精品解析：2022年浙江省宁波市鄞州区六校联考强基招生数学模拟试题

2022年浙江省宁波市鄞州区六校联考强基招生数学模拟试卷 一、填空 1. 设，，则取值范围是 ___________． 2. 如图，正方形是一飞镖游戏板，其中点，，，分别是各边中点，并将该游戏板划分成如图中所示的9个区域，现随机向正方形内投掷一枚飞镖（投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），则投中阴影区域的概率是______． 3. 已知二次函数的图象与轴交于，两点，且满足．当时，则该函数的最大值与满足的关系式是______． 4. 如图，在中，，，图中用实线表示的线段与斜边垂直，用虚线表示的线段都与直角边垂直，按照这一规律一直画下去，就会有无数条实线线段，则图中这无数条实线线段的和：__________． 5. 若多项式含有因式和，则________． 6. 如图，在正方形中，延长至点E，以边向下画正方形，连接交于点H，，连接，若面积为30，则的长为 _________________． 7. 如图，在中，，分别以、为边作两个等边三角形：，，其中，与交于点M，与交于点N，连接，则的面积与的面积之比为 ____________________． 8. 已知三角形三边a，b，c都是整数，且满足，则此三角形的面积为 ____________________． 9. 如图，在平面直角坐标系中与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于点A，B，点在上，点D为的中点，连结并延长交于点E，点F在x轴的正半轴上，连接交于点G，若，则的面积为 _________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 _______． 二、解答（每20分，共40分） 11 已知m，n为实数，关于x的方程恒有三个不相等的实数根． （1）求n的最小值； （2）若该方程的三个不相等实根恰为一直角三角形的三条边长，求直角三角形较小角的正弦值． 12. 如图1，是平行四边形的一条对角线，且，的外接圆⊙O与边交于点E，连结． （1）若，的面积为，求的半径． （2）如图2，过点作于，直线与直线交于点，若时，求的值．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022年浙江省宁波市鄞州区六校联考强基招生数学模拟试卷 一、填空 1. 设，，则的取值范围是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，不等式的应用，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 先将化成，再由可得，进而可得取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2. 如图，正方形是一飞镖游戏板，其中点，，，分别是各边中点，并将该游戏板划分成如图中所示的9个区域，现随机向正方形内投掷一枚飞镖（投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），则投中阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】用阴影部分的面积除以正方形ABCD的面积得到概率． 【详解】解：阴影部分组合起来的面积就等于三角形ABF的面积， 设正方形ABCD的边长是，则， ∵F是BC中点， ∴， ∴， 概率是． 故答案是：． 【点睛】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握概率求解的方法． 3. 已知二次函数的图象与轴交于，两点，且满足．当时，则该函数的最大值与满足的关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的性质求最值，由二次函数的性质得，从而可得函数的最大值是时所对应的函数值；理解二次函数的性质，能找出取最大值是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点， 图象开口向上，对称轴为直线， ， ， 对称轴在和之间， 当时， 函数的最大值是时所对应的函数值， ， 故答案为：． 4. 如图，在中，，，图中用实线表示的线段与斜边垂直，用虚线表示的线段都与直角边垂直，按照这一规律一直画下去，就会有无数条实线线段，则图中这无数条实线线段的和：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，同时掌握同角的余角相等，平行线的判定与性质．先根据求出的值，然后根据已知条件证得，从而求得，同理可得，，，，，，最后即可求出答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， ， 同理，，，，，， ． ．．． ， 故答案为：． 5. 若多项式含有因式和，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意构建关于m，n的方程组，求解后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， 整理， 解得， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了运用因式分解和方程组进行整式求值的问题，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地变形、计算． 6. 如图，在正方形中，延长至点E，以边向下画正方形，连接交于点H，，连接，若的面积为30，则的长为 _________________． 【答案】2 【解析】 【分析】设正方形和正方形的边长分别为a、b，得到，根据，得到，根据，得到，得到，求得，根据的面积为30，得到，解得，得到，即得． 【详解】解：设正方形、正方形的边长分别为a、b， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为30， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的面积公式，是解题的关键． 7. 