精品解析：北师大版2024-2025学年八年级数学上册期末综合检测试卷

2024-2025学年北师大版数学八年级上册期末综合检测试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 16的平方根是（ ） A. B. 4 C. 2 D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 在数，，，，，5中，无理数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 无理数大小在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 由可以得到用x表示y的式子是（    ） A. B. C. D. 7. 将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8 9 8 1.6 0.8 0.8 3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线 B. 有一个角是的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形一定是锐角三角形 D. 有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，连接CM，MN，则CM+MN的最小值是( ) A. 3 B. 5 C 4 D. 2.4 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 计算：______． 12. 过且与直线平行的直线的表达式是________． 13. 扬州市今年三月份某五天空气质量指数为：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是_____． 14. 已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a+b＝____． 15. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为______． 16. 如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为______． 17. 直线的图象与x轴的交点坐标是关于x、y的二元一次方程的解，那么______． 18. 如果一个四位正整数各个数位上的数字互不相等且均不为，千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数是“中庸数”．对于一个“中庸数”，将它的千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换得到一个新的数，记=，，已知“中庸数”的千位数字为，十位数字为，且，为整数，，则“中庸数”为_______． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 若关于二元一次方程组的解中和的和为1，求的值． 21. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．将向左平移5个单位长度得到，再将关于原点对称得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度）． （1）在图中画出，； （2）在第（1）问的条件下，延长交于点K，求证：，请将下列证明过程补充完整． 证明：∵是由平移得到， ∴①_______， ∵与关于原点对称， ∴②_______， ∴， ∴③_______， 在中，， ④_______． 22. 如图，等边的边长为4，M为边的中点，动点P从B点出发，沿着方向匀速运动，到点C时停止运动，过点P作于点Q，设点P的运动路程为x，点M，Q的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质：_______； （3）结合函数图象，当时，自变量x的取值范围为________． 23. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 24. 如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，米，点D在A的正北方向，点C在B的西北方向，米，点C在D的南偏西方向上． （1）求步道的长度；（精确到个位数）； （2）小亮以90米/分速度沿的方向步行，小明骑自行车以300米/分的速度沿的方向行驶．两人能否在4分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：，） 25. 如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． 图1 图2 （1）求直线的解析式； （2）点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； （3）如图2，将直线水平向左平移个单位得直线，直线与轴交于点，连接，若点为平面内一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出直线与轴交点的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 与分别是等边三角形和等腰直角三角形，． （1）如图1，点E是与的延长线的交点，连接，求的度数； （2）如图1，作的平分线交于点F，交于点G，求证：； （3）如图2，连接，过点B作，垂足为M，交于点N，猜想之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级上册期末综合检测试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 16的平方根是（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】题考查了平方根，熟记定义是解题的关键．根据平方根的定义计算即可． 【详解】解：16的平方根是， 故选：D． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理判定三角形的形状．根据勾股定理的逆定理分别计算较小两边的平方和，与较大边的平方相等时，该三角形是直角三角形，否则不是，据此解答，即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 3. 在数，，，，，5中，无理数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：， 所以无理数有：，，共2个． 故选：B 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据各个象限符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，进行逐一判断即可． 【详解】解：， ， ， 点横纵坐标的符号为， 点在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了点的象限判断，掌握象限符号特征是解题的关键． 5. 无理数的大小在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算；利用算术平方根进行估算求解． 【详解】解：∵， ∴，则 ∴ ∴的大小在2和3之间． 故选：B． 6. 由可以得到用x表示y的式子是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程，将x看做已知数，求出y即可． 【详解】解：∵ ∴ 即， 故选A． 7. 将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为， 故选：D． 8. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8 9 8 1.6 0.8 0.8 3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平均数和方差进行决策，熟练掌握平均数和方差的意义是解题关键．