专项小题训练4 函数与方程——2025届高三数学二轮复习

新教材2025年高考数学复习 专项小题训练 (函数与方程) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f（x）＝ ln x－的零点所在的区间是（　　） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，e） D.（e，3） 2．函数f（x）＝x·cos 2x在区间[0，2π]上的零点的个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 3．已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（ ） A． B． C． D． 4．已知：方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是(　　) A．(－5，－4]∪[4，＋∞) B．(－5，－4] C．(－5，＋∞) D．[－4，－2)∪[4，＋∞) 5．若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　) A. y＝(x＋2)sin 2x B. y＝ C. y＝ D. y＝ 6．已知：定义在R上的函数f（x）满足：f（－x）＋f（x）＝0，f（2－x）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x－1，则f（log22 023）＝（　　） A.－ B.－ C.－ D.－ 7．已知：函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，0) D. 8．若函数f(x)＝的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为(　　) A．(2，3] B．[2，3] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．已知：函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 202.301 52.013 －10.581 3.273 －10.733 －156.314 A.f(x)在区间(2，3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5，6)内可能存在零点 C.f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有3个零点 10．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分)之间满足函数关系y＝f(t)，其中＝R(R为常数)．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库，则下列说法正确的是(　　) A．R＝ B．R＝－ C．排气12分钟后，人可以安全进入车库 D．排气32分钟后，人可以安全进入车库 11．已知：函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则(　　) A．x1＋x2＝－2 B．0<x3<1<x4<2 C．x3x4≥1 D．x1＋x2＋x3＋x4＝0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．已知：函数f(x)的表达式为f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，第四次计算f(x3)的值则x3＝________. 13．为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”．新的计划有以下几点要求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩为10万元或10万元以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元．设业绩为x(10≤x≤300)万元时奖金为f(x)千元，下面给出三个函数模型：①f(x)＝k·x＋b；②f(x)＝k·log2x＋b；③f(x)＝k·x2＋b.其中k>0，b∈R.请选择合适的函数模型，计算当业绩为100万元时，奖金为________千元． 14．已知：函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m有4个不同的根，记为x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，且λ>x1－x2＋恒成立，则λ的取值范围是______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 新教材 2025 年高考数学复习 专项小题训练 (函数与方程) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．函数 f（x）＝ ln x－ 2 𝑥 的零点所在的区间是（ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，e） D.（e，3） 2．函数 f（x）＝x·cos 2x在区间[0，2π]上的零点的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 3．已知： ( ) ( )( ) 2f x x a x b    的零点 , ，那么 a，b， , 大小关系可能是（ ） A． a b    B．a b    C．a b    D． a b    4．已知：方程 x2＋(m－2)x＋5－m＝0 的两根都大于 2，则实数 m 的取值范围是( ) A．(－5，－4]∪[4，＋∞) B．(－5，－4] C．(－5，＋∞) D．[－4，－2)∪[4，＋∞) 5．若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是( ) A. y＝(x＋2)sin 2x B. y＝ （4x2＋5x）sin x |x|＋1 C. y＝ （x＋2）sin x |x|＋1 D. y＝ x2＋2x cos x＋2 6．已知：定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（－x）＋f（x）＝0，f（2－x）＝f（x），当 0≤x≤1 时，f（x）＝ 2x－1，则 f（log22 023）＝（ ） A.－ 25 2 048 B.－ 999 1 024 C.－ 1 024 2 023 D.－ 512 999 7．已知：函数 f(x)＝3x－ 1＋ax x .若存在 x0∈(－∞，－1)，使得 f(x0)＝0，则实数 a 的取值范围是( ) A.   －∞， 4 3 B.   0， 4 3 C．(－∞，0) D.   4 3 ，＋∞ 8．若函数 f(x)＝    log2－x，x<0， 2x＋21 －x－a，x≥0 的所有零点之和为 0，则实数 a 的取值范围为( ) A．(2 2，3] B．[2 2，3] C．(2 2，＋∞) D．[2 2，＋∞) 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分，有选错的得 0分，部分选对的得 3分． 9．已知：函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则( ) 2 x 1 2 3 4 5 6 y 202.301 52.013 －10.581 3.273 －10.733 －156.314 A.f(x)在区间(2，3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5，6)内可能存在零点 C.f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有 3 个零点 10．