如图，在中，，分别以、为边作两个等边三角形：，，其中，与交于点M，与交于点N，连接，则的面积与的面积之比为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点N作于点H．首先利用相似三角形的性质证明，求出的面积，再求的面积与的面积之比，可得结论． 【详解】解：过点N作于点H． ∵，都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是证明． 8. 已知三角形三边a，b，c都是整数，且满足，则此三角形的面积为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解应用．以及三角形的面积的求法，解答此题的关键是熟练掌握分组法分解因式，求出三角形的三边a，b，c的长度各是多少． 根据，得到，且三角形的三边a，b，c都是整数，得到，求出，然后根据等边三角形面积的求法，求出此三角形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的三边a，b，c都是整数， ∴， 解得，， ∴此三角形是边长为1的三角形， ∴此三角形的面积为：． 故答案为：． 9. 如图，在平面直角坐标系中与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于点A，B，点在上，点D为中点，连结并延长交于点E，点F在x轴的正半轴上，连接交于点G，若，则的面积为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数表达式的求法，结合了一线三直角模型求点的坐标，关键是确定． 先求出，再过D作，构造一线三直角模型，求出点H，由C、D两点确定直线的表达式，求出点K，由C、H两点确定直线的表达式，求出点F，最后利用求解即可． 【详解】解：过D作，垂足为H，过H作轴，交x轴于点Q，过C作，垂足为M，过D作，垂足为N，设直线交x轴于点K，交y轴于点P，如图： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为∶，代入点， 解得：， ∴，令，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：，代入点、得， ∴， ∴，令，得， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】解：本题考查了反比例函数图象与菱形的综合问题，涉及三角形的面积、中线的性质、反比例函数的几何意义等知识，先表示出直线表达式，由中线的性质和反比例函数的表达式即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交y轴于点F， ∵点是菱形对角线的中点， ∴点三点共线．轴 设点，则， 故直线 故直线 点是的中点， 故答案为：． 二、解答（每20分，共40分） 11. 已知m，n为实数，关于x的方程恒有三个不相等的实数根． （1）求n的最小值； （2）若该方程的三个不相等实根恰为一直角三角形的三条边长，求直角三角形较小角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由绝对值的意义，原方程可以化为两个方程，又因为原方程有三个根，所以这两个方程中有一个方程是有不等实数根，有一个方程有两相等实数根，用一元二次方程根的判别式确定答案； （2）先解方程，再利用勾股定理进行计算，求出直角三角形的三边，进一步即可求得较小角的正弦值． 【小问1详解】 解：由原方程得：，， 两方程的判别式分别为：，， ∵原方程有三个根， ∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即中必有一个大于0，一个等于0，比较，显然， ∴，， ∴，即， ∴n的最小值为； 【小问2详解】 解：由，知，得， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵三个不相等实根恰为一直角三角形的三条边长， ∴， ∴，（舍去）， ∴直角三角形的三条边长为6、8、10， ∴． ∴较小角的正弦值为． 12. 如图1，是平行四边形的一条对角线，且，的外接圆⊙O与边交于点E，连结． （1）若，的面积为，求的半径． （2）如图2，过点作于，直线与直线交于点，若时，求的值．． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，设，根据题意易得是的垂直平分线，从而可得，进而在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而利用勾股定理求出，再利用等腰三角形和平行四边形的性质可得，，，，然后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，从而可得，再证明，从而利用相似三角形的性质可求出，的长，进而求出的长，再根据的面积为，列出关于的方程，进行计算可求出，的长，最后设的半径为，在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设，，则，利用平行四边形的性质可得，，，从而可得，进而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进而计算可得，再证明，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【小问1详解】 连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为， 设， ，， 是的垂直平分线， ， 中，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积为， ， ， 解得：或（舍去）， ，， 设的半径为， 在中，， ， 解得：， 的半径为5； 【小问2详解】 连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 设，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， ，， ， ， ， 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$