立体几何进阶拓展：多球堆叠相切问题 讲义-2025届高三数学一轮复习

多球堆叠相切问题 立体几何进阶拓展 2 题型一 求堆积球的高 4 题型二 求堆积球的内切球半径 5 题型三 球的内切多球 6 题型四 圆柱的内切多球 8 题型五 正方体的内切多球 9 题型六 正四面体的内切多球 11 题型七 空隙放球的个数问题 14 3 多球堆叠相切问题，非常重要的一点是连接各球的球心，通过研究球心连接成的 几何体，就可以继续解题了； 正四面体的内切球，其半径为高的   ，以下为证明过程： 由 ∆~∆ 可知，     ，因为      ，所以    ，所以     . 当  ∈ 0,    时，    ， 3 2 1 4 [填空题] [难度:◆◆◇◇◇]（2024 广东茂名一模 T14） 如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写 照，被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层 3 个，上层 1 个，两两相切，若球的半 径都为 ，则上层的最高点离平台的距离为 ． [单选题] [难度:◆◆◇◇◇]（2023 浙江嘉兴高一下期中 T8） 将 3 个半径为 1 的球和一个半径为 √2  1 的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小 的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ） A． √√  B． √√  C． √√  D． √√  1 求堆积球的高 1 5 [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023 山东高二下期末改编） 把 4 个半径为 2 的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切， 现在放入一个小球在这四个小球所形成的空隙中，则此小球的最大半径为 ． [多选题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2023 浙江嘉兴高一下期中 T8） 如图，四个半径为 2 的实心小球两两相切，则（ ） A．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为 √6  √2 的小球 B．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为 √√  的正方体 C．存在一个侧面积为 20  8√6  的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内 D．这四个实心小球可以放入一个半径为 √6  2 的大球内部 2 求堆积球的内切球半径 1 6 [单选题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2018 江西上饶二模 T11） 现有两个半径为 2 的小球和两个半径为 3 的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切， 则这个小球的半径是（ ） A．  B．  C．  D． [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023 广东一模 T8） 水平桌面上放置了 4 个半径为 2 的小球，4 个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球 相切，若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ） A．4 B．2√2  2 C．2√3  2 D．6 3 球的内切多球 2 7 [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023 广东深圳高一下期中 T16） 水平桌面上放置了 3 个半径为 2 的小球，它们两两相切，并均与桌面相切．若用一个半球 形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 ． [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2015 浙江二模 T7） 半径为  的球内部装有 4 个半径相同的小球，则小球半径  的可能最大值为（ ） A． √ √  B． √  C． √  √  D． √ √  2 1 8 [填空题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2021 重庆高一上期末 T15） 将 6 个半径都为 1 的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层 3 个，下层 的 3 个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为 ． [填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2014 山西高二上月考 T16） 将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个 球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ． 4 圆柱的内切多球 1 9 [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2014 山西高二上月考 T16） 底面半径为 1 的圆柱形容器里放有四个半径为 0.5 的实心铁球，四个球两两相切，其中 底层两球与容器底面相切，现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则容器中水高 为 ． [填空题] [难度:◆◆◆◇◇]（2013 贵州高三月考 T16） 球 O 是棱长为 2 的正方体的内切球（与正方体的各个面均相切），现在要在正方体内放置 一个小球 O′，使球 O′与正方体的三个面及球 O 均相切，则球 O′的半径为 ． 5 正方体的内切多球 2 10 [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2021 河南高三上开学考 T11） 设一正方体内部有两个球 O1和 O2，已知球 O1与正方体的三个面相切，球 O2与正方体的 六个面均相切，球 O1与球 O2也相切，设球 O1，O2的半径分别为 ，，则   （ ） A．√3  √2 B．2  √3 C． √   D．1  √   [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2020 重庆二诊 T12） 两球 O1和 O2在棱长为 2 的正方体       的内部，且互相外切，若球 O1与过 点  的正方体的三个面相切，球 O2与过点 C1的正方体的三个面相切，则球 O1和 O2的表 面积之和的最小值为（ ） A．3 2  √3  B．4 2  √3  C．6 2  √3  D．12 2  √3  2 1 11 [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2022 湖南师大附中高一下期中 T16） 在棱长为 4√2 的正方体空盒内，有四个半径为  的小球在盒底四角，分别与正方体底面处 交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为  的大球放在四个小球之上，与四个小球 相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大 值为 ；大球体积的最小值为 ． [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023 江苏连云港高一期末 T8） 已知正四面体的棱长为 12，先在正四面体内放入一个内切球 O1，然后再放入一个球 O2， 使得球 O2与球 O1及正四面体的三个侧面都相切，则球 O2的体积为 ． 6 正四面体的内切多球 3 12 [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2024 贵州新高考协作体高二入学考 T8） 如图，O1是正四面体的内切球，球 O2，O3，O4，O5分别是四个角处与球 O1及正四面体的 三个侧面都相切的球，则球 O1的体积与球 O2，O3，O4，O5的体积之和的比为（ ） A．