先根据成绩的平均数可得应该选择甲运动员或丙运动员，再根据方差的意义即可得出答案． 【详解】解：由成绩的平均数可知，应该选择甲运动员或丙运动员， 因为丙运动员成绩的方差小于甲运动员的， 所以丙运动员的成绩波动小，更稳定， 所以应该选择丙运动员， 故选：C． 9. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线 B. 有一个角是的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形一定是锐角三角形 D. 有一个角对应相等两个等腰三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定对各选项逐一判断后即可确定答案． 【详解】解：A、等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线，正确，故A符合题意； B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故B不符合题意； C、等腰三角形可能的锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故C不符合题意； D、有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，故D不符合题意． 故选：A． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，连接CM，MN，则CM+MN的最小值是( ) A. 3 B. 5 C. 4 D. 2.4 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N， ∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N， ∴MN=ME， ∴CM+MN的最小值=CM+ME=CE， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴， ∵， ∴ 解得：CE=2.4． 故选：D 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根和算术平方根的性质计算，即可得到答案． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根和算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握立方根、算术平方根的性质，从而完成求解． 12. 过且与直线平行的直线的表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两平行直线的解析式的值相等求出，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出，从而得解． 【详解】解：设直线l的函数解析式为一次函数， ∵它的图象平行于直线， ∴， ∵直线l经过点， ∴， ∴这个一次函数的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两直线平行问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 13. 扬州市今年三月份某五天的空气质量指数为：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是_____． 【答案】33 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数．根据中位数的求法，即可求解． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为26， 27，33，34，40，位于正中间的数为33， ∴这组数据的中位数是33． 故答案为：33 14. 已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a+b＝____． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出和的范围，得到a、b的值，再代入a＋b计算即可． 【详解】∵2＜＜3，2＜＜3， ∴a＝−2，b＝2， a＋b＝−2＋2＝， 故答案． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出和的范围是解此题的关键． 15. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），熟练掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题关键．根据点的纵坐标为，代入得出的值，即可得到点的坐标，即可得答案． 【详解】解∵一次函数与的图象交于点， ∴， 解得：， ∴， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为： 16. 如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：依题意，， ， ∴边上的高为， 故答案为：． 17. 直线的图象与x轴的交点坐标是关于x、y的二元一次方程的解，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二元一次方程的解，求得一次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键． 求得直线的图象与轴的交点坐标，代入关于、的二元一次方程，即可求得的值． 【详解】解：令，则，解得， 直线的图象与轴的交点坐标是， 直线的图象与轴的交点坐标是关于、的二元一次方程的解， ， ， 故答案为：． 18. 如果一个四位正整数各个数位上的数字互不相等且均不为，千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数是“中庸数”．对于一个“中庸数”，将它的千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换得到一个新的数，记=，，已知“中庸数”的千位数字为，十位数字为，且，为整数，，则“中庸数”为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数的运算和整除的概念．由“中庸数”的千位数字为，十位数字为，且，为整数，，分情况分析求值即可． 【详解】解：设百位数为，则个位数为， 为， 为， ， ， ， ， ， ， ， 为整数， 则 “中庸数”为 故答案是：． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应． （1）先逐项化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据乘法公式计算，再算加减即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 20. 若关于的二元一次方程组的解中和的和为1，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，解二元一次方程组；由题可得：，解得代入，即可求解． 【详解】解：由题可得：，解得 将代入得： 解得： 的值为． 21. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．将向左平移5个单位长度得到，再将关于原点对称得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度）． （1）在图中画出，； （2）在第（1）问的条件下，延长交于点K，求证：，请将下列证明过程补充完整． 证明：∵是由平移得到， ∴①_______， ∵与关于原点对称， ∴②_______， ∴， ∴③_______， 在中，， ④_______． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质和中心对称的性质求解即可； （2）根据平移的性质和中心对称的性质得到，然后利用平行线的性质和判定得到，然后结合三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 如图所示，，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵是由平移得到， ∴， ∵与关于原点对称， ∴， ∴， ∴， 在中，， ④． 故答案为：，，，. 【点睛】本题考查的是画平移图形，画关于原点对称的图形，平行线的性质和判定，三角形外角的性质，熟练的掌握平移的性质与中心对称的性质是解本题的关键． 22. 如图，等边的边长为4，M为边的中点，动点P从B点出发，沿着方向匀速运动，到点C时停止运动，过点P作于点Q，设点P的运动路程为x，点M，Q的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质：_______； （3）结合函数图象，当时，自变量x的取值范围为________． 【答案】（1）； （2）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数及其图像的性质． （1）连接，当点P在上时，，当点P在上时，，由直角三角形的性质求解即可； （2）描点、连线即可画出图像，再观察y的图像，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）结合图像即可求解． 【小问1详解】 解：如下图，连接， 当点P在上时，， 等边的边长为4，M为边的中点， ， ， ， ， ， 点P的运动路程为x， ， ， ， 当点P在上时，， 同理，， 同理， ， ， 综上所述，y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 函数图像如下图所示： 由图像可知： 当时，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 当时，由图像可知． 23. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元 （2）购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用， （1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元； 【小问2详解】 解：设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，根据题意得： ， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵m，均为正整数， ∴m的最小值为2， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元），此时（辆）． 答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润91000元． 24. 如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，米，点D在A的正北方向，点C在B的西北方向，米，点C在D的南偏西方向上． （1）求步道的长度；（精确到个位数）； （2）小亮以90米/分的速度沿的方向步行，小明骑自行车以300米/分的速度沿的方向行驶．两人能否在4分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）步道的长度为673米 （2）两人能否在4分钟内相遇；理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点作交于点E，过点E作于点F，过点C作于点G，证明四边形为矩形，得出，米，，证明为等腰直角三角形，得出（米），根据三角函数得出（米），求出（米），解直角三角形得出（米），即可求出结果； （2）根据直角三角形性质求出（米），米，求出（米），根据（米），（米），得出（米），根据（分钟），即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点作交于点E，过点E作于点F，过点C作于点G，如图所示： 根据作图和已知条件可知，， ∴四边形为矩形， ∴，米，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， 即步道的长度为673米． 【小问2详解】 解：两人能在4分钟内相遇；理由如下： ∵在中，米， ∴（米）， ∵在中，米， ∴米， ∴（米）， ∵（米），（米）， ∴（米）， ∵（分钟）， 有∵， ∴两人能在4分钟内相遇． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，求出直角三角形的边长． 25. 如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． 图1 图2 （1）求直线的解析式； （2）点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； （3）如图2，将直线水平向左平移个单位得直线，直线与轴交于点，连接，若点为平面内一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出直线与轴交点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，直线与轴的交点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理、含角的直角三角形的特征、一次函数图象的平移： （1）当时，得，进而可得，进而可得，再将代入即可求解； （2）联立方程组，解得，进而可得，过点作轴垂线交于点，设，则，根据得，进而可求解； （3）由（1）得：，令，则，进而可得，可得，进而可得，将直线水平向左平移个单位得直线，可得，再根据勾股定理得，再利用直角三角形的特征得，，则可得，则直线与轴交点的坐标，直线与轴交于，当时，此时，进而可得，再根据勾股定理得，进而可求解； 熟练掌握相关知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ， ， ， ， 将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：． 【小问2详解】 联立方程组：， 解得：， ∴， ， ∴， 过点作轴垂线交于点，如图： 设，则， ， ∴， 或， ∴或． 【小问3详解】 存，理由如下： 由（1）得：， 令，则， ， ， ， ， ， 将直线水平向左平移个单位得直线， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， ，， ， 直线与轴交点的坐标， 如图： 直线与轴交于， 当时，此时， ， ， ， ， ， 在，根据勾股定理得： ， ， 直线与轴的交点坐标为， 综上所述，直线与轴的交点坐标为或． 26. 与分别是等边三角形和等腰直角三角形，． （1）如图1，点E是与的延长线的交点，连接，求的度数； （2）如图1，作的平分线交于点F，交于点G，求证：； （3）如图2，连接，过点B作，垂足为M，交于点N，猜想之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，根据，计算求解即可； （2）如图1，连接，证明，进而可求，则，进而结论得证； （3）如图2，在上取点，使，连接，证明，则，，，然后可求，，即，，由，可得． 【小问1详解】 解：∵与分别是等边三角形和等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 证明：如图1，连接， 由题意知，， ∵的平分线交于点F， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，证明如下； 如图2，在上取点，使，连接， 由题意知，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$