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复 正常，排气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为 64 ppm，继续排气 4 分钟后又测得浓度为 32 ppm.由检验 知该地下车库一氧化碳浓度 y(单位：ppm)与排气时间 t(单位：分)之间满足函数关系 y＝f(t)，其中 f′t ft ＝R(R 为常数)．若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5 ppm，人就可以安全进入车库，则下列说法正确的是( ) A．R＝ 1 4e  B．R＝－ ln 2 4 C．排气 12 分钟后，人可以安全进入车库 D．排气 32 分钟后，人可以安全进入车库 11．已知：函数 f(x)＝    2x －1＋21 －x－2，x≥0， x2＋2x＋ 1 2 ，x<0， 若 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且 x1<x2<x3<x4，则( ) A．x1＋x2＝－2 B．0<x3<1<x4<2 C．x3x4≥1 D．x1＋x2＋x3＋x4＝0 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，多空题，第一空 2分，第二空 3分，共 15 分． 12．已知：函数 f(x)的表达式为 f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近似值，第一次 计算 f(1)，f(3)的值，第二次计算 f(x1)的值，第三次计算 f(x2)的值，第四次计算 f(x3)的值则 x3＝________. 13．为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”．新的计划有以下几点要求：① 奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接 轨：销售业绩为 10 万元或 10 万元以内时奖金为 0，超过 10 万元则开始计算奖金，销售业绩为 20 万元时奖 金为 1 千元．设业绩为 x(10≤x≤300)万元时奖金为 f(x)千元，下面给出三个函数模型：①f(x)＝k·x＋b；②f(x) ＝k·log2x＋b；③f(x)＝k·x2＋b.其中 k>0，b∈R.请选择合适的函数模型，计算当业绩为 100 万元时，奖金为 ________千元． 14．已知：函数 f(x)＝    －ln1－|x＋1|，－2<x<0， |ln x|，x>0， 若关于 x 的方程 f(x)＝m 有 4 个不同的根，记为 x1，x2， x3，x4(x1<x2<x3<x4)，且 λ x3 x4 >x1－x2＋ 3 2 恒成立，则 λ 的取值范围是______． 新教材2025年高考数学复习 专项小题训练 (4函数与方程) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f（x）＝ ln x－的零点所在的区间是（　　） A.（0，1）　 B.（1，2） C.（2，e）　 D.（e，3） 解析：C　因为函数f（x）＝ln x－在定义域（0，＋∞）内是一条连续不断的曲线，且f（2）＝ln 2－1＜0，f（e）＝ln e－＝1－＞0，所以必存在x0∈（2，e），使得f（x0）＝0.所以函数f（x）＝ln x－的零点所在的区间是（2，e），故选C. 2．函数f（x）＝x·cos 2x在区间[0，2π]上的零点的个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：D　f（x）＝x·cos 2x＝0⇒x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在[0，2π]上有，，，共4个根，故原函数有5个零点. 3．已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意：的零点，则， 令，则， 而，则其图象可由图象向下平移2个单位得到， 故可作出函数的大致图象如图：    由此可知应介于两数之间，结合选项可知可能的结果为， 故B，C，D错误，A正确， 故选：A 4．(2023·扬州模拟)已知：方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是(　　) A．(－5，－4]∪[4，＋∞) B．(－5，－4] C．(－5，＋∞) D．[－4，－2)∪[4，＋∞) 答案　B 解析　方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧， 根据图象得，方程的判别式Δ≥0； f(2)>0； 函数图象的对称轴－>2. 即解得－5<m≤－4. 5．(2024·烟台模拟)若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　) A. y＝(x＋2)sin 2x B. y＝ C. y＝ D. y＝ 答案　B 解析　A中，设f(x)＝y＝(x＋2)sin 2x， 则当x∈时，2x∈(π，2π)， 则f(x)<0，不符合，排除A； C中，设f(x)＝y＝， 当x∈(0，π)时，f(x)＝， 且2<x＋2<π＋2，0<sin x≤1，1<x＋1<π＋1， 所以0<(x＋2)sin x<π＋2， 所以f(x)＝<(x＋2)sin x<π＋2<6，不符合，排除C； D中，设f(x)＝y＝， 令f(x)＝0，解得x＝0或－2，不符合，排除D.故选B. 6．已知：定义在R上的函数f（x）满足：f（－x）＋f（x）＝0，f（2－x）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x－1，则f（log22 023）＝（　　） A.－ B.－ C.－ D.－ 解析：B　∵f（－x）＋f（x）＝0，∴f（x）为奇函数，即图象关于原点对称，∵f（2－x）＝f（x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的周期T＝4×（1－0）＝4，由10＜log22 023＜11，则0＜log22 023－10＜1，即0＜log2＜1，则f（log22 023）＝f（log2＋10）＝f（log2＋2），∵f（2－x）＝f（x），以－x代x得f（2＋x）＝f（－x）＝－f（x），即f（log2＋2）＝－f（log2）＝－（－1）＝－（－1）＝－，故选B. 7．(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，0) D. 答案　B 解析　由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－， 令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)， 由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0， 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域． 由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增． 当x∈(－∞，－1)时， g(x)＝3x－<g(－1)＝3－1＋1＝， 又当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－>0， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为. 