1：2 B．1：1 C．3：2 D．2：1 [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2024 江苏无锡一中高一下期中 T14） 如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双 都是世界第一，建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是 世界领先，如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 ABCD 的内切球， 中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切， 已知正四面体 ABCD 体积为 8√3，则模型中最大球的体积为 ，模型中九个球的表 面积之和为 ． 1 2 13 [多选题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2024 河北张家口高考适应性测试 T11） 如图所示，有一个棱长为 4 的正四面体 P﹣ABC 容器，D 是 PB 的中点，E 是 CD 上的 动点，则下列说法正确的是（ ） A．直线 AE 与 PB 所成的角为  B．△ABE 的周长最小值为 4  √34 C．如果在这个容器中放入 1 个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 √   D．如果在这个容器中放入 4 个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 √ [单选题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024 湖北新高考协作体模拟卷 T8） 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4√6 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运 动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是（ ） A．36√3 B．18√3 C．72√3 D．144√3 3 1 14 [填空题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2017 河北高二下月考 T12） 在底面半径为 3 高为 4  2√3 的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为 3 的大球后，再放 入与球面，圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为 个 [填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024 河南焦作高二下月考 T13） 如图为某水晶工艺品的示意图，该工艺品是将一个半径为 R的大球放置在底面半径和高 均为 R的空心圆柱内构成的，大球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆 柱与球的空隙处放入若干个大小相等的实心小球，且小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及 大球都相切，则该工艺品内最多可放入 个小球（取   3.14，√2  1.41）． 7 空隙放球的个数问题 1 15 [填空题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2024 河南焦作高二下月考 T13） 在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆 锥内的空隙处放入  个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则  的 最大值为 ．（取 17°  √   ） 2 多球堆叠相切问题 立体几何进阶拓展 2 题型一 求堆积球的高 4 题型二 求堆积球的内切球半径 4 题型三 球的内切多球 6 题型四 圆柱的内切多球 7 题型五 正方体的内切多球 8 题型六 正四面体的内切多球 9 题型七 空隙放球的个数问题 12 3 多球堆叠相切问题，非常重要的一点是连接各球的球心，通过研究球心连接成的 几何体，就可以继续解题了； 正四面体的内切球，其半径为高的   ，以下为证明过程： 由 ∆~∆ 可知，     ，因为      ，所以    ，所以     . 当  ∈ 0,   时，    ， 3 2 1 4 [填空题] [难度:◆◆◇◇◇]（2024 广东茂名一模 T14） 如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写 照，被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层 3 个，上层 1 个，两两相切，若球的半 径都为 ，则上层的最高点离平台的距离为 ． 【参考答案】 √   【答案解析】连接各球的球心，可得到棱长为 2 的正四面体，如右图 ，我们不难算出，  √  ，然后根据勾股定理可算出   √  ， 所以所求的最高点到平台的距离为  2  √   2  √  . [单选题] [难度:◆◆◇◇◇]（2023 浙江嘉兴高一下期中 T8） 将 3 个半径为 1 的球和一个半径为 √2  1 的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小 的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ） A． √√  B． √√  C． √√  D． √√  【参考答案】A 【答案解析】连接各球的球心，可得到底面边长为 2，侧棱长为 √2 的 正三棱柱，我们不难算出，  √  ，然后根据勾股定理，可以算出   √  ，所以最高点到桌面的距离为  √2  √ √  . [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023 山东高二下期末改编） 把 4 个半径为 2 的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切， 现在放入一个小球在这四个小球所形成的空隙中，则此小球的最大半径为 ． 【参考答案】√6  2 【答案解析】连接各球的球心，可得到棱长为 4 的正四面体，其实这 里比较难发现，这个正四面体的外接球球心就是要放入空隙的那个小 球的球心，先算出正四面体的外接球半径，可得   √6，所以如右 图，即   √6，故   √6  2，所以所求的最大半径为 √6  2. 1 求堆积球的高 1 2 求堆积球的内切球半径 5 [多选题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2023 浙江嘉兴高一下期中 T8） 如图，四个半径为 2 的实心小球两两相切，则（ ） A．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为 √6  √2 的小球 B．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为 √ √  的正方体 C．存在一个侧面积为 20  8√6 的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内 D．这四个实心小球可以放入一个半径为 √6 2 的大球内部 【参考答案】BCD 【答案解析】我建议这道题目老老实实地看答案解析，把三维视图看清 楚了，然后记住结论就好，因为很难想象出来这个图形。