对称轴的计算，二元一次方程组的计算，不同自变量的取值函数最值的计算方法时解题的关键． （1）根据二次函数对称轴，顶点坐标即可求解； （2）联立方程解二元一次方程组即可求解； （3）根据二次函数图象的对称轴，分类讨论，当时，取到最大值；当时，取到最大值；由此即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为， ∵小球达到的最高的的坐标为， ∴， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意联立方程组得， ， 解得，（不符合题意，舍去）或， ∴； 【小问3详解】 解：已知二次函数的顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大； ∵时的最大值为， ∴当时取到最大值，且，即， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）； ∴； 当时，随的增大而减小， ∴当时取得最大值，且，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 25. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2 (2)存，P1（，4），P2（，），P3（，﹣） (3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=． 【解析】 【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2； （2）∵y=﹣x2+x+2， ∴y=﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴是x=． ∴OD=． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）； （3）当y=0时，0=﹣x2+x+2， ∴x1=﹣1，x2=4， ∴B（4，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得 ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2． 如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）， ∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）． ∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN， =××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）， =﹣a2+4a+（0≤x≤4）． =﹣（a﹣2）2+ ∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=， ∴E（2，1）． 【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$