因此实数a的取值范围是. 8．若函数f(x)＝的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为(　　) A．(2，3] B．[2，3] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　A 解析　当x<0时，易得f(x)的零点为x0＝－1； 当x≥0时，f(x)＝2x＋21－x－a， ∵当x∈[0,1]时，f(x)＝f(1－x)， ∴f(x)的图象在[0,1]上关于直线x＝对称． 又f′(x)＝， 当x>时，f′(x)>0，故f(x)在上单调递增， 当0<x<时，f′(x)<0，故f(x)在上单调递减， 且f(0)＝1＋2－a，f ＝2－a. ∵f(x)的所有零点之和为0， 故f(x)在[0，＋∞)上有2个不同的零点， 且解得2<a≤3. 故实数a的取值范围为(2，3]． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．(2024·泰州质检)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 202.301 52.013 －10.581 3.273 －10.733 －156.314 A.f(x)在区间(2，3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5，6)内可能存在零点 C.f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有3个零点 答案　ABD 解析　由题表可知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0， 所以f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0， 因为函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)均存在零点， 即f(x)至少有3个零点，故D正确； 对于A，由于只知道f(2)，f(3)的函数值， 故无法判断f(x)在区间(2，3)上的单调性，故A正确； 对于B，C，虽然f(5)<0，f(6)<0，但是函数f(x)在(5，6)内的取值情况未知， 所以函数f(x)在(5，6)内可能存在零点，故B正确，C错误.故选ABD. 10．(2024·湛江模拟)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分)之间满足函数关系y＝f(t)，其中＝R(R为常数)．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库，则下列说法正确的是(　　) A．R＝ B．R＝－ C．排气12分钟后，人可以安全进入车库 D．排气32分钟后，人可以安全进入车库 答案　BD 解析　因为＝R， 所以可设f(t)＝a·eRt(a≠0)． 又 解得R＝－，a＝128，故B正确，A错误； 所以f(t)＝， 当f(t)≤0.5，即≤0.5时，得≤， 所以－t≤ln ，即t≥＝32， 所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C错误． 11．(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则(　　) A．x1＋x2＝－2 B．0<x3<1<x4<2 C．x3x4≥1 D．x1＋x2＋x3＋x4＝0 答案　ABD 解析　如图所示，作出 f(x)＝和y＝t的图象． 当x＝0时，f(0)＝＋2－2＝. 因为存在x1，x2，x3，x4使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，所以0<t<. 由图象可知x1，x2关于x＝－1对称， 所以＝－1， 所以x1＋x2＝－2，故A正确； 当x≥0时，令f(x)＝， 即2x－1＋21－x－2＝，解得x＝0 或x＝2. 所以由图象可知0<x3<1<x4<2，故B正确； 因为当x≥0时，f(x)＝2x－1＋21－x－2， 所以f(1＋x)＝2x＋2－x－2，f(1－x)＝2－x＋2x－2， 所以当0≤x≤2时，有f(1＋x)＝f(1－x)， 即f(x)的图象关于x＝1对称， 所以x3，x4关于x＝1对称，所以＝1， 所以x3＋x4＝2，即x4＝2－x3， 所以x3x4＝(2－x3)x3＝－(x3－1)2＋1(0<x3<1)． 因为x3<1，所以x3x4<1，故C错误； 因为x3＋x4＝2. 又x1＋x2＝－2， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝0，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．已知函数f(x)的表达式为f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，第四次计算f(x3)的值则x3＝________. 答案　 解析　因为f(1)＝1－4log21＝1>0， f(3)＝3－4log23<3－4log22＝－1<0， 根据二分法可得，x1＝2， 且f(2)＝2－4log22＝－2<0， 所以零点所在的区间为[1,2]， 继续上一步…… 13．为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”．新的计划有以下几点要求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩为10万元或10万元以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元．设业绩为x(10≤x≤300)万元时奖金为f(x)千元，下面给出三个函数模型：①f(x)＝k·x＋b；②f(x)＝k·log2x＋b；③f(x)＝k·x2＋b.其中k>0，b∈R.请选择合适的函数模型，计算当业绩为100万元时，奖金为________千元． 答案　33 解析　根据题意，当k>0，b∈R时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高而提高”，而只有模型“f(x)＝k·x2＋b”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”，故选择模型③：f(x)＝k·x2＋b. 根据题意，得 解得 所以f(x)＝x2－， 当x＝100时，f(x)＝×1002－＝33. 14．(2023·永州模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m有4个不同的根，记为x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，且λ>x1－x2＋恒成立，则λ的取值范围是______． 答案　(2，＋∞) 解析　f(x)＝ ＝ 作出函数的图象如图所示， 则可得－2<x1<－1<x2<0<x3<1<x4， 因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝m， 所以－ln(x1＋2)＝－ln(－x2)＝－ln x3＝ln x4， 所以x1＋2＝－x2＝x3＝， 所以x1＝x3－2，x2＝－x3，x4＝， 因为λ>x1－x2＋恒成立， 所以λx>2x3－， 所以λ>＝－＋＝－2＋2，对任意x3∈(0,1)恒成立，即λ>max， 所以当x3＝时，函数y＝－2＋2取到最大值2，所以λ>2， 即λ的取值范围为(2，＋∞)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$