首先是 A 选项 ，因为条件和前一题是一模一样的，所以可以放入的球的最大半径为 √6  2，而 √6  √2 比 √6  2 大，所以放不进去，A 错；然后我们再看 D 选项，按照前面的思路，先把球心连在一起得到一个棱长为 4 的正四 面体，只要求出这个正四面体外接球的半径即可，解得为 √6，所以如 右图   √6，所以   2 √6，所以这四个球可以放入半径为 2 √6 的大球内部，D 对；接下来看后续的选项，先看 B，我们可以思 考，能放入的最大的正方体应该长什么样，因为 A 选项不是放了个球吗 ，只要求出这个球的内接正方体就可以了，半径为 √6  2 的小球，其 内接正方体可以通过计算得边长为 √ √  ，所以 B 是对的，这样的正 方体是可以放进去的，这里你可能会产生疑惑，为什么莫名其妙要算 出小球的内接正方体，难道这个正方体就是能放入空隙中的最大的正方 体吗，凭什么赌内接正方体算出来就是 C 选项的数，针对这个疑惑，解 答如下，因为本身这个空隙空间就很抽象，我们只能借助特殊的图形来 帮助我们判断，如放个正四面体、球体，至于这个是不是所有能放入的 正方体中最大的一个，小编也没办法保证，但是题目考查的内容不可能 是如此极限，难到无法想象的地步，所以就要赌内接正方体，如果算出 来比 C 选项要小，那就放手别选了，此题抽象程度不是人能做的；D 选 项，要放圆柱了，我们也是一样，求出小球的内接圆柱就可以了，假设   ，    ，则      √6  2  ℎ，圆柱的侧面 2ℎ  2√6  2  20  8√6，当且仅当   ℎ  √6  2 时取等，故 D 对. 1 6 [单选题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2018 江西上饶二模 T11） 现有两个半径为 2 的小球和两个半径为 3 的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切， 则这个小球的半径是（ ） A． B．  C．  D．  【参考答案】A 【答案解析】这题很难，没有好的方法，只能画出图来分 析计算，如右图，  2， !  3，设第五个小球的半径 为 ，球心为 "，则 "   2，"!  3 ，所以通过勾 股定理可以分别算出 "  √"  4  √ 4， "  #"!  9  √ 6 ， ∴   √ 4 √ 6 ， 在 &∆ ! 中，!  √21，∴ √ 4 √ 6 9  21，即 √ 4 √ 6  √12，我们移项做差计算起 来会方便一点，√ 4  √12  √ 6，即 √12√ 6  6 ，解得   . [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023 广东一模 T8） 水平桌面上放置了 4 个半径为 2 的小球，4 个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球 相切，若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ） A．4 B．2√2 2 C．2√3 2 D．6 【参考答案】C 【答案解析】根据题目的意思，摆成半球形容器内壁与四个小球均 相切即可，不难发现，四个球与桌面的切点和四个球的球心之间连 线会围成一个长宽为 4，高为 2的立方体，而立方体底面的正中心 ( 正是半球形容器的球心，若要半球形容器内壁的半径有最小值，则半径即为 (  2√3 2. [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023 广东深圳高一下期中 T16） 水平桌面上放置了 3 个半径为 2 的小球，它们两两相切，并均与桌面相切．若用一个半球 形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 ． 【参考答案】 √  2 【答案解析】这题和上一题如出一辙，根据题目的意思，摆成如右图 的样子，不难发现，这次三个球与桌面的切点和三个球的球心之间连 线会围成一个高为 2，底面边长为 4 的正三棱柱，正三棱柱底面的正 中心 ( 正是半球形容器的球心，故所求半径最小值为 (  √  2. 3 球的内切多球 2 1 7 [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2015 浙江二模 T7） 半径为  的球内部装有 4 个半径相同的小球，则小球半径  的可能最大值为（ ） A． √ √  B． √  C． √ √  D． √ √  【参考答案】C 【答案解析】摆成如右图这个形状，四个小球两两相切且与大球相切， 此时小球的半径最大，连接四个小球的球心可得到一个棱长为 2 的正 四面体，不难算出其外接球半径为 √  ，即如图   √  ，故     √   ，即    √    √ √   √ √ . [填空题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2021 重庆高一上期末 T15） 将 6 个半径都为 1 的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层 3 个，下层 的 3 个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为 ． 【参考答案】2 √  【答案解析】首先要想第二层应该怎么放，错误放法如右图，第一层放三 个球，第二层在三个球的上面放一个球，这样的话，接下来再放进去的球 都会被卡在上面，下不来，正确的摆法应该是第二层和第一层平行，第二 层的球都座落在第一层相邻两个小球的凹陷处，你可能会疑惑，都座落在 凹陷处了，第二层的三个小球能保证相互之间是紧贴在一起？答案是必然 的，你可以理解为把第一层小球复制一份放在第二层，然后将第二层绕 着圆柱的中轴线转动到使三个小球都位处凹陷处就行了，如右图所示， 上下两个分别是边长为 2的正三角形，  #|*|  |*|  √3， 设 + 和  分别是上下两个三角形的中心，则 + 必垂直于这俩三角形 所在的平面，     √  ，∴   +  +  +      ,    √  ，∴   #||  | |  √  ，故圆柱体的高为 2 √  . [填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2014 山西高二上月考 T16） 将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个 球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ． 【参考答案】2 √8 【答案解析】这一题其实和上一题方法是一样的，如右图，,  2√2， "  2，+  -  .  √2  1，  #|/|  | /|  √3，由勾股 定理可得 +  #| |  |+|  #2√2，所以圆柱高为 2 √8 . 4 圆柱的内切多球 2 1 8 [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2014 山西高二上月考 T16） 底面半径为 1 的圆柱形容器里放有四个半径为 0.5 的实心铁球，四个球两两相切，其中 底层两球与容器底面相切，现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则容器中水高 为 ． 【参考答案】1 √  【答案解析】把球心连接起来，可以得到一个边长为 1 的正四面体， 要求出水的高度，就要求出如右图  的长度，即该正四面体的对棱 之间的距离，在直角三角形  中，   √  ，  0.5，所以可 求出   √  ，所以水的高度为 √  1. [填空题] [难度:◆◆◆◇◇]（2013 贵州高三月考 T16） 球 O 是棱长为 2 的正方体的内切球（与正方体的各个面均相切），现在要在正方体内放置 一个小球 O′，使球 O′与正方体的三个面及球 O 均相切，则球 O′的半径为 ． 【参考答案】2  √3 【答案解析】如右图，把球心连接之后，整个大正方体的体对角线 由三个部分组成，边长为 1 的正方体的体对角线、两球心的距离、 边长为 2  √3 的正方体的体对角线，具体为什么是边长为 2  √3 ，根据题目已知条件，我们知道如右图   √3，所以/3 /  3    2√3  √3  √3，假设小球的半径为 ，则 /3  √3， /   1，故 √3  1  √3，，所以就可以解得   2  √3. [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2021 河南高三上开学考 T11） 设一正方体内部有两个球 O1和 O2，已知球 O1与正方体的三个面相切，球 O2与正方体的 六个面均相切，球 O1与球 O2也相切，设球 O1，O2的半径分别为 ，，则   （ ） A．√3  √2 B．2  √3 C．√   D．1  √  【参考答案】B 【答案解析】这题背景和上一题只能说是一模一样，所以我就不作图了，也不做解释了， 若正方体边长为 2，则   ，通过对正方体的对角线进行计算可知   2  √3， 所以    2  √3，如果没懂，就看上一题. 5 正方体的内切多球 2 1 9 [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2020 重庆二诊 T12） 两球 O1和 O2在棱长为 2 的正方体 345  3 4 5  的内部，且互相外切，若球 O1与过 点 3 的正方体的三个面相切，球 O2与过点 C1的正方体的三个面相切，则球 O1和 O2的表 面积之和的最小值为（ ） A．32  √3 B．42  √3 C．62  √3 D．122  √3 【参考答案】C 【答案解析】设球 O1和 O2的半径分别为  和 ，故   √3，  3  √3 ，    ，故 3  2√3  √3 √3  ， 即    √ √ ，故两球表面积之和为 4  4  4    8   8 √ √ ∙ √ √  122  √3，（当    时取等）. [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2022 湖南师大附中高一下期中 T16） 在棱长为 4√2 的正方体空盒内，有四个半径为  的小球在盒底四角，分别与正方体底面处 交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为  的大球放在四个小球之上，与四个小球 相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大 值为 ；大球体积的最小值为 ． 【参考答案】√2； √  【答案解析】如果小球半径要最大，那就如右图所示，小球之间相 邻小球是相切的，所以小球的半径为 √2，将它们的球心与大球的 球心连起来可得到一个正四棱锥，设大球半径为 ，则 -   √2，-4  4√2    √2  3√2  ，4  2，由勾股定理有  √2  4 3√2  ，解得   √  ，所以大球体积为 √  . [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023 江苏连云港高一期末 T8） 已知正四面体的棱长为 12，先在正四面体内放入一个内切球 O1，然后再放入一个球 O2， 使得球 O2与球 O1及正四面体的三个侧面都相切，则球 O2的体积为 ． 【参考答案】√6 【答案解析】我们要记住一个结论，就是正四面体的内切球半径为高 的  ，由于正四面体棱长为 12，我们可以计算出高为 3/  4√6，所 以内切球  的半径为 √6，所以 3  2√6，根据题目的意思，我们 可以理解为内切球  在更小一点的正四面体中，所以半径为  7 2√6  √  ，所以球  体积为    ∙ √    √6. 2 6 正四面体的内切多球 3 10 [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2024 贵州新高考协作体高二入学考 T8） 如图，O1是正四面体的内切球，球 O2，O3，O4，O5分别是四个角处与球 O1及正四面体的 三个侧面都相切的球，则球 O1的体积与球 O2，O3，O4，O5的体积之和的比为（ ） A．1：2 B．1：1 C．3：2 D．2：1 【参考答案】D 【答案解析】这题目和上一题的框架是一致的，正四面体的内切球半径为高的  ，所以 球 O1的半径是高的  ，然后我们又可以将球 O3看成其在高为原来的高的  的更小一点的 正四面体中，所以不难得出球 O3的半径与球 O1的半径之比为 1：2，球 O2，O4，O5和 球 O3是一样的，球 O1和球 O3的体积之比为 8：1，所以题目所求的体积之比为 2：1. [填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2024 江苏无锡一中高一下期中 T14） 如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双 都是世界第一，建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是 世界领先，如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 ABCD 的内切球， 中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切， 已知正四面体 ABCD 体积为 8√3，则模型中最大球的体积为 ，模型中九个球的表 面积之和为 ． 【参考答案】   ；9 【答案解析】模型中的最大球就是内切球，正四面体的内切球半径为高的  ，题目告诉我 们这个正四面体的体积为 8√3，我们不难求出正四面体的棱长为 2√6，高为 4，所以最大 球的半径为 1，体积为   ，然后我们又可以将中等球看成其在高为原来的高的  的更小一 点的正四面体中，也就是高为 2 的正四面体中，所以可以知道中等球的半径为  ，同理， 最小球的半径为  ，因此，九个球的表面积之和为 4 ∙ 1 4 ∙ 4 ∙    4 ∙ 4 ∙     9. 1 2 11 [多选题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2024 河北张家口高考适应性测试 T11） 如图所示，有一个棱长为 4 的正四面体 P﹣ABC 容器，D 是 PB 的中点，E 是 CD 上的 动点，则下列说法正确的是（ ） A．直线 AE与 PB 所成的角为   B．△ABE的周长最小值为 4 √34 C．如果在这个容器中放入 1 个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 √  D．如果在这个容器中放入 4 个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 √   【参考答案】ACD 【答案解析】正三棱锥的对棱是相互垂直的，所以 4 和 35 垂直，又因 为 4 和 5 垂直，所以 4 垂直于面 35，那就必有 3 ⊥ 4，A 对；B 选项考查的是几何体的结构特征，我们要会展开，把 ∆ 35 沿着 5 展开 与平面 45 同一个平面内，连 34，与 5 交于  点，此时 3 4 有最 小值，在 ∆ 35 中由余弦定理可以求出 9:;∠35   ，所以 9:;∠34  9:;∠35     ;=>∠35   √  ，在 ∆ 34 中由余 弦定理可求出   41 √  ，所以 ∆ 34 周长有最小值 4 41 √  ， B 错；C选项意思就是求内切球半径，根据结论，   ℎ  √  ，C 对 ；D 选项，把四个小球摆成如右图所示，把球心连在一起，会得到一 个棱长为 2 的小正四面体，不难求出这个小正四面体的高为 !  √  ，上面的小球和小正四面体相切，所以同样可以使用做 C 选项 所用的的结论， !  3，所以 /  4 √    √  ，解得   √   ，D 对. [单选题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024 湖北新高考协作体模拟卷 T8） 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4√6 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运 动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是（ ） A．36√3 B．18√3 C．72√3 D．144√3 【参考答案】C 【答案解析】多的不说了，直接看右图，3  3  3，所以 3*  2√2，正四面体任何一个面小球能碰到的面积都是和等边 ∆(* 全 等的面积，3    3  4√2，故 ∆: ∆  *: 3  1: 4， (原理：面积等于相似比的平方)，即 ∆  6√3，故所求面积为 4 7  ∆  ∆  72√3. 3 1 12 [填空题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2017 河北高二下月考 T12） 在底面半径为 3 高为 4 2√3 的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为 3 的大球后，再放 入与球面，圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为 个 【参考答案】√6 【答案解析】轴截面如右图所示， *  #3   3    2√3， 所以高为 4 2√3  2√3  3，可 解得   1，所以 ;=>∠(   ，所以 &>∠(  √  ，你可能会说，还搞什 么，直接不就是 30° 吗，别急，我这里展示的是做此类题目的通法。如图所示， ;=>B C B C &>B，所以  C ∠( C √  ，所以 1 C 2∠( C √  ，即放一个球需要的 圆心角范围在 1, √   之间，所以可放的球的个数为  ∠ ∈ √3, 2 F 5.1, 6.28， （这里 √3 F 1.732，非常重要，最好记住），故放入的小球的个数最多为 6 个. [填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024 河南焦作高二下月考 T13） 如图为某水晶工艺品的示意图，该工艺品是将一个半径为 R的大球放置在底面半径和高 均为 R的空心圆柱内构成的，大球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆 柱与球的空隙处放入若干个大小相等的实心小球，且小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及 大球都相切，则该工艺品内最多可放入 个小球（取   3.14，√2  1.41）． 【参考答案】15 【答案解析】这题目和上一题的框架是一致的， *  √2        √2  1  ，所以 可解得   √ √   3  2√2，所以根据右图 可知 ;=>∠(      √  ，所以可以算出 &>∠(  √  √ F . √. F . .! F 0.21，因为 ;=>B C B C &>B，所以 √  C ∠( C 0.21，所以 0.41 C 2∠( C 0.42，所以放一 个球需要的圆心角范围在 0.41, 0.42 之间，所以可放的球的个数为  ∠ ∈   . ,  .  F 14.95, 15.3，故放入的小球的个数最多为 15 个. 7 空隙放球的个数问题 1 13 [填空题] [难度:◆◆◆◆◆ ]（2024 河南焦作高二下月考 T13） 在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆 锥内的空隙处放入 > 个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则 > 的 最大值为 ．（取 ;=>17°  √ ） 【参考答案】10 【答案解析】这题目和前两题的框架是一致的，先 假设内切球的半径为 ，所以 5  " #$%∠&"  2， 所以 5  ，假设小球半径为 ，同理， 5  ' '5  3，故 3  ，所以根据右图 可知 ;=>∠(    ，这里 (  5  5  " ()%∠&"    ()%∠&"  √3  √3  2√3，所以 ;=>∠(     √ ， 所以 &>∠(  √ F .  0.3，因为 ;=>B C B C &>B，所以 √ C ∠( C 0.3， 所以 √  C 2∠( C 0.6，所以放一个球需要的圆心角范围在 √  , 0.6 之间，所以 可放的球的个数为  ∠ ∈  . , 2√3 F 10.46, 10.7，因为个数是取整的，不可 能是小数，所以放入的小球的个数最多为 10 个. 2 多球堆叠相切问题 立体几何进阶拓展 题型一 求堆积球的高 4 题型二 求堆积球的内切球半径 5 题型三 球的内切多球 6 题型四 圆柱的内切多球 8 题型五 正方体的内切多球 9 题型六 正四面体的内切多球  11 题型七 空隙放球的个数问题   14 ( 1 ) 多球堆叠相切问题，非常重要的一点是连接各球的球心，通过研究球心连接成的 几何体，就可以继续解题了； ( 2 ) 正四面体的内切球，其半径为高的，以下为证明过程： 由可知，，因为，所以，所以. ( 3 ) 当时，， ( 求 堆积 球的高 1 ) ( 1 1 )[填空题] [难度:◆◆◇◇◇]（2024广东茂名一模T14） 如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写 照，被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切，若球的半 径都为，则上层的最高点离平台的距离为　 　． ( 1 1 )[单选题] [难度:◆◆◇◇◇]（2023浙江嘉兴高一下期中T8） 将个半径为的球和一个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小 的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（　　） A． B． C． D． ( 求堆积球的内切球半径 1 ) ( 2 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023山东高二下期末改编） 把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切， 现在放入一个小球在这四个小球所形成的空隙中，则此小球的最大半径为 　． ( 1 1 )[多选题] [难度:◆◆◆◆◆]（2023浙江嘉兴高一下期中T8） 如图，四个半径为2的实心小球两两相切，则（　　） A．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球 B．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为的正方体 C．存在一个侧面积为的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内 D．这四个实心小球可以放入一个半径为的大球内部 ( 2 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◆]（2018江西上饶二模T11） 现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切， 则这个小球的半径是（　　） A． B． C． D． ( 球 的 内切多球 1 ) ( 3 1 ) [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023广东一模T8） 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球 相切，若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（　　） A．4 B． C． D．6 ( 1 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023广东深圳高一下期中T16） 水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切．若用一个半球 形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 ． ( 2 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2015浙江二模T7） 半径为的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径的可能最大值为（　　） A． B． C． D． ( 圆柱的 内切多球 1 ) ( 4 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2021重庆高一上期末T15） 将6个半径都为1的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层 的3个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为 ． ( 1 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2014山西高二上月考T16） 将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个 球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于． ( 2 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2014山西高二上月考T16） 底面半径为的圆柱形容器里放有四个半径为的实心铁球，四个球两两相切，其中 底层两球与容器底面相切，现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则容器中水高 为　 　． ( 正方体的 内切多球 1 ) ( 5 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◇◇]（2013贵州高三月考T16） 球O是棱长为2的正方体的内切球（与正方体的各个面均相切），现在要在正方体内放置 一个小球O，使球O与正方体的三个面及球O均相切，则球O的半径为 ． ( 1 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2021河南高三上开学考T11） 设一正方体内部有两个球O1和O2，已知球O1与正方体的三个面相切，球O2与正方体的 六个面均相切，球O1与球O2也相切，设球O1，O2的半径分别为，，则（　　） A． B． C． D． ( 2 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2020重庆二诊T12） 两球O1和O2在棱长为2的正方体的内部，且互相外切，若球O1与过 点的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表 面积之和的最小值为（　　） A． B． C． D． ( 3 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2022湖南师大附中高一下期中T16） 在棱长为的正方体空盒内，有四个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处 交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为的大球放在四个小球之上，与四个小球 相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大 值为；大球体积的最小值为． ( 正四面体的 内切多球 1 ) ( 6 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023江苏连云港高一期末T8） 已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2， 使得球O2与球O1及正四面体的三个侧面都相切，则球O2的体积为． ( 1 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2024贵州新高考协作体高二入学考T8） 如图，O1是正四面体的内切球，球O2，O3，O4，O5分别是四个角处与球O1及正四面体的 三个侧面都相切的球，则球O1的体积与球O2，O3，O4，O5的体积之和的比为（　　） A．1：2 B．1：1 C．3：2 D．2：1 ( 2 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2024江苏无锡一中高一下期中T14） 如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双 都是世界第一，建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是 世界领先，如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球， 中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切， 已知正四面体ABCD体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表 面积之和为 ． ( 3 1 )[多选题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024河北张家口高考适应性测试T11） 如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的 动点，则下列说法正确的是（　　） A．直线AE与PB所成的角为 B．△ABE的周长最小值为 C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 ( 1 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024湖北新高考协作体模拟卷T8） 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运 动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是（　　） A． B． C． D． ( 空隙放 球 的个数 问题 1 ) ( 7 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2017河北高二下月考T12） 在底面半径为3高为的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放 入与球面，圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为　 　个 ( 1 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024河南焦作高二下月考T13） 如图为某水晶工艺品的示意图，该工艺品是将一个半径为R的大球放置在底面半径和高 均为R的空心圆柱内构成的，大球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆 柱与球的空隙处放入若干个大小相等的实心小球，且小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及 大球都相切，则该工艺品内最多可放入 　 　个小球（取）． ( 2 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024河南焦作高二下月考T13） 在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆 锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的 最大值为 ．（取） ( 2 ) ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 多球堆叠相切问题 立体几何进阶拓展 题型一 求堆积球的高 4 题型二 求堆积球的内切球半径 4 题型三 球的内切多球 6 题型四 圆柱的内切多球 7 题型五 正方体的内切多球 8 题型六 正四面体的内切多球  9 题型七 空隙放球的个数问题   12 ( 1 ) 多球堆叠相切问题，非常重要的一点是连接各球的球心，通过研究球心连接成的 几何体，就可以继续解题了； ( 2 ) 正四面体的内切球，其半径为高的，以下为证明过程： 由可知，，因为，所以，所以. ( 3 ) 当时，， ( 求 堆积 球的高 1 ) ( 1 1 )[填空题] [难度:◆◆◇◇◇]（2024广东茂名一模T14） 如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写 照，被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切，若球的半 径都为，则上层的最高点离平台的距离为　 　． 【参考答案】 【答案解析】连接各球的球心，可得到棱长为的正四面体，如右图 ，我们不难算出，，然后根据勾股定理可算出， 所以所求的最高点到平台的距离为. ( 1 1 )[单选题] [难度:◆◆◇◇◇]（2023浙江嘉兴高一下期中T8） 将个半径为的球和一个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小 的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（　　） A． B． C． D． 【参考答案】A 【答案解析】连接各球的球心，可得到底面边长为，侧棱长为的 正三棱柱，我们不难算出，，然后根据勾股定理，可以算出 ，所以最高点到桌面的距离为. ( 求堆积球的内切球半径 1 ) ( 2 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023山东高二下期末改编） 把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切， 现在放入一个小球在这四个小球所形成的空隙中，则此小球的最大半径为 　． 【参考答案】 【答案解析】连接各球的球心，可得到棱长为的正四面体，其实这 里比较难发现，这个正四面体的外接球球心就是要放入空隙的那个小 球的球心，先算出正四面体的外接球半径，可得，所以如右 图，即，故，所以所求的最大半径为. ( 1 1 )[多选题] [难度:◆◆◆◆◆]（2023浙江嘉兴高一下期中T8） 如图，四个半径为2的实心小球两两相切，则（　　） A．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球 B．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为的正方体 C．存在一个侧面积为的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内 D．这四个实心小球可以放入一个半径为的大球内部 【参考答案】BCD 【答案解析】我建议这道题目老老实实地看答案解析，把三维视图看清 楚了，然后记住结论就好，因为很难想象出来这个图形。首先是A选项 ，因为条件和前一题是一模一样的，所以可以放入的球的最大半径为 ，而比大，所以放不进去，A错；然后我们再看 D选项，按照前面的思路，先把球心连在一起得到一个棱长为4的正四 面体，只要求出这个正四面体外接球的半径即可，解得为，所以如 右图，所以，所以这四个球可以放入半径为 的大球内部，D对；接下来看后续的选项，先看B，我们可以思 考，能放入的最大的正方体应该长什么样，因为A选项不是放了个球吗 ，只要求出这个球的内接正方体就可以了，半径为的小球，其 内接正方体可以通过计算得边长为，所以B是对的，这样的正 方体是可以放进去的，这里你可能会产生疑惑，为什么莫名其妙要算 出小球的内接正方体，难道这个正方体就是能放入空隙中的最大的正方 体吗，凭什么赌内接正方体算出来就是C选项的数，针对这个疑惑，解 答如下，因为本身这个空隙空间就很抽象，我们只能借助特殊的图形来 帮助我们判断，如放个正四面体、球体，至于这个是不是所有能放入的 正方体中最大的一个，小编也没办法保证，但是题目考查的内容不可能 是如此极限，难到无法想象的地步，所以就要赌内接正方体，如果算出 来比C选项要小，那就放手别选了，此题抽象程度不是人能做的；D选 项，要放圆柱了，我们也是一样，求出小球的内接圆柱就可以了，假设 ，，则，圆柱的侧面 ，当且仅当时取等，故D对. ( 2 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◆]（2018江西上饶二模T11） 现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切， 则这个小球的半径是（　　） A． B． C． D． 【参考答案】A 【答案解析】这题很难，没有好的方法，只能画出图来分 析计算，如右图，，，设第五个小球的半径 为，球心为，则，，所以通过勾 股定理可以分别算出， ，， 在中，， ，即，我们移项做差计算起 来会方便一点，，即，解得. ( 球 的 内切多球 1 ) ( 3 1 ) [单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023广东一模T8） 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球 相切，若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（　　） A．4 B． C． D．6 【参考答案】C 【答案解析】根据题目的意思，摆成半球形容器内壁与四个小球均 相切即可，不难发现，四个球与桌面的切点和四个球的球心之间连 线会围成一个长宽为4，高为2的立方体，而立方体底面的正中心 正是半球形容器的球心，若要半球形容器内壁的半径有最小值，则半径即为. ( 1 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023广东深圳高一下期中T16） 水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切．若用一个半球 形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 ． 【参考答案】 【答案解析】这题和上一题如出一辙，根据题目的意思，摆成如右图 的样子，不难发现，这次三个球与桌面的切点和三个球的球心之间连 线会围成一个高为2，底面边长为4的正三棱柱，正三棱柱底面的正 中心正是半球形容器的球心，故所求半径最小值为. ( 2 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2015浙江二模T7） 半径为的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径的可能最大值为（　　） A． B． C． D． 【参考答案】C 【答案解析】摆成如右图这个形状，四个小球两两相切且与大球相切， 此时小球的半径最大，连接四个小球的球心可得到一个棱长为的正 四面体，不难算出其外接球半径为，即如图，故 ，即. ( 圆柱的 内切多球 1 ) ( 4 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2021重庆高一上期末T15） 将6个半径都为1的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层 的3个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为 ． 【参考答案】 【答案解析】首先要想第二层应该怎么放，错误放法如右图，第一层放三 个球，第二层在三个球的上面放一个球，这样的话，接下来再放进去的球 都会被卡在上面，下不来，正确的摆法应该是第二层和第一层平行，第二 层的球都座落在第一层相邻两个小球的凹陷处，你可能会疑惑，都座落在 凹陷处了，第二层的三个小球能保证相互之间是紧贴在一起？答案是必然 的，你可以理解为把第一层小球复制一份放在第二层，然后将第二层绕 着圆柱的中轴线转动到使三个小球都位处凹陷处就行了，如右图所示， 上下两个分别是边长为2的正三角形，， 设和分别是上下两个三角形的中心，则必垂直于这俩三角形 所在的平面，， ，，故圆柱体的高为. ( 1 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2014山西高二上月考T16） 将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个 球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于． 【参考答案】 【答案解析】这一题其实和上一题方法是一样的，如右图，， ，，，由勾股 定理可得，所以圆柱高为. ( 2 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2014山西高二上月考T16） 底面半径为的圆柱形容器里放有四个半径为的实心铁球，四个球两两相切，其中 底层两球与容器底面相切，现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则容器中水高 为　 　． 【参考答案】 【答案解析】把球心连接起来，可以得到一个边长为1的正四面体， 要求出水的高度，就要求出如右图的长度，即该正四面体的对棱 之间的距离，在直角三角形中，，，所以可 求出，所以水的高度为. ( 正方体的 内切多球 1 ) ( 5 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◇◇]（2013贵州高三月考T16） 球O是棱长为2的正方体的内切球（与正方体的各个面均相切），现在要在正方体内放置 一个小球O，使球O与正方体的三个面及球O均相切，则球O的半径为 ． 【参考答案】 【答案解析】如右图，把球心连接之后，整个大正方体的体对角线 由三个部分组成，边长为1的正方体的体对角线、两球心的距离、 边长为的正方体的体对角线，具体为什么是边长为 ，根据题目已知条件，我们知道如右图，所以 ，假设小球的半径为，则， ，故，，所以就可以解得. ( 1 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2021河南高三上开学考T11） 设一正方体内部有两个球O1和O2，已知球O1与正方体的三个面相切，球O2与正方体的 六个面均相切，球O1与球O2也相切，设球O1，O2的半径分别为，，则（　　） A． B． C． D． 【参考答案】B 【答案解析】这题背景和上一题只能说是一模一样，所以我就不作图了，也不做解释了， 若正方体边长为，则，通过对正方体的对角线进行计算可知， 所以，如果没懂，就看上一题. ( 2 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2020重庆二诊T12） 两球O1和O2在棱长为2的正方体的内部，且互相外切，若球O1与过 点的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表 面积之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【参考答案】C 【答案解析】设球O1和O2的半径分别为和，故， ，，故， 即，故两球表面积之和为 ，（当时取等）. ( 3 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2022湖南师大附中高一下期中T16） 在棱长为的正方体空盒内，有四个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处 交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为的大球放在四个小球之上，与四个小球 相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大 值为；大球体积的最小值为． 【参考答案】； 【答案解析】如果小球半径要最大，那就如右图所示，小球之间相 邻小球是相切的，所以小球的半径为，将它们的球心与大球的 球心连起来可得到一个正四棱锥，设大球半径为，则 ，，，由勾股定理有 ，解得，所以大球体积为. ( 正四面体的 内切多球 1 ) ( 6 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2023江苏连云港高一期末T8） 已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2， 使得球O2与球O1及正四面体的三个侧面都相切，则球O2的体积为． 【参考答案】 【答案解析】我们要记住一个结论，就是正四面体的内切球半径为高 的，由于正四面体棱长为12，我们可以计算出高为，所 以内切球的半径为，所以，根据题目的意思，我们 可以理解为内切球在更小一点的正四面体中，所以半径为 ，所以球体积为. ( 1 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◇]（2024贵州新高考协作体高二入学考T8） 如图，O1是正四面体的内切球，球O2，O3，O4，O5分别是四个角处与球O1及正四面体的 三个侧面都相切的球，则球O1的体积与球O2，O3，O4，O5的体积之和的比为（　　） A．1：2 B．1：1 C．3：2 D．2：1 【参考答案】D 【答案解析】这题目和上一题的框架是一致的，正四面体的内切球半径为高的，所以 球O1的半径是高的，然后我们又可以将球O3看成其在高为原来的高的的更小一点的 正四面体中，所以不难得出球O3的半径与球O1的半径之比为1：2，球O2，O4，O5和 球O3是一样的，球O1和球O3的体积之比为8：1，所以题目所求的体积之比为2：1. ( 2 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◇]（2024江苏无锡一中高一下期中T14） 如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双 都是世界第一，建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是 世界领先，如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球， 中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切， 已知正四面体ABCD体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表 面积之和为 ． 【参考答案】； 【答案解析】模型中的最大球就是内切球，正四面体的内切球半径为高的，题目告诉我 们这个正四面体的体积为，我们不难求出正四面体的棱长为，高为，所以最大 球的半径为，体积为，然后我们又可以将中等球看成其在高为原来的高的的更小一 点的正四面体中，也就是高为的正四面体中，所以可以知道中等球的半径为，同理， 最小球的半径为，因此，九个球的表面积之和为. ( 3 1 )[多选题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024河北张家口高考适应性测试T11） 如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的 动点，则下列说法正确的是（　　） A．直线AE与PB所成的角为 B．△ABE的周长最小值为 C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 【参考答案】ACD 【答案解析】正三棱锥的对棱是相互垂直的，所以和垂直，又因 为和垂直，所以垂直于面，那就必有，A对；B 选项考查的是几何体的结构特征，我们要会展开，把沿着展开 与平面同一个平面内，连，与交于点，此时有最 小值，在中由余弦定理可以求出，所以 ，在中由余 弦定理可求出，所以周长有最小值， B错；C选项意思就是求内切球半径，根据结论，，C对 ；D选项，把四个小球摆成如右图所示，把球心连在一起，会得到一 个棱长为的小正四面体，不难求出这个小正四面体的高为 ，上面的小球和小正四面体相切，所以同样可以使用做C选项 所用的的结论，，所以，解得，D对. ( 1 1 )[单选题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024湖北新高考协作体模拟卷T8） 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运 动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是（　　） A． B． C． D． 【参考答案】C 【答案解析】多的不说了，直接看右图，，所以 ，正四面体任何一个面小球能碰到的面积都是和等边全 等的面积，，故， (原理：面积等于相似比的平方)，即，故所求面积为 . ( 空隙放 球 的个数 问题 1 ) ( 7 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2017河北高二下月考T12） 在底面半径为3高为的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放 入与球面，圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为　 　个 【参考答案】 【答案解析】轴截面如右图所示， ， 所以高为，可 解得，所以，所以 ，你可能会说，还搞什 么，直接不就是30吗，别急，我这里展示的是做此类题目的通法。如图所示， ，所以，所以，即放一个球需要的 圆心角范围在之间，所以可放的球的个数为， （这里，非常重要，最好记住），故放入的小球的个数最多为个. ( 1 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024河南焦作高二下月考T13） 如图为某水晶工艺品的示意图，该工艺品是将一个半径为R的大球放置在底面半径和高 均为R的空心圆柱内构成的，大球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆 柱与球的空隙处放入若干个大小相等的实心小球，且小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及 大球都相切，则该工艺品内最多可放入 　 　个小球（取）． 【参考答案】15 【答案解析】这题目和上一题的框架是一致的， ，所以 可解得，所以根据右图 可知，所以可以算出 ，因为 ，所以，所以，所以放一 个球需要的圆心角范围在之间，所以可放的球的个数为 ，故放入的小球的个数最多为个. ( 2 1 )[填空题] [难度:◆◆◆◆◆]（2024河南焦作高二下月考T13） 在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆 锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的 最大值为 ．（取） 【参考答案】10 【答案解析】这题目和前两题的框架是一致的，先 假设内切球的半径为，所以， 所以，假设小球半径为，同理， ，故，所以根据右图 可知，这里 ，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以放一个球需要的圆心角范围在之间，所以 可放的球的个数为，因为个数是取整的，不可 能是小数，所以放入的小球的个数最多为个. ( 2